Слепова С.В. Основы теории точности измерительных приборов
Подождите немного. Документ загружается.
При равномерном распределении случайная величина X с одинаковой
вероятностью может принимать любое
значение из интервала ];[ amam +− (рис. 6.5).
Плотность вероятности равномерного
распределения имеет вид
⎪
⎩
−
вероятностью и доверительны
⎪
⎨
⎧
+∉
+−∈
=
],;[при0
];;[при
2
1
)(
amamx
amamx
a
xp
(6.4)
Рис. 6.5. Равномерный закон где m – центр распределения, соответствую-
распределения щий медиане и 50%-ной квантили.
Установим связь между доверительной
м интервалом
дд
2
д
P
Δ
=
d
запишем
адания случайной величин в интервал
значение половины ин
. Для этого
выражение для вероятности поп ы X
, где Δ – текущее тервала (Δ < a). По
определению вероятности имеем
];[ Δ+Δ− mm
∫
Δ
+
Δ−
m
=Δ+Δ−∈
m
dxxpmmxP )(]};[{
. (6.5)
Функцию плотности вероятности (6.4) подставим в (6.5) и получим
aa
dx
a
P
m
=Δ==
∫
m
Δ
Δ
+
Δ−
2
22
Согласно рис. 6.5 доверительная вероятность равна
11
.
aP
дд
Δ
=
.
Отсюда найдем доверительный интервал
aPd
ддд
22
=
Δ
=
.
При
(6.6)
Доверительный интервал линейно зависит от доверительной вероятности
1=P
доверительный интервал равен
ad 2
д
P
.
д д
=
. Как следует из формулы (6.6) на
полученный интервал не влияет положение центра аспределения m.
с. 6.6) можно представить в
д
d
р
Плотность распределения закона Симпсона (ри
виде
⎪
⎪
⎨
⎧
−
≤−+
=
0
(
;0при)(
)
2
2
xaaax
ожение
Симпсона
вероятностью и доверительным значением
⎩
Пол центра распределения m не влияет
на доверительный интервал
д
d
, поэтому
принято m = 0.
>
≤<+
.при
;0при)
ax
axaax
(6.7)
<
(xp
Рис. 6.6. Закон распределения Находим связь между доверительной
д
P
m-a
x
P
100%
0
1/(2 )
a
px
()
ma
+
m
д
m-
Δ
m
+
Δ
д
д
2
Δ
д
p
x
()
-a
x
P
100%
0
1/
a
a
д
-
Δ
д
2
Δ
д
Δ
д
71
д
Δ
. погрешности По определению вероят-
ности попадания случайной величины X в интервал ];[
Δ
Δ
−
, где запиш a≤Δ ем
∫
Δ
Δ−
=ΔΔ−∈ dxxpxP )(]};[{
. (6.8)
После подстановки (6.7) подставим в (6.8) получим
=
⎟
⎟
⎜
⎜
+−+
⎟
⎟
⎜
⎜
+=
+−
+
+
=
∫∫
2222
xx
dx
ax
dx
ax
P
⎠⎝⎠⎝
−
Δ−
0
0
22
a
a
a
aaa
⎞⎛
Δ
Δ
Δ
2
0
⎞⎛
0
2
xx
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
ΔΔ
=
Δ
+
Δ
−
Δ
+
Δ
−=
aa
a
a
a
2
22
2
2
2
2
.
⎛
−
a
Итак,
⎟
⎠⎝
⎞
⎜
⎛
Δ
−
Δ
=P
дд
2
или
aa
д
⎟
⎠
⎞
d
д
⎜
⎝
⎛
−=
a
d
P
4
1
д
.
Доверительная вероятность квадратично зависит от доверительного интервала
. В частности, при имеем
a
д
д
P
д
d
ad 2
д
=
1
д
=
P
.
Среднее квадратическое отклонение σ случайной величины. СКО
вычисляется по формуле
D
=
σ
. Для определения дисперсии по
экспериментальным данным пользуются соотношением (6.3). Следовательно,
СКО определяется как
оценки
оценка
∑
n
k
x(
=
−
−
=σ
k
x
m
n
1
2
)
~
1
1
~
,
где n – объем выборки, x
k
– элементы выборки;
x
m
~
– оценка математического
идания (координата распределенияож центра ).
и
=
i
i
D
1
или
i
i
1
22
независимо от разнообразия законов распределения каждой из суммируемых
величин.
с
ать расчетным путем, они должны
бы
Основным достоинством оценки разброса случайных величин средним
квадратическ м значением σ является возможность определения дисперсии
суммы статистически независимых величин как
Σ
n
D
n
∑
=
∑
=
Σ
σ=σ
Таким образом, для того чтобы отдельные оставляющие погрешности
измерительного прибора можно было суммиров
ть предварительно представлены своими средними квадратическими
значениями σ, а не «предельными»
max
Δ
или доверительными
д
Δ
значениями.
При этом появляется возможность расчетным путем не только складывать любое
число составляющих погрешности, при анализе точности
сложных измерительных приборов, н аточно точно вычитать погрешности,
что необходимо
о и дост
72
что необходимо при синтезе сложных приборов с заданной результирующей
погрешностью. Действительно, если
2
2
2
1
σ+σ=σ
Σ
,
то
2
12
σ−=σ
Σ
.
Однако это правомерно только для независимы случайных величин.
Суммируемые или вычитаемые составляющие погрешности могут быть взаимно
коррелированными. В этом случае приведенные соотношения заметно
усложняются, что будет более подроб
2
σ
х
но рассмотрено в п. 8.1.
6.3. Вероятностные характеристики х первичных
погрешностей и результатов их действия на показания
измерительных приборов
вероятностными
характеристиками. К скалярным первичным погрешностям относятся такие
погре ). В
тех слу айного
параметра (времени, раз и при фиксированном
значении аргумента рассматр .
р
и
скалярны
Ранее при расчете погрешностей показаний измерительных приборов мы
учитывали только детерминированные первичные погрешности. Теперь
рассмотрим примеры вычисления погрешностей приборов в зависимости от
первичных скалярных погрешностей, заданных своими
шности, которые заданы только величиной (без указания направления
чаях, когда первичная погрешность является функцией неслуч
мера и др.), значение функци
ивается как скалярная погрешность
Пример 6.2. Двойной синусный механизм.
Схема измерительной цепи с рычажной передачей представлена на ис. 6.7.
Звенья 2 и 3 жестко связаны между собой.
В рычажной передач , преобразующей прямолинейное движение также в
прямолинейное, но наче направленное, размеры плеч рычагов от оси шарнира до
центров сфер q
2
= q
3
= 12 мм; диапазон измерения составляет 60
е
≤
≤
x
мм;
первичные погрешности заданы доверительными отклонениями
)(
2д
q
Δ
Δ
=
)(
3д
qΔΔ
= 0,012 мм при доверительной вероятности
9973,0
д
=P
и нормальном
законе
)( qM Δ
=
2
)(
3
qM
Δ
= 0 распределения с математическим ожиданием и
дисперсией
2
22
=Δ
д32
004,0012,0
33
)()( =
⎟
⎠
⎜
⎝
⋅=
⎟
⎠
⎜
⎝
Δ=ΔqDqD
мм
2
.
11
⎞⎛⎞⎛
2
3
4
0
1
x
y
x
α
α
73
Рис. 6.7. Схема измерительной цепи двойного
синусного механизма с рычажной передачей:
0 – корпус прибора; 1 – измерительный
стержень; 2 – ведущее звено рычага
3 – ведомое звено рычага; 4 – выходное звено
Требуется вычислить погрешность показаний прибора, обусловленную
случайными первичными погрешностями звеньев 2 и 3.
Функциональная связь между ходом x и
выходом y рассматриваемой
измерительной цепи согласно рис. 6.
;
в
7 выражается равенством
x
q
3
[мм].
q
2
y =
Погрешности показаний прибор х
погрешностей , в соответствии с основной формулой линейной теории
а в зависимости от скалярных первичны
2
q
3
q
точности (5.13) определяются
Δ Δ
2
2
2
3
2
2
2
2
qx
q
q
q
q
y
y
O
q
q
Δ−=Δ⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=Δ ,
3
2
3
3
3
3
q
x
q
q
y
y
O
q
q
Δ=Δ⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=Δ . (6.9)
q
Суммарная погрешность показаний при авна бора р
2
2
2
2
2
x
q
параметров найдем максимальную величину
зависимости от максимальных значений
детерминированных первичных погрешностей, равных
3
32
q
q
qx
q
yyy
qqq
Δ+Δ−=Δ+Δ=Δ
Σ
.
При заданных значениях
погрешности в
maxΣ
Δ
q
y
мм012,0
−
2
=Δq
при x = 6 мм
,
мм012,0
3
+=Δq
мм012,0012,0
12
612
=⋅+−⋅⋅−=Δ )012,0(6
12
2
max
Σq
y
. (6.10)
Применим операцию математического ожидания к выражениям (6.9) и
получим лматематические ожидания состав яющих
2
q
y
Δ
,
3
q
yΔ
погрешности
показаний прибора
0][][
2
2
2
3
2
=Δ−=Δ qMx
q
q
yM
q
, 0][][
3
2
3
=ΔΔ qM
x
yM =
q
q
.
Дисперсии погрешностей показаний при x = 6 мм
262
2
2
2
2
2
2
3
мм104004,06
12
12
][][
2
−
⋅=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅−=Δ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=Δ qDx
q
q
yD
q
,
74
262
3
2
004,0
12
6
][][
3
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
⎟
⎟
⎞
⎜
⎜
⎛
=Δ qD
q
x
yD
q
Найдем дисперсию
2
2
мм104
−
⋅=
⎠⎝
.
суммарной погрешности
Σ
Δ
q
y
26
мм108][][][
33
−
Σ
⋅=Δ+Δ=Δ
qqq
yDyDyD
.
грешности
Σ
Δ
q
y Среднее квадратическое отклонение суммарной по
мм1022][)(
3
−
ΣΣ
⋅=Δ=Δσ
qq
yDy
.
Доверительное отклонение для
Σ
Δ
q
y
д
Δ
при доверительной вероятности
и нормальном распределении (поскольку слагаемые распределены
нормально)
9973,0
д
=P
мм0085,01026)(3)(
д
⋅=Δσ=ΔΔ
3
≈
−
ΣΣ qq
yy .
Следовательно, доверительный интервал равен
мм017,0)(2
Δ
≈
д
Δ
Σq
Интервал между наибольшими возможными абсолютными значениями
y .
суммарной погрешности
maxΣ
Δ
q
y в зависимости о детерминированных
пер ,02
т
вичных погрешностей равен мм24
max
0
Δ
=
Σq
y согласно (6.10). В интервале
7 и 0,024 мм будет только 0,27% случаев появления
Σ
между 0,01
Δ
q
y , этим
процентом, как правило, пренебрегают.
Пример 6.3. Мостовая измерительная электрическая схема.
(см. пример 5.3, рис. 5.6)
вли
Для мостовой измерительной электрической схемы
яние погрешностей сопротивлений
1
R
Δ
и
R
Δ
2
на выходное сопротивление
реохорда было определено в детерм ованны условиях:
x
rΔ
инир х
()
1
шк
2
2
1
)( R
L
Z
R
R
Rr
x
Δ⋅=ΔΔ
[дел. шка ы],
()
шк
21
R
R
x
+
л
2
шк
2
21
1
2
)( R
L
Z
R
RR
R
Rr
xx
Δ⋅⋅⋅
+
шк
−
=ΔΔ
[дел. шкалы].
Вероятностные характеристики (в делениях шкалы):
[]
()
][)(
1
шк
2
21
2
1
RM
Z
R
RR
RrM
x
x
Δ=ΔΔ
,
шк
L
R+
[]
()
][)(
2
шк
шк
2
21
1
2
RM
L
Z
RR
RR
RrM
x
x
Δ
+
−
=ΔΔ
,
[
]
[
]
)()(][
21
RrMRrMrM
xx
Δ
Δ
+
Δ
Δ
=
Δ
Σ
,
75
[]
()
][
2
RD Δ
,
)(
1
шк
шк
2
2
1
L
Z
RR
RR
RrD
x
x
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=ΔΔ
21
[]
()
][)(
2
шк
шк
2
21
1
2
RD
L
Z
RR
RR
RrD
x
x
Δ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=ΔΔ
,
2
[
]
[
]
)()(][
21
RrDRrDrD
xx
Δ
Δ
+
Δ
Δ
=
Δ
Σ
.
Вероятностные характеристики
][
Σ
Δ
rM
,
][
Σ
Δ
rD
найдены в предположении,
что погрешности сопротивлений
1
R
Δ
и
2
R
Δ
являются неза симыми случайными
величинами. Зная СКО суммарной погрешности
ви
][][
ΣΣ
Δ=Δσ rDr
, можно
определить доверительное отклонение
)(
д Σ
Δ
Δ
r
погрешности оказаний прибора.
6.4. Энтропийное значение погрешности
Погрешности приборов могут быть распределены по различным законам,
поэтому не всегда представляется возможным сравнивать характеристики
приборов. Чтобы такое сравнение стало возможным вводя понятие энтропийной
пог
изм ния
овицким [17, 18].
ропия»
ации
энтропий
п
т
решности.
Информационное описание ере . Применение теории информации к
измерительным устройствам было разработано П.В. Н В теории
информации существует понятие «энт как мера неопределенности или
мера свободы выбора. Количество информ I определяется как разность
)()(
и
xxHxHI
−
=
,
где
)(
x
H
– энтропия (мера неопределенности) измеряемой величины до ее
измерени ; я
)(
и
xxH
(эта запись читается как «энтропия x при условии x
и
») –
энтропия действительного значения x измеряемой величины (мера интервала
неопределенно
сти) вокруг полученного после измерения показания x
и
, т. е.
энтропия погрешности измерения.
Эти оценки неопределенности в виде энтропии до и после измерения
вычисляются на основе вероятностного описания ситуации до и после измерения
по соотношению
∫
+
∞
∞−
−= d) xxpxpxH (ln)()(
, (6.11)
(x) –
обраща
где p плотность распределения вероятностей измеряемой величины x.
Энтропия ется в нуль, когда одно из состояний системы достоверно, а
другие невозможны. Энтропия будет наибольшей при заданном числе состояний,
когда эти состояния равновероятны. Энтропия увеличивается при увеличении
числа состояний.
76
Если несколько независимых систем объединяют в одну то их энтропии
складывают. В этом выражается аддитивность энтропии.
Пример 6.4. Пуст
,
ь для измерения величины x был использован прибор со
шкалой от x
1
до x
2
(например, амперметр со шка
Абсолютная погрешность прибора принимается
лой от –50 А до +50 А).
равной
Δ±
. Требуется
определить количество информации, полученное в результате измерения.
Вероятностное описание ситуации до измерения состоит в том, что
вероятность получить показания прибора в интервалах
(
)
1
; x∞
−
и
()
∞
+
;
2
x
равна
нулю, т.е. плотность распределения вероятностей p(x) в этих интервалах также
равна нулю. Следовательно, показание можно ожидать только в интервале
[x
описание ситуации до
изм
];
2
x
. Если предположить, что оно с равной вероятностью может принимать
любое значение из этого диапазона, то вероятностное
1
ерения можно изобразить равномерным распределением x в пределах от x
1
до
x
2
(рис. 6.8) и записать в виде
⎩
⎨
⎧
∉
∈−
=
].;[при0
];;при)(1
)(
21
12
xxx
xxxx
x
[
21
x
p
ния
p
x
()
Отсюда энтропия до измере согласно
(6.11)
)ln(
1
ln
1
)(
12
1212
2
1
xxdx
xxxx
xH
x
x
−
−−
−=
∫
.
Таким образом, до измерения интервал
неопределенности предстоящего отсчета
=
, а энтропия есть логарифмическая
- мера длины этого интервала.
После проведения измерения мы
погрешности прибора, равной
x
1/( - )
xx
0
];[
21
xx
2
2
Δ
и
1
1/(2 )Δ
x
x
x
2
1
Рис. 6.8. Интервалы неопределен
ности x до и после измерения
получаем отсчет x
и
. Однако вследствие
Δ
±
, мо
значение измеряемой величины где-то в пределах интервала
неопределенности d = 2Δ. Если прибор обладает погрешностью с равномерны
распределением, то ситуация пос измерения описывается распределением
показанным на рис. 6.8, с шириной d = 2Δ и плотностью
жем ли
лежит
шь утверждать, что действительное
м
ле ,
)2(1)( Δ=xp
.
Таким образом, в понятиях теории
сужении интервала неопределенности
информации смысл измерения состоит в
от
x
до измерения до d = 2Δ – после
1
x
−
2
измерения, т.е. в N раз
Δ
−
=
12
xx
N
.
2
Энтропия результата измере после получения показания x
и
ния
)2ln(
2
1
ln
2
1
)(
и
и
Δ=
ΔΔ
−=
∫
и
Δ
+
Δ−
x
x
dxxxH ,
77
т. е. также является логарифмической мерой нового интервала неопределенности.
Количество информации, полученное в результате измерения, равно разности
исходной и полученной после измерения энтропий, т. е.
N
xx
xxxxHxHI lnln))ln()()(
12
=
−
=Δ−=−=
.
2
2ln(
12и
Δ
−
Число
()
)2(
12
Δ−= xxN
укладывается во
показывает, сколько интервалов неопределенности
d = 2Δ всем диапазоне
12
xx
−
, т. е. какое число различимых
гра бор или метод
измерения.
Энтропийный интервал неопределенности. Соотношения
даций измеряемой величины позволяет получить данный при
N
I
ln
=
и
d
xx
N
12
−
=
справедливы при любом законе распределения погрешности, если только
интервал неопределенности d будет найден через энтропию.
В этом случае величину N называют числом различимых градаций змеряемой
ы, а число d – эн
ия.
ного
еопределенности может быть вычислен строго математически для
лю ящая под знаком
логарифма
и
величин тропийным интервалом неопределенности результата
измерен
Основное достоинство информацион подхода к математическому
описанию случайных погрешностей состоит в том, что размер энтропийного
интервала н
бого закона распределения погрешности как величина, сто
в выражении для энтропии , устраняя тем самы
)(
и
xxH
м исторически
сложившийся произвол при волевом назначении различных значений
доверительной вероятности.
ст
Пример 6.5. Определить энтропийный интервал неопределенно и результата
измерения при нормальном законе распределения погрешности
⎥
⎦⎣
πσ
2
2
Вычислим натуральный логарифм плотности распределения p(x)
⎤⎡
−=
2
exp
1
)(
x
xp .
⎢
σ
2
(
)
(
)
22
22ln)(ln σ−πσ−= xxp .
Тогда энтропия погрешности равна
()
()
[
]
−=
∫
=σ+πσ=
∫
+
∞+∞
xpxxH
22
и
)()( dxxxpdxxp 22ln)()(ln
∞−∞−
()
∫∫
+
∞
∞−
+
∞
+πσ= dxxpxdxxp )(
1
)(2ln
2
.
∞−
σ2
2
Учитывая, что
78
1)( =
∫
+
∞
dxxp
∞−
и по определению дисперсии
22
)( σ=
∫
+
∞
∞−
dxxpx
,
получаем
()
(
) ()
eexxH πσ=+πσ=+πσ= 2lnln2ln
2
1
2ln)(
и
,
т. е. интервал неопределенности, найденный через энтропию в соответствии с
теорией информации, однозначно (без каки -либо предположений о выборе
уровня доверительной вероятности) равен
х
σ≈πσ= 133,42 ed ,
а число различимых градаций результата при равномерном
распределении вероятности различных значений меряемой величины
измерения
из
σ
−
=
−
=
133,4
1212
xx
d
xx
N
.
Подобным же образом энтропийный интервал неопределенности результата
еизмерения мож т быть однозначно найден для любого выраженного аналитически
закона распределения погрешности. Например, при распределении погрешности
по треугольному закону Симпсона
(
)
exxH 6ln)(
и
σ= и σ≈σ= 04,46ed .
а р г иРазделение диапазон x
2
– x
1
на отдельные азличимые радац и на основе
формальных положений теории информации в виде функционала (6.11) для
энтропии представлено на рис. 6.9.
79
px
()
x
px
()
d
x
px
()
x
d
d
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
Рис. 6.9. Разделение диапазона x
2
– x
1
на отдельные различимые градации
Здесь диапазон x
2
– x
1
разбит на интервалы длиной d, вычисленные указанным
выше способом. Относительно центра каждого такого интервала, как начала
координат, построена кривая соответствующего закона распределения
погрешности: равномерного, треугольного и нормального. Отсюда видно, что
следствие определения энтропии помехи состоит в том, что только при
равномерном распределении погрешности границы интервалов
неопределенности, логарифм числа которых есть количество получаемой при
измерении информации
N
I
ln
=
, совпадают с границами распределения
погрешности, т. е. отдельные полосы погрешностей лишь соприкасаются между
собой. При треугольном, а тем более при неограниченных распределениях
интервалы неопределенности определяются лишь той частью распределения, где
сосредоточена основная масса этих погрешностей.
Таким образом, то различие в интервалах неопределенности при равномерном
распределении погрешности и при неограниченных распределениях погрешности,
которое исторически пытались преодолеть назначением соответствующих
значений доверительной вероятности, математически строго и наглядно
описывается при использовании в теории погрешностей информационного
подхода.
Энтропийное значение случайной погрешности. На практике при
использовании изложенного информационного подхода для оценки точности
результатов измерений оперируют не значением энтропийного интервала
неопределенности результата измерения d, а величиной, равной половине этого
интервала, – энтропийным значением погрешности
э
Δ
.
Энтропийным значением погрешности
э
Δ
называется значение с
равномерным распределением, которое оказывает такое же дезинформационное
действие (или вносит такую же неопределенность), что и погрешность с заданным
законом распределения.
80