Слепова С.В. Основы теории точности измерительных приборов
Подождите немного. Документ загружается.
где – безразмерный коэффициент влияния i-го звена:
i
β
S
S
S
S
i
i
i
∂
∂
=β . (9.86)
С учетом (9.86) дисперсия суммарной погрешности (9.85) равна
i
n
i
i
i
D
S
S
S
S
D
∑
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
1
2
2
; (9.87)
3) пользуясь методом неопределенных множителей Лагранжа λ, составить
функционал
λ
ϕ
+
=
D
F
, (9.88)
который с учетом выражений (9.87), (9.84) принимает вид
[
)...,,(
1
*
1
2
2
ni
n
i
i
i
SSfSD
S
S
S
S
F −λ+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
∑
=
]
; (9.89)
4) исследовать на экстремум функционал F, для чего приравнять нулю
частные производные
0
=
∂
∂
i
SF
, ni ,1= ; (9.90)
5) решить полученную систему n + 1 уравнений (9.90) с учетом условия
равенства чувствительности прибора заданному значению (9.84). При решении
исключается λ, и определяются оптимальные значения
,
оптi
S ni ,1= ;
6) определить минимальное значение путем подстановки в (9.87)
найденных оптимальных значений .
min
D
оптi
S
Общая чувствительность схемы является функцией чувствительности
отдельных звеньев, причем вид этой функции зависит от их соединения.
При последовательном соединении звеньев:
∏
=
=
n
i
i
SS
1
;
1=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=β
S
S
S
S
i
i
i
. (9.91)
Следовательно, в соответствии с (9.85) и (9.91) дисперсия погрешности
последовательно соединенных звеньев равна сумме дисперсий отдельных
элементов
∑
=
=
n
i
i
DD
1
.
Таким образом, при последовательном соединении линейных звеньев
минимизация случайных погрешностей за счет перераспределения
чувствительности звеньев не представляется возможной. Уменьшение дисперсии
можно добиться либо за счет повышения точности отдельных звеньев
(уменьшение D
i
), либо за счет упрощения схемы (уменьшения числа звеньев n).
Возможности уменьшения дисперсии погрешностей элементов ограничены,
151
поэтому дисперсия приборов прямого преобразования с последовательным
соединением звеньев оказывается значительной. В этом основной недостаток
приборов прямого преобразования.
При параллельном соединении:
∑
=
=
n
i
i
SS
1
,
S
S
S
S
S
S
ii
i
i
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=β
. (9.92)
Запишем выражение для дисперсии погрешности согласно (9.85) с учетом (9.92)
∑
=
=
n
i
ii
DS
S
D
1
2
2
1
. (9.93)
Если общая чувствительность задана (
*
S
S
=
), то можно записать
*
SS
ii
=β
. (9.94)
При этом добавочное условие (9.84) имеет вид
0
1
*
=−=ϕ
∑
=
n
i
i
SS . (9.95)
Составим функционал F, подставив в (9.88) выражения (9.93) с учетом (9.94) и
(9.95),
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−λ+=
∑∑
==
n
i
ii
n
i
i
SSDS
S
F
1
*
1
2
2
*
1
. (9.96)
Дифференцируя F по S
i
и приравнивая нулю частные производные, получим n
алгебраических уравнений
0=
∂
∂
i
S
F
~
()
0
2
2
*
=λ−
S
DS
ii
, ni ,1= . (9.97)
Решая совместно систему уравнений (9.97) и (9.95), найдем оптимальные
значения чувствительности звеньев прибора
()
∑
=
=
n
i
im
m
DD
S
S
1
*
опт
1
, nm ,1= . (9.98)
Для определения минимальной дисперсии при параллельном соединении звеньев
подставим значения ,
оптm
S nm ,1= (9.98) в выражение (9.87) для дисперсии.
После преобразований получим
n
DDDD
1
...
111
21min
+++= .
Таким образом, при параллельном соединении звеньев и обеспечении
оптимальных значений их чувствительности общая дисперсия меньше дисперсии
любого звена, т. е. при оптимальном распределении чувствительности
152
измерительный прибор обладает более высокой точностью (в смысле случайной
погрешности), чем любое звено, входящее в его состав. Это позволяет строить
высокоточные измерительные цепи из компонентов с ограниченной точностью.
