Шимбирев Б.П. Теория фигуры Земли

Подождите немного. Документ загружается.

Выведем формулу для аномалии силы тяжести для случая, когда прямая

имеет бесконечное простирание. Представим (Х1У.26) в виде

АСо

Положив т]

= г]

= —со, найдем

Рис. 81

Шо

Т]

*кт(0,0,

с;

Рис. 82

(XIV. 27.

Р(х,0,0)

Для вычисления производной Т

хг

в формуле (XIV.

14)

положим

= 0, у = 2 = 0, г = + + =

Тогда

Подынтегральное выражение можно представить как

йц

•

(1 —/?'

)

ан'

н*> а

где по-прежнему В = ]А]

+ с

, с

= ж

+ Си-

В таком случае

Следовательно,,

1)2

г I

КЬ ' Зс4 V

(ЗД'-Д'

3%,

Уг)

ЗТ)1

Т)3

.400

преобразуя полученное выражение, получим

ГЬ

<1ц 1

1 +

ч1

Полагая теперь Т]

бесконечного простирания

-ОО

получим формулу для прямой

гр _

4/а^рХ

(**-К.

)

(Х1У.28)

Формулы (XIV.

27)

и (XIV.

28)

могут быть использованы и для однород-

ного горизонтального кругового цилиндра бесконечного простирания, если

линейную плотность К положить равной пЯ

Дб, где Я — радиус сечения

цилиндра плоскостью, перпендикулярной к его оси; Дб — аномальная плот-

ность, длина цилиндра принята равной единице.

На рис. 81 представлены кривые Д^ и Т

хг

для случая горизонтального

бесконечного цилиндра кругового сечения, построенные на основании формул

(XIV.27) и (Х1У.28).

2. Вертикальная вещественная прямая. В этом слу-

чае (рис. 82) следует положить

= 0,

у = г = 0, г = У®

-К

<1т

Х<11,.

В соответствии с (Х1У.11)

Ь2

Если = оо, то

Г:

(Х1У.29)

3. Прямоугольный параллелепипед и прямо-

угольная призма бесконечного простирания. На

рис. 83 изображен прямоугольный параллелепипед, грани которого парал-

лельны координатным плоскостям. Аномальную плотность параллелепипеда

примем равной Дб = б

— б

, где б

— плотность самого параллелепипеда,

а б

— плотность окружающих горных пород. Вычислим аномалию силы тя-

жести в точке О — начале координат. Полагая в (XIV. 11)

найдем

$2 >12 Ы

Д, = /Дб | | |

|< 111

лц аъ

(Б*-И

-К

)

'/2

26 Заказ 1379

401

После выполнения интегрирования по ? и т)

?2ТЪ Ъ

^--/Дб | | + + +

(XI

V >

Выполнив интегрирования по получим

Д^ = -/Дб

| I [Б1П(Л +

Г)

с.тнб.

(XIV : I

В случае бесконечной призмы с прямоугольным сечением, грани коте

параллельны плоскостям ху

уг (рис. 84), в формуле (XIV.30) пределы к »

Рис. 83

следует считать от —до Обозначив через I достаточно большое чиедч.-

будем иметь

|1п(т1+/т1® + 1

+ С

)Й^ = 1п

-1+У

ИВЫкли,

"Г" п

Считая дробь (§

+ малой величиной, разложим числитель и знамг-

натель полученного выражения в ряд по степеням этой дроби, ограничивая:

малыми первого порядка

+ ]/н —

или, пренебрегая единицей^ поскольку первый член в скобке очень велкг_

. У ^ ^т. и П , .ч

1П

.-.Л . 1~~|ЧЧ2

( й^+ё

" /'

+ /1-' ^

1п — — ^

1п •

402.

Таким образом, формула (Х1У.30) для случая прямоугольной призмы

бесконечного простирания будет

Д^

= —/Аб

или

1п-

422

Е, 1=со

-к

= —/Дб | $

А^ = /Аб |

1п

г=оо ;

+ С!

1п

4/2

•1п

4/2

+ ^

Применяя формулу интегрирования по частям, найдем

11п + ^ = 11п (5

)

- 2 ^ = §

1п

+ О -

+ агс1

Следовательно,

-11 6.

= /б [1

1п (I

)

+ 2С

агс*

- & 1п (Й + ?

) - 2^

агс1

- ё

1п (51 + II) ~ Чг агс1

+ & 1п {Ц + Й) + агс1

(Х1У.32)

или в сокращенной записи

д^ = /Лб

(Х1У.ЗЗ)

Положим, что сечение плоскостью хг рассматриваемой призмы пред-

ставляет прямоугольник МNР^ (см. рис. 84). Аномалия силы тяжести Ад,

вызванная этой призмой, может быть представлена как разность двух сумм:

Ад

+ Ад

и А§

+ где Д^, А§

, Ад

, — аномалии силы тяжести

призм, сечения которых соответственно будут: 0%,

Р1,

, О^М^, О и

^N11, 1-

Ддя вычисления величин Д^

, Д^

и положим в формуле

(XIV.32) пределы

равными нулю, после чего получим

I» I»

| 1п + 0 <11- | 1п (5

+ Й) = & 1п +

С1)

+ 25, агс1§ -1

1п Ц =

• агс1§ - 1п 1 + -р- + 2Ь, агс*

Аномалия силы тяжести в случае прямоугольной призмы бесконечного

простирания, две грани которой лежат в плоскостях ху и уг, в точке О будет

вычисляться по формуле

Ьг

Д<^

= /Дб

>1п

+ 2^

апЛЯ'

27*

403."

Введем обозначение

тогда До^ предстанет как функция

д = 2/ Дб^

[4-Р 1п (1 + ± ) + агс1

р].

Можно это записать короче

^ = Дб^, (XIЛ'.З.

где

Р = 2/ р 1п (1 + ±) + агс1

р]

•

Последнее равенство позволяет искомое значение аномалии для призмы

с сечением МИР(1 выразить таким образом:

Дб

(Р

- Р

) + & (Р

- Ро).

Венинг-Мейнес составил удобные для пользования таблицы, в которых

по аргументу р даются значения функции Р. Выдержки из этих таблиц приво-

дятся в табл. 44.

Таблица

0,1

0,2

0,3

0,4 0,5 0,6

0,7

0,8

0,9

0,00

15,10

17,75

18,77

19,30

19,63

4,41

15,53

17,89

18,84

19,34

6,98

15,91

18,02

18,90

19,38

8,88

16,24

18,14

18,96

19,42

10,36

16,53

18,25

19,04

19,45

11,55

16,79

18,35

19,07

19,48

12,53

17,02

18,45

19,12

19,52

13,34

17,23

18.54

19,17

19.55

14,02

17,42

18,62

19,22

19,58

14,60

17.59

18,70

19,26

19.60

Примечание. Чтобы получить Д§ в миллигалах, в формуле (Х1У.34) необходимо выраж..-:

в километрах.

Форма кривых для Ад существенно

мерами граней призмы. На рис

Рис. 85

Рассчитаем

оси х (рис. 87).

аномалию силы

Принимая у

зависит от соотношения между раз-

85 приведены кривые аномалии силы тяжести

над призмой с глубиной залегания верх-

ней грани 10 м и размерами граней 2'.

и 200 м. Аномальная плотность Аб при-

нята равной единице. В первом случае

(кривая 1) грань шириной 200 м лежит

горизонтально, во втором (кривая 2) —

вертикально.

4. Вертикальная ступен:

(сброс). Вертикальная ступень (рис. 86, (.

может рассматриваться как бесконечная

призма* у которой одна из вертикаль-

ных граней отодвинута в бесконечности

(рис. 86, б), поскольку и в том, и в дру-

гом случае аномалия силы тяжести будет

иметь одну и ту же величину,

тяжести для вертикальной ступени вдол:

= 0, Аб = б

404.

и пределы интегрирования по от 0 до по т): от —до +

и по от

1,-у до на основании формулы (Х1У.11) получим

1-со+оо

«=>

А6

И "йг:

I Щ

о » г

О -оо Ех

После выполнения интегрирования и подстановки пределов

Д^ = /

Дб

1п + 2 + агс1§ ) - ^ + агс1^ )]}

•

(Х1У.35)

" в,

ц§§§

шшшш

ц§§§

+ 0

и;

+ 0

шш

Рис. 86

Р(х,0,0)

Формулы для вторых производных потенциала имеют вид

Г^/ДбЫ^

д = 7

2г

= 2/Дб(агс^^-

На рис. 86 схематически показан ход кривых А§, Т

хг

, Т

гг

ступенью.

Положим в формуле (XIV.

35)

Тогда

при х = — оо

над вертикальной

—х = 0, х

при

= 0 Д# = /яДб(^

—

при

а;

= + оо

Д^

= 2/я

Дб

— ^1)-

Оказывается, что в бесконечно удаленных точках, а также в точке, распо-

ложенной над краем сброса, значение аномалии силы тяжести зависит только

от величины — и избыточной плотности Дб пород, образующих сброс,

и не зависит в отдельности ни от ни от Для двух ступеней с одинако-

выми значениями разности — ^ и Дб, но с различными значениями ^ и

405

т. е. расположенных на различной глубине от земной поверхности (рис. 88),

в указанных выше точках соответствующие этим ступеням кривые Ад будут

пересекаться. Более детальное исследование формулы для аномалии силы тяже-

сти показывает, однако, что во всех остальных точках кривые совпадать не

будут. Именно, более близкой к поверхности ступени будет соответствовать

кривая с более крутым наклоном, а ступени, расположенной на большей глу-

бине, кривая с более пологим наклоном.

Для двух точек с координатами +х и —х, расположенных по обе стороны

от края ступени, если х 1,

х%

можно написать приближенное равенство

Ад (+х) - Ад (~х) ^ 2я/ Аб - (Х1У.36)

т. е. разность аномалий приблизительно пропорциональна разности глубин

§ 90. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

ГРАВИМЕТРИЧЕСКОЙ РАЗВЕДКИ МЕТОДАМИ,

ОСНОВАННЫМИ НА РЕШЕНИЯХ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ

Полученные в предыдущем параграфе формулы, позволяющие решить

прямую задачу, используются в гравиметрической разведке для решения обрат-

ной задачи при помощи специально разработанных методов. Среди методов

могут быть названы: метод «характерных точек», метод подбора и др., примене-

ние которых возможно только в случае, если известны некоторые данные об

искомом аномальном теле, как, например, его форма, аномальная плотность,

глубина залегания. Эти данные можно получить либо по материалам геологиче-

ских изысканий, проводившихся в исследуемом районе, либо в результате при-

менения других методов геофизической разведки.

1. Метод «характерных точек». В случае, когда на основании

каких-либо материалов сделано более или менее обоснованное предположение

о форме аномального тела, могут быть использованы формулы, дающие значе-

ния Ад, Т

Х2

и других производных, в виде тех или иных функций координат

точки наблюдения.

Так как наиболее часто значения этих величин рассматривались только

для точек, расположенных на оси х, то можно положить, что

406.

Написанные равенства можно рассматривать как уравнения некоторых

кривых. Для ряда тел, имеющих простую геометрическую форму, такие урав-

нения известны. На этих кривых легко отметить некоторые «характерные точки»,

например: 1) максимума и минимума, 2) перегиба, 3) точки, в которых значе-

ние ординаты у равно половине, четверти и т. д. максимального значения орди-

наты кривой, 4) точки, в которых ордината равна нулю, и т. д. Для всех этих

точек можно найти соответствующие значения абсцисс х и, зная аналитические

выражения для (х), /

(х), . . ., возможно получить соотношения, связыва-

ющие абсциссу х для какой-нибудь из этих точек с элементами, характеризу-

ющими размеры, массу тела и его положение. Такие соотношения и позволяют

решить обратную задачу для тех или других частных случаев.

Рассмотрим несколько таких случаев.

Пусть по каким-либо соображениям принято, что аномальное тело по своей

форме близко к шару. В этом случае решение обратной задачи может быть

произведено следующим образом.

Напишем уравнение кривой = (х), график которой дан на рис. 79.

Поскольку в данном случае г = ]/х

+ то в соответствии с формулой

(Х1У.17) это уравнение будет иметь вид

Л, _ /МаСо _ №а (л

* (*

+с.Т' ?

I ?о

Очевидно, что § будет являться максимальным значением аномалии^

которого функция Ад достигает при х = 0. Введя обозначение

= (Х1У.37)

получим

Дйпах _ /

4 +

•

(XIV.38)

Для удобства вычислений выгодно принять это отношение равным неко-

торому целому числу п. После этого на графике функции Л^ = (х) следует

определить абсциссу «характерной точки», аномалия которой Ад удовлетворяет

условию

А?

Тогда уравнение (XIV.

38)

перепишем в виде

Получили соотношение, связывающее абсциссу х «характерной точки»

с глубиной залегания центра шара решим его относительно

Бо

407

Положив п = 2, найдем

=*,/,= 1,305а:./,, (Х1У.39)

где под XI/

понимается абсцисса, при которой аномалия Д^ равна половине

максимального значения Ад

тах

Определив из соотношения (XIV. 39), по формуле (XIV.

37)

находим

аномальную массу шара

= С' . (Х1У.40)

Если еще известна аномальная плотность

Дб =

—б

где б

— плотность шара; б

— плотность окружающей породы, то можно

найти радиус шара

Я - "]/

У 4я Аб •

Зная К и найдем глубину к залегания поверхности аномального тела

Решим теперь обратную задачу для шара, используя график кривой Т

хг

= /

(х), изображенный на рис. 79. Уравнение этой кривой в соответствии

с (XIV.

20)

имеет вид

хг

= -т

а1

^т7. (Х1У.41)

Исследование уравнения (Х1У.41) показывает, что максимальное значе-

ние функции Т

хг

будет при

а;

= — (1/2) а минимальное — при х = + (1/2) По-

следовательно,

т. е. глубина центра шара равна расстоянию между точками максимума и мини-

мума кривой Т

хг

. Подставляя в (XIV.41) значение х = —(1/2)

Но>

найдем соот-

ношение между (Т

хг

)

тах

и аномальной массой М

Ьо

(Т

хг

)

тах

Ео

= , " =3/М

а / Ч1/- =

0,858-^,

Х-— -

(4+ЙГ •

откуда

= 0.0175Ц (Т

хг

)

тах

Если аномальное тело имеет форму горизонтального кругового цилиндра

бесконечного простирания, то уравнение кривой Ад = (х) в соответствии

с (XIV.

27)

напишется

= (Х1У.42!

408.

Очевидно, что максимум функции будет иметь место при х = 0, т. е.

^ = (Х1У.43)

1+^-, (XIV.44)

Положим, что А§

тах

/А§ = п, тогда (Х1У.42) представим как

х*

ьо

где под х понимается абсцисса «характерной точки», аномалия которой А§

в п раз меньше А@

тах

. Эта абсцисса находится по графику функции Д^ (см.

рис. 81). Соотношение (Х1У.44), связывающее абсциссу х с глубиной залегания

центра цилиндра позволяет определить

При п = 2, = XI

, где хч

— обозначает абсциссу «характерной точки»,

при которой аномалия Д^ = 1/2 Л&п

ах

. Определив, таким образом, нахо-

дим X из формулы (XIV.43)

= -Ц^ = 0,00749^

тах

Решим эту же задачу, используя график кривой Т

хг

= /

(х) (см. рис. 81).

Уравнение кривой дается формулой (XIV.28); максимум имеет место при

V з

а минимум при

Но

V • =

^т 1 п

Уз

Обозначив

^т 1п

-^тах

найдем, что

Подставляя в (XIV.28) вместо х ;г

тах

, получим

ч 9А

откуда

*, = 0,0Щ

(Г,

)

тах

Рассмотрим случай вертикальной ступени, особенно часто встречающейся

в практике.

Итак, предположим, что аномалия А§ обусловлена действием одной поверх-

ности раздела пород с плотностью б, (верхняя толща) и 6

(нижняя толща).

Допустим, что в точке с абсциссой -\-х (см. рис. 86) глубина указанной

поверхности равна а в точке с абсциссой —х глубина равна

Тогда, предполагая, что изменение аномалий вызывается лишь рельефом

разделяющей поверхности, можно использовать приближенное равенство

(Х1У.36). Допустим, что известны Дб = б

— б

глубина контактной поверх-

409.