Слепова С.В. Основы теории точности измерительных приборов
Подождите немного. Документ загружается.
Такая же зависимость часто наблюдается на низких частотах при переносе
заряда в полупроводниках. В подобных случаях говорят об 1/f-шуме или о
фликкер-шуме. (В технической литературе частота ν обозначается также f).
Генерационно-рекомбинационный шум. В полупроводниках возникает
специфический вариант дробового шума – генерационно-рекомбинационный
шум. Его часто называют токовым шумом. Принципиальное отличие
полупроводников от вакуумного диода с этой точки зрения состоит в том, что
среднее время жизни носителей заряда (электронов и дырок) в полупроводниках,
как правило, очень мало по сравнению с временем, необходимым для переноса
носителя заряда от одного конца образца до другого. Поэтому дробовой шум в
полупроводниках определяется скоростями генерации и рекомбинации носителей
заряда. Частотные спектры шума для различных процессов генерации и
рекомбинации носителей в полупроводниках описываются однотипными
выражениями
νΔ
νν+
≈
22
2
2
эфф,
1
const
g
o
GR
I
I
.
Ниже пороговой частоты мощность шума не зависит от ν (белый шум), а выше
она падает как
g
ν
g
ν
2
1 ν
. Пороговая частота
g
ν
определяется средним временем
жизни τ носителей заряда (
)2(1
π
τ
=
ν
g
).
Квантовый шум. Квантование электромагнитного излучения приводит к
флуктуациям потока фотонов. Пусть имеется идеальный детектор с квантовым
выходом (например, фотоячейка, с катода которой каждый фотон выбивает
один электрон). В таком детекторе распределение падающих фотонов может в
принципе преобразовываться в соответствующее распределение импульсов тока.
Таким образом, можно экспериментально регистрировать флуктуации
электромагнитного излучения.
1=η
Рассмотрим бесконечно длинную монохроматическую волну, так называемую
когерентную волну. С классической точки зрения ее амплитуда и фаза не
меняются со временем и не испытывают никаких флуктуаций. При измерениях в
течение одинаковых промежутков времени Δt можно ожидать при фиксированной
мощности излучения P
o
одного и того же среднего числа фотонов
νΔ= htPN
o
,
где h – постоянная Больцмана; ν – частота когерентной электромагнитной волны.
Наблюдаемое число фотонов флуктуирует в соответствии с распределением
Пуассона. При этом предполагается, что фотоны представляют собой
классические, не взаимодействующие друг с другом частицы. Стандартное
отклонение числа фотонов равно
ν
Δ
==σ
h
tP
N
o
N
.
31
Ток фотоэлектронов в идеальном детекторе также подчиняется распределению
Пуассона. Поэтому усредненные флуктуации тока описываются уравнением
Шотки для дробового шума. Средний фототок равен
ν=Δ= hePtNeI
oo
.
Квадрат эффективного шумового тока определяется по аналогии с (3.3) или (3.4):
νΔ
ν
=νΔ=
h
Pe
IeI
o
oR
2
2
эфф,
2
2
.
Отношение сигнал–шум S/N находят через отношение соответствующих
мощностей:
2
эфф,
2
Ro
IINS = .
Для фототока это соотношение принимает вид
νΔν
=
h
P
N
S
o
2
.
Если считать, что в идеальном детекторе не возникают собственные шумы, то
независимо от постоянной мощности падающего излучения эквивалентная
мощность шума на детекторе составляет
o
P
эфф, R
P
ν
Δ
ν
=
hP
R
2
эфф,
. (3.5)
Это выражение описывает случай непосредственного приема сигнала.
В отличие от теплового шума, уровень которого понижается при высоких
частотах, квантовый шум линейно возрастает с частотой. В области
1>>
ν
kTh
(здесь k – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура) он начинает
преобладать над тепловым шумом. При комнатной температуре это соответствует
оптической и инфракрасной областям спектра.
Для описания шумов вводят понятие шумовой температуры . При этой
температуре мощность теплового шума в проводнике равна мощности квантового
шума в излучателе. Приравнивая выражения (3.2) и (3.5), получим в явном виде
формулу для :
R
T
R
T
)23ln(k
h
T
R
ν
= .
Например, в оптической области квантовый шум при λ = 500 нм соответствует
шумовой температуре = 70 000 К.
R
T
Минимальная мощность излучения, которую можно зафиксировать,
соответствует S/N = 1. Таким образом, для непосредственного приема с помощью
идеального детектора справедливо соотношение
ν
Δ
ν
=
=
hPP
Ro
2
эфф,min,
.
Это означает, что за время
)2(1
ν
Δ
≈
Δt
должен быть зарегистрирован в среднем
один фотон.
32
В радио- и микроволновом диапазонах когерентное излучение получают с
помощью специальных передатчиков, в оптическом и инфракрасном диапазонах
источниками когерентного излучения служат лазеры. Обычные источники света
испускают так называемое тепловое излучение. Такое излучение некогерентно, и
фотоны в каждой моде подчиняются распределению Бозе–Эйнштейна. В этом
случае флуктуации существенно выше, чем у когерентных источников. Квадрат
отклонения числа фотонов равен
NN
N
+=σ
2
2
.
Эти флуктуации вызывают более значительные шумы в детекторе. Если фотоны,
зафиксированные детектором, разделяются на z независимых мод, то сильные
флуктуации распределения Бозе–Эйнштейна выравниваются и
среднеквадратическое отклонение нового распределения имеет вид
z
z
N
z
N
+=σ
2
2
.
В предельном случае очень большого числа мод снова получается распределение
Пуассона. (Мода – вид колебаний, возбуждающихся в сложных колебательных
системах; характеризуется пространственной конфигурацией колеблющейся
системы, определяемой положением ее узловых точек (линий или поверхностей),
и собственной частотой.)
33
4. РАСЧЕТ МЕТОДИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
4.1. Погрешности показаний, вызванные методическими
погрешностями измерительных приборов
Методические погрешности имеются у измерительных приборов, основанных
на косвенных измерениях, например, у термоэлектрических термометров,
расходомеров, акселерометров, датчиков угловой скорости. Эти погрешности
возникают тогда, когда изменяются параметры, входящие в уравнение метода
измерений или в алгоритм функционирования. Методические погрешности не
зависят от качества изготовления прибора, они одинаковы для всех образцов
данного типа.
Для определения методической погрешности (погрешности приближения)
наиболее приемлемым является аналитический метод, согласно которому
погрешность находят как разность между номинальной расчетной и заданной
характеристиками. В основе аналитического метода расчета погрешности
находится математическое описание прибора.
Пусть имеет место зависимость
)...,,,,(
21 n
qqqf ZX
=
,
где X – измеряемая величина; Z – величина, на которую реагирует
чувствительный элемент прибора; ,
i
q
ni ,1= – параметры. Пусть прибор
проградуирован при , а в процессе измерения параметры принимают
значения . Тогда методическая погрешность определяется
выражением
oii
qq =
ioii
qqq Δ+=
i
o
n
i
i
q
q
f
Δ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=Δ
∑
=1
X
, (4.1)
где
(
o
i
qf ∂∂
)
– значение частной производной
i
qf
∂
∂
при ,
oii
qq = ni ,1= .
Методические погрешности можно скомпенсировать полностью или частично,
если в измерительный прибор ввести дополнительные чувствительные элементы,
реагирующие на изменения параметров . И если с помощью таких
чувствительных элементов образовать сигнал
i
q
i
n
i
i
qk Δ
∑
=1
и вычесть этот сигнал из выражения (4.1), то получим
i
n
i
i
o
i
qk
q
f
Δ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=Δ
∑
=1
X
.
Если теперь потребовать, чтобы коэффициенты удовлетворяли условиям
i
k
(
)
(
)
o
ii
o
ii
qfkniqfk ∂∂=→==∂∂− ,1,0
, (4.2)
34
то методические погрешности будут скомпенсированы с точностью до 1) величин
второго порядка малости по сравнению с
i
q
Δ
; 2) инструментальных
погрешностей дополнительных чувствительных элементов, реагирующих на
изменения параметров . Точное удовлетворение условий (4.2) невозможно еще
и по той причине, что параметры , вообще говоря, являются случайными
величинами, а значит условия (4.2) следует рассматривать только как уравнения, в
которые входят математические ожидания параметров.
i
q
i
q
4.2. Примеры расчета методических погрешностей
механических измерительных приборов
Пример 4.1. Рычажно-зубчатый индикатор.
В рычажно-зубчатом индикаторе (боковом) жестко связанные элементы 1 и 2
образуют первичный преобразователь – синусный рычаг (рис. 4.1). Элементы 2–5
представляют собой масштабный преобразователь. Элементы 3 и 4 соединены
жестко.
Значения параметров:
4,04,0 ≤≤−
x
мм –
диапазон и мерения; с = 0,01 мм
– цен деления
шкалы;
з а
q
1
= 10,58 мм – длина измерительного
аза-
н
нальная связь между входом x и
Р ассматриваемого индикатора
2
0
1
3
5
4
x
α
y
рычага 1; Z
ш
= 80 – число делений шкалы;
Θ = 2π – угол шкалы; параметры зубчатой
передачи: для зубчатых колес 2, 3 с числом
зубцов z
2
= 410 (расчетное) и z
3
= 30 модуль
зацепления m = 0,199; зацепление зубчатых
колес 4, 5 лобовое с модулем зацепления
m = 0,18 и числом зубцов z
4
= 72 и z
5
= 12.
Требуется вычислить погрешность пок
ий прибора, обусловленную методической
погрешностью (погрешностью схемы), при
x = 0,4 мм.
Функцио
ис. 4.1. Схема измерительной выходом y р
цепи рычажно-зубчатого выражается равенством
индикатора: 0 – корпус прибора;
Θ
⋅
⋅
α
=
ш
Ziy
[делений шкалы], (4.3)
– угол поворо
теля 2–5. Угол поворота α согласно рис. 4.1 определяется по формуле
1 – измерительный рычаг; где α та рычага 1, 2; i – переда-
2–5 – зубчатая передача
точное отношение масштабного преобразова-
(
)
1
arcsin qx
=
α
. (4.4)
Передаточное отношение i равно
5
4
3
2
5
4
3
2
z
z
z
z
R
R
R
R
i = ⋅=⋅ , (4.5)
35
где R
2
, R
3
, R
4
, R
5
– радиусы соответствующих кол
Подставим (4.4), (4.5) в (4.3) и получим расчетную
ес зубчатой передачи 2–5.
характеристику прибора
Θ
⋅⋅
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎝
=
531
arcsin)(
zzq
xy
[делений шкалы].
⎞⎛
ш42
Zzz
x
Значение y при x = 0,4 мм равно
49,39
14,32
80
1230
72410
58,10
arcsin)4,0( ⋅
⎟
4,0
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
[делений шкалы].
Заданная характеристика при равномерной шкале п
=y
рибора имеет вид
c
xy
о
=)(
[делений шкалы]
x
и соответственно при x = 0,4 мм пока но быть зание прибора долж
40
01,0
)4,0( ==
о
y
[делений шкалы].
4,0
Найдем погрешность показаний
Δy
сх
, о ой прибора, бусловленную схем
czzq
xyxyxy
o
−
Θ
⋅⋅
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎝
=−=Δ
ш
53
42
1
сх
arcsin)()()(
[делений шкалы].
x
Zzz
x
⎞⎛
При заданном значении x = 0,4 мм имеем
51,04049,39)4,0(
сх
−
=
−
=
Δ
y
[делений шкалы],
что составляет
01,051,0)4,0(
сх
−
=
⋅
−
=⋅Δ сy 0051,0
мм или – 5,1 мкм.
Пример 4.2. Рычажно-зубчатая многооборо я головка.
ительной цепи рычажно-зубчатой мерительной
гол на на
рис
Рис. 4.2. Схема измерительной цепи рычажно-
зубчатой многооборотной измерительной головки:
тная измерительна
Схема измер многооборотной из
овки, содержащая синусно-кулисную и зубчатую передачи, представле
. 4.2. Звенья 4 и 5 жестко связаны между собой.
0 – корпус прибора; 1 – измерительный стержень;
2–4 – звенья синусно-кулисной передачи;
5–8 – зубчатая передача
2
0
1
3
5
4
x
α
y
x
γ
γ
7
6
8
b
36
5,05,0
≤
≤
−
x
Значения параметров: мм – диапазон измерения; с = 0,001 мм –
цен = 13,895 мм;
ь показаний прибора, обусловленную
пог
согласно схеме (см. рис. 4.2) по формуле
а деления шкалы; b q
2
= 4,3542 мм – длина кривошипа 2;
q
4
= 7,0 мм – длина кривошипа 4; Z
ш
= 200 – число делений шкалы; Θ = 2π – угол
шкалы; n = 5 – число оборотов стрелки; параметры зубчатой передачи: модуль
зацепления m = 0,15; число зубьев z
5
= 228 (расчетное), z
6
= 25, z
7
= 80 и z
8
= 16 для
зубчатых колес 5, 6, 7, 8 соответственно.
Необходимо определить погрешност
решностью схемы, при x = 0,5 мм.
Показание прибора y определяется
n
nZ
ш
iy
Θ
⋅⋅γ= [делений шкалы]. (4.6)
где γ – внешний угол синусно-кулисной передачи; i – передаточное отношение
более подробно рассмотрим кинематическую
схе
масштабного преобразователя 5–8.
Для нахождения значения угла γ
му синусно-кулисной передачи (рис. 4.3). Пунктиром на схеме изображено
начальное положение синусно-кулисного механизма (x = 0).
α
x
γ
γ
α
C
B
D
A
D
2
4
∗
∗
π
−
γ
−α
∗
Рис. 4.3. Кинематическая схема
з треугольника ABC (см. рис. 4.3) согласно теореме синусов имеем
синусно-кулисной передачи
И
)sin(
sin
*
4
=
b
q
,
α−γ−π
α
где . Тогда γ=γ−π
*
α=α−γ sin)sin(
4
q
b
откуда
α+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
α=γ
sinarcsin
4
q
b
. (4.7)
Значения угла α и sin(α) определим из треугольника ADD
*
(см. рис. 4.3):
2
sin qx
=
α
. (4.8)
Следовательно,
(
)
2
arcsin qx
=
α
. (4.9)
Передаточное отношение i равно
37
8
7
6
5
8
7
6
5
z
z
z
z
R
R
R
R
i ⋅=⋅= , (4.10)
где R
5
, R
6
, R
7
, R
8
– радиусы соответствующих колес зубчатой передачи 5–8 (см.
рис.4.2).
После подстановки (4.10) и (4.7) с учетом (4.8) и (4.9) в (4.6) получим
функциональную зависимость выходного значения y от входной величины x
Θ
⋅
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
ш
8
7
6
5
224
arcsinarcsin)(
Z
z
z
z
z
q
x
q
x
q
b
xy [делений шкалы]. (4.11)
Выражение (4.11) представляет собой расчетную характеристику прибора.
Показание y при x = 0,5 мм равно
=
π⋅⋅
⋅⋅
⋅
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
=
21625
20080228
3542,4
5,0
arcsin
3542,47
5,0895,13
arcsin)5,0(y
83,500=
[делений шкалы].
Заданная характеристика при равномерной шкале прибора имеет вид
c
x
xy
о
=)(
[делений шкалы]
и соответственно при x = 0,5 мм показание прибора должно быть
500
001,0
5,0
)5,0( ==
о
y
[делений шкалы].
Выражение для погрешности показаний
Δy
сх
имеет вид
c
x
Z
z
z
z
z
q
x
q
x
q
b
xyxyxy
o
−
Θ
⋅
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=−=Δ
ш
8
7
6
5
224
сх
arcsinarcsin)()()( [дел. шкалы].
При заданном значении x = 0,5 мм получим
83,050083,500)5,0(
сх
=
−
=
Δ
y
[делений шкалы],
или
мкм83,0мм00083,0001,083,0)5,0(
сх
+
=
+
=
⋅
+
=⋅Δ сy
.
Δ
, мкм
x
0,5
0,83
00,25
-0,5
-0,83
-0,25
y
ζ
(Δ
)
, мм
y
Размер q
2
= 4,3542 мм подобран исходя
из условия равномерного приближе-
. 4.4 представлен график
ния, при котором наибольшие по
абсолютному значению положитель-
ные и отрицательные погрешности
равны. На рис
функции Δy
сх
(x). Ширина зоны
погрешностей
)(
сх
yΔ
ζ
составляет
Рис. 4.4. График функции Δy
сх
(x) 1
,66 мкм.
38
4.3. Примеры расчета методических погрешностей
электрических измерительных приборов
Приме
Рассмотрим аченного
для деления нап
напряжение U
0
должно
x
р 4.3. Линейно нагруженный потенциометр.
с дназнхему линейно нагруженного потенциометра, пре
ряжения (рис. 4.5).
Точное выходное
U
изменяться пропорционально длине x
авливаемого сопротивления R . Но действие
R
устан
сопротивления нагрузки R
н
нарушает эту
пропорциональность. Поэтому действительное
свыходное напряжение U отличает я от U
0
, в
результате чего возникает методическая
погрешность
o
UUU
−
=
Δ
сх
. (4.12)
Найдем значение этой погрешности. В точке
контакта К ток i разветвляется: часть тока
пойдет по сопротивлению R
н
н
i
, другая часть
н
ii
−
Рис. 4.5. Схема линейно
нагруженного
потенциометра
потечет по сопротивлению R
x
. На основании
второго закона Кирхгофа
(
)
(
)
xx
RiiRRiE
н0
−
+
−
=
, (4.13)
й стороны, падению
напряж – на сопротивлении R
x
:
где R
0
– постоянное сопротивление.
Выходное напряжение U соответствует, с одно
ения на сопротивлении R
н
, с другой
(
)
x
RiiRiU
ннн
−
=
=
,
отсюда
нн
RUi
=
, (4.14)
x
RUii
=
−
н
,
ельно, следоват
x
R
U
ii +=
н
14)
или с учетом (4.
н
н
н
RR
RR
U
i
x
U
R
U
R
xx
+
=+ . (4.15)
ормулу (4.13)
=
Подставим (4.15) в ф
(
)
(
)
U
RR
RRRR
UE
x
xx
+
−
+
=
н
0н
K
R
i
0
н
i
н
i-i
н
R
x
R
-R
x
0
x
L
E
39
и п выходного напряжения олучим выражение для
()
2
н0
н
xx
x
RRRR
RR
EU
−+
=
. (4.16)
и запишем U в иной форме В (4.16) разделим числитель и знаменатель на
н0
RR
н0
2
н
0
1
RR
R
R
R
EU
x
−
⎟
⎞
⎜
⎛
+
= (4.1
R
R
x
x
⎟
⎠
⎜
⎝
. 7)
Если нагрузка снята, то
∞
→
н
R
,
0
0
н
lim U
R
R
EU
x
R
==
∞→
. (4.18)
С учетом обозначений
α=γ=
н
0
0
;
R
R
R
R
x
получим
2
н0
2
н
0
0н
; αγ=γα==
RR
xx
RR
R
R
R
RR
x
. (4.19)
(4.19) в (4.17), (4.18) и запишем Подставим
()
γ−γα+
γ
=
11
EU ; (4.20)
γ
=
EU
0
. (4.21)
Таким образом, выражение (4.12) для пог
схемой, с учетом (4.20) и (4.21) имеет вид
решности
сх
UΔ
, обусловленной
(
)
()
γ−γα+ 11
сх
EUUU
o
.
Точность нагруженного потенциомет
γ−γα 1
2
−=−=Δ
ра можно повысить уменьшением γ
(уменьшением рабочего диапазона), или введением добавочного сопротивления.
Пример 4.4. Проволочный потенциометр.
фун ого потенциометра статическую
характеристику
Примером методической погрешности может служить также витковая
погрешность проволочного потенциометра. Известно, что его характеристика
имеет вид лесенки, хотя в расчетах обычно принимают непрерывную
кциональную зависимость. Для линейн
принимают в виде прямой линии (рис. 4.6).
40