Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб. пособие

Подождите немного. Документ загружается.

6.3. МОДЕЛЬ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПОСТАВОК

В.

Издержки

на хранение вычисляются следующим образом.

Пусть

— время поставки (рис. 3). В течение этого времени проис-

ходит как пополнение (с интенсивностью р), так и расходование (с

интенсивностью d) запаса. Увеличение запаса происходит со скоро-

стью p—d. Поэтому достигнутый к концу периода пополнения запаса

максимальный его уровень М вычисляется по формуле

(заметим, что М < q). Однако,

(за время

при интенсивности производства р произведено q единиц

товара). Из последних двух равенств следует, что

Средний уровень запаса, как и в основной модели, равен полови-

не максимального, т. е. М/2. Таким образом, издержки на хранение

запаса равны

Общие издержки вычисляются по формуле

Оптимальный размер поставок q* получаем из уравнения

Имеем:

Пример 2. Интенсивность равномерного спроса составляет

1 тыс. единиц товара в год. Товар поставляется с конвейера, произ-

водительность которого составляет 5 тыс. единиц в год. Организаци-

онные издержки равны 10 УЕ, издержки на хранение — 2 УЕ, цена

единицы товара — 5

УЕ.

141

ГЛАВА 6. УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ

Чему равен оптимальный размер партии?

Решение. Имеем:

Далее,

В итоге получаем

Замечание. Найдя оптимальный размер заказа, можно определить

оптимальное число поставок за

год

п* и соответствующие продол-

жительность поставки т* и продолжительность цикла пополнения

запаса

£*:

6.4. Модель поставок со

скидкой

Рассмотрим ситуацию, описываемую в целом основной моделью, но с

одной особенностью, которая состоит в том, что товар можно поста-

влять по льготной цене (со скидкой), если размер партии достаточно

велик. Иными словами, если размер партии q не менее заданного чи-

сла

#0)

товар поставляется по цене

CQ,

где

с$

< с.

Функция общих издержек C(q) задается в таком случае следую-

щим образом:

6.1

МОДЕЛЬ

ПОСТАВОК

СО

СКИДКОЙ

Нетрудно видеть, что функция C(q) в точке q =

разрывна.

Обе функции

имеют минимум в точке, где

т. е. в точке

Для выяснения вопроса о том, какой размер партии оптимален,

следует сравнить значения функции C(q) в точках q и

и та точка,

где функция C(q) принимает меньшее значение, будет оптимальным

размером партии q* в модели поставок со скидкой (см. рис. 4, 5).

Рис.

Замечание. Может случиться так, что C(q) =

C(qo).

Тогда в каче-

стве q* можно взять любое из чисел q и

Пример 3. Предположим, что интенсивность равномерного

спроса составляет 1000 единиц товара в год. Организационные из-

держки равны 10 УЕ, издержки на хранение — 4 УЕ. Цена единицы

143

ГЛАВА 6. УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ

товара равна 5 УЕ, однако, если размер партии не менее 500 единиц,

цена снижается до 4 УЕ. Найти оптимальный размер партии.

Решение. Здесь

откуда

Поскольку

В точке q =

получаем

Таким образом,

6.5. Задания и ответы

1. Система управления запасами некоторого вида товара подчиня-

ется условиям основной модели. Каждый год с постоянной интен-

сивностью поступает спрос на 15 тыс. единиц товара, издержки на

организацию поставки составляют 10 долл. за одну партию, цена

единицы товара — 3 долл., а издержки на ее хранение — 0,75 долл.

в год. Найдите оптимальный размер партии.

Ответ: 632.

144

6.5. ЗАДАНИЯ И ОТВЕТЫ

2. Каковы будут а) продолжительность цикла и б) число поставок

за год, если стратегия управления запасами в предыдущей задаче

является оптимальной?

Ответ: а) 15 дней; б) 23,7.

3. Система управления запасами описывается моделью производ-

ственных поставок и имеет следующие значения параметров. Спрос

равен 1,5 тыс. единиц в год, цена 2 долл., издержки хранения едини-

цы товара в течение года — 0,2 долл., организационные издержки —

10 долл. В течение года может быть произведено 4,5 тыс. единиц то-

вара при полной загрузке производственной линии.

Нарисуйте график изменения запасов, вычислите оптимальный

размер партии, продолжительность поставки, продолжительность

цикла и средний уровень запасов.

Ответ: 474, 38 дней, 116 дней, 158.

4. Интенсивность спроса в модели производственных поставок со-

ставляет четверть скорости производства, которая равна 20 тыс. еди-

ниц товара в год. Организационные издержки для одной партии рав-

ны 150 долл., а издержки хранения единицы товара в течение года —

0,3 долл. Определите оптимальный размер партии.

Ответ: 2582.

5. Мебельной фирме требуется 1000 штук дверных ручек в год,

расходуемых с постоянной интенсивностью. Организационные из-

держки составляют 30 долл. за партию, издержки на хранение одной

ручки оценены в 1 долл. Цена дверной ручки составляет 2 долл., а

при закупке партиями объемом не менее 750 штук — 1,9 долл. за

штуку. Найдите оптимальный размер партии поставок.

Ответ: 245.

6. Торговец имеет стабильный спрос на некоторый товар в коли-

честве 500 единиц в год. Товар он покупает у поставщика по це-

не 6 долл. за штуку, причем издержки на оформление поставки

и другие подготовительные операции составляют в каждом случае

10 долл. Если торговец покупает сразу партию в количестве 150

единиц товара или более, цена сбавляется до 5 долл. за штуку. Ка-

ков оптимальный размер партии, если годовые затраты на хранение

единицы товара равны 1 долл.?

Ответ: 150.

Глава 7

МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА

В этой главе на ряде простых примеров мы покажем, как можно

определить эффективность производства экономической системы по

имеющейся количественной информации об объеме необходимых за-

трат, неизбежно сопровождающих всякое производство.

7.1. Продуктивные матрицы

Пусть имеется экономическая система,

сфера

производства которой

состоит из п отраслей, выпускающих п видов продукта, причем ка-

ждая отрасль выпускает ровно один вид.

Предположим, что для производства fc-й отраслью единицы к-го

продукта требуется

а^

^ 0 единиц

г-го

продукта, производимого

г-й

отраслью. Соответствующая таблица затрат выглядит так:

или короче:

146

7.1. ПРОДУКТИВНЫЕ МАТРИЦЫ

Полученная неотрицательная матрица А называется матрицей

материальных затрат или технологической матрицей.

Замечание. Матрица А дает информацию о сложившейся струк-

туре межотраслевых связей, о существующей технологии обществен-

ного производства и используется в текущем и долгосрочном плани-

ровании.

Будем считать дополнительно, что сложившаяся технология не-

изменна (стационарна) и что производство линейно. Последнее озна-

чает, что если для выпуска единицы /г-го продукта требуется

а^

единиц г-го продукта, то для выпуска

х^

единиц

А;-го

продукта необ-

ходимо

uikXk

единиц г-го продукта.

Предположим, что за некоторый отрезок времени, фиксирован-

ный во всех дальнейших рассмотрениях (неделя, месяц, квартал или

год), выпущено

Х\

единиц 1-го продукта,

единиц 2-го продукта,...,

единиц n-го продукта.

Тем самым, задан столбец

называемый столбцом выпуска или режимом работы отраслей.

При заданном столбце выпуска х совокупные затраты г-го про-

дукта в рассматриваемой производственной сфере равны

Из этих величин составляется столбец совокупных материаль-

ных затрат в сфере производства:

Матрица материальных затрат А

О называется продуктивной,

если найдется такой столбец выпуска х > О, для которого выпол-

няется неравенство

147

ГЛАВА 7. МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА

Это неравенство означает, что существует хотя бы один режим рабо-

ты отраслей данной экономической системы, при котором каждого

продукта выпускается больше, чем затрачивается на его производ-

ство. Другими словами, при этом режиме сфера производства созда-

ет положительный столбец прибавочного (конечного) продукта:

•

Возникает естественный вопрос: как следует поступить, чтобы

сравнительно несложным путем и как можно раньше выяснить,

является ли предъявленная матрица материальных затрат исследуе-

мой сферы производства продуктивной или, напротив, производство

убыточно и совокупные материальные затраты превышают объем

выпуска?

Справедлив следующий общий факт.

ТЕОРЕМА. Для любой неотрицательной квадратной матрицы

О формулируемые ниже условия равносильны.

(1) Матрица А продуктивна.

(2) Для любого столбца с > О существует, и притом ровно один,

столбец выпуска х > О такой, что

•

(3) Столбца выпуска х > О, совокупные затраты на создание

которого удовлетворяют условию

не существует.

(4) Наибольшее собственное значение матрицы А удовлетворяет

неравенству

Сказанное выше означает, что при выполнении хотя бы одного из

этих условий выполняются и три остальных. В частности, выполне-

ние неравенства

позволяет утверждать, что матрица продуктивна.

В приводимых ниже примерах мы ограничимся рассмотрением

случая, когда п — 2, т. е. сфера производства экономической систе-

мы состоит из двух отраслей.

148

7.1. ПРОДУКТИВНЫЕ МАТРИЦЫ

Пример 1. Для ответа на вопрос, является ли матрица

продуктивной, найдем ее собственные значения.

Имеем:

откуда

Корни этого уравнения легко вычисляются по формуле

и окончательно

Тем самым,

Ответ: матрица А продуктивна.

Из той же теоремы вытекает, что если матрица материальных

затрат А продуктивна, то любой столбец прибавочного продукта

может быть произведен при соответствующем режиме работы от-

раслей.

Итак, пусть матрица

продуктивна и

— столбец конечного продукта. Покажем, как найти режим работы

отраслей, обеспечивающий этот продукт.

149

ГЛАВА 7. МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА

окончательно получим

Для продуктивной матрицы построенная система имеет решение

При

ЛЮбыХ С] И

Рассмотрим конкретный пример.

Пример 2. Пусть

Как было установлено в примере 1, матрица А продуктивна,

и потому система

имеет решение (всегда совместна).

После простых преобразований получаем:

150

Запишем матричное равенство

более подробно:

После перемножения:

и вычитания: