Шапкин А.С., Шапкин В.А. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями

Подождите немного. Документ загружается.

321

Íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà,

èìåþùàÿ â èíòåðâàëå îò ∞ äî +∞ ïëîòíîñòü, îïðåäåëÿåìóþ ôîð-

ìóëîé

)(













−

⋅=

πσ

Åå èíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ:

)( )(

dzedxxfXF

∫∫

∞−













−

∞−

⋅=⋅=

πσ

Ïðè

= 1 è a = 0 áóäåì èìåòü íîðìèðîâàííîå íîðìàëüíîå

ðàñïðåäåëåíèå

(x) = 0,5 +

(x),

ãäå

dzex

∫

−

=Φ

)(

 èíòåãðàë Ëàïëàñà.

Óêàçàííûé èíòåãðàë ìîæíî âû÷èñëèòü, ïîëüçóÿñü òàáëèöàìè,

è òîãäà âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ÑÂ X â èíòåðâàë îïðåäåëÿåòñÿ ïî

ôîðìóëå

P(x

< X < x

) = Φ(x

)  Φ(x

)

(Φ(x) =  Φ(x)  íå÷åòíàÿ ôóíêöèÿ).

Äîêàçàíî, ÷òî ïåðåõîä îò íîðìèðîâàííîé ê îáû÷íîé ôóíê-

öèè îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîäñòàíîâêîé:

. )(













−

FxF

Ïðèìåð 6.30. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî.

Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå

ýòîé âåëè÷èíû ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû 2 è 5. Íàéòè âåðîÿòíîñòü

òîãî, ÷òî â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ ÑÂ Õ ïðèìåò çíà÷åíèå, ïðèíàä-

ëåæàùåå èíòåðâàëó (1; 4).

Ðåøåíèå. Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé:



)(













Φ−













Φ=<<

βα

àà

322

Ïî óñëîâèþ:

= 1,

= 4, à = 2,

= 5, ñëåäîâàòåëüíî,

).2,0( )4,0(

21

24

)41( Φ−Φ=













Φ−













Φ=<< XP

Òàê êàê ôóíêöèÿ Ëàïëàñà íå÷åòíàÿ, òî

Φ(0,2) = Φ(0,2).

Òàêèì îáðàçîì,

P (1 < X < 4) = Φ(0,4) +Φ(0,2).

Ïî òàáëèöå íàõîäèì:

Φ(0,4) = 0,1554; Φ(0,2) = 0,0793.

Èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà:

P (1 < X < 4)= 0,1554 + 0,0793 = 0,2347.

Ïðèìåð 6.31. Òðè íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû èìåþò

ðàçëè÷íûå ðàñïðåäåëåíèÿ: à) ðàâíîìåðíîå; á) ýêñïîíåíöèàëüíîå;

â) íîðìàëüíîå. Äëÿ âñåõ òðåõ ðàñïðåäåëåíèé Ì (Õ

) =

(Õ

) = 4.

Íàéòè äëÿ âñåõ çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî

â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ ÑÂ Õ

ïðèìåò çíà÷åíèå, çàêëþ÷åííîå â

èíòåðâàëå (5; 12).

Ðåøåíèå.

à) Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå.

Äèôôåðåíöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ

ÑÂ Õ

èìååò âèä:











≤≤

−

.ïðè0

,ïðè

,ïðè0

)(

bxa

Ïàðàìåòðû à è b íàéäåì èç óñëîâèÿ, ÷òî äëÿ ðàâíîìåðíîãî

ðàñïðåäåëåíèÿ











−

)(

èëè











−

)(

323

Îòñþäà







=−

192)(

èëè







=−

.38

Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó, íàõîäèì, ÷òî

.93,10)31( 4 ;93,2)31( 4 ≅+=≅−= ba

Ïðè èçâëå÷åíèè êâàäðàòíîãî êîðíÿ âî âòîðîì óðàâíåíèè ñèñ-

òåìû âçÿò çíàê «+» ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî a < b.

Èìååì











+≤≤−

−<

= ,

).31( 4 ïðè0

)31( 4)31( 4ïðè

),31( 4ïðè0

)(

Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ÑÂ Õ

â èíòåðâàëå (

;

) îïðåäåëÿåì

ïî ôîðìóëå

. )( )(

dxxfXP

∫

=<<

βα

Äëÿ íàøåãî ñëó÷àÿ èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà:

0,428.5)34(4

)( )125(

)3(1 4

)31( 4

=+==

=⋅+=⋅=<<

∫∫∫

dxdxdxxfXP

Èòàê,

P (5 < X

< 12) = 0,428.

á) Ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.

Èíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÑÂ

èìååò âèä:

F (x) = 1  e



324

Èçâåñòíî, ÷òî

)(

=XM

èëè

ïî óñëîâèþ. Îòñþäà

= 0,25. Òîãäà

F (x) = 1  e

0,25x

Èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü:

P (5 < X

< 12) = e

0,25· 5

 e

0,25· 12

= e

1,25

 e

3

= 0,2367.

â) Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.

Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ÑÂ Õ

, ïîä÷èíåííàÿ íîðìàëüíîìó çà-

êîíó ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîïàäåò â èíòåðâàë (

;

), ðàâíà:



)(













Φ−













Φ=<<

βα

àà

Çäåñü Φ(õ)  ôóíêöèÿ Ëàïëàñà, à  ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäà-

íèå,

 ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå. Òàê êàê ïî óñëîâèþ

çàäà÷è à =

= 4, òî èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà:

)2(

45

421

)125(













ΦΦ=













Φ−













Φ=<< XP

Íàõîäèì ïî òàáëèöàì, ÷òî

.0987,0)25,0(

;4772,0)2( =Φ=













Φ=Φ

Òîãäà

P (5 < X

< 12) = 0,4772  0,0987 = 0,3785.

6.4. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè

6.4.1. Ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü. Âûáîðêà.

Îñíîâíûå òèïû çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè

Ïóñòü Õ  íåêîòîðàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (êîëè÷åñòâåííûé

ïðèçíàê). Â äàëüíåéøåì âñå çíà÷åíèÿ ýòîé ÑÂ áóäåì íàçûâàòü ãå-

íåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòüþ. Åñëè, íàïðèìåð, Õ  äèñêðåòíàÿ ÑÂ,

òî ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü  õ

, õ

, , õ

Äîïóñòèì, ÷òî â ïðîöåññå íàáëþäåíèé èëè îïûòîâ ìû ïîëó-

÷èëè n çíà÷åíèé (õ

, õ

, , õ

) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ. Â äàëüíåé-

325

øåì áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ñäåëàëè âûáîðêó õ

, õ

, , õ

èç ãåíå-

ðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè Õ.

×èñëî n íàçûâàåòñÿ îáúåìîì âûáîðêè.

Âûáîðêó õ

, õ

, , õ

èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè Õ òàêæå

ìîæíî ïðåäñòàâèòü, êàê çíà÷åíèÿ n ýêçåìïëÿðîâ õ

, õ

, , õ

ñëó-

÷àéíîé âåëè÷èíû Õ.

Çàìåòèì, ÷òî ñðåäè ýëåìåíòîâ âûáîðêè ìîãóò áûòü ïîâòîðÿþ-

ùèåñÿ. Ïîýòîìó äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà õ

âûáîðêè ãîâîðÿò î ÷àñòî-

òå åå ïîÿâëåíèÿ, ò.å. ñêîëüêî ðàç ÷èñëî õ

íàáëþäàëîñü â âûáîðêå.

Â äàëüíåéøåì ìû ÷àñòî áóäåì çàäàâàòü âûáîðêó â âèäå òàáëèöû

õ

n

ãäå õ

, õ

, , õ

 ðàçëè÷íûå ýëåìåíòû âûáîðêè, à n

, n

, ,

 ÷àñòîòû ýëåìåíòîâ âûáîðêè.

ßñíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå îáúåì âûáîðêè n = n

+ n

+  + n

Çíà÷åíèÿ õ

, , õ

âûáîðêè áóäåì íàçûâàòü âàðèàíòàìè.

Åñëè âàðèàíòû âûáîðêè ðàñïîëîæåíû â âîçðàñòàþùåì ïîðÿä-

êå, òî âûáîðêà íàçûâàåòñÿ âàðèàöèîííûì ðÿäîì.

Íàïðèìåð,

1 2 5 10 11

2 711 5

Âàðèàíòû âûáîðêè íàçûâàþòñÿ ðàâíîîòñòîÿùèìè, åñëè

i +1

 Õ

= h, ãäå h  ïîñòîÿííîå ÷èñëî.

