Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб. пособие

Подождите немного. Документ загружается.

16.2. ПРОВЕРКА БИНОМИАЛЬНЫХ ГИПОТЕЗ

(т. е.

шо

30). Соответственно область принятия нулевой гипотезы

такова:

{0,1,..., 29}.

Замечание. Напомним, что

называется также вероятностью ошиб-

ки первого рода. Вероятность ошибки второго рода здесь является

не числом, а функцией

(3(р),

поскольку гипотеза

не задает од-

нозначно закон распределения. Предоставляем заинтересованному

читателю самостоятельно определить вид функции

(3(р).

В рассмотренном примере критическая область была односто-

ронней, в частности правосторонней. Левосторонняя критическая

область соответствует альтернативным гипотезам вида р <

Ле-

востороннее критическое значение

лев

находится по формуле

Ялев

CTUi_2

(2)

(рис.

3).

Рис. 3

В следующем примере критическая область двусторонняя.

Пример 6. О некоторой монете утверждается, что она правиль-

ная, т. е. вероятности выпадания герба и цифры равны между со-

бой. Монету подбросили 100 раз, при этом 70 раз выпал герб, а 30

раз — цифра. Проверить утверждение о правильности монеты на

5%-м уровне значимости (т. е. на уровне значимости

— 0,05).

Здесь нулевая и альтернативная гипотезы формулируются сле-

дующим образом:

301

ГЛАВА 16. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

где р — вероятность выпадания герба. Здесь альтернативная гипоте-

за, как и критическая область, является двусторонней. Это обусло-

влено тем, что нет предположений относительно более частого либо

более редкого выпадания герба.

Множество всевозможных результатов испытаний

£1

(в данном

случае это количество выпаданий герба) составляют целые числа

от 0 до 100:

{0,1,...

,100}.

Число выпаданий герба

— это биномиальная случайная вели-

чина

Вг

( 100,

ту

) • Следовательно,

На рис. 4 изображена двусторонняя критическая область. Критиче-

ские значения

Х\

x<i

вычисляются по формулам

(3)

где

щ^

— решение уравнения

2Ф(«1_

)

1 - а.

В данном случае получаем

Щ-а

0,9Ъ

= 2,

= 50 - 5

•

2 =

40,

= 50 + 5

•

2 = 60.

302

16.2. ПРОВЕРКА БИНОМИАЛЬНЫХ ГИПОТЕЗ

Таким образом, критическую область составляют значения

до 40

и больше 60:

S-

{0,1,...,

40}

{60, 61,..., 100}.

Отметим, что при

= 40 либо со = 60 имеет смысл, по-видимому,

не принимать окончательного решения о принятии либо отвержении

нулевой гипотезы. Но в данном случае испытание дало результат

со = 70, поэтому гипотеза

отвергается в пользу гипотезы

Hi.

Окончательный вывод таков: монета правильной не является.

В общем случае процедура проверки биномиальной гипотезы со-

стоит из следующих шагов:

1) формулировка нулевой и альтернативной гипотез;

2) выбор уровня значимости

а;

3) определение объема выборки п;

4) описание множества всевозможных результатов наблюдений

Г2;

5) вычисление критической области

и области принятия нуле-

вой гипотезы (по одной из формул (1), (2) либо (3));

6) выполнение эксперимента (сбор данных) и принятие решения.

Пример 7. Производственная линия выпускала 5% бракован-

ных товаров. Было предложено усовершенствование, призванное

снизить процент брака. После переналадки линии на осмотр посту-

пило 300 единиц товара, из которых бракованными оказались 9 еди-

ниц. Можно ли на 1%-м уровне значимости считать, что качество

продукции производственной линии улучшилось?

Решение. Здесь нулевая гипотеза состоит в том, что линия по-преж-

нему выпускает 5% брака:

Альтернативная гипотеза

является левосторонней — процент

брака уменьшился:

Уровень значимости и объем выборки даны в условии:

Если при проверке фиксируется число бракованных изделий со,

то эта величина может принимать значения из множества

303

ГЛАВА 16. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

В случае истинности гипотезы

величина

является биноми-

альной случайной величиной Вг (300; 0,05). Следовательно,

Таким образом, критическая область может быть записана в виде

S = {0,1,..., 6}.

Область принятия нулевой гипотезы соответственно такова:

{7,8, ...,300}.

Если в выборке бракованными оказались 9 единиц товара, то сле-

дует принять нулевую гипотезу. Окончательный вывод: имеющиеся

данные не дают оснований считать, что качество продукции улуч-

шилось.

16.3.

Критерий

согласия

(хи-квадрат)

При проверке биномиальных гипотез требовалось проверить гипо-

тезу о равенстве неизвестной вероятности некоторому числу. Под-

черкнем, что речь шла об уточнении значения одного параметра —

вероятности. Иной характер имеет ситуация, когда требуется про-

верить гипотезу о равенстве определенным значениям нескольких

вероятностей (иначе говоря, о законе распределения в целом). В та-

ких случаях применяются так называемые критерии

согласия,

один

из которых мы и рассмотрим.

Пусть в результате некоторого испытания может произойти одно

из г событий

вид:

равна 1.

Альтернативней

гипотезой

является

невыполнение хотя бы

одного из этих равенств.

304

16.3. КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ

(ХИ-КВАДРАТ)

Исходными данными для проверки гипотезы

ЯВЛЯЮТСЯ резуль-

таты п независимых испытаний. Пусть эти результаты следующие:

событие

А\

произошло

т\

раз,

событие

произошло

m<i

раз,

событие

произошло

раз.

Очевидно, что

гп\

m-i

+ • • • +

= п.

Подсчитаем величину

(хи-квадрат) по формуле

Это значение будет решающим при проверке гипотезы. Величина

показывает, насколько экспериментальные значения

т»

расходят-

ся с теоретически наиболее вероятными значениями

пр^.

Отметим,

что величина

может принимать лишь неотрицательные значения

(отсюда и обозначение

"хи-кеафат").

Сама проверка гипотезы осуществляется следующим образом.

Выбирается уровень значимости

0,05 либо

— 0,01 (возможны,

разумеется, и другие значения). Затем вычисляется

после чего находится критическое значение

Хк

(зависящее от

и к)

по таблице:

Если

то гипотеза

Но

отвергается, в противном случае — принимается.

Замечание 1. Таблица критических значений

(для удобства она

повторена в приложении — в конце книги) получена из некоторых

теоретических соображений. Дело в том, что при истинности нулевой

гипотезы величина

оказывается распределенной (приближенно) в

305

ГЛАВА 16. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

соответствии с законом распределения случайной величины

(А;)

—

"хи-квадрат

с к степенями

свободы"

(распределение

{к)

называ-

ется также распределением К. Пирсона). При этом критическое зна-

чение

Хк

определяется из условия

(хЧк)

)

= а.

Что касается самой величины

{к),

то она определяется как сум-

ма квадратов к независимых стандартных нормальных случайных

величин:

где

N(0,l),

г =

1,2,...,

к.

Отметим также, что

Замечание 2. Критерий

применяют тогда, когда все величины

гщ

достаточно велики, например при

npi

> 5,

= 1, 2,...,

г.

Пример 8. При 4040 бросаниях монеты французский естество-

испытатель

Бюффон

получил 2048 выпаданий герба и 1992 выпа-

дания цифры. На уровне значимости

= 0,05 проверим гипотезу о

том, что монета была правильной.

Решение. Здесь в результате испытания может произойти одно из

двух событий — выпадание герба либо вынадание цифры. Поэтому

имеем:

А\

— {выпадание

герба},

= {выпадание

цифры},

п = 4040,

= 2048,

1992.

Нулевая гипотеза —

16.3. КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ

(ХИ-КВАДРАТ)

Число степеней свободы к в данном случае равно

— 1 = 2 — 1 = 1.

По известным значениям

= 0,05, к = 1 находим в таблице

КР

3,8.

Так как

2 2

X ^

Хкр'

то нулевая гипотеза принимается — монета была правильной.

Пример 9. Некоторая фирма владеет тремя магазинами, рас-

положенными недалеко друг от друга. Руководство фирмы реши-

ло выяснить, посещают ли покупатели все три магазина одинако-

во охотно либо имеется некоторое различие. (Это различие может

быть, по мнению руководства, связано с более или менее выгодным

расположением магазинов, разной квалификацией персонала и т. п.)

Для проверки была собрана информация о количестве покупате-

лей, сделавших покупки в течение недели. Оказалось, что в первом

магазине это число составляет 160 человек, во втором — 225, в тре-

тьем

—215.

Решение. Здесь нулевой гипотезой будет равенство вероятностей по-

сещения покупателем первого

(pi),

второго

(р

)

и третьего

(р

)

ма-

газинов:

Р2

= Рз =

В результате испытания получаем

ггц

160,

225,

215, п = 160 + 225 + 215

600.

Вычислим величину

_ (160 - 200)

(225 - 200)

(215 -

20Q)

~ 200 "

~ 200

200 " ' "

Обратимся теперь к таблице критических значений (при к = 2).

Даже на уровне значимости

= 0,01 имеем

%к

9,2. Таким обра-

зом,

> Хкр-

Поэтому, видимо, разницу в посещаемости магазинов в течение не-

дели нельзя объяснить случайными колебаниями.

307

ГЛАВА 16. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

16.4. Задания и ответы

1. Ваш друг утверждает, что он умеет различать на вкус два близких

сорта вина если и не всегда, то хотя бы в четырех случаях из пяти.

Вы же склонны считать, что он просто угадывает.

Сформулируйте оба этих мнения в виде статистических гипотез и

предложите какую-либо процедуру проверки. В чем состоят ошибки

первого и второго рода?

2. Урна содержит большое количество белых и черных шаров.

100 раз производится следующее действие: из урны наугад достается

шар, фиксируется его цвет, затем шар опускается обратно в урну,

после чего шары перемешиваются. Оказалось, что 67 раз достали

белый шар, 33 раза — черный. Можно ли на 5%-м уровне значимости

принять гипотезу о том, что доля белых шаров в урне составляет 0,6?

Ответ: да.

3. Обычно применяемое лекарство снимает послеоперационные

боли у 80% пациентов. Новое лекарство, применяемое для тех же

целей, помогло 90 пациентам из первых 100 оперированных. Мож-

но ли на уровне значимости

= 0,05 считать, что новое лекарство

лучше? А на уровне

— 0,01?

Ответ,: да.

4. Игральный кубик бросили 60 раз, при этом числа 1, 2, 3, 4, 5,

6 выпали соответственно 12, 9,

13,

11, 8, 7 раз. Можно ли на 5%-м

уровне значимости отвергнуть гипотезу о симметричности кубика?

Ответ: нет.

5. Трое рабочих работают на трех одинаковых станках. В конце

смены первый рабочий изготовил 60 деталей, второй — 80, третий —

100 деталей. Можно ли на уровне значимости

= 0,01 принять ги-

потезу о том, что производительности труда первых двух рабочих

равны между собой и в 2 раза меньше производительности третьего

рабочего?

Ответ: да.

Часть III

ИГРОВЫЕ МЕТОДЫ

В практической деятельности весьма часто приходится рассматри-

вать явления и ситуации, в которых участвуют две или более сто-

роны, имеющие различные интересы и обладающие возможностями

применять для достижения своих целей разнообразные действия.

Подобные явления и ситуации принято называть конфликтными

или просто конфликтами.

Типичный конфликт характеризуется тремя основными состав-

ляющими:

1) заинтересованными сторонами,

2) возможными действиями этих сторон,

3) интересами сторон.

Конфликтная ситуация, взятая из реальной жизни, как правило,

довольно сложна. К тому же ее изучение затруднено наличием раз-

ных обстоятельств, часть из которых не оказывает сколько-нибудь

существенного влияния ни на развитие конфликта, ни на его исход.

Поэтому для того чтобы анализ конфликтной ситуации оказался

возможным, необходимо отвлечение от этих второстепенных факто-

ров, что при удачном стечении обстоятельств позволяет построить

упрощенную формализованную модель конфликта, которую и при-

нято называть игрой. От реальной конфликтной ситуации игра от-

личается еще и тем, что ведется по вполне определенным правилам.

Необходимость изучения и анализа конфликтов, представляемых

в виде упрощенных математических моделей (игр), вызвала к жизни

специальный математический аппарат — теорию игр.

Опишем некоторые основные понятия, используемые в этой тео-

рии.

Заинтересованные стороны называются игроками. Любое возмож-

ное для игрока действие (в рамках заданных правил игры) называ-

ется его стратегией. В условиях конфликта каждый игрок выби-

310