Слепова С.В. Основы теории точности измерительных приборов

Подождите немного. Документ загружается.

атчик

Усилитель

Аналоговый регистратор

Цифровой регистратор

0,15%

-0,15%

-0,6%

0,6%

-0,06% 0,06%

()

=0,087%

2,066;

=0,245%

= 0,026%

,73;

2,02; ,4

0,226%

-0,226%

-0,45% 0,45%

-0,06% 0,06%

()

нав

= 0,16%

=0,184%

= 0,034%

,11; ,5

М А

нав

0,4%-0,4%

-0,03% 0,03%

()

рег

ег

= 0,23%

= 0,017%

рег

()

1 ЦВ

ЦВ

=0,23%

1н ЦВ

=0,332%

1к ЦВ

= 0,080%

2н ЦВ

,35; ,2

=25

= 0,096%

2к ЦВ

2,02; ,4

,73;

;

Рис. 8.3. Законы распределения составляющих

погрешности измерительного канала

111

Расчет погрешности канала с аналоговым регистратором.

Погрешность канала с аналоговым регистратором в начале диапазона при x = 0

складывается из четырех аддитивных составляющих:

7 – ; 1 –

;

3 –

%23,0

рег

=σ

%087,0

=σ %026,0

; (6+8) – %017,0

рег)(у

+Θ

Однако в 8,8 раз, а в 13,5 раз меньше, чем . В соответствии

с правилом пренебрежения малыми составляющими при суммировании

погрешностей этими погрешностями можно пренебречь.

дΘ

рег)(у+Θ

рег

Итак, СКО погрешности нуля канала с аналоговым регистратором

определяется как

%25,02459,0087,023,0

222

регн

≈=+=σ+σ=σ

Обе суммируемые составляющие погрешности распределены равномерно,

поэтому результирующее распределение является трапецеидальным. Для

определения эксцесса и энтропийного коэффициента этого распределения нужно

вычислить вес дисперсии второго из слагаемых в общей дисперсии

12,0

2459,0

087,0

88,012,01)1( =

−

Эксцесс этого распределения в соответствии с выражением (8.2) будет

08,288,08,188,012,0612,08,1)1()1(6

222

рег

дн

=⋅+⋅⋅+⋅=−ε+−+ε=ε pppp ,

а контрэксцесс

69,008,211

нн

==ε=κ

Энтропийный коэффициент композиции двух равномерных распределений

определяется по кривой 3 (см. рис. 8.1а) при p = 0,12: . Отсюда

энтропийное значение приведенной погрешности нуля канала

93,1

%5,04825,025,093,1

ннн

≈

⋅

=γ k

Представим полученную энтропийную оценку погрешности в форме

доверительной погрешности, для этого по соотношению (8.1) рассчитаем

соответствующее ей значение доверительной вероятности

98,008,21818,0899,01818,0899,0

ндд

≈+≈ε+== PP

т. е. энтропийной оценке погрешности

%5,0

соответствует приведенное

значение доверительной погрешности

98,0

Для расчета погрешности в конце диапазона канала к полученному значению

нужно добавить мультипликативные составляющие (

2+5) –

4 –

%25,0

=σ

%43,0

у)(д

=σ

%16,0

нав

. Среди этих значений погрешности нет

пренебрежимо малых, поэтому все они должны быть по очереди

просуммированы.

112

Просуммируем и

у)(д+

%5,0497,02474,025,043,0

222

у)(ду)(дн

≈==+=σ+σ=σ

+++ UU

Погрешность (

2+5) от колебаний напряжения

у)(д+

распределена по

треугольному закону, а суммарная погрешность нуля

– по трапецеидальному.

Кривой для суммирования таких распределений на рис. 8.1 нет. Однако на рис.

8.1б есть кривая 2 для суммирования треугольного распределения с дискретным

двузначным. Воспользуемся этой кривой следующим образом. Будем считать

исходным распределением треугольное (

у)(д+

), а добавляемым к нему –

трапецеидальное (

). Тогда нужная нам кривая будет проходить выше кривой 2

на рис. 8.1б, но она не может быть выше кривой 6 на рис. 8.1б, соответствующей

суммированию нормального распределения с экспоненциальным. Узкая полоса

между этими кривыми в их начальной части и ограничивает возможное

положение нужной нам кривой.

Вес дисперсии в суммарной дисперсии

25,0

2474,0

25,0

у)(дн

++U

p ;

75,025,01)1( =

−

эксцесс этого распределения

6,275,04,275,025,0625,008,2

у)(дн

=⋅+⋅⋅+⋅=ε

++U

и контрэксцесс . Согласно рис. 8.1б значению p = 0,25 соответствует

, т.

е. распределение оказывается достаточно близким к

нормальному.

62,0

=κ

05,2

у)(дн

++U

Для завершения суммирования следует прибавить к полученной сумме

погрешность наводки

4 ( ), распределенную по очень низкоэнтропийному

арксинусоидальному закону. СКО погрешности в конце диапазона канала

нав

%52,05225,00256,02474,016,02474,0

нав

у)(днк

≈=+=+=σ+σ=σ

++U

Энтропийный коэффициент найденного распределения будем искать по

кривой 4 (см. рис. 8.1б), полученной суммированием нормального и

арксинусоидального распределений. Вес дисперсии с арксинусоидальным

законом распределения составляет

нав

09,0

273,0

0256,0

нав

;

91,009,01)1( =

−

Энтропийный коэффициент соответственно равен 05,2

у)(днк

≈

++U

kk и

энтропийное значение погрешности в конце диапазона канала

%1,1066,152,005,2

ккк

≈

⋅

=γ k

Эксцесс этого распределения

113

66,291,06,291,009,0609,005,1

=⋅+⋅⋅+⋅=ε

и контрэксцесс .

61,0

=κ

Доверительная вероятность, соответствующая энтропийному значению

погрешности , согласно формуле (8.1)

97,066,21818,0899,01818,0899,0

кдд

≈+≈ε+== PP

Таким образом, при оценке погрешностей результатов измерений с вероятностью

следует ожидать погрешности

98,0...97,0

%5,0

и , т. е. при

произвольном значении x погрешность результатов измерений будет

%1,1

=γ

6,05,0)( Xxx

где X

– предел измерений канала.

Расчет погрешности канала с цифровым регистратором.

Погрешность канала с цифровым регистратором включает в себя вместо

погрешностей аналогового самописца две составляющие погрешности

(равномерную и экспоненциальную) цифрового регистратора.

Погрешность начала диапазона канала складывается из следующих

аддитивных составляющих:

9.1 – %278,0

ЦВн1

и 9.2 – ; 1 –

;

6 – ; 3 –

%080,0

ЦВн2

=σ

%087,0

=σ

%034,0

=σ

%026,0

. В соответствии с правилом

пренебрежения малыми составляющими при суммировании погрешностей

составляющими , можно пренебречь, так как даже большая из них в 8

раз меньше, чем .

уΘ

дΘ

ЦВн1

Начнем суммирование с двух равномерно распределенных составляющих

9.1

и 1. Тогда

%291,01048,8087,0278,0

2222

ЦВ1дЦВ1

=⋅=+=σ+σ=σ

−

Вес дисперсии второй составляющей

09,0

291,0

087,0

дЦВ1

;

91,009,01)1( =

−

Эксцесс этого распределения

0,291,08,191,009,0609,08,1

дЦВ1

=⋅+⋅⋅+⋅=ε

контрэксцесс и по кривой 3 (см. рис. 8.1а) . 71,0

дЦВ1

=κ

93,1

дЦВ1

Для суммирования этого распределения с экспоненциальной составляющей

9.2

погрешности ЦВ с α = 0,5 и 35,1

ЦВ2

k соответствующей кривой на рис. 8.1а и

рис. 8.1б нет. Поэтому ее придется воссоздать по аналогии с имеющимися

кривыми. На рис. 8.1б при p = 0 она должна начинаться в точке 93,1

дЦВ1

k , а

заканчиваться при p = 1 в точке 35,1

ЦВ2

k . При

2,0...1,0

она пойдет вверх,

как и все кривые на рис. 8.1б, и достигнет максимума при p ≈ 0,3. Этот максимум

114

не должен превышать значения

02,2

, характерного для максимума кривой 3

(см. рис. 8.1а), а спад ее в области

0,1...9,0

должен быть аналогичен спаду

кривых 4 и 5 на рис. 8.2б. Этих рассуждений достаточно, чтобы провести нужную

кривую.

СКО погрешности в начале диапазона

%3,0302,01012,908,0291,0

2222

ЦВ2

дЦВ1н

≈=⋅=+=σ+σ=σ

−

Вес экспоненциальной составляющей

07,0

1012,9

08,0

ЦВ2

⋅

−

p и

93,007,01)1( =

−

Эксцесс этого распределения в соответствии с выражением (8.2) будет

24,293,00,293,007,0607,02,25

=⋅+⋅⋅+⋅=ε

контрэксцесс

67,0

. Значение энтропийного коэффициента по

воспроизведенной нами кривой составляет

02,2

и энтропийное значение

приведенной погрешности в начале диапазона канала с цифровым регистратором

%6,061,0302,002,2

ннн

≈

⋅

=γ k

Для определения погрешности в конце диапазона к составляющим

погрешности ЦВ в конце диапазона канала

9.1 – %332,0

ЦВк1

и 9.2 –

необходимо прибавить аддитивные составляющие:

1 –

;

6 – ; 3 –

%096,0

ЦВк2

=σ

%087,0

=σ

%034,0

=σ

%026,0

и мультипликативные

составляющие: (

2+5) – %43,0

у)(д

и 4 –

%16,0

нав

Максимальное значение СКО имеет погрешность (

2+5) – %43,0

у)(д

Согласно правилу пренебрежения малыми составляющими при суммировании

погрешностей двумя составляющими

уΘ

дΘ

можно пренебречь, так как

отношения

6,12034,043,0

уу)(д

=σσ

Θ+U

и 5,16026,043,0

ду)(д

Θ+U

Составляющие погрешности имеют следующие распределения:

9.1 –

равномерное (k = 1,73);

9.2 – экспоненциальное (k = 1,35); 1 – равномерное

(k = 1,73); (

2+5) – треугольное (k = 2,02); 4 – арксинусоидальное (k = 1,11).

Просуммируем сначала самые низкоэнтропийные составляющие

9.2 и 4

%187,01048,3096,016,0

2222

ЦВ2

навЦВ2нав

=⋅=+=σ+σ=σ

−

Вес дисперсии экспоненциальной составляющей

26,0

1048,3

096,0

ЦВ2нав

ЦВ2

⋅

−

;

74,026,01)1( =

−

115

Эксцесс

7,369,326,02,2526,074,0674,05,1

ЦВ2нав

≈=⋅+⋅⋅+⋅=ε

контрэксцесс . 52,0

ЦВ2нав

=κ

Для определения значения энтропийного коэффициента воспользуемся кривой

4 (см. рис. 8.1а), соответствующей суммированию арксинусоидальной (k = 1,11) и

равномерной (k = 1,73) составляющих. Нужная нам кривая в своей начальной

части совпадает с этой кривой, а при

1→

проходит несколько ниже. При малых

значениях р (р = 0,26) расхождение будет малым. Отсюда . 94,1

ЦВ2нав

Теперь возьмем погрешность (

2+5) с треугольным распределением и сложим с

ней полученную составляющую:

=+=σ+σ=σ

+++++

222

ЦВ2нав

у)(дЦВ2наву)(д

187,0429,0

%468,02188,01048,31084,1

==⋅+⋅=

−−

Вес дисперсии второй составляющей

16,0

2188,0

1048,3

ЦВ2наву)(д

ЦВ2нав

⋅

−

+++

;

84,016,01)1( =−

−

Эксцесс

6,216,07,316,084,0684,04,2

ЦВ2наву)(д

=⋅+⋅⋅+⋅=ε

+++U

контрэксцесс 62,0

ЦВ2наву)(д

+++U

При таком малом весе второй составляющей для суммирования можно

воспользоваться начальным участком кривой 2 (см. рис. 8.1б), откуда

, т. е. распределение достаточно близко к нормальному. 04,2

ЦВ2наву)(д

+++U

Далее просуммируем равномерно распределенную составляющую

ЦВк1

погрешности

9.1 с близкой к нормальной составляющей с

. СКО равно

ЦВ2наву)(д +++

04,2

ЦВ2наву)(д

+++U

=+=σ+σ=σ

+++++++

222

ЦВ2наву)(д

ЦВ1ЦВ2наву)(дЦВ1

468,0332,0

%57,03290,02188,01102,0 ==+=

Вес близкой к нормальному распределению составляющей

66,0

3290,0

2188,0

ЦВ2наву)(дЦВ1

ЦВ2наву)(д

++++

+++

;

34,066,01)1( =−=

−

Эксцесс

7,234,08,134,066,0666,06,2

ЦВ2наву)(дЦВ1

=⋅+⋅⋅+⋅=ε

++++U

контрэксцесс 61,0

ЦВ2наву)(дЦВ1

++++U

116

На кривой 2 (см. рис. 8.1а) такому весу соответствует энтропийный

коэффициент k, почти совпадающий с k нормального распределения,

следовательно, и в рассматриваемом случае k будет почти совпадать с

, т. е. полученное распределение опять достаточно

близко к нормальному.