Íà ïðàêòèêå ïðè îïèñàíèè ðåàëüíûõ ïðîöåññîâ ðàçëè÷íûå

õàðàêòåðèñòèêè ïðîöåññà ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè. Ïî-

ýòîìó âîçíèêàþò çàäà÷è îïðåäåëåíèÿ çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèÿ, ìà-

òåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé è äðóãèõ õàðàêòåðèñòèê ýòèõ ÑÂ, îñíî-

âûâàÿñü íà èçó÷åíèè âûáîðîê.

Ïóñòü çíà÷åíèÿ ÑÂ Õ îïðåäåëÿþò ãåíåðàëüíóþ ñîâîêóïíîñòü

è F (x) = P (X < x)  èíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Õ.

Â äàëüíåéøåì ìû áóäåì åå íàçûâàòü òåîðåòè÷åñêîé ôóíêöèåé ðàñ-

ïðåäåëåíèÿ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè Õ. Çíàÿ ôóíêöèþ F (x), ìîæ-

íî îïðåäåëèòü âñå õàðàêòåðèñòèêè ÑÂ Õ. Ïîýòîìó ïîñòàâèì ïå-

ðåä ñîáîé ñëåäóþùóþ çàäà÷ó: ìîæíî ëè ñ ïîìîùüþ âûáîðîê èç

ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè Õ ïðèáëèæåííî íàéòè ôóíêöèþ F (x)?

326

Ïóñòü çàäàíà âûáîðêà

õ

n

îáúåìà n = n

+ n

+  + n

Ïîñòðîèì ôóíêöèþ

)(*

ãäå n

 ÷èñëî âàðèàíòîâ

âûáîðêè, ìåíüøèõ õ, ò.å.

ïðåäñòàâëÿåò îòíîñèòåëüíóþ ÷àñòî-

òó âàðèàíò âûáîðêè, ìåíüøèõ õ. Ôóíêöèÿ F* (x) íàçûâàåòñÿ ôóí-

êöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðêè èëè ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèåé ðàñ-

ïðåäåëåíèÿ.

Ïðèìåð 6.32. Íàéòè ýìïèðè÷åñêóþ ôóíêöèþ ïî âûáîðêå

146

10 15 25

Ðåøåíèå. Íàéäåì îáúåì âûáîðêè: n = 10 + 15 + 25 = 50.

Íàèìåíüøàÿ âàðèàíòà ðàâíà åäèíèöå, ñëåäîâàòåëüíî, F* (x) = 0

ïðè x ≤ 1. Çíà÷åíèå Õ = 4, à èìåííî õ

= 1, íàáëþäàëîñü 10 ðàç,

ñëåäîâàòåëüíî,

2,0

)(* ==xF

ïðè 1 < X ≤ 4.

Çíà÷åíèÿ Õ < 6, à èìåííî õ

= 1 è õ

= 4, íàáëþäàëèñü n

+ n

= 10 + 15 = 25 ðàç, ñëåäîâàòåëüíî,

)(* ==xF

ïðè 4 < X ≤ 6.

Òàê êàê õ

= 6  íàèáîëüøàÿ âàðèàíòà, òî

)(* ==xF

ïðè õ > 6.

Çíà÷èò,











≤<

≤

.6ïðè1

,64ïðè5,0

,41ïðè2,0

,1ïðè0

)(*

327

Ãðàôè÷åñêè ýòà ôóíêöèÿ èçîáðàæåíà íà ðèñ. 80.

Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ F* (x) ÿâëÿåòñÿ ïðèáëèæåíèåì òåîðå-

òè÷åñêîé ôóíêöèè F (x), è ÷åì áîëüøå îáúåì âûáîðêè n, òåì òî÷-

íåå F* (x) îïèñûâàåò F (x) (ïî âåðîÿòíîñòè, ò.å. ñëó÷àéíûå îòêëî-

íåíèÿ ìàëîâåðîÿòíû).

Â çàêëþ÷åíèå çàìåòèì: ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ îáëàäàåò àíàëî-

ãè÷íûìè ñâîéñòâàìè, ÷òî è òåîðåòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ.

6.4.2. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ îöåíêà

ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ

Ïóñòü çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ îáðàçóþò ãåíåðàëüíóþ

ñîâîêóïíîñòü. Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ÑÂ (íàïðèìåð, íîðìàëüíûé

çàêîí) Õ íàì èçâåñòåí. Îäíàêî íåèçâåñòíû íåêîòîðûå ïàðàìåòðû

ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (íàïðèìåð, ÌÎ èëè äèñïåðñèÿ).

Òðåáóåòñÿ, èçó÷àÿ âûáîðêè èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, îöå-

íèòü, ò.å. ïðèáëèæåííî íàéòè, íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð.

Ñòàòèñòè÷åñêîé îöåíêîé íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà íàçûâàåòñÿ

âñÿêàÿ ôóíêöèÿ

âàðèàíò x

âûáîðêè, äàþùàÿ ïðèáëèæåííîå çíà-

÷åíèå ýòîãî ïàðàìåòðà.

Åñëè îáîçíà÷èì íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð ÷åðåç

, à åãî îöåíêó

÷åðåç

*, òî

* =

(õ

, , õ

), ãäå õ

, , õ

 âûáîðêà èç ãåíå-

ðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè Õ.

Ðàññìàòðèâàÿ âàðèàíòû õ

, , õ

âûáîðêè êàê çíà÷åíèÿ n ýê-

çåìïëÿðîâ Õ

, , Õ

ÑÂ Õ, ïîëó÷èì:

* =

(Õ

, , Õ

ò.å. ñòàòèñòè÷åñêàÿ îöåíêà

* ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îò ñëó÷àéíûõ

Ðèñ. 80

F *(x)

1,0

0,5

0,2

0 1 2 3 4 5 6 x

328

âåëè÷èí Õ

, , Õ

, à çíà÷èò è ñàìà ÿâëÿåòñÿ ÑÂ. Òàêèì îáðàçîì,

ñòàòèñòè÷åñêàÿ îöåíêà

* ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ (ðàçëè÷íûå) â çà-

âèñèìîñòè îò âûáîðêè.

ßñíî, ÷òî äëÿ îäíîãî è òîãî æå íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà ìîæ-

íî ïîñòðîèòü ðàçëè÷íûå ñòàòèñòè÷åñêèå îöåíêè. Íàøà çàäà÷à

ïîíÿòü, êàêèå îöåíêè ÿâëÿþòñÿ «õîðîøèìè».

Âî-ïåðâûõ, åñòåñòâåííî æåëàíèå, ÷òîáû ñòàòèñòè÷åñêàÿ îöåí-

êà, ÿâëÿÿñü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, èìåëà ñâîèì ìàòåìàòè÷åñêèì

îæèäàíèåì íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð.

Ñòàòèñòè÷åñêàÿ îöåíêà

* íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà

íàçûâà-

åòñÿ íåñìåùåííîé, åñëè Ì (

*) =

Âî-âòîðûõ, åñòåñòâåííî òðåáîâàòü, ÷òîáû çíà÷åíèÿ ñòàòèñòè-

÷åñêîé îöåíêè

* ïî âîçìîæíîñòè áîëåå òåñíî êîíöåíòðèðîâàëèñü

îêîëî

. Âñïîìèíàÿ, ÷òî äèñïåðñèÿ ÿâëÿåòñÿ ìåðîé ðàññåÿíèÿ çíà-

÷åíèé ÑÂ îêîëî ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ, äàäèì ñëåäóþùåå îïðåäåëå-

íèå.

Ñòàòèñòè÷åñêàÿ îöåíêà

* íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà

íàçûâà-

åòñÿ ýôôåêòèâíîé, åñëè îíà îáëàäàåò íàèìåíüøåé äèñïåðñèåé ñðå-

äè âñåõ ñòàòèñòè÷åñêèõ îöåíîê ïàðàìåòðà

Â òðåòüèõ, åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü, ÷òî, ÷åì áîëüøå îáúåì âûáîð-

êè, òåì òî÷íåå çíà÷åíèå ñòàòèñòè÷åñêîé îöåíêè îïðåäåëÿåò íåèç-

âåñòíûé ïàðàìåòð.

Ñòàòèñòè÷åñêàÿ îöåíêà

* íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà

íàçûâà-

åòñÿ ñîñòîÿòåëüíîé, åñëè îíà ñòðåìèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê

, ò.å.

1} |*| { lim =<−

∞→

εθθ

ïðè ëþáîì

> 0.

6.4.3. Ãåíåðàëüíàÿ ñðåäíÿÿ. Âûáîðî÷íàÿ ñðåäíÿÿ

Ïóñòü çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ îáðàçóþò ãåíåðàëüíóþ

ñîâîêóïíîñòü. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Õ áóäåì íàçûâàòü ãåíå-

ðàëüíîé ñðåäíåé è îáîçíà÷àòü

ò.å.

