Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб. пособие

Подождите немного. Документ загружается.

4.3. ПРОИЗВОДНАЯ И ЭКСТРЕМУМ

получаем х — ±1. Интервалу (2;3) не принадлежит ни один из най-

денных корней. Это означает, что на интервале (2;3) у функции нет

локального экстремума.

Таким образом, максимальное и минимальное значения надо ис-

кать среди значений в точках х = 1, х = 3 (концы отрезка), х = 2

(точка, где не существует производной), х = 1,41 (точка нуля про-

изводной). Получаем

Максимальное значение равно 3,33 и достигается в точке х = 3,

минимальное значение равно 2,5 и достигается в точке х = 2.

Замечание. У разрывной функции максимального либо минималь-

ного значения может и не существовать.

Пример

функции

(рис.

17) нет минимального значения на отрезке

[—1;

1].

Рис.

Зак.

7492

121

ГЛАВА

ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНАЯ. ИНТЕГРАЛ

4.4. Интеграл

Выше мы рассмотрели операцию дифференцирования, т. е. нахож-

дения производной:

Обратная ей операция называется интегрированием или нахожде-

нием первообразной. Первообразная функции f(x) — это функция

F(x),

производная которой равна

f(x):

Если функция F(x) является первообразной функции f(x), то

функция F(x) + С (С — произвольное число) также является пер-

вообразной, поскольку

Рассмотрим функцию /(ж), принимающую неотрицательные зна-

чения на отрезке [а;

Ь]

(рис. 18).

Интеграл от функции f(x) на отрезке [а;

Ь]

обозначается так:

Этот интеграл равен площади фигуры, ограниченной сверху графи-

ком функции у = f(x), снизу -- прямой у

0, слева и справа —

прямыми х =

и х — Ь соответственно (на рис. 18 эта фигура за-

штрихована).

122

4-4-

ИНТЕГРАЛ

Справедлива следующая формула Ньютона-Лейбница:

где F(x) — любая первообразная функции f(x).

Отметим два свойства интегралов:

Второе свойство позволяет вычислять интегралы от функций, за-

даваемых на разных отрезках различными формулами. Отметим,

что эти функции не обязательно должны быть непрерывными.

В дальнейшем мы будем пользоваться следующим удобным обо-

значением:

Замечание. Для функций, принимающих отрицательные значения,

геометрическая интерпретация интеграла несколько сложнее. Одна-

ко формула Ньютона-Лейбница верна и в этом случае.

123

то функция

Решение. Поскольку

Пример 5. Вычислить интеграл

ГЛАВА

ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНАЯ. ИНТЕГРАЛ

является первообразной функции у =

По формуле Ньютона-

Лейбница получаем:

Выше в качестве

примера

функциональной зависимости упоми-

налась функция Лоренца

1(х),

характеризующая неравномерность

распределения доходов в обществе. Степень этой неравномерности

выражает индекс Джини (Gini) (рис. 19):

Пример 7. Пусть функция

Лоренца

имеет вид

Найти индекс Джини.

Решение. Имеем

124

4.5. ЗАДАНИЯ И ОТВЕТЫ

Puc. 19 Puc. 20

Часто возникает необходимость вычисления так называемого не-

собственного интеграла, равного площади неограниченной области.

Рассмотрим, например, функцию

на полупрямой [0;

+оо)

(рис. 20). Напомним, что е — это специаль-

ная постоянная, равная примерно 2,718.

Площадь неограниченной фигуры, образованной осями координат

и графиком функции у =

е~

(на рис. 20 эта фигура заштрихована),

можно вычислить, воспользовавшись несобственным интегралом

В дальнейшем мы познакомимся и с другими несобственными ин-

тегралами.

4.5. Задания и ответы

1. Найдите максимальное и минимальное значения функции f(x) на

отрезке [а,

Ь],

где

125

ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНАЯ. ИНТЕГРАЛ

е) 2 и -7.

2. Как изменится оптимальный объем производства в примере 2,

если максимальная загрузка производственных мощностей позволя-

ет производить 18 единиц продукции?

Ответ: оптимальный объем производства составит 18 единиц

продукции.

3. Вычислите следующие интегралы:

4. Может ли индекс Джини принимать значение 0,6?

Ответ: нет.

Глава 5

БАЛАНСОВОЕ УРАВНЕНИЕ

В этой главе мы расскажем о том, как можно оценить экономиче-

скую эффективность планируемых капитальных вложений.

5.1. Сложные проценты

Проценты

на капитал можно рассматривать как награду, которую

получает кредитор от заемщика за пользование капиталом, при-

надлежащим кредитору.

Предположим, что заемщик кладет в банк, выплачивающий р%

годовых (процентную ставку), некоторую сумму денег, которую мы

для определенности обозначим через

XQ.

Это означает, что ровно через год у заемщика на счету будет сум-

ма, равная

а еще через год —

Терпеливый заемщик через к лет станет обладателем суммы, рав-

ной

Пример 1. При рождении внука дедушка положил в банк на

18 лет под 3% годовых некоторую сумму. К моменту совершенноле-

тия

на счете оказалось 100 тыс. руб. Каким был первоначальный

вклад?

127

ГЛАВА 5. БАЛАНСОВОЕ УРАВНЕНИЕ

По условию имеем:

где

Отсюда получаем, что

Тем самым, первоначальный вклад равен 58 тыс. 739 руб.

Из формулы

зная любые три из входящих в нее величин:

Xk,

ри

к, легко найти

четвертую величину. В частности,

При этом говорят, что величина

получена дисконтированием

х^

(от английского discount — скидка, вычет), и называют ее дискон-

тированным значением

ж*.

В примере 1 мы узнали размеры первоначального вклада дискон-

тированием

#18

= 100 тыс. руб.

5.2. Погашение кредита

Пример 2. Предположим, что две стороны, кредитор и заем-

щик, договариваются о плане погашения кредитов:

кредит в 10 млн. руб. берется на

лет при годовой ставке 9% с

условием, что через 3 года в счет погашения кредита будет внесено

4 млн. руб., через год — 2 млн. руб. и еще через год — 3 млн. руб.

Какая сумма должна быть внесена через

лет для полного пога-

шения кредита?

Плату за кредит принято называть процентом.

На рис. 1 приведена схема выплаты процентов.

128

5.2. ПОГАШЕНИЕ КРЕДИТА

Рис.

Для того чтобы ответить на поставленный вопрос, нужно пере-

считать все суммы, о которых идет речь, на какой-то определенный

момент. Обычно это момент получения кредита.

Пересчитать суммы

означает дисконтировать их. В результате получим

Величина

Уб

находится из условия погашения кредита:

откуда после несложных вычислений получаем, что

Тем самым, при договоренном порядке погашения процент по кре-

диту равен 4 млн. 944 тыс. 684 руб., т. е. почти половине взятой сум-

мы.

129

ГЛАВА 5. БАЛАНСОВОЕ УРАВНЕНИЕ

А вот другая схема погашения (рис. 2).

Здесь

В этом случае

При таком порядке погашения процент по кредиту еще больше —

6 млн. 771 тыс. руб.

Весьма распространена практика выплаты в счет погашения кре-

дита каждый год одной и той же суммы (рис. 3).

Здесь

Рис. 3

ставке?

Как ее вычислить при той же взятой сумме и той же процентной

шке?

Имеем:

откуда

130