Слепова С.В. Основы теории точности измерительных приборов
Подождите немного. Документ загружается.
Возникновение погрешностей приборов связано с непостоянством
возмущающих факторов
ξ, q, θ, η, ν, входящих в функцию преобразования (2.2).
Все методы повышения точности сводятся: к обеспечению постоянства
параметров
ξ, q, θ, η, ν посредством конструктивных и технологических
мероприятий; к исключению влияния этих возмущений посредством фильтрации,
амортизации и термостатирования; к компенсации погрешностей приборов,
вызванных возмущениями.
Классификация методов повышения точности основана на рассмотрении
выражения для относительной погрешности системы
()
k
N
k
ky
xПxПП Δ+Δ+=δ
∑
=2
10
, (9.1)
где – аддитивная погрешность; – весовой коэффициент мультиплика-
тивной погрешности; (
0
П
1
П
k
П
Nk ,2= ) – весовые коэффициенты степенных
погрешностей. Представим погрешность
y
δ
и коэффициенты в виде сумм:
k
П
yy
y
o
δ+δ=δ
;
k
k
k
ПnП
o
+=
( Nk ,0= ), (9.2)
где
y
δ ,
k
n
– математические ожидания случайных переменных , ; , –
их центрированные значения. Подставив (9.2) в (9.1), получим
y
δ
k
П
y
o
δ
k
П
o
() ()
k
N
k
k
N
k
k
kyy
xПxn Δ+Δ=δ+δ
∑∑
== 00
oo
. (9.3)
Выражение для математического ожидания
y
δ имеет вид
()
∑
=
Δ=δ
N
k
k
ky
xn
0
. (9.4)
Вычитая (9.4) из (9.3), получаем
()
k
N
k
k
y
xП Δ=δ
∑
=0
oo
. (9.5)
Выражение (9.4) определяет систематические и медленноменяющиеся
погрешности; выражение (9.5) – случайные погрешности, характеризуемые
центрированными случайными величинами .
y
o
δ
Существуют следующие методы повышения точности систем:
•
конструктивно-технологические: отработка конструкций узлов и
элементов, использование совершенной технологии – уменьшение (9.4);
•
структурные: рациональное соединение неточных элементов при их
избыточном количестве – уменьшение (9.5);
•
алгоритмические: рациональная обработка сигналов с целью
компенсации погрешностей – уменьшение (9.4).
121
Сочетания перечисленных методов друг с другом представляют собой
комплексные методы повышения точности.
9.2. Конструктивно-технологические методы
повышения точности
Для реализации этих методов вносится требование совместимости узлов и
элементов системы – такое сочетание узлов и элементов системы, при котором
она может функционировать без нарушения ее характеристик. Различают
следующие виды совместимостей:
•
конструктивная совместимость: изготовление унифицированных
элементов и узлов с определенными допусками и посадками,
обеспечивающими нормальное функционирование системы;
•
технологическая совместимость: точное выдерживание
технологических процессов изготовления и сборки элементов и узлов, при
которых исключается взаимное влияние элементов друг на друга (трение,
тяжение токоподводов, магнитные, электрические, тепловые поля и др.);
•
материально-техническая совместимость: такой выбор материалов
элементов, при котором не возникает вихревых токов, коррозии, больших
напряжений и деформаций;
•
информационная совместимость: унифицирование входных и
выходных параметров системы (тока, напряжения, сопротивления, давления,
скорости, сил, моментов и т. д.);
•
метрологическая совместимость: выбор равноточных элементов, т. е.
таких, которые вносят примерно одинаковые составляющие погрешностей в
общую погрешность системы. Условие равноточности можно записать в виде
y
nn
yy
ССС δ==δ=δ ...
2
2
1
1
.
Суммарная погрешность равна
y
i
iy
Сn δ=δ
Σ
, (9.6)
где n – количество звеньев системы. Задавая суммарную погрешность
Σ
δ
y
и
решая уравнение (9.6) относительно погрешности i-го звена , получаем
y
i
δ
iy
y
i
Сn
Σ
δ=δ ( ni ,1= ).
В целом конструктивно-технологические методы повышения точности
требуют совершенной технологии создания измерительного прибора, т. е.
квалифицированного труда, высокоточного оборудования и высококачественных
материалов, а значит, предполагают большие материальные затраты.
122
9.3. Структурные методы повышения точности
Существует две группы таких методов: 1) использование устройств защиты
системы от внешних воздействий: инерционных, тепловых, магнитных и
электромагнитных полей, радиации и др.; 2) использование компенсационных
способов: принципа инвариантности, метода модуляции, принципа
автоподстройки.
Первая группа реализуется с помощью дополнительных конструктивных
устройств или элементов: амортизаторов, термостатов, экранов от магнитных и
электромагнитных полей, от радиации.
Рассмотрим более подробно методы, относящиеся ко второй группе.
9.3.1. Использование принципа инвариантности
Принцип инвариантности сформулирован Б.Н. Петровым: динамическая
система инвариантна по отношению к возмущениям тогда и только тогда,
когда каждое возмущение поступает в систему не менее, чем по двум каналам,
один из которых создается для генерирования компенсационных сигналов.
Выходной сигнал измерительного прибора можно представить в виде (2.2):
(
)
[
]
νθηqξ ,,,,xFy
=
. (9.7)
Разлагая функцию (9.7), как функцию переменных
ξ, θ, η, ν, в ряд Тейлора в
окрестности значений
ξ
о
, θ
о
, η
о
, ν
о
, получаем
()
[]
ν
ν
θ
θ
q
q
η
η
q
q
ξ
ξ
νθηqξ Δ
∂
∂
+Δ
∂
∂
∂
∂
+Δ
∂
∂
∂
∂
+Δ
∂
∂
+=
FFFF
xFy
oooo
,,,,
. (9.8)
Пусть в этом измерительном приборе имеется второй канал, генерирующий
сигнал вида
νθηξ
νθηξ
Δ
+
Δ
+
Δ
+
Δ
=Δ QQQQy . (9.9)
Вычитая равенство (9.9) из равенства (9.8), получаем
()
[]
+
=Δ−=
ooooo
xFyyy νθηqξ ,,,,
~
ν
ν
θ
θ
q
q
η
η
q
q
ξ
ξ
νθηξ
Δ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
∂
∂
+Δ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
∂
∂
∂
∂
+Δ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
∂
∂
∂
∂
+Δ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
∂
∂
+ Q
F
Q
F
Q
F
Q
F
. (9.10)
где
o
y
~
– более точное значение, приближающееся к истинному. Если
выполняются условия
,,,,
νθ
q
qη
q
qξ
νθηξ
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
F
Q
F
Q
F
Q
F
Q
то измерительный прибор будет абсолютно инвариантен к помехам и его
выходной сигнал y будет равен истинному значению y
o
. На рис. 9.1 изображена
функциональная схема, поясняющая принцип инвариантности.
123
F
θ
~
Q
x
Q
Q
ξ
ν
η
Q
θ
ξ
ν
η
o
o
-
θ
ξ
ν
η
o
o
θ
ξ
ν
η
o
-
--
-
Рис. 9.1. Схема реализации
принципа инвариантности
Реально абсолютной инвариантности нет в силу погрешностей
компенсационного канала. Остается малая погрешность недокомпенсации ε,
которая на 1–2 порядка ниже некомпенсированных погрешностей.
Рассмотрим одно из технических средств, реализующих принцип
инвариантности. Важную группу погрешностей составляют температурные
погрешности приборов, отображаемые на рис. 9.1 возмущением
θ(t). Для
компенсации этих погрешностей применяют различные температурно-зависимые
элементы. На рис. 9.2 приведены схемы температурной компенсации, в которых
R – компенсируемое сопротивление, например, сопротивление рамки
гальванометра.
R
U
1
r
R
R
I
2
R
U
Н
R
I
а) б)
Рис. 9.2. Схемы температурной компенсации
В схеме с последовательно-параллельным включением (рис. 9.2а) имеются
сопротивления R
1
и R
2
с нулевым температурным коэффициентом, а
сопротивление
)1( αθ+
=
o
rr
. Рабочее сопротивление . В этом
случае сила тока равна
)1( αθ+=
o
RR
(
)
[]
αθ
−
+
+
+
+=
ooooo
rRRRrRRRRRUI
21121
.
Если параметры схемы выбрать из условия компенсации
oo
rRRR
21
=
,
то сила тока I не зависит от температуры θ окружающей среды. Здесь
компенсация погрешности достигается за счет некоторого снижения
124
чувствительности прибора. Естественным входом возмущающего сигнала θ
является сопротивление R, а компенсационный канал получается за счет
воздействия сигнала θ на сопротивление r.