04,2

ЦВ2наву)(дЦВ1

++++U

И наконец, последнее суммирование будем рассматривать как сложение

близкой к нормальной составляющей

ЦВ2наву)(дЦВ1 ++++

и равномерно распределенной составляющей 04,2

ЦВ2наву)(дЦВ1

++++U

погрешности

1. СКО в конце диапазона

=+=σ+σ=σ

++++

222

ЦВ2наву)(дЦВ1к

087,057,0

%58,03366,010757,03290,0

==⋅+=

−

Вес второй составляющей

022,0

3366,0

10757,0

⋅

−

;

978,0022,01)1( =

−

Эксцесс

=−ε+−+ε=ε

++++

)1()1(6

ЦВ2наву)(дЦВ1

дк

pppp

71,2978,07,2022,0978,06022,08,1

=⋅+⋅⋅+⋅= ,

контрэксцесс

61,071,211

кк

==ε=κ

Для суммирования полученного близкого к нормальному распределения

(0) с равномерной составляющей погрешности датчика

( ) соответствующей кривой на рис. 8.1а и рис. 8.1б нет. Возьмем за

основу кривую 5 (см. рис. 8.1б), соответствующую суммированию нормальной и

равномерной составляющих Нужная нам кривая при малых значениях p

располагается чуть ниже кривой 5, так как при p = 0 ее начало находится в точке

, при увеличении p она все больше приближается к

кривой 5 и вместе с ней заканчивается при p = 1 в точке . При очень

малом весе равномерной составляющей погрешности датчика

4,2

ЦВ2наву)(дЦВ1

++++U

73,1

04,2

ЦВ2наву)(дЦВ1

++++U

73,1

022,0

для

суммирования можно воспользоваться начальным участком восстановленной

кривой и принять . Таким образом, распределение мало отличается от

нормального.

04,2

Энтропийное значение результирующей погрешности канала с цифровым

регистратором в конце диапазона измерений будет

%2,1183,158,004,2

ккк

≈

⋅

=γ k

а общая формула для вычисления приведенной погрешности результатов

измерения при любом x имеет вид

117

6,0

6,0)(

x +=γ ,

где X

– предел измерений канала.

При необходимости по формуле (8.1) можно найти доверительные

вероятности, соответствующие энтропийным значениям приведенной

погрешности в начале диапазона измерений

%6,0

и в конце .

%2,1

=γ

Расчет динамических погрешностей канала с аналоговым и цифровым

регистратором.

Динамические погрешности канала с аналоговым и цифровым регистратором

являются дополнительными и обычно не суммируются с остальными

погрешностями, а просто ограничивают частотный диапазон измеряемой

величины в области высоких частот ее изменения. Рассчитаем динамические

погрешности и укажем рабочий диапазон частот измеряемой величины при

использовании аналогового и цифрового регистраторов.

Аналоговый регистратор в виде электронного самопишущего

автоматического потенциометра со следящим электромеханическим приводом

обладает той особенностью, что его подвижная часть имеет постоянную

максимальную скорость передвижения, обеспечивая проход всей шкалы за 0,5 с.

На пределе измерений мВ это соответствует максимальной скорости

изменения напряжения во времени

200=

смВ400с5,0мВ200 ==

Если абсолютная скорость изменения поданного на самописец электрического

сигнала меньше величины , то регистрация происходит без искажений и

динамическая погрешность равна нулю. Если же скорость будет больше, то

следящий прибор не будет успевать отслеживать изменения сигнала и

погрешности будут очень велики. Это явление и ограничивает частотный

диапазон аналогового регистратора.

При входном синусоидальном сигнале

tXx

sin

скорость его изменения

tXx

cos

а максимальное значение этой скорости

mmm

XfXX π=ω= 2

Отсюда граничная частота регистрации

XXf π= 2

гр

При

смВ400=

и мВ это дает

200=

(

)

Гц32,02002400

гр

⋅

f .

Относительно цифровой регистрации выше было указано, что она

обеспечивает получение пяти отсчетов измеряемой величины в секунду.

118

Динамическая погрешность восстановления сигнала по таким дискретным

отсчетам

дин

ftπ≤γ

. (8.4)

При периоде дискретизации

2,0

с, соответствующем применяемому в канале

цифровому регистратору, погрешность восстановления в зависимости от периода

изменения и частоты входного сигнала согласно (8.4) представлена в табл. 8.1.

Таблица 8.1

Т, с

20 10 5 4 2

f, Гц

0,05 0,1 0,2 0,25 0,5

дин

, %

0,05 0,2 0,8 1,2 5,0

Отсюда следует, что при медленных изменениях измеряемой величины

(T ≥ 20 с) частотная погрешность ничтожна, но при уменьшении периода до

T = 4 с она уже равна основной погрешности канала. Итак, цифровая регистрация

согласно (8.4) обеспечивает частотный диапазон от 0 до 0,25 Гц.

Таким образом, рабочий диапазон аналогового регистратора оказывается

несколько шире, чем рабочий диапазон частот цифровой регистрации.

Сравнение приближенных методов суммирования погрешностей.

Изложенный метод суммирования с учетом всех вероятностных характеристик

и свойств суммируемых погрешностей является наиболее точным, но и

достаточно трудоемким. При недостатке времени можно использовать

упрощенные методы суммирования, но при этом неизбежны неточности.

Анализ вида распределений составляющих необходим для нахождения по

нормированным значениям их СКО. Но анализ образующихся после сложения

композиций можно опустить, определяя результирующую погрешность при

доверительной вероятности

9,0

как

6,1

9,0

или при суммировании не менее четырех составляющих в отсутствие

доминирующих погрешностей считать, что распределение их суммы близко к

нормальному и

96,1

95,0

В рассматриваемом примере для канала с цифровым регистратором такой

метод суммирования дал бы:

%302,0

и %59,0302,096,1

95,0н

⋅

;

%57,0

и %12,157,096,1

95,0к

⋅

т. е. оценки несколько меньшие энтропийных, так как последние соответствовали

98,0

119

При еще большем упрощении расчетов можно воспользоваться соотношением

∑

γ=γ

9,09,0 i

и допустить, что все исходные максимальные погрешности были заданы при

. Это преувеличение, поэтому полученное значение будет соответствовать

доверительной вероятности, большей, чем 0,9. Но раздельное суммирование

аддитивных и мультипликативных составляющих и в этом случае является

обязательным.

9,0

В рассматриваемом примере для аналогового канала максимальные значения

аддитивных составляющих были равны:

%15,0

;

%06,0

; %06,0

; %03,0

рег

−

; %4,0

рег

Учет корреляционных связей остается также обязательным, поэтому

%03,003,006,0

рег)(у

−

+Θ

Но результирующая погрешность без какого-либо анализа вида законов

распределения в начале диапазона измерений определяется как

%43,04,003,006,015,0

2222

=+++=γ

Максимальные значения мультипликативных составляющих были равны:

%6,0

; %45,0

;

%226,0

нав

Вследствие тесной корреляционной связи

%05,145,06,0

у)(д

Результирующая погрешность в конце диапазона измерений канала

%16,1226,005,143,0

222

=++=γ

Таким образом, если предыдущий упрощенный метод занизил оценку

погрешности примерно на 10 %, то последний – уже на 20 %. Поэтому

дальнейшее упрощение в виде отказа от учета корреляционных связей и

раздельного учета аддитивных и мультипликативных составляющих или переход

к арифметическому суммированию составляющих вместо геометрического

недопустимы.

Так, если бы в рассматриваемом примере вместо анализа погрешностей было

произведено арифметическое суммирование составляющих, то полученный для

аналогового канала результат в виде

%291,14,003,016,045,006,006,06,015,0 ≈=

++=γ

завышал бы погрешность в конце диапазона измерений почти в 2 раза, а в

начале – в 4 раза.

9. МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ ТОЧНОСТИ И СИНТЕЗ

ХАРАКТЕРИСТИК ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ

9.1. Классификация методов повышения точности

120