Слепова С.В. Основы теории точности измерительных приборов

Следовательно, величина погрешности на N-ном такте определится выражением

(

)

xDDBy

10

+

=

Δ

, (9.24)

где

()

1

11

−

−=

N

aDB

. Так как D

k

(k = 0, 1) – погрешности конструктивных

параметров, a

k

– постоянные градуировочной характеристики, то D

k

<< a

k

, а

значит B < 1, следовательно, итерационный процесс повышения точности

сходится, т. е. при ∞→

N

.

0→Δy

Был описан итерационный метод с временным разделением тактов итерации.

Существует итерационный метод с пространственным разделением тактов

итерации. Основная трудность реализации итерационных методов заключается в

высоких требованиях к стабильности и точности обратных преобразователей ОП.

9.4.2. Метод образцовых мер

Пусть прибор имеет градуировочную характеристику

∑

=

N

k

xay

0

*

и пусть параметры a

k

являются нестабильными, т. е. изменяются во времени

a

k

= a

k

(t). Требуется их определить.

Согласно методу, на вход прибора подаются сигнал x и некоторые сигналы L

i

,

Ni ,1= , которые называются «образцовыми мерами». Схема реализации метода

приведена на рис. 9.8.

x

П

ОП

K

i

Y

В

i

a

L

i

L

1

L

2

L

N

0

Y

Рис. 9.8. Схема реализации метода образцовых мер

с временным разделением каналов

Ключом К поочередно подключают ко входу прибора П сигналы x, L

1

, L

2

, …,

L

N

, а выходные сигналы прибора подают на вход вычислителя В. Выполняя N + 1

подключений ключом К и измеряя соответствующие выходные сигналы Y

0

, Y

1

, …,

Y

N

, получаем систему N + 1 линейных алгебраических уравнений относительно

N + 1 переменных a

0

, a

1

, …, a

N

:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

=+++

....

...

;...

10

11110

010

N

NNN

N

YLaLaa

Yxaxaa

(9.25)

131

Решая эту систему относительно a

0

, a

1

, …, a

N

в вычислителе, получаем

реальные значения параметров прибора, которые подаются на вход ОП,

выполняющего операцию обращения функции с использованием величины Y

0

и

найденных значений параметров. В результате вычисляется более точное

значение Y измеряемого сигнала.

На рис. 9.9 изображена схема реализации метода образцовых мер с

пространственным разделением каналов.

ОП

Y

i

a

L

1

L

N

0

Y

П

B

1

x

П

2

Y

N

Y

1

N+

1

Рис. 9.9. Схема реализации

метода образцовых мер

с пространственным

разделением каналов

Схема включает в себя N + 1 прибор и вычислитель, в котором решается

система (9.25). Этот вариант метода используется для одновременного

определения всех параметров. В этом отличие от первого его варианта, где

вначале необходимо ключом последовательно подключить входной сигнал x и

«образцовые меры», а затем вычислить параметры.

9.4.3. Метод тестовых сигналов

Этот метод аналогичен методу образцовых мер с той разницей, что вместо

«образцовых мер» L

1

, L

2

, …, L

N

на вход прибора (приборов – во втором варианте)

подаются «сигналы–тесты» Z

1

(x), Z

2

(x), …, Z

N

(x), являющиеся функциями

измеряемого сигнала x. В результате «набирается» система N + 1 линейных

алгебраических уравнений:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

==

=+++

∑

=

.,1,)(

;...

0

010

NiYxZa

Yxaxaa

i

N

k

ik

N

(9.26)

Решая систему (9.26) относительно ,

k

a

Nk ,0= , получаем реальные значения

параметров, а затем, подставляя эти параметры в первое уравнение системы (9.26)

и решая его относительно x, получаем более точную величину измеряемого

сигнала.

9.5. Повышение точности путем использования

избыточной информации

Рассмотрим измерительную систему, состоящую из n приборов, соединенных

по схеме, изображенной на рис. 9.10.

132

~

0

Y

П

1

X

П

2

Y

n

Y

1

2

n

λ

X

Рис. 9.10. Схема реализации метода использования

избыточной информации

Задача заключается в определении значений величин λ

1

, λ

2

, …, λ

n

,

доставляющих минимальное значение критерию

F

[

]

22

)

~

(])[( XXMXM −==

o

F

. (9.27)

Согласно схеме, имеет место равенство

∑

=

λ=

n

i

ii

YX

1

~

. (9.28)

Подставив (9.28) в (9.27), получим

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

λ−=

∑

=

2

1

)(

i

n

i

YXMF

. (9.29)

Сигнал на выходе прибора номер i имеет вид

niYxY

i

,1, =+=

o

, (9.30)

где

– погрешность выходного сигнала, представляющая собой

центрированную случайную величину (ЦСВ), x – точное значение измеряемого

сигнала.

i

Y

o

Необходимые и достаточные условия минимума функции

F по λ

k

есть

nk

k

,1,0 ==

λ∂

∂

F

. (9.31)

Подставляя (9.29) в (9.31) и выполняя операцию взятия частной производной,

получаем уравнения

0)(2

11

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

λ∂

λ−

∑∑

==

i

n

i

k

i

n

i

YYXM

, nk ,1= . (9.32)

Так как

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

=

≠

=δ=

λ∂

ki

ik

k

i

если,1

если,0

, (9.33)

где

– символ Кронекера, то

ik

δ

ki

n

i

iki

n

i

k

i

YYY =δ=

λ∂

∑∑

== 11

. (9.34)

133

Использовав (9.34), перепишем (9.32)

[] [ ]

ki

n

i

ik

YXMYYM =λ

∑

=1

, nk ,1= . (9.35)

Введем обозначения для корреляционных моментов:

[

]

ikik

YYM=Y

~

;

[

]

kk

YXM=P

~

. (9.36)

Запишем (9.35) с учетом (9.36)

ki

n

i

ik

PY

~

1

=λ

∑

=

, nk ,1= . (9.37)

Решив систему (9.37) относительно λ

i

, получим искомые величины,

доставляющие минимум критерию (9.29).

Найдем эффект повышения точности:

k

f

F

0

=

. (9.38)

где

– величина критерия без использования избыточной информации; –

минимальная величина с использованием избыточной информации. Очевидно,

что

0

F

k

F

(

)

[

]

2

0

~

XM== XF

. (9.39)

Найдем

k

F

, для чего представим (9.29) в следующем эквивалентном виде:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

λλ+λ−λ−=

∑∑∑∑

====

n

i

kik

n

k

ik

n

k

ki

n

i

YYYXYXXM

1111

2

F

или

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

λ−+

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−λλ=

∑∑∑

===

ii

n

i

n

i

kiki

n

k

YXXYXYYM

1

2

11

F

. (9.40)

Учитывая обозначения (9.36), (9.39), перепишем (9.40)

i

n

i

n

i

kiik

n

k

λ−+

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−λλ=

∑∑∑

=== 111

~

PXPY

F

. (9.41)

Согласно условию (9.37) минимума функции

F, выражение в фигурных скобках

(9.41) равно нулю, а значит

i

n

i

ik

λ−=

∑

=1

~

PX

F . (9.42)

где λ

i

определяются из уравнений (9.37). Подставив (9.39), (9.42) в (9.38), получим

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

λ−=

∑

=

i

n

i

f

1

~

~~

PXX

(9.43)

или

)1(1 qf

−

=

, (9.44)

134

где

XP

~

1

i

n

i

q λ=

∑

=

. (9.45)

Видно, что если 0 < q < 1, то f > 1.

Представим измеряемый сигнал в виде

o

X

x

X

+

=

, (9.46)

где x – точное значение;

o

X

– погрешность, являющаяся ЦСВ. Подставив (9.46),

(9.30) в (9.36), получим

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+=

ik

YxYxM

oo

Y

~

, . (9.47)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+=

k

YxXxM

oo

P

~

Раскроем скобки в (9.47) и запишем

ikik

x YY +=

2

~

,

kk

x PP +=

2

~

, (9.48)

где учтено, что

, и что и введены обозначения:

0][ =

k

YM

o

0][ =

o

XM

22

][ xxM =

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

ik

YYM

oo

Y

, . (9.49)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

k

YXM

oo

P

Подставив (9.48) в (9.37), получим

ki

n

i

ik

xx PY +=λ+

∑

=

2

1

2

)(

или

ki

n

i

ik

n

i

xx PY +=λ+λ

∑∑

==

2

11

2

. (9.50)

Потребуем выполнения условия

1

=λ

∑

=

n

i

, (9.51)

при котором система (9.50) будет эквивалентна системе

ki

n

i

ik

PY =λ

∑

=1

, nk ,1= . (9.52)

Систему уравнений (9.52) необходимо решать совместно с уравнением (9.51), для

чего следует одно из уравнений (9.52) отбросить.

В частном случае, характеризуемым некоррелированностью

, друг с

другом, получим

i

Y

o

k

Y

o

ikiik

δ

=

YY , (9.53)

135

где

– символ Кронекера (9.33); – дисперсия выходного сигнала Y

i

прибора

номер i. После подстановки (9.53) в (9.52) имеем

ik

δ

i

Y

kkk

PY

=

λ

,

(

)

1,1 −= nk , (9.54)

откуда

kkk

YP

=

λ ,

(

)

1,1 −= nk . (9.55)

Подставив (9.55) в (9.51) и решив полученное уравнение относительно λ

n

,

получим

(

∑

−

=

−=λ

1

n

i

iin

YP

)

. (9.56)

Подставив (9.46) в (9.39), получим

X

+

=

2

~

x

, (9.57)

где учтено, что , и обозначено

0][ =

o

XM

22

][ xxM =

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

o

2

)( XMX

. (9.58)

Подставив (9.57) и выражение для

i

P

~

из (9.48) в (9.45), получим

(

)

X

P

+

∑

+

λ

=

2

1

2

x

q

i

n

i

(9.59)

или с учетом (9.51)

X

P

+

∑

+

λ

=

2

1

2

x

q

i

n

i

. (9.60)

Использовав (9.55), (9.56), найдем

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+=λ+λ=λ

∑∑∑∑

−

=

−

=

−

==

1

11

1

n

i

n

i

n

i

inni

n

i

ii

n

i

Y

P

Y

P

PPPP

(

ni

n

i

n

i

nn

n

i

PP

Y

P

Y

P

PP

Y

P

−+=−+=

∑∑∑

−

=

−

=

−

=

1

2

)

. (9.61)

Из (9.44) видно, что эффект существует, если 0 < q < 1. Использовав (9.60),

составим неравенство

q < 1 ~

XP +

∑

+ <λ

=

2

1

2

xx

i

n

i

или

XP <λ

∑

=

i

n

i

1

. (9.62)

136

Подставив (9.61) в (9.62), получим условие

()

XPP

Y

P

P <−+

∑

−

=

ni

n

i

n

1

. (9.63)

Реально может быть так

i

YXM XYP =

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

oo

. (9.64)

При x = 0, т. е. когда точное значение измеряемого сигнала должно быть нулевым,

получим выражение (9.45) в виде

X

P

i

n

i

q

λ

=

∑

=1

. (9.65)

Алгоритм точностного анализа при допущениях: о некоррелированности

,

друг с другом и о том, что x = 0, т. е. точный измеряемый сигнал должен быть

равен нулю, представляет операции:

i

Y

o

k

Y

o

0) задать:

; ;

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

2

)(

i

YM

o

Y

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

i

YXM

oo

P

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

o

2

)( XMX

и вычислить:

1)

iii

YP=λ

,

()

1,1 −= nk ;

()

∑

−

=

−=λ

1

n

i

iin

YP ;

2)

XP

i

n

i

q λ=

∑

=1

;

3)

)1(1 qf −=

.