Если для компенсации применяется полупроводниковый термистор с
отрицательным температурным коэффициентом сопротивления
)1(
нн
θ
α
−
=
oo
RR
,
то (рис. 9.2б)
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
θα−α
++=+
oo
ooo
oo
RR
RR
RRRR
н
н
нн
)(
1
.
Условие полной температурной компенсации будет
ooo
RR
н
α=
α
. При этом
условии сила тока в приборе не зависит от температуры θ. Поскольку
температурный коэффициент
o
α
на порядок больше коэффициента α металлов и
обычно , то потеря чувствительности небольшая.
RR <<
н
9.3.2. Метод модуляции
Уменьшение погрешностей системы этим методом достигается тем, что
1) возмущающие сигналы системы или 2) параметры системы или
3) и возмущающие сигналы системы и ее параметры принудительно периодически
изменяются во времени с частотами, находящимися вне области частот полезного
сигнала, обычно, больше наибольшей частоты из этой области.
На рис. 9.3 показана схема прибора, на которой полезный сигнал x,
возмущающие сигналы
ξ, θ и параметры прибора q пропускаются через
модуляторы M
x
, M
ξ
, M
θ
, M
q
.
θ
M
x
F t
()
ω ,
ξ
q
Ус
θ
ξ
Ус
M
x
M
ξ
M
θ
3
q
F t
()
ω ,
4
F t
()
ω ,
2
x
F
t
()
ω ,
1
Рис. 9.3. Схема реализации
метода модуляции
Если в приборе одновременно распространяются только полезный сигнал x и
один из возмущающих сигналов
ξ, q или θ, то выражения для сигнала на выходе
прибора после модуляции можно представить в виде:
)()(),()(
1
ttxtFty
xx
ξ+ω=
– для модуляции полезного сигнала;
)(),()()(
2ξξ
ttFtxty ξω+= – для модуляции возмущения
)(
t
ξ
;
)(),()()(
3θθ
ttFtxty θω+=
– для модуляции возмущения
)(
t
θ
;
)(),()()(
4
tqtFtxty
qq
ω+= – для модуляции параметров.
125
Предполагается, что ,
),(
1
tF
x
ω
),(
2ξ
tF
ω
,
),(
3θ
tF
ω
и ) – периодические
функции с нулевой постоянной составляющей.
,(
4
tF
q
ω
Модулирование сигналов или параметров позволяет получить различные
спектры сигналов x,
ξ, θ и q, что используется для фильтрации погрешностей.
В системах с чувствительными элементами, имеющими низкочастотные
входные сигналы (термопары, светодиоды) осуществляется их модуляция с
помощью магнитных усилителей или вибраторов. Это – пример модуляции
полезного сигнала.
Пример модуляции возмущающего сигнала: «оживление опор» по оси
прецессии гироскопического прибора. Опоры устанавливают в трехколечные
подшипники, средние кольца которых заставляют совершать периодические
вращения, что приводит к «превращению» постоянных возмущающих моментов
(трения) в периодические, при которых угловые скорости уходов гироскопов
удается уменьшить на порядок.
9.3.3. Метод автоподстройки
Из-за возмущений, действующих на измерительную систему, параметры могут
изменяться с течением времени. И в тех случаях, когда эти изменения удается
либо априорно вычислить, либо измерить, можно в результаты измерений
системы (т. е. в ее выходные сигналы) внести коррекцию и тем самым повысить
точность. В этом суть метода автоподстройки.
Рассмотрим схему автоподстройки параметров в измерительном усилителе
переменного тока (рис. 9.4).
Д
Kq Kq u
() + ( )
, Δ
Ус
Ф
В
U
вх
U
вых
Δ
U
U
1
ДН
Рис. 9.4. Схема автоподстройки
чувствительности прибора
Коэффициент усиления усилителя
),()( uq
K
q
K
Δ
+
изменяется в процессе
измерения вследствие нестабильности его параметров q. В цепь усилителя
включено устройство, дающее дополнение
),( uq
K
Δ
к коэффициенту
)(q
K
.
Величина
),( uq
K
Δ
может принимать положительные или отрицательные
значения в зависимости от изменения параметра u. При номинальном значении
коэффициента усиления связь напряжений на входе и выходе
однозначна
o
K
вх
U
вых
U
вхвых
UKU
o
=
. Выходное напряжение подается на делитель
напряжения ДН в такой пропорции, чтобы часть его, поступающая на
вычислитель В, была равна входному напряжению . Если вследствие
изменения коэффициента усиления
вых
U
вх
U
)(q
K
нарушается баланс
1вх
UU
=
, где
– часть выходного напряжения, то разность
ыхв1
UU λ=
1вх
UUU
−
=Δ
может
126
быть использована для изменения
),( uq
K
Δ
. С этой целью сигнал ΔU усиливается,
детектируется, фильтруется и затем поступает в прибор для воздействия на
параметр u. Изменение параметра u, а следовательно, и ΔK будет происходить до
тех пор, пока не будет достигнуто условие 0
=
Δ
U
. Переменная часть
коэффициента усиления реализуется в виде управляемого элемента, включаемого
в цепь усилителя. В качестве управляемых элементов используются: термо- и
фоторезисторы, преобразователи Холла, управляемые диоды и др.
Для автоподстройки и определения величин реальных параметров прибора
используют также тестовые (эталонные) сигналы: такие сигналы подают на вход и
измеряют выходные сигналы при реальных параметрах прибора, при этом
величины выходных сигналов для номинальных значений параметров должны
быть известны, затем на основе уравнений функционирования системы
определяют значения реальных параметров.
Метод автоподстройки применяется при измерении медленных процессов,
например, для повышения точности измерительных усилителей, коэффициенты
усиления которых изменяются из-за нестабильности параметров.
9.4. Алгоритмические методы повышения точности
Суть этих методов заключается в обработке сигналов внутри прибора или вне
его. Рассмотрим три группы таких методов: 1) статистической обработки;
2) образцовых мер; 3) тестовых (эталонных сигналов).
9.4.1. Метод статистической обработки измерений
Существуют три варианта схемных решений, реализующих этот метод.
Схема с временным разделением каналов (рис. 9.5). Схема включает прибор
П, вычислитель В и ключ К.
x
Y
П
B
i
Y
K
Рис. 9.5. Схема с временным
разделением каналов
В результате n измерений величины x получают n значений выходной
величины
Y
1
, Y
2
, …, Y
n
с погрешностями , т. е.
i
Y
o
i
i
YyY
o
+=
, ni ,1= ,
где y – точное значение.
Затем в вычислителе В определяют среднее арифметическое значение
выходной величины
∑
=
=
n
i
i
Y
n
Y
1
1
. (9.11)
127
Эту схему используют, если измерения можно повторять многократно, т. е.
если измеряемая величина не изменяется во времени. Применяя операцию
центрирования к равенству (9.11), получаем
∑
=
=
n
i
i
Y
n
Y
1
1
oo
. (9.12)
Возведем (9.12) в квадрат и применим к полученному выражению операцию
математического ожидания и, полагая случайные величины
некоррелированными друг с другом, получаем выражение для среднего
квадратического отклонения (СКО) погрешности системы
i
Y
o
∑
=
σ=σ
n
i
iy
n
1
2
1
, (9.13)
где
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=σ
2
)(
o
YM
y
,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=σ
2
)(
o
ii
YM – СКО погрешности «обработанного»
выходного сигнала и СКО погрешности каждого из измеренных выходных
сигналов. При равноточных измерениях
σ
=
σ
i
, тогда (9.13) примет вид
n
y
σ
=σ
.
Таким образом, метод позволяет уменьшить некоррелированные
погрешности в
n
раз. Если погрешности коррелированы, то этот метод
повышения точности не дает.
Схема с пространственным разделением каналов (рис. 9.6). В данной
схеме предусмотрено одновременное
Y
П
B
1
x
П
П
n
2
измерение входного сигнала n
идентичными приборами П
1
, П
2
, …, П
n
и
обработка результатов в вычислителе В.
Эту схему применяют тогда, когда
измеряемая величина изменяется во
времени. Можно показать, что эффект
Рис. 9.6. Схема с простран-
предыдущей схеме.
гнала (рис. 9.7). Схема
вкл
повышения точности тот же, что и в
ственным разделением каналов
Схема итерационной обработки измеряемого си
ючает прибор П, вычислитель В, обратный преобразователь ОП, ключ К.
x
П
ОП
K
i
Y
Y
В
x
k
Рис. 9.7. Схема итерационной обработки
измеряемого сигнала
128
Для обработки сигнала необходима номинальная
гра в т п о
10
по этой схеме
дуиро очная харак еристика риб ра
ay
*
xa
=
+
, (9.14)
где a
0
, a
1
– постоянные величины; x – величина входного сигнала. Модель
погрешности прибора содержит аддитивную
0а
Dy
=
Δ
и мультипликативную
xDy
1м
=Δ
составляющие и принимается в виде
xDDy
10
+
=
Δ
, (9.15)
где D
0
, D
1
– постоянные величины. Следоват
1
ельно, реальная характеристика
преобразования с учетом (9.14) и (9.15) имеет вид
Dxaayyy
010*p
xD
+
+
+
=
Δ
+
= . (9.16)
Обратный преобразователь ОП выполняет операцию обращения функции
xaaxfy
10
)(
+
=
=
,
т. е. определение величины x в зависимости от величины у
(
)
10
aayx
−
=
. (9.17)
Алгоритм метода итерационной обработки
так
сигнала включает в себя несколько
тов измерений. На первом такте ко входу прибора П с помощью ключа К
подключается измеряемая величина x и результат измерения согласно (9.16) будет
xDDxaaxy
10101
)(
+
+
+
=
. (9.18)
Первая итерация обработки сигнала выполняется после переключения ключа К на
обратный преобразователь ОП. Результатом первого обратного преобразования
согласно (9.17) будет величина
1
10
1
0101001
)( aaxy
1
1
a
xDD
x
a
axDDxa
a
x
+
+=
+
+
+
−
== . (9.19)
После первой итерации сигнал на выходе прибора П в соответствии с (9.16) имеет
−
вид
11011011
)( xDDxaaxy
+
+
+
=
.
С учетом (9.19) получится
()()
xDD
a
D
xDDxaaxy
10
1
1
101011
2)( +++++= . (9.20)
В вычислительном устройстве В вычисляется разность второго (9.20) и первого
(9.18) измерений
()
xDD
a
D
xDDxyxyy
10
1
1
101111
)()( +++=−=Δ (9.21)
и запоминается.
орой такт измерений. Ключ К переключается на измерение
вел
Рассмотрим вт
ичины x. На выходе в полученный в соответствии с реальной функцией
129
преобразования (9.16) результат измерения
вносится первая поправка
)(
2
xy
1
y
Δ
,
определяемая (9.21):
()
xDD
a
D
xaayxDDxaaxy
10
1
1
10110102
)( +−+=Δ−+++= .
После переключения ключа К на обратный преобразователь ОП выполняется
вторая итерация обработки сигнала. Результат второго обратного преобразования:
()
xDD
a
D
x
a
axy
x
10
2
1
1
1
02
2
)(
+−=
−
=
.
Сигнал на выходе прибора П после второй итерации находится по формуле (9.16):
()()
xDD
a
D
xDD
a
D
xDDxaaxDDxaaxy
10
2
1
2
1
10
1
1
101021021022
)( +−+−+++=+++=
.
В вычислителе В определяется вторая поправка
(
xDD
a
D
xDDxyxyy
10
2
1
2
1
102222
)()( +−+=−=Δ
)
. (9.22)
Переходим к третьему такту измерений. Ко входу прибора П ключом К
подключается величина x. Согласно (9.16) результат измерения на выходе с
учетом выражения (9.22) для второй поправки
2
y
Δ
будет
()
xDD
a
D
xaayxDDxaaxy
10
2
1
2
1
10210103
)( +++=Δ−+++=
.
Далее ключ К переключается на обратный преобразователь ОП. Результат
третьего обратного преобразования вычисляется по формуле (9.17):
()
xDD
a
D
x
a
axy
x
10
3
1
2
1
1
03
3
)(
++=
−
=
.
После третьей итерации сигнал на выходе прибора П в соответствии с (9.16)
имеет вид
()()
xDD
a
D
xDD
a
D
xDDxaaxDDxaaxy
10
3
1
3
1
10
2
1
2
1
101031031033
)( +++++++=+++=
.
Третья поправка определяется в вычислителе В как разность измерений и
:
)(
33
xy
)(
3
xy
(
xDD
a
D
xDDxyxyy
10
3
1
3
1
103333
)()( +++=−=Δ
)
. (9.23)
Продолжая переключать ключ К на измерение сигнала x и на сигнал ОП,
можно показать, что на N-ном такте сигнал на выходе будет иметь вид
()
2,)(
1
1
1
1010
≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+++=
−
N
a
D
xDDxaaxy
N
N
.
130