).(

XMx =

Ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ âûáîðêó x

, x

, , x

(âàðèàíòû ìîãóò

ïîâòîðÿòüñÿ) èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè Õ. Áóäåì åå ðàññìàò-

ðèâàòü êàê çíà÷åíèÿ n ýêçåìïëÿðîâ Õ

, Õ

, , Õ

ÑÂ Õ. Ðàññìîò-

ðèì ñòàòèñòè÷åñêóþ îöåíêó

...

XXX

+++

329

êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ âûáîðî÷íîé ñðåäíåé. Êîíêðåòíîå çíà÷åíèå

ñòàòèñòè÷åñêîé îöåíêè

X ïðè âûáîðêå x

, x

, , x

áóäåò:

xxx

+++

...

(ñòàòèñòè÷åñêàÿ îöåíêà

ÿâëÿåòñÿ ÑÂ, à

 êîíêðåòíîå çíà-

÷åíèå

, çàâèñÿùåå îò âûáîðêè).

Â äàëüíåéøåì è

áóäåì íàçûâàòü âûáîðî÷íîé ñðåäíåé.

Åñëè âûáîðêà çàäàíà â âèäå òàáëèöû

õ

n

òî ÿñíî, ÷òî n = n

+ n

+  + n

12211

...

nxnxnx

∑

⋅

⋅++⋅+⋅

Âûáîðî÷íàÿ ñðåäíÿÿ

X ÿâëÿåòñÿ ýôôåêòèâíîé, íåñìåùåííîé

è ñîñòîÿòåëüíîé ñòàòèñòè÷åñêîé îöåíêîé äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî

îæèäàíèÿ Ì(Õ), ò.å. äëÿ ãåíåðàëüíîé ñðåäíåé

6.4.4. Âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ

Ïóñòü çíà÷åíèÿ ÑÂ Õ îáðàçóþò ãåíåðàëüíóþ ñîâîêóïíîñòü.

Äèñïåðñèþ D (Õ) CÂ Õ áóäåì íàçûâàòü ãåíåðàëüíîé äèñïåðñèåé è

îáîçíà÷àòü D

, à ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå

ÃÃ

Òðåáóåòñÿ íàéòè ñòàòèñòè÷åñêóþ îöåíêó äëÿ D

Ïóñòü x

, x

, , x

 âûáîðêà èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè Õ,

à Õ

, Õ

, , Õ

 n ýêçåìïëÿðîâ Õ. Ðàññìîòðèì ñòàòèñòè÷åñêóþ

îöåíêó

∑

−=

ÂÂ

,)(

êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ âûáîðî÷íîé äèñïåðñèåé. D

 ñëó÷àéíàÿ âå-

ëè÷èíà. Åå êîíêðåòíîå çíà÷åíèå ïðè äàííîé âûáîðêå x

, , x

330

ðàâíî

∑

−=

ÂÂ

)(

òàêæå íàçûâàåòñÿ âûáîðî÷íîé äèñ-

ïåðñèåé).

Åñëè âûáîðêà èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè çàäàíà â âèäå òàá-

ëèöû

õ

n

n = n

+ n

+  + n

, òî

)(

nxx

∑

−

Ïðèìåð 6.33. Ïóñòü âûáîðêà çàäàíà òàáëèöåé

0112

5311

n = 5 + 3 + 1 + 1 = 10. Òîãäà

.8,0

413

12113)1(50

2222

⋅+⋅+⋅+⋅

⋅

∑

ÿâëÿåòñÿ ñìåùåííîé ñòàòèñòè÷åñêîé îöåíêîé äëÿ D (Õ).

Ïîýòîìó ðàññìàòðèâàþò ñòàòèñòè÷åñêóþ îöåíêó

s ⋅

−

êî-

òîðàÿ íàçûâàåòñÿ èñïðàâëåííîé âûáîðî÷íîé äèñïåðñèåé. s

ÿâëÿ-

åòñÿ íåñìåùåííîé ñòàòèñòè÷åñêîé îöåíêîé äëÿ D

Íåòðóäíî âè-

äåòü, ÷òî ïðè áîëüøèõ n: s

≈ D

Âåëè÷èíà

ÂÂ

íàçûâàåòñÿ âûáîðî÷íûì ñðåäíåêâàäðàòè-

÷åñêèì îòêëîíåíèåì, à

−

 èñïðàâëåííûì âû-

áîðî÷íûì ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì.