Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб. пособие

Подождите немного. Документ загружается.

3.4. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

Последнее соотношение в применении к рассматриваемому слу-

чаю будет выглядеть так:

Вытекающее из него квадратное уравнение

имеет не более двух корней.

Пример 20. Рассмотрим три конкретные матрицы:

и попытаемся найти их собственные значения.

1) Переходя от матричного равенства

к системе уравнений, получим

Отсюда

и, далее,

Это уравнение имеет два корня:

которые и являются собственными значениями матрицы

2) Для матрицы

ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ

соответствующая система имеет вид

откуда

и Л = 1 — единственное собственное значение матрицы

3) Система уравнений

приводит к равенству

которое легко пребразуется к квадратному уравнению, не имеющему

корней.

Тем самым квадратная матрица второго порядка может иметь не

более двух собственных значений.

Замечание. У квадратной матрицы n-го порядка не больше п соб-

ственных значений.

Итак, мы описали способ отыскания собственных значений ма-

трицы. А как найти соответствующий собственный столбец в случае,

если собственное значение уже найдено?

Продолжим

рассмотрение примера 20. Ясно, что рас-

сматривать нужно только первые два случая.

1) Подставив первое из найденных собственных значений в систе-

му уравнений

получим:

3.1

ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

Из первого уравнения (второе уравнение никакой новой информации

не содержит) видно, что

Положим

£2

Тогда

Х\

— — 1 и искомый собственный столбец

имеет вид

Замечание. В качестве

можно взять любое отличное от нуля чи-

сло. Найдя по нему значение

х\,

получим собственный столбец мат-

рицы, пропорциональный предъявленному (отличающийся от

предъявленного множителем).

Второе собственное значение А = 3 приводит к системе уравнений

откуда

— собственный столбец матрицы, отвечающий собственному значе-

нию Л = 3.

2) После подстановки Л = 1 в систему уравнений

получим

Это означает, что

х^

= 0, а

Х\

может быть любым не равным нулю

числом. Тем самым, собственный столбец матрицы имеет вид

103

ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ

Замечание. Описанный выше способ отыскания собственных значе-

ний матрицы и отвечающих им собственных столбцов состоит из

двух основных этапов: сначала ищется собственное значение, а затем

по нему строится собственный столбец. Однако в некоторых задачах

возникает необходимость проверить, является ли заданный столбец

собственным столбцом матрицы

и если это так, то найти

соответствующее

собственное значение.

Конечно, это более простая задача, и она решается следующим

образом.

Умножим матрицу А на столбец х:

и поделим элементы полученного столбца у на соответствующие эле-

менты столбца х

Если все эти отношения равны между собой,

то Л — искомое собственное значение. Если же хотя бы одно отно-

шение

отлично от других, то х собственным столбцом матрицы А не явля-

ется.

104

3.4. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

3.4.7. Неотрицательные и положительные матрицы

Матрица

называется неотрицательной, если

и положительной, если

Пример 21. Матрица занятости в примере о составлении рас-

писания неотрицательна, а матрица реализации порций мороженого

положительна.

Обозначения:

Пусть А и В — матрицы одинаковых размеров.

Будем писать

если

ТЕОРЕМА.

Пусть

А —

неотрицательная квадратная матрица.

То-

гда у нее обязательно есть собственные значения, наибольшее из ко-

торых

неотрицательно, и соответствующий ему собственный столбец также

неотрицателен.

В случае когда А — положительная квадратная матрица, ее наи-

большее собственное значение

Лд

положительно и положителен со-

ответствующий ему собственный столбец.

Зак.

7492

105

ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ

3.5. Задания и ответы

1. Небольшая фирма производит два вида продукции: столы и сту-

лья. Для изготовления одного стула требуется 3 фута древесины, а

для изготовления одного стола — 7 футов. На изготовление одного

стула уходит 2 часа рабочего времени, а на изготовление стола — 8

часов. Каждый стул приносит 1 долл. прибыли, а каждый стол —

3 долл. Сколько стульев и сколько столов должна изготовить эта

фирма, если она располагает 420 футами древесины и 400 часами

рабочего времени и хочет получить максимальную прибыль?

2. Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газо-

нов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 фунта азот-

ных, 4 фунта фосфорных и 1 фунт калийных удобрений, а в улуч-

шенный — 2 фунта азотных, 6 фунтов фосфорных и 3 фунта калий-

ных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется по

меньшей мере 10 фунтов азотных, 20 фунтов фосфорных и 7 фун-

тов калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 долл., а улучшен-

ный — 4 долл. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить,

чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать

стоимость?

3. На имеющихся у фермера 400 акрах земли он планирует посе-

ять кукурузу и сою. Сев и уборка кукурузы требует на каждый акр

200 долл.

затрат,

а сои - 100 долл. На покрытие расходов, связанных

с севом и уборкой, фермер получил ссуду в 60 тыс. долл. Каждый

акр, засеянный кукурузой, приносит 30 бушелей, а каждый акр, за-

сеянный соей, - 60 бушелей. Фермер заключил договор на продажу,

по которому каждый бушель кукурузы принесет ему 3 долл., а ка-

ждый бушель сои — 6 долл. Однако, согласно этому договору, фер-

мер обязан хранить убранное зерно в течение нескольких месяцев на

складе, максимальная вместимость которого равна 21 тыс. бушелей.

Фермеру хотелось бы знать, сколько акров нужно засеять каждой

из этих культур, с тем чтобы получить максимальную прибыль.

106

3.5. ЗАДАНИЯ И ОТВЕТЫ

4. Решите задачу линейного программирования:

Ответ:

5. Решите задачу линейного программирования:

6. Решите задачу линейного программирования:

Ответ: Решения не имеет (противоречивые условия).

7. Решите транспортную задачу, заданную таблицей

Ответ:

8. Решите транспортную задачу, заданную таблицей

Ответ:

107

ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ

9. Найдите решение задачи

ограничиваясь целочисленными значениями переменных

Глава

ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНАЯ. ИНТЕГРАЛ

Материал, изложенный в этой главе, обладает двумя особенностями:

во-первых, он существенно пересекается с элементами математиче-

ского анализа, изучаемыми в средней школе, во-вторых, носит в до-

статочной степени вспомогательный характер: излагаемые понятия

и методы применяются в последующих главах.

В силу этого читатель, знакомый с перечисленными в названии

главы понятиями хотя бы в объеме средней школы, вполне может

ограничиться беглым просмотром.

4.1. Примеры числовых

функций

Понятие функциональной зависимости между величинами — одно

из важнейших в математике вообще и в математическом моделиро-

вании в частности. Как правило, под функцией понимают отобра-

жение, которое каждому вещественному числу (точке) из области

определения ставит в соответствие некоторое число, называемое зна-

чением функции в точке. В общем случае функциональную зависи-

мость между величинами

хну

записывают в виде соотношения:

У =

f{x),

где х называют

аргументом,

— значением функции.

Наряду с формульным заданием часто применяется представле-

ние функциональной зависимости в виде таблицы либо графика.

При табличном способе задания в явном виде выписывают значе-

ния аргумента и соответствующие им значения функции. При гра-

фическом способе на координатной плоскости (х, у) отмечают точки

с координатами

(хо,уо),

образующие график функции (рис. 1).

109

ГЛАВА

ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНАЯ. ИНТЕГРАЛ

У каждого из трех перечисленных способов есть свои достоинства

и недостатки.

Функция может зависеть и от многих переменных. В главе о ли-

нейных моделях приведено линейное выражение, зависящее от пере-

менных

Х\,Х2,

• • •

,Х

Рассмотрим ряд элементарных числовых функций.

Линейная функция — это функция вида

где

anb

— некоторые числа. Графиком линейной функции является

прямая (рис. 2).

Замечание. Линейная функция, как простейший вид связи между

величинами, наиболее широко применяется в моделировании. Неко-

торые примеры будут приведены в последующих главах.

Квадратичная функция - это функция вида

где a, b и с — некоторые числа, причем а

0 (если

= 0, то функ-

ция не квадратичная, а линейная). Графиком квадратичной функ-

ции является парабола, ветви которой направлены вверх (при а > 0)

или вниз (при а < 0) (рис. 3).

Замечание. Квадратичная функция — простейший вид зависимости

между величинами, позволяющей моделировать процессы следую-

щего типа: с ростом объема производства

(х)

доход (у) сначала уве-

личивается, затем уменьшается.