Слепова С.В. Основы теории точности измерительных приборов
Подождите немного. Документ загружается.
Проекция отрезка
ОD на направление Оу дает величину ОЕ, представляющую
собой погрешность положения толкателя, вызванную перекосом оси кулачка:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ψ−
π
=Δ
γγ
2
cos
ODy . (5.28)
Записывая выражение (5.28) с учетом (5.27), получим
γγ
ψγΔ=Δ sin
2
b
y
.
Введем входное воздействие α. При повороте оси кулачка на угол α верхний
торец коснется толкателя при условии
π
≤
ψ
+
α
≤
γ
0. При выходе угла
α
+
ψ
γ
за
эти пр нкции
γ
y в зависимости от угла α показано
Рис. 5.16. Изменение
еделы вступит в действие нижний торец кулачка. Изменение фу
()
α на рис. 5.16. Δ
Δ
y
γ
частной погрешности
γ
Δ
y в зависимости от угла α
Сплошная линия соответствует касанию рхнего торца с толкателем,
пунктирная
I
Δ
y
II
Δ
y
γ
ве
– нижнего торца. Практически касание возможно только при
положительных значениях
γ
Δ
y , поэтому выражение для функции частной
погрешности будет иметь вид
)sin(
γγ
ψ+αγΔ=Δ
b
y
.
2
6. ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ
едения из теории вероятностей
Погрешности измерительных п .
Случайность обуславливается: случайным ческой
величины, непостоянством метрологических характеристик измерительных
при в х
о
Поэтому погрешности показаний измерительных
огрешности, будем рассматривать как случайные
величины.
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ
6.1. Необходимые св
риборов носят случайный характер
характером измеряемой физи
боров, а также случайным характером воздействия нешни факторов на
измерительный прибор в процессе измерения. Учет только детерминированных
значений погрешностей дает граниченную и в большинстве случаев
недостаточную информацию.
приборов, как и первичные п
α
γ
ψ
γ
61
Случайными величинами называются такие величины, которые при
неоднократном повторении опыта в неизменных условиях принимают каждый раз
новые зна одному
проекту погрешности показаний отдельных экземпляров будут отличаться друг от
дру и пр
чения. При изготовлении партии измерительных приборов по
га. При многократном испытани одного экземпляра ибора получают также
ряд случайных результатов.
Законы распределения случайной величины. Основными характеристиками
случайной величины
X являются интегральный и дифференциальный законы ее
распределения.
Интегральным законом или функцией распределения F(x) случайной величины
X называют вероятность того, что случайная величина X меньше заданной
величины
x
{
}
xXPxF
<
=
)(.
F(x) – неубывающая функция x, изменяющаяся от
0)( =
−
∞
F
до
1)(
=
+∞
F
. Она
существует для всех случайных величин, как дискретных, так и непрерывных.
Для случайной величины с непрерывной и дифференцируемой функцией
распределения
F(x) можно найти дифференциальный закон распределения или
плотность распределения вероятностей p(x):
dxxFdxp )()(
=
.
Плотность распределения вероятностей
p(x) всегда неотрицательна и подчинена
условию нормирования в виде
1) =
∫
(
+
∞
dxxp
,
∞−
что непосредственно следует из свойств функции еления
F(x).
интервал
b] определ
более часто встречаются законы
распределения (рис. 6.1): нормальный, равномерный, Симпсона, симметричный
распред
X
Вероятность попадания случайной величины на [
a, яется
по формуле
b
{}
dxxpaFbFbXaP
a
∫
=−=<< )()()(
.
Примеры законов распределения. Наи
экспоненциальный и трапецеидальный.
x
m-a
0
x
x
b
0
px
()
0
1/( - )
bb
1
x
0
x
0
σ2π
а)
б)
г
px
()
px
()
px
()
+
2
px
()
1/
a
1
2
ma
m
m
b
д)
в
)
)
1
Рис. 6.1. Законы распределения: а – нормальный, б – равном ный, в – Симпсона, ер
62
г – симметричный экспоненциальный, д – трапецеидальный
Для
нормального закона распределен
ия (см. рис. 6.1а) характерны следующие
закономерности: равные по абсолютному значению погрешности равновероятны;
малые погрешности более вероятны, чем большие. Плотность распределения для
нормального закона
(
)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
σ
−
−
πσ
=
2
2
2
exp
2
1
)(
mx
xp
,
где – математическое ожидание погрешности;
m
2
σ
– дисперсия погрешности.
