Шимбирев Б.П. Теория фигуры Земли

Подождите немного. Документ загружается.

В последнем интеграле взят знак минус по той причине, что внешняя нор-

маль п направлена на плоскости Оху в сторону отрицательных 2.

Поскольку потенциал точечной массы на поверхности сферы

, йт

Я '

получим

дТ , йт

дЯ ~~ ~ ' •

Если провести вспомогательную сферу Я = 1, то

6о = Я

(1(й,

где ш — часть поверхности вспомогательной сферы, соответствующая части

сферы а (Я), лежащей ниже плоскости 2 = 0. Тогда будем иметь

п (Н) о (й) а

При Я -*- ьо, со

-*•

2л, а интеграл по ограниченной части плоскости 2 = 0

переходит в интеграл по всей плоскости 2 = 0.

Таким образом,

СО

+оо

2| | йх йу. (XIV.

Если в точке С находится не точечная масса, а некоторое тело, то, сум-

мируя по всем элементам массы вт, тела и пользуясь свойством аддитивности

потенциала, найдем

+ 00 4-СЮ

2я/М

= | ^ ^Лхйу, (Х1У.2'

— оо -оо

где под Т следует понимать потенциал притяжения, создаваемый аномальное

массой М

. Поскольку, как мы условились, под аномалией силы тяжести пони-

мается вертикальная составляющая притяжения, то, очевидно, что

А ДТ

~дГ*

т. е. под интегралом в (XIV.2) стоит аномалия силы тяжести, создаваемая иско-

мым аномальным телом массы М

. Определим координаты центра инерция

тела (%

, г]

, ?„).

Рассмотрим интеграл

+ СО +ОЭ

— СО -СО

Поскольку на плоскости Оху потенциал Т точечной массы и его производ-

ная по

симметричны относительно проекции точки С на плоскость, то

+со 4-<х>

390.

откуда

-Ьоэ +со 4-со -рсо

* 1 $ 1 1 х^-йхйу.

— со —оо —00 -со

Учитывая (XIV.!), получим

+СО

-Г со

— со —со

Переходя от элемента массы йт к массе тела М

, находим

+ СО +СО

2Л/М

=| | Х^ЙХЙУ, (Х1У.З)

-оо -оо

так как на основании (11.29)

Аналогично получим

СО +СО

2я/М

т]

= ^ ^ У^йхйу, (Х1У.4)

-00 -00

Глубина залегания центра массы определяется по формуле Г. А. Гам-

бурцева, которую приводим без вывода,

+со +оо

6Л!М

=\ ^ (Т + 2Т*^)ЙХДУ. (Х1У.5)

-со

—оо

При практическом применении формул (Х1У.2), (Х1У.З), (XIV.4) и (Х1У.5)

приходится ограничиваться интегрированием в некоторых конечных пределах.

Входящие в формулу (Х1У.5) величины Т и д^Т/дт?, как правило, непосред-

ственно не измеряют, а вычисляют через дТ/дг по интегральным формулам.

Применение столь сложных приемов определения при малой точности полу-

ченных результатов делается нецелесообразным. Для оценки глубины залега-

ния аномального тела может быть применен метод, идея которого была выска-

зана Ф. А. Слудским.

Так как направление вектора притяжения всегда проходит через притя-

гивающее тело, то вполне возможна пространственная засечка положения тела.

Правда, в общем случае направления векторов не пересекаются в одной точке,

но этот метод дает возможность ориентировочно оценить положение притяги-

вающего тела.

Для получения направления вектора притяжения следует вычислить

проекции этого вектора на координатные оси, учитывая, что дТ/дг = Ад.

дТ/дх и дТ/ду вычисляют по формулам для составляющих уклонений отвеса,

поскольку на основании (VI.7) имеет место зависимость

— = —?

дх ~

дТ

1Г—™

391.

Используя формулы для плоскости (IX.56) и (IX.57) и полагая в нп:

с1о = г (1г с1А, получим

оо 2 Я

дТ

дх

о о

5 ^-соаАйгбА,

о о

со 2Я

1 Г Г М.*ЪАЙГЙА.

ду 2д ^ ^ г

Для улучшения сходимости интегралов при малых г целесообразно Л.

уменьшить на постоянную величину Ад

, т. е. на значение аномалии в Т' :

точке, для которой вычисляются дТ /дх и дТ /ду. Получаем известные формул

Б. В. Нумерова

дТ

дх

ду -

дТ_ ^ | —А§-

о о

Дальнейшее построение засечки можно осуществлять графически п.~:

аналитически.

§ 88. ВТОРЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВОЗМУЩАЮЩЕГО ПОТЕНЦИАЛА

Эти производные, как и производные более высоких порядков от потек-

циала силы тяжести, играют важную роль при интерпретации, посколыг

они обладают гораздо большей чувствительностью по отношению к притяги-

вающим массам, нежели сами аномалии силы тяжести. Это объясняется те.",

что чем выше порядок производной, тем сильнее ее зависимость от расстояния

Так, например, если потенциал притягивающей точки У = / (т/г) есть функ-

ция, убывающая с расстоянием как 1 /г, то первая производная потенциала —

сила притяжения Р = йУ/Лг = —/

(т,/г

— убывает уже как 1 /г

, а вторе.-:

производная дРУ/йг

= 2/ (т/г

), как 1 /г

и т. д. На рис. 77 приведены г; -

фики изменения аномалии силы тяжести А§, ее вертикального градиент

д Ад/дг и второй вертикальной производной аномалии силы тяжести д

А§/о:-

от двух круговых цилиндров бесконечного протяжения. В приведенном примег

кривая Д^ не показывает наличия двух источников гравитационных аномалп;:

оно слабо проявляется и на поведении кривой д Ад/дг и только кривая д

ясно обнаруживает наличие двух аномальных масс.

Потенциальная функция силы тяжести УУ имеет шесть вторых производ-

ных, которые принято обозначать как

дх>±

Ухх

' ду2 д22

дхду дхдг

' ду д2 У

Эти производные потенциала имеют размерность 1/с

. Единицей изме;

ния является этвеш, составляющий 10"

(1/с

392

Производные д

УУ!дх

, д

1У/ду

и д

Ц>

г2

/дх ду, как следует из формулы

(1У.15), определяют кривизну уровенной поверхности силы тяжести, произ-

водная д

УУ/дг

является вертикальным градиентом силы тяжести а д

Ш/дх дг

и д

Ш/ду дг — горизонтальными градиентами силы тяжести.

Величины д

№/дх ду, д

Ц//дх дг, д

\У/ду дг и д

Ш/ду

— д

Ш/дх

получают из наблюдений с вариометрами, однако для целей гравиметрической

разведки необходимо получить аномальные значения этих производных.

Для этого из наблюденных значений производных требуется вычесть

их нормальное значение, а также поправку за влияние рельефа.

Приведем нормальные значения вторых производных для уровенного

эллипсоида

хг

- дх дг дх М

ау

У* дудг ду '

V =^ = 0

У дх ду '

тт

дЮ дт

Уе

е2 ,

—^7,

СОЗ

В,

где М — радиус кривизны меридианного эллипса; а — большая полуось

эллипсоида; е — его эксцентриситет. Подставив значения постоянных, получим

в этвешах

хг

= 8,11 зт 2В, 11

уг

= 0,

ху

= 0, П

= 10,24 соз

В.

393.

В табл. 43 приводятся нормальные значения производных.

Влияние рельефа учитывается при помощи формул, выведенных различ-

ными авторами (Этвеш, Швейдар, Никифоров, и др.), а также графическими

методами.

Аномальное значение второй

получается следующим образом:

производной, например величины IV

ху

где (\У

ху

)а — аномальное значение второй производной; \У

ху

— наблюден-

ное; Л

ху

— нормальное значение; {№

ху

)т — поправка за рельеф.

Однако в настоящее время вариометры в гравитационной разведке приме-

няются редко и их все в большей степени вытесняют высокоточные гравиметры.

Используя результаты наблюдений с гравиметрами, можно получить

горизонтальные градиенты аномалии силы тяжести: д Ад/дх и д А§/ду и вто-

рую вертикальную производную ано-

малии силы тяжести д

Ад/дг

Учитывая связь между аномалией

силы тяжести Д^ и возмущающим по-

тенциалом, можно написать

Таблица 43

в ил

ху

хг

•

Уг

0 10,2

0 0,0

9,9

0 2,8 0

20 9,0 0

5,2

7,7 0 7,7 0

40 6,0

0 8,0 0

50 4,2

0 8,0 0

60 2,6

0 7,0 0

1,2

5,2

80 0,3

0 2,8 0

90 0 0 0

дАе

дх дх

дАё

ду

дг2

32 т

( дТ \ _ 83т ,

V дг а

—

По предложению М. У. Сагитова

[11] эти величины можно получить через

аномалии силы тяжести. Возьмем прямоугольную систему координат хОу

с началом в точке, где предполагается вычислить вторую вертикальную произ-

водную Т

ггг

; построим сеть квадратов со стороной 21. Координаты вершин

и центров полученных квадратов указаны на рис. 78. Поскольку горизонталь-

ные градиенты аномалий силы тяжести определяются как отношение разности

аномалий силы тяжести в двух соседних точках к расстоянию между нимп,

то для точек с координатами

будем иметь

(2' 2 )' ( 2' 2 )' ( 2 ' 2 )' ( 2' 2~)

1_ I \ _ А? (I, 1) + А

(I,

0)—Л^

(0, Р —

Ац (0,

( 2 ' 2 )

_Ау(0.

Г)

+ А*(0, 0)—А^ (—I, 0)—А§ (—I, I)

Тхг

( 2 ' 2 ) 21

(1_ I \ А$ (I,

+ А

(I, -0—А* (0, 0)—А*

(0,

-I)

Х2

\2' 2 ) ~ 21

«Ч 2 ' 2 )

А?(0, 0)+А^(0, -1)-А

(~1, 0)—Д

(—г, -I)

(Х1У.6)

394.

Аналогично получим выражения для горизонтальных градиентов Т

уг

в тех же точках:

АУ(*, 1) + А§ (0, 0)-ДУ(0, 0)

2/!

д*(0, г)+д*(-*, г>—а^г(о, о)-д

(-г, 0)

Уг (

Туг(

—

Т'

г •

, —

1 '

"2~

о)+д?(0, 0)— -о—Ду(о, -о

А*(0, <—Г, 0)—Д^(О, -Г)—Ду(-Г. -г)

г-^

(~2>г)

(П)

№

т)

до

(XIV. 7)

М 0,-1)

Рис. 78

Имея значения вторых производных Т

хг

и Т

уг

в выбранных точках, полу-

чим выражения для вторых производных аномалии силы тяжести в центре

палетки (0, 0)

ххг

(

0,0)

г (

(4-' —т)~

Тхг

(~Т' т)~

Тхг

(~~Т' ~т)

0) =

—• т)

+ Гг/2

( 2"' т)~

Туг

{т> ~т)~

туг

{~т> ~т)

(Х1У.8)

Известно, что потенциал притяжения вне притягивающих масс удовлетво-

ряет уравнению Лапласа

ТXX Т

уу

-С Т

= 0.

Продифференцируем все члены последнего уравнения по 2. Выразим

вторую вертикальную производную Т

ггг

аномалии силы тяжести через произ-

водные Т

ххг

и Т

ууг

в точке (0, 0)

7^(0, 0) = -Г

ххг

(0, 0)-Г

да

(0, 0).

395.

Принимая во внимание соотношения (Х1У.6), (XIV.7) и (XIV-8), в нос.

нем равенстве выразим Т

ххг

и Т

ууг

через аномалии силы тяжести Ад.

Т- (0 0)—О—А*

(Л

-0—Ау(-г. 1)-&

(-1, -I) (XIV-

Таким образом, вторая вертикальная производная Т

ггг

аномалии сг:

тяжести в некоторой точке (начале координат) с точностью до постоянна"

множителя (1/2) равна учетверенному значению аномалии силы тяжести в с

точке минус аномалии силы тяжести в вершинах квадратов.

§ 89. РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ

ГРАВИМЕТРИЧЕСКОЙ РАЗВЕДКИ

Как уже говорилось выше, нахождение путем вычислений значений ну

малий силы тяжести или значений вторых производных возмущающего пот» -

циала от находящегося в недрах Земли тела любой формы и с любым распре.

лением плотности в нем для точек, расположенных на земной поверхност

носит название прямой задачи гравиметрической разведки.

При этом поверхность Земли принимается за плоскость, а оси коордиг

принято располагать следующим образом: оси х и у помещаются в плоско!:

горизонта, а ось г направляется вертикально вниз.

Прямая задача, в противоположность обратной, всегда имеет однозначн'

решение, получение которого не связано с какими-либо принципиальны:

трудностями. Однако математические вычисления, которые необходимо п;

этом производить, отличаются большой сложностью. Сложность эта связг.

с тем, что всякое аномальное тело является трехмерным и потому при оп;

делении параметров гравитационного поля приходится выполнять трехкратн-

интегрирование, что и приводит при сложной форме тела к чрезвычайно громо;

ким выражениям. Вследствие этого в гравиметрической разведке нашли шп'

кое применение так называемые двухмерные тела, определение гравиметри-

ских характеристик которых значительно проще, чем трехмерных.

Под двухмерным телом понимается тело бесконечного простирания в однг

направлении. Форма двухмерных тел целиком определяется формой их пои

речного сечения. Двухмерное тело можно определить как цилиндрическ

полученное при движении обра&ующей по контуру поперечного сечек:

В том случае, если контур имеет форму многоугольника, мы получим прпг'

тическое двухмерное тело. Горизонтальный однородный круглый цилинд

притяжение которого равно притяжению эквивалентной массы, расположена

по оси цилиндра в форме материальной линии, является простейшим случг

двухмерных цилиндрических тел.

Погрешности, вызванные заменой трехмерных тел двухмерными, обыч>

невелики и для вытянутых по простиранию геологических тел, длина котор:

в 5 раз и более превосходит их поперечник, можно считать, что гравитационг-

поле над серединой их такое же, как если бы эти тела простирались в бесконе

ность.

Только для очень ограниченного числа тел, имеющих простейшую форм~

удается получить удобные для практического использования формулы. Конечк

подобные тела в природе встречаются очень редко. Обычно формулами для т-.

простой геометрической формы пользуются лишь для первоначальной прпбгг

зительной оценки основных параметров тела, после чего переходят к постеш

ному подбору таких параметров, которые наилучшим образом соответствов;

396.

бы данным, полученным из наблюдений. Этот подбор ведется при помощи

методов численного интегрирования.

Для расчета кривых аномалий силы тяжести, обусловленных простейшими

по своей форме телами, применяются формулы:

а) цилиндрическое кольцо

А^ - 2л/

Аб

[/1\ + Я* - \/+ 1Р 4-

к+1

- 1

что следует из (VI 1.12) при п = 1;

б) цилиндр

Аг = 2*/АбЯ(1-4-);

в) горизонтальный бесконечный слой

Д^ = 2я/Лб#;

г) конус

А^ = 2я/АбЯ(1 — зт I),

где угол I определяется как г = агс Н/а.

Во всех этих формулах под Аб понимается аномальная плотность Дб =

= б

— б-р где б

— плотность данного тела; б

— плотность окружающих

данное тело пород.

Чтобы решить прямую задачу для тел, имеющих простую геометрическую

форму, воспользуемся формулами для потенциала притяжения точки и его

производных.

Потенциал материальной точки с массой йт в соответствии с (1.15) будет

7 = (ХГОО)

где г определяется по формуле (1.5). Первые производные потенциала в соот-

ветствии (1.16) будут

• ^

= = Йт. (XIV. 11)

дх

с*у

гЗ да

/3 \ >

При вычислении вторых производных потенциала будем учитывать, что

дг х—с, дг у—дг 2—5

дх г ' ду г ' Зг г

Следовательно,

д^У д ( дУ \ х — | дг , , Дт (х—, Ат

I дУ \ х — I дг , , (1т „, (х—|)г ,

дх% дх \ дх } ' г

дх -г з '

92V д / дУ \

, у

—Г1

дг , , (1т „, (и—Г))2 , ,

(

1т

ду* ду \ ду ) ' г* ду ' г» гб ' гз

Получим

^ = ••= 3/ Л*. (Х1У.12)

397

= (XIV,

(XIV,-

Поскольку шар притягивает по тому же закону, что и материальная точка,

воспользуемся только что выведенными формулами для получения соответ-

ствующих величин для однородного шара, положив Лт = 4/3 (яАбД

) = М

и понимая, как и прежде, под Дб аномальную плотность и под М

аномальнук

массу.

О Р(х,0,0)

Будем считать, что центр шара находится на оси 2 на некоторой глубине

Вычислим возмущающий потенциал, аномалию силы тяжести и вторые произ-

водные возмущающего потенциала для точки М, расположенной на осп +

Полагая в формулах (ХГУ.10), (ХГУ.11), (Х1У.12), (Х1У.13), (ХГУ.14) и (XIV.!.:

^ = т] = г/ = 2 = 0, и считая, что г = ]/ж

+ понимая под г расстояние

от центра шара до точки М, получим

__ зт

дхду

д2 Т

ду дг.

, М

Г '

(XIV.

ху = 0,

(XIV.

181

(XIV. V?

(Х1У.2С,

(Х1У.21

дх дг

дчт д*Т

ду2 дх*

На рис. 79 представлены графики кривых Д^ и Т

хг

. Теперь рассмотрим

различные случаи для цилиндрических тел.

1. Горизонтальная вещественна я прямая (горизон-

тальный круговой цилиндр). Пусть на рис. 80 изображена вещественная

398.

горизонтальная линия, лежащая в плоскости уг на глубине Обозначим

линейную плотность через Я, так что

с1т

= Я Расстояние от элементарной

массы йт до точки Р

г = Т/^ + л' +

^о

Используя формулу (XIV.И), получим

^ д

-/? ^^ /я: ?' ^

Обозначим постоянную величину х

+ ^о через с

. Представим последний:

интеграл в виде

3 дз '

где

К = 1/У+с

Отсюда получаем =

-г|с?т]/Т/

г/

—|-

. Поскольку Я' = т1/1/т]

+ с

= "П/Д, имеем

ЯЯ' =

г|,

(XIV.22),

= Л' йт). (XIV. 23).

Дифференцируем (Х1У.22)

ЯйЯ' + Я' йЯ =

<1ц

Отсюда с учетом соотношения (XIV.23) будем иметь

<1П' йт)

На основании равенства

учитывая (Х1У.22), получим

1-й'

— г\

= с

1 1—Я'

Д2

(XIV.25).

Таким образом,, подынтегральное выражение с учетом (XIV.24) и (XIV.2.5)?

можно представить как

ЛИ^ЛI

л»

д ' дг

2 •

Тогда

с ^

ин'~

О Я3

2 -

с2

|Л^)172 '

Таким образом,

399 >