Если эффект удовлетворителен (f > 1), то реализовать схему согласно рис. 9.10.

9.6. О синтезе измерительных приборов

Одной из основных задач проектирования приборов является задача синтеза,

предполагающая выбор структуры и параметров, которые в определенном смысле

должны быть оптимальными, т. е. при которых характеристики приборов

наименее уклоняются от требуемых характеристик. Задача синтеза структуры и

параметров прибора заключается в сравнении реального прибора с идеальным в

смысле некоторого критерия.

В качестве переменных, характеризующих близость реальной системы к

идеальной, примем разность результатов измерений

o

YYY

−

=

Δ

, (9.66)

137

где

Y, Y

o

– в общем случае матрицы-столбцы выходных сигналов соответственно

реального и идеального приборов.

Уравнения движения идеального и реального приборов представим в

матричной форме:

XBYAY

oooo

+=

&

, (9.67)

CZBXAYY

+

=

&

, (9.68)

где

X – матрица-столбец входных сигналов (измеряемых величин); Z – матрица-

столбец возмущений;

A

o

, B

o

, A, B, C – прямоугольные матрицы коэффициентов.

Вычтем уравнение (9.67) из уравнения (9.68) и после преобразований имеем

CZXBBYAAYAY +−+−+Δ=Δ )()(

ooo

&

. (9.69)

Присоединив к уравнению (9.69) уравнение (9.67) и решив полученную систему

уравнений относительно переменных Δ

Y – погрешностей реального прибора,

получим эти переменные в виде функций времени.

В качестве количественного критерия близости реального и идеального

приборов примем функционал вида

(

)

(

)

∫∫

+

ΔΔ+ΔΔ=

Tt

t

Tt

t

dtdtV YPYYQY

ТТ

2

1

&&

, (9.70)

где Т – время измерения; – квадратичная форма производных

YQY

&&

ΔΔ

Т

Y

&

Δ

;

– квадратичная форма переменных ΔY; Q, P – квадратные матрицы

весовых коэффициентов.

YPY ΔΔ

Т

Функционал (9.70) зависит от параметров системы. Минимизируя его по

параметрам, найдем решение поставленной задачи синтеза.

Оптимизацию структуры и параметров целесообразно проводить после

решения задач повышения точности, когда скомпенсированы методические и

некоторые инструментальные погрешности. Оставшиеся нескомпенсированными

погрешности следует минимизировать путем соответствующего выбора

параметров приборов.

9.7. Синтез приборов по критерию минимума

погрешности приближения

Постановка задачи. Математическая формулировка условий выбора

параметров прибора при точностном синтезе по критерию минимума

погрешности приближения заключается в следующем: параметры

, входящие в выражения для функции погрешности

{

N

qqq ...,,,

21

=q

}

),(

сх

qxy

Δ

должны обеспечивать наименьшее отклонение этой функции от нуля в заданном

диапазоне входного воздействия ],[ ba

x

∈

, где a и b – нижний и верхний пределы

входного сигнала соответственно.

138

Решение такой задачи даже для сравнительно простых объектов точными

методами является весьма трудоемким. Поэтому на практике обычно пользуются

приближенными методами.

Возможны два подхода к решению поставленной задачи.

Первый подход заключается в последовательном рассмотрении различных

комбинаций значений параметров, с расчетом для каждого из них максимального

значения погрешности приближения. Выбирается тот набор параметров, при

котором максимальное значение погрешности является минимальным. Найденные

параметры с точностью до шага дискретизации при их задании можно считать

оптимальными по критерию минимума погрешности приближения. Решение

задачи рассмотренным способом возможно только с использованием компьютера,

поскольку требует огромного объема вычислительных операций.

Второй подход заключается в аналитическом определении оптимальных

параметров с использование полиномов Чебышева. В основе его лежат

следующие теоретические положения.

•

Функция преобразования измерительных приборов, как правило,

характеризуется плавным изменением и непрерывностью в диапазоне

преобразования. Такими же свойствами обладает и функция погрешности,

которая является дифференцируемой в рассматриваемом диапазоне и с любой

степенью точности может быть представлена в виде полинома степени n. То

есть всегда найдется многочлен достаточно высокой степени n, который будет

отличаться от функции

),(

на сколь угодно малую наперед заданную

величину.

сх

qxyΔ

•

П.Л. Чебышевым доказано, что среди всех степенных полиномов вида

n

степени n с коэффициентом при

n

o

xCxCxCCy ++++= ...

2

11

x

, равным 1,

наименее уклоняющимся от нуля в интервале [– 1; 1] является многочлен

()

...25,0...25,0)(

21

1

2

+−++−=

−−

− knk

kn

k

nn

n

xC

k

n

xnxxP

, (9.71)

а в интервале [0; 1] – многочлен вида

()

[]

()

[]

({}

nnxP

n

xR

n

2cos2cos1

2cos1

1

)(

π−π+

π+

=

)

. (9.72)

•

Если внутренние параметры объекта обеспечат совпадение функции

погрешности с полиномом Чебышева соответствующей степени, то функция

погрешности окажется наименее уклоняющейся от нуля, а ее максимум

примет минимально возможное значение, тем самым задача параметрического

синтеза будет решена.

Таким образом, задача синтеза по критерию минимума погрешности

приближения сводится к расчету значений параметров , при

которых функция с наперед заданной степенью точности совпадает с

функцией или .

{}

N

qqq ...,,,

21

=q

),(

сх

qxyΔ

)(xP

n

)(xR

n

139

Полиномы Чебышева. В табл. 9.1 и 9.2 приведены аналитические выражения

и основные характеристики полиномов Чебышева для значений n от 2 до 5, а на

рис. 9.11 и 9.12, соответственно, графики этих полиномов. Из графиков видно, что

функции попеременно уклоняются от нуля вверх и вниз на одну и ту же величину,

причем эти отклонения имеют место в n + 1 точках, включая границы диапазона.

С увеличением n максимальное отклонение уменьшается.

Таблица 9.1

Характеристики полиномов Чебышева

)(xP

n

)( xP

n

i

x

Корни

x

k

Точки наибольшего

отклонения

*

Значе-

ния наи-

большего

откло-

нения

k

λ

2

5,0

2

−x

± 0,7071 0; ± 1 0,5

3

xx 75,0

3

−

0; ± 0,8660 ± 0,5; ± 1 0,25

4

125,0

24

+− xx

± 0,3827; ± 0,9239 0; ± 1; ± 0,7071 0,125

5

xxx 3125,025,1

35

+−

0; ± 0,5878; ± 0,9511 ± 1; ± 0,309; ± 0,809 0,0625

Рис. 9.11. Функции

P

)(x

n

в пределах [– 1; 1]

Выбрав показатель степени полинома n и приравняв функцию погрешности

соответствующему полиному, можно рассчитать значения внутренних

параметров. Однако для этого необходимо, чтобы диапазон изменения входной

величины соответствовал диапазону определения полинома Чебышева. В общем

случае эти диапазоны не совпадают. Необходимо осуществить замену

переменной, входящей в функцию погрешности.

Пусть измеряемая величина изменяется в диапазоне от a до b. Чтобы

реализовать полином Чебышева

для указанного диапазона, необходимо

заменить x на t согласно формуле

)(xP

n

(

)

(

)

abbaxt

−

=

2

. (9.73)

140

Слепова С.В. Основы теории точности измерительных приборов

Подождите немного. Документ загружается.