По нормальному закону распределены многие погрешности, поэтому в
инж ез
достаточного
лотность вероятности
равномерного закона (см. рис. 6.1б)
енерной практике это распределение чаще всего используется, иногда б
основания.
П
(
)
⎩
⎨
⎧
><
<<−
=
.ипри0
;при1
)(
21
2112
bxbx
bxbbb
xp
По равномерному закону распределены погрешности: от трения в опорах; от
округления; отсчета; от порога нечувствительности и др.
Плотность распределения
треугольного закона Симпсона (см. рис. 6.1в) можно
представить в виде
⎪
⎪
⎪
+>−<
⎪
⎪
⎪
⎨
+<<
++−
<<−
⎧
+
− amx
= ;при
;при
)(
2
amxm
amx
mxam
a
xp
⎩
.
2
По этому закону распределены погрешности: суммарная при измерении длин;
сум
ипри0 amxamx
a
марная от квантования интервала времени при равномерном законе
распределения ее двух составляющих и др.
Плотность распределения симметричного экспоненциального закона
(
)
α
−
α
α
= xxp exp
)1Г(2
)( , (6.1)
где
)1Г( α
– гипергеометрическая функция; α – число, которое может принимать
значения от 0 до ∞. При α → ∞ получаем равномерный закон вид изображенного
на рис. 6.1б; при α > 2 получаем плавные законы, близкие к трапецеидальным (см.
рис. 6.1д); при α = 2 имеем нормальный закон (см. рис. 6.1а) и, наконец, при α = 1
и α = 0,5 выражение (6.1) принимает соответственно вид
а,
x
exp
−
=
1
)(
и
2
41
4
1
)(
x
exp
−
=
.
Графическое изображение этих законов показано на рис. 6.1г.
63
По законам, близким к
2)(
x
exp
−
= ,
ся выражением
распределяются редкие случайные события, например, выбросы случайных
процессов за установленную границу.
Распределение отсчетов синусоидально изменяющейся во времени величины
tXx
m
ω= sin
, если моменты этих отсчетов равномерно распределены во времени,
называется арксинусоидальным. Его плотность описывает
(
)
22
1( xXp
m
−π=
лена на рис.6.2а.
еление, при кото-
ром встречаются с равными
вероятностями только два
: ной величины +a и –a,
б
деления
вероятностей представлена на рис. 6.2б и описывается аналитически
)x
и представ
Распред
дискретных значения случай-
Рис. 6.2. Законы распределения
0
0
X
-
X
-
aa
p
x
()
p
x
()
m
m
а – арксинусоидальный, называется дискретным
– дискретный двузначный
двузначным распределением.
Его плотность распре
)a
,
(xaxxp +δ+−δ=
где δ – дельта-функция Дирака.
Числовые характеристики случайной велич
прикладных задач вместо законов распределения
2
1
)(
2
1
)(
ины. При решении многих
вероятностей случайной
величины пользуются числовыми характеристиками, к которым в том числе
относятся:
– математическое ожидание случайной величины
dxxpxm
x
)(
∫
∞
∞−
=
,
которое можно рассматривать как среднее взвешенное из всех возможных
значений случайной величины X, где в качестве веса используется плотность
распределения;
– дисперсия случайной величины
()
dxxpmxD
xx
)(
2
∫
∞
∞−
−=
,
характеризующая разброс фактических значений
осительно ее математического ожидания;
случайной величины
отн
– среднее квадратическое отклонение (СКО) случайной величины есть
положительное значение квадратного корня из ее сии диспер
xx
D=σ
.
64
Использование дисперсии на практике не всегда удобно, так как ее размерность
есть квадрат размерности случайной величины. Поэтому для более наглядной
характеристики рассеяния пользуются средним квадратическим отклонением,
им ой величины.
Можно определить характеристики случайной величины на основании
обработки опытного материала. Из статистики известно, что обработка
экспериментальных данных не позволяет определить точные значения
ж д н
раметров.
x
1
, x
2
, …, x
k
, … (6.2)
еющем размерность самой случайн
математического о идания и дисперсии, а ает возмож ость найти только их
приближенные значения – оценки искомых па
Пусть в результате n независимых испытаний получено n значений величины
x, которые обозначим
, x
n
.
Реализация (6.2) называется выборкой из генеральной совокупности, n – объем
выборки, x
k
– элементы выборки.
Оценка
x
m
~
математического ожидания
x
m
определяется как среднее
арифметическое элементов выборки (6.2)
∑
=
=
n
k
kx
x
n
m
1
1
~
.
Дисперсия оценки
x
m
~
определяется формулой
][
~
1
]
~
[ xDmD
x
=
или
22
~
~
1
xm
x
σ=σ
,
n n
где
][
~
2
~
x
σ
xD
( ) – оценка дисперсии случайной величины X.
Оценку дисперсии по выборке (6.2) дает формула
∑
=
−
=
k
k
x
n
xD
1
)(
1
][ . (6.3)
Характеристики суммы и произведения
−
n
x
m
2
~
1
случайных величин. При расчете
измерительных приборов на точность прежд всего следует установить связь
между детерминированными значениями параметров, после чего можно перейти к
вер дится одновременно учитывать
несколько случайных величин, связанных между собой определенной
зависимостью. Наиболее распространенными связями между случайными
величинами являются их сумма и произведение. Наряду со случайными
чина и в
С равно этой величине
~
е
оятностным характеристикам. При этом прихо
вели м расчетах участвуют и неслучайные.
Математическое ожидание неслучайной величины
CC
M
=
][
.
Дисперсия неслучайной величины С равна нулю
0][
=
C
D
.
Неслучайную величину можно выносить за знак математического ожидания
][][
x
M
C
x
C
M
=
.
65
Неслучайную величину можно выносить за знак дисперсии, возводя ее в
квадрат
][][
2
xDCxCD =
.
Неслучайную величину можно выносить за знак СКО ее абсолютным
значением
][][ xCxC
σ
=
σ
.
Математическое ожидание суммы случайных
ематических ожиданий
величин равно сумме их
мат
][]...[ q
M
x
y
z
q
M
x
M
y ][...][]
M
z
M
[
+
=
+
+
+
++++
.
й
же линейной функции от математических ожиданий аргументов
Математическое ожидание линейной функции случайных величин равно то
C
z
M
F
y
M
B
x
M
A
C
z
F
y
B
x
A
M
++
+
+
=
+
+++ ][...][][]...[,
где A, B, F, C – неслучайные величины.
Если случайные величины независимы в ст истическом смысле, т. е. если
вер
другой случайной величины, то дисперсия их суммы равна сумме
дисперсий каждой из них
ат
оятность появления одной случайной величины не связана с вероятностью
появления
][...][][[]...[ q
D
]
z
D
y
D
x
D
q
z
y
x
D
+
+
+
+
=
+
+++
.
Если вероятность появления одной случайной величины, например x, связана с
вероятностью появления второй случайной величины, наприме y, то x и y
счи
р
таются зависимыми в статистическом смысле. Мерой такой связи является
коэффициент корреляции
{
}
)()(
)]([)]([
yx
yMyxMxM
k
xy
σσ
−
−
= .
Если статистической связи нет, то 0
=
xy
k . Но из некоррелированности случайных
величин не всегда следует их независимость. При функциональной связи 1
=
xy
k .
При наличии статистической связи 10
≤
≤
xy
k .
Дисперсия суммы двух зависимых случайных величин определяется по
формуле
)()(2][][][ yxkyDxDyxD
xy
σ
σ
+
+
=
+ .
При большем числе слагаемых дисперсию суммы находят последовательным
сложением.
Вероятностные характеристики произведения независимых случайных
величин имеют вид:
n
i
x ]
yDxMyMxD
.
∏∏
==
i
i
i
xMM
11
][[;
[][][
22
yDxDyxD ++=
=
n
][][][][]
66
Если X
1
, X
2
, …, X
n
– независимые случайные величины, имеющие один и от
же закон р
т
аспределения с математическим ожиданием m и дисперсией
2
σ
, то при
неограниченном увеличении n закон распределения суммы
n
X неограниченно
я к нормальному. Эта теорема называется центральной предельной
те
6.2. Вероятностные оценки ширины распределения случайных
погрешностей
«Предельная» или «максимальная» оценка случайной грешности.
Эта
оце
∑
=
i
i
1
приближаетс
оремой для одинаково распределенных слагаемых
по
нка теоретически правомерна только для ограниченных распределений
(равномерного, треугольного, трапецеидального и т. п.). Для этих распределений
действительно существует такое значение
m
X
±
, которое ограничивает с обеих
сторон возможные значения случайной величины. Однако распределения
являются лишь теоретической идеализацией и реальные распределения
погрешностей, строго говоря, им никогда не соответствуют. Кривые плотности
реальных распределений погрешностей, за редкими
эти
исключениями, не имеют
четко
«м е
наибольшего по модулю откло егося в данном, произвольно
граниченном ряду наблюдений, так увеличением объема выборки
экс
выраженных границ. И поэтому указание для них «предельных» или
аксимальных» значений неправомерно. На практике такая оценка есть указани
нения, встретивш
о как с
периментальных данных «предельные» значения монотонно возрастают.
«Предельная» погрешность прибора
max
Δ
, найде ная экспериментально по 100
отсчетам, всегда будет большей, чем найденная по первым 10 отсчетам.
Квантильные оценки случайной погрешности. Площадь, заключенная под
кривой плотности распределения (рис. 6.3), согласно правилу нормирования,
равна единице, т. е. отражает вероятность всех возможных событий. Эту площадь
можно разделить на некоторые части вертикальными линиями. Абсциссы таких
линий называют квантилями. Так, x = x
1
на рис. 6.3 есть 25%-ная квантиль, так
как площадь под кривой p(x) слева от нее
составляет 25% всей площади, а справа –
75%. Медиана (x = x
2
на рис. 6.3) – это
50%-ная квантиль, так как она делит
площадь под кривой p(x) на две равные
ч Между x
1
и x
3
, т. е. 25%- и 75%-ной
квантилями, которые принято
н
асти.
называть
сгибами данного распределения, заключено
50% всех возможных значений погрешности,
Рис. 6.3. Квантили остальные 50% лежат вне этого промежутка.
На рис. 6.4 x = x
3
есть 5%-ная квантиль,
x
x
p
x
()
25%
25%
3
25%
25%
x
2
x
1
67
так как площадь под кривой p(x)
Соответственно значения x
1
, x
2
, x
5
, x
6
99%-ная квантили. Их принято обо
x
0,99
. Интервал значений x между
возможных значений случайной в
промежутком с 90%-ной вероятно
слева от нее составляет 5% всей площади.
, x
7
на рис. 6.4 – это 1%-, 2,5%-, 95%-, 97,5%-,
значать соответственно x
0,01
, x
0,025
, x
0,95
, x
0,975
,
x = x
0,05
и x = x
0,95
охватывает 90% всех
еличины и называется интерквантильным
стью. Его протяженность
05,095,09,0
xxd
−
= .
Интерквантильный промежуток вкл
случайной величины и т. д.
ючает в себя 90% всех возможных значений
p
x
()
98%
x
4
5%
x
1
x
95%
90%
5%
x
7
x
6
x
5
x
3
x
2
Рис. 6.4. Интерквантильные промежутки
На основании такого подхода вводится понятие квантильных оценок
погрешности, т. е. значений погрешности с заданной доверительной
вероятностью , как границ интервала неопределенности
д
P 2
дд
d
±
=Δ±
, на
протяжении которого встречается процентов всех значений погрешности, а
процентов общего числа их значений остаются за границами этого
интервала.
Таким образом, доверительное значение случайной погрешности есть ее
максимальное значение с указанной доверительной веро ностью т. е.
сообщение, что часть тью
д
P
д
1 P−
д
P
, ят
qP
=
−
д
1
реализаций погрешности с вероятнос может
быть
снабжают
и
больше указанного значения погрешности.
Обозначение доверительной погрешности индексом, численно
равным принятой доверительной вероятности, например
9,0
Δ пр
9,0
д
=
P
;
95,0
Δ
при
95,0
д
=P
и т. д.
Исторически сложилось так, что в разных областях знаний используют
чные значения доверительной вероятности, равные 0,5; 0,8; 0,9; 0,95; 0,99.
Так в обл
разли
асти расчета артиллерийской стрельбы общепринятой является
срединная ошибка, т. е. погрешность с доверительной вероятностью
5,0
д
=
P
,
когда 50% всех возможных отклонений меньше ее, а другие 50% о ьше.
Доверительная вероятность
8,0
д
– л б
=
P
является общепринятой в те рактике
оценки надежности средств автоматики, электрон
ории и п
ной и измерительной техники.
68
Погрешность
9,0
Δ
обладает тем уникальным свойством, что для широкого
класса законов распределения вероятностей только она ет со ни
средн
име отноше е со
им квадратическим отклонением в виде
σ
=
Δ
6,1
9,0
независимо от вида закона распределения. Поэтому ГОСТ 11.001–73 при
отсутствии данных о виде закона распределения для определения двусторонней
доверительной вероятности предписывал использовать только
9,0
д
=P
.
При наличии у прибора кроме чисто случайной составляющей еще и
систематической погрешнос ыход возможных значений погрешности за
границы доверительного интервала
ти θ в
(
)
90,
Δ
+
θ
±
становится практически
одн
ти Доверительная
вероятность используется лишь при казании погрешностей первичных
п ений. Из н л n
возр
осторонним. Для односторонней вероятности выхода за пределы интервала
д
Δ±
при отсутствии данных о виде закона распределения ГОСТ 11.001–73
предписывал использование доверительной вероятнос
95,0
д
=P
.
99,0
д
=P
у
и рабочих эталонов.
Достоверность определения доверительного значения погрешности по
экспериментальным данным.
Достоинство доверительного значения
погрешности состоит в том, что оно может быть достаточно просто оценено
прямо по экспериментальным данным.
Пусть роведена серия из n измер аб юдавшихся случайных
погрешностей составляют вариационный ряд, располагая их в порядке
астания:
)()3()2()1(
...
n
Δ
≤
≤
Δ
≤
Δ
≤
Δ .
Далее используется предположение, что каждый из членов вариационного
ряда является оценкой соответствующих квантилей, которые делят весь интервал
возможных вероятностей (от 0 до 1) на n + 1 частей с равными значениями
вероятности, иными словами, вероятности попадания значений погрешности в
каждый из интервалов
(
)
(
)
(
)
(
)
∞+Δ
Δ
Δ
Δ
ΔΔ∞− ...;;;;;
)2()1()1(
−
;;;
)()()1( nnn
предполагаются одинаковыми, а следовательно, равными
)1(1 +n
. Отсюда
каждое из наблюдавшихся значений
)(i
Δ
може быть принято как оценка т
)1( +ni
·100%-ной квантили.
Таким образом, практическое определение
д
Δ
св ится к тому, что из всех
пол
прибора
од
ученных отсчетов отбрасываются наиболее удаленные от центра, а
следовательно, самые ненадежные отсчеты. Если при переменном n
отбрасывается постоянная относительная доля всех отсчетов, то определяемое по
крайним членам оставшегося вариационного ряда значение
д
Δ
, в отличие от
«предельной» погрешности , с ростом длины n и отсчетов не сер и
max
Δ
69
возрастает, а стабилизируется и казывается тем более устойч больше
объем выборки n.
этом необходимо учи
мы получаем не
о ивым, чем
При тывать, что по ограниченным экспериментальным
данным точные доверительные значения, а лишь их
при
а л
т
ближенные значения – оценки. Достоверность квантильных оценок
повышается с понижением значений
д
P
, при постоянном
д
P
– с ростом чис а
отсчетов n. Поэтому квантильные оценки с большими доверительными
вероятностями могут быть найдены только при большом числе отсчетов.
Действительно, так как вариационный ряд из n членов определяет границы n + 1
интервалов, вероятность попадания в орые принимается одинаковой, то при
отбрасывании лишь интервалов
ко
(
)
)1(
;
Δ
∞
−
и
(
)
∞
+
Δ
;
)(n
оценка погрешности
может быть определена с доверительной вероятностью не большей, чем
)1()1(
д
+
−
≤
nnP
.
При небольших объемах выборки n достоверность ценки
д
Δ
, найденной
таким путем, очень мала. Для определения оценки
д
о
Δ
с большей достоверностью
с каждого из концов вариационного ряда должны быть отброшены не только
пустые интервалы
(
)
)1(
; Δ∞− и
(
)
∞
+
Δ
;
)(n
, но и какое-то число фактических
отсчетов. Располагая рядом из n отсчетов и отбрасывая с каждого из концов ряда
по n
отб
отсчетов, можно определ ть
д
и
Δ
с доверительной вероятностью не
большей, чем
)1()21(
отбд
+
−
−
≤
nnnP
.
Отсюда число отсчетов n, необходимое для определения по эксперименталь-
м данным
д
Δ
с заданной вероятностью
д
P
, будет не меньшим, ч ны ем
(
)
(
)
[
]
(
)
дотбдотбд
1)1(2121 PnPnPn −
+
≈
−
++≥
.
и для различных знач и n
от
в табл. 6.1.
Таблица 6.1
д
P
0,8 0,9 0,95 0,98 0,99 0,995 0,997
ений
б
= 1 приведено
д
P
n
20 40 80 200 400 800 1333
Основным недостатком доверительного значения погрешности
д
Δ
при
произвольно бираемых
д
P
, как и «предельной» погрешности
ma
Δ
вы , является
невозможность их , так как доверительный интервал не
равен сумме доверительных интервалов слагаемых.
ь рый с вероятностью
погрешности вноме ; б) чени греш р еле о
треугольному ону (закону Симп а).
x
суммирования суммы
Пример 6.1. Определит доверительный интервал, в кото
д
P
попадают значения погрешности при условии, что: а) распределение значений
ра рное зна я по ности аспред ны п
зак сон
70