В частном случае при использовании n одинаковых преобразователей
n
D
D =
min
.
Для системы с отрицательной обратной связью:
()
02
0
21
1
*
11 kS
k
SS
S
S
+
=
+
= , (9.99)
где ;
210
SSk =
021
1
1
1
1
1
kSS +
=
+
=β ;
0
0
21
21
2
11 k
k
SS
SS
+
=
+
=β . (9.100)
Общая дисперсия определяется по (9.85) с учетом (9.100) формулой
()
2
0
2
021
1 k
kDD
D
+
+
=
. (9.101)
Дифференцируя выражение для дисперсии (9.101) по k
0
и приравнивая нулю,
найдем
210
DDk
=
.
Итак, введение отрицательной обратной связи целесообразно в тех случаях,
когда точность обратного преобразователя намного выше точности
преобразователя прямой цепи.
Найдем оптимальные значения чувствительности звеньев:
2
21
*
1
D
DD
SS
+
= ;
21
1
*
2
1
DD
D
S
S
+
⋅= .
При этом минимальная дисперсия определяется согласно (9.87) аналогично
случаю параллельного соединения звеньев
21min
111
DDD
+= →
21
21
min
DD
DD
D
+
= .
9.10. Синтез приборов по критериям динамической точности
Измерительные приборы, работающие в динамическом режиме, имеют
динамические погрешности. Синтез оптимальных характеристик таких приборов
преследует цель минимизировать эти погрешности.
Для общности рассуждений будем считать, что прибор является сложной
системой, имеющей матричную передаточную функцию. Введем следующие
обозначения:
**
0
)()(
ji
Wpp == WW – матричная передаточная функция
153
идеального прибора размерности
N
N
×
;
ji
Wp =)(W
– матричная передаточная
функция реального (синтезируемого) прибора размерности
N
N
× .
Синтез характеристик прибора проведем в два этапа: синтез структуры
и синтез параметров, пользуясь в обоих случаях теорией приближения функций.
Синтез структуры прибора. При синтезе структуры прибора теория
приближения функций строится на операциях с порядками полиномов
передаточных функций.
Рассмотрим последовательность действий для достижения поставленной цели.
1. Представить элементы матриц , )(
*
pW
)(
p
W
в виде дробно-рациональных
функций:
)()()(
ν
*
pDpCpW
ji
rji
=
;
)()()( pApBpW
nmji
ji
=
, (9.102)
где ,
, , – соответственно полиномы порядков , ν,
, n.
)( pC
ji
r
)(
ν
pD
)( pB
ji
m
)( pA
n ji
r
ji
m
Причем, степени полиномов числителей должны быть равны или ниже
степеней полиномов знаменателей. Порядки полиномов характеризуют сложность
структуры приборов, поэтому, синтезируя простую передаточную функцию, мы
синтезируем прибор с простой (несложной) структурой.
2. Выбрать критерий близости передаточных функций реального и
идеального приборов.
Условия наилучшего (точного) приближения передаточных матриц и )(
*
pW
)(
p
W
можно представить в виде
)()(
*
pWpW
jiji
= ,
Ω
∈
),(
j
i , (9.103)
где – подмножество, точками которого являются k
пар индексов (i, j) приближаемых функций.
{
),(...,),,(),,(
2211 kk
jijiji=Ω
}
После подстановки (9.102) в (9.103) получается
)()()()(
ν
pApBpDpC
nmr
jiji
=
,
Ω
∈
),(
j
i . (9.104)
Для выполнения условий (9.104) необходимо, чтобы
jiji
rmn
−
=
ν
−
. (9.105)
3. Представить выражения (9.104) в виде
[
]
)()()()(
~
)()(
~
ν
*
νν
*
pDpCpApApBpB
jijijiji
rnrrm
=
−−
, (9.106)
где индексы
, ,
jiji
rm −
ji
r
ν
−n , ν являются порядками полиномов.
Из выражения (9.106) следует, что наилучшее приближение функций и
достигается за счет компенсации части полюсов функции ее
нулями, причем
)
)
(
*
pW
ji
)( pW
ji
( pW
ji
154
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
Ω∈
=
=
=
−−
.),(
);()(
);()(
);(
~
)(
~
ν
*
ν
*
ν
ji
pDpA
pCpB
pApB
jiji
jiji
rr
nrm
(9.107)
Эти уравнения связывают искомые параметры синтезируемого прибора с
известными параметрами идеального прибора.
4. Приравнять коэффициенты при соответствующих степенях p полиномов в
левых и правых частях уравнений (9.107).
5. На основе (9.107) получить следующее количество алгебраических
уравнений (КУ), связывающих параметры приборов:
()
(
)
Ω
∈
ν
+
+
ν
−=
∑
Ω∈
jirnkКУ
ji
ji
,;
, (9.108)
где k – число приближаемых передаточных функций.
6. Найти количество неизвестных параметров (КП) реального прибора,
подлежащих определению из уравнений (9.107):
nmКП
N
i
N
j
ji
+=
∑∑
==11
. (9.109)
Для определенности системы уравнений (9.107) необходимо, чтобы
количество неизвестных параметров КП было равно или больше количества
уравнений КУ, т. е.
КП ≥ КУ. (9.110)
7. Записать неравенство (9.110) с учетом (9.108) и (9.109)
()( )
∑∑∑
Ω∈==
+ν−−≥
ji
ji
N
i
N
j
ji
rnkm
11
1
. (9.111)
8. Выбрать критерий оптимальности (функцию цели), характеризующий
сложность структуры.
В качестве функции цели можно взять линейную форму вида
∑∑
==
+=
N
i
N
j
ji
kmF
11
. (9.112)
9. Добавить условия физической реализуемости
Njimn
ji
,1,;1 =≥−
. (9.113)
Таким образом, задача синтеза оптимальной структуры прибора
формулируется следующим образом: найти такие неотрицательные
целочисленные значения неизвестных n и , которые удовлетворяют
неравенствам (9.111) и (9.113) и минимизируют критерий оптимальности (9.112).
ji
m
155
Эта задача решается методами линейного программирования, причем
полученные значения n и округляются до ближайших целочисленных
значений.
ji
m
Синтез параметров прибора.
Задача синтеза параметров прибора, работающего в динамическом режиме,
формулируется следующим образом: при выбранной структуре синтезируемого
прибора и заданных характеристиках идеального прибора необходимо найти
коэффициенты передаточных функций при условии минимума динамической
погрешности
WΔmi
n
~ )()(min
*
pWpW
jiji
− ,
Ω
∈
),(
j
i (9.114)
и при соблюдении условий физической реализуемости (9.113).
Пусть передаточные функции
, W заданы в виде: )( pW
ji
)(
*
p
ji
n
nn
m
mm
ji
apapa
bpbpb
pW
+++
+++
=
−
−
...
...
)(
1
10
1
10
; (9.115)
ν
1ν
1
ν
0
1
10
*
...
...
)(
dpdpd
cpcpc
pW
r
rr
ji
+++
+++
=
−
−
. (9.116)
где a
i
, b
j
( ni ,1= ; mj ,1= ) – коэффициенты, зависящие от параметров синтези-
руемого прибора; c
k
, d
l
( rk ,1= ; ν= ,1l ) – коэффициенты идеального прибора.
Синтез параметров будем проводить при выполнении условий физической
реализуемости
1≥
−
mn ; (9.117)
точного приближения
r
mn
−
ν
=
−
(9.118)
и существования решения
КП ≥ КУ. (9.119)
Рассмотрим методы решения этой задачи: метод разложения в ряды и метод
деления полиномов передаточных функций.
1. Метод разложения в ряды. Разложим функцию динамической погрешности
в ряд Маклорена по степеням p
[
]
()
∑
∞
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=−=Δ
0
0
*
*
!
)()(
)()(
k
k
p
k
jiji
k
jijiji
k
p
dp
pWpWd
pWpWW
. (9.120)
Для выполнения условия точного приближения необходимо, чтобы
[
]
()
[
]
()
0
*
0
)()(
==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
p
k
ji
k
p
k
ji
k
dp
pWd
dp
pWd
; ...,2,1,0
=
k
(9.121)
156
Если передаточные функции имеют вид (9.115), (9.1116), то уравнения (9.121)
запишутся в следующем виде:
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
=
+=+
+=+
=
−−−−
.
;
...
;
;
ν
ν11ν11
10011001
0000
dbca
dbdbcaca
dbdbcaca
dbca
mrn
mmrnrn
(9.122)
Система (9.122) имеет
r
nm
+
=ν+
уравнений, поэтому из нее можно определить
не менее
ν
+
= mz
независимых параметров прибора. Если
ν
+
<
mz
, то
приближение к )W будет неточным. )( pW
ji
(
*
p
ji
)(
*
pW
ji
2. Метод деления полиномов.
В передаточных функциях
, разделим полиномы числителей на
полиномы соответствующих знаменателей и результат представим в виде:
)( pW
ji
)()()(
1
)(
)(
)(
1
pBpHpLpA
pB
pW
mmmnn
m
ji
−−
+
== ; (9.123)
)()()(
1
)(
)(
)(
1νν
*
pCpVpGpD
pC
pW
rrr
r
ji
−−
+
== . (9.124)
где , – соответственно частное и остаток от деления на
; , – соответственно частное и остаток от деления на
.
)( pL
mn−
)(
1
pH
m−
)( pB
m
)( pA
n
)(
ν
pG
r−
)(
1
pV
r−
)( pC
r
)(
ν
pD
В соответствии с условием точного приближения (9.103), реализующим
условие минимума динамической погрешности (9.114), знаменатели в
выражениях (9.123), (9.124) должны быть равны
)()()()()()(
1ν1
pCpVpGpBpHpL
rrrmmmn −−−−
+
=
+
. (9.125)
Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях p полиномов в
левых и правых частях выражения (9.125), получим систему алгебраических
уравнений (9.122) для определения неизвестных параметров прибора.
Уравнения (9.122) можно получить также из условия приближения
1
)()(
)()(
)(
)(
ν
*
=
⋅
⋅
=
pCpA
pDpB
pW
pW
rn
m
ji
ji
(9.126)
путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях p полиномов
числителя и знаменателя.
Пример 9.4. Дана передаточная функция синтезируемого прибора
32
2
1
3
0
10
)(
apapapa
bpb
pW
+++
+
=
, (9.127)
которую нужно приблизить к передаточной функции идеального прибора
157
21
2
*
)(
dpdp
c
pW
++
=
. (9.128)
Подставим (9.127) и (9.128) в (9.126)
()
(
)
()
(
)( )
() () ()
сapсapсapсa
dbpdbdbpbdbpb
capapapa
dpdpbpb
pW
pW
32
2
1
3
0
211120
2
110
3
0
32
2
1
3
0
21
2
10
*
)(
)(
+++
+++++
=
+++
+++
=
.
После сравнения коэффициентов при одинаковых степенях p полиномов
числителя и знаменателя получим:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
+=
+=
=
.
;
;
;
213
11202
1101
00
dbca
dbdbca
bdbca
bca
(9.129)
Если динамическая система, описываемая согласно (9.127), содержит не менее
четырех независимых параметров, то можно осуществить точное приближение.
Решение системы уравнений (9.129) позволяет получить искомые параметры.
9.11. О синтезе приборов по нескольким критериям
При проектировании измерительных приборов необходимо не только
минимизировать погрешности, но также уменьшить стоимость, увеличить
чувствительность, надежность, уменьшить массо-геометрические характеристики.
А значит, необходимо ввести комплексный критерий оптимальности,
учитывающий несколько критериев.
Например, стоимость прибора, состоящего из n элементов, может быть
функцией вида
(
∑
=
+==
n
i
iiiii
ZniPMSDfZ
1
0
,1,,,,
)
, (9.130)
где D
i
, S
i
, M
i
, P
i
– соответственно дисперсия погрешности, чувствительность,
масса, надежность элемента номер i; Z
0
– стоимость вспомогательных элементов,
сборки и регулировки прибора, принимаемая постоянной.
Допустим, что составлены уравнения, связывающие одноименные
характеристики элементов системы в виде:
()
(
)
() ()
⎭
⎬
⎫
=ϕ=ϕ
=ϕ=ϕ
.0...,,;0...,,
;0...,,;0...,,
1413
1211
nn
nn
PPMM
SSDD
(9.131)
Например,
∑
=
=
n
i
i
MM
1
~ ~ 0
1
=−
∑
=
n
i
i
MM
(
)
0...,,
13
=
ϕ
n
MM
.
Задача заключается в минимизации функции (9.130), как функции указанных
переменных при дополнительных условиях (9.131).
158
Поставленная задача – это задача на условный экстремум функции нескольких
переменных, которая может быть решена методом множителей Лагранжа.
Согласно методу вводится в рассмотрение функция
∑
=
ϕλ+=Φ
m
k
kk
Z
1
, (9.132)
где
– множители Лагранжа, количество которых равно количеству уравнений
вида (9.131), которые называются уравнениями связи. Далее, согласно методу, для
нахождения минимума функции Ф составляют уравнения:
k
λ
0=
∂
Φ∂
i
D
;
0=
∂
Φ∂
i
S
;
0=
∂
Φ
∂
i
M
;
0=
∂
Φ
∂
i
P
,
ni ,1= . (9.133)
Присоединяя к системе n·m уравнений (9.133) m уравнений связи вида (9.131)
и решая полученную систему (n·m + m) уравнений относительно того же
количества неизвестных переменных и множителей Лагранжа, получаем
экстремальные значения переменных.
10. ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННО-
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
НА РЕАКЦИИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДВЕСА
МИНИАТЮРНОГО ШАРОВОГО ГИРОСКОПА
Рассматриваемая задача относится к проблеме создания современных
миниатюрных систем инерциальной навигации и управления движением объектов
различного назначения. Разработка перспективных навигационных систем
предполагает создание гироскопических датчиков, обладающих малой массой и
габаритами, низкими себестоимостью и энергопотреблением, достаточно высокой
надежностью. Проблема миниатюризации тесно связана с задачей оценки
точности таких устройств.
Ряд вариантов реализации таких датчиков содержит в своей основе
миниатюрный шаровой гироскоп в гидродинамическом подвесе [4]. Пример
применения такого гироскопического датчика представлен на рис. 10.1.
159
1
2
1
3
2
3
1
2
3
ζ
ζ
ζ
cos
ε
ε
с
1
2
ДУ
ε
с
U
U
sin
t
Ω
0
U
t
Ω
0
H
y
y
УПБ
1
2
3
4
5
6
Д
1
Д
2
U
β
U
x
x
x
y
Рис. 10.1. Функционально-кинематическая схема
двухосного гиростабилизатора
Ротор шаровой формы, представляющий собой постоянный двухполюсный
магнит, заключен в заполненную маловязкой немагнитной жидкостью
сферическую полость каркаса статора, сообщающуюся через отверстия с камерой,
в которой жидкость находится под давлением. Величина зазора между
поверхностями ротора и полости в радиальном направлении мала по сравнению с
радиусами каждой из поверхностей. Ротор приводится в быстрое вращение
магнитным полем электрических обмоток 1, 5, расположенных на каркасе статора
(см. рис. 10.1). Прибор, включающий в себя датчик угла 4, датчик момента 3 и
синхронизирующие обмотки 2, 6, может служить чувствительным элементом
гиростабилизатора. Сигналы с датчика угла 4 и синхронизирующих обмоток 2, 6
подаются на усилительно-преобразовательный блок (УПБ), с помощью которого
формируются сигналы управления двигателями стабилизации Д
1
, Д
2
.
Датчик момента 3 используется для компенсации постоянных составляющих
возмущающих моментов и для начальной выставки платформы. Сферический
гидродинамический подвес создает возможность центрирования ротора и
демпфирования колебаний его главной оси и обладает большой несущей
способностью.
βα
UU ,
Уравнения относительного движения шарового гироскопа – чувствительного
элемента гиростабилизатора в первом приближении в проекциях на оси Резаля
можно записать в виде:
1
1
1221
~
Oy
гидр
Oy
MMAHkkHbA ++ω−ω−=β+α+β+α+α
ζζ
&
&
&&&
;
2
2
2112
~
Oy
гидр
Oy
MMAHkkHbA ++ω−ω=β+α−α−β+β
ζζ
&&
&&&
,
160