Шапкин А.С., Шапкин В.А. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями
Подождите немного. Документ загружается.
351
Ïîäñòàâëÿåì â ôîðìóëó ïîëíîé âåðîÿòíîñòè:
.
95
47
0
95
48
1
95
14
1
95
33
)( =⋅+⋅+⋅=ÀP
Òàêèì îáðàçîì, âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äâå íàóäà÷ó èçâëå÷åí-
íûå ïåð÷àòêè îáðàçóþò ïàðó ðàâíà
.
95
47
12.1.2.  óðíå íàõîäÿòñÿ 3 øàðà áåëîãî öâåòà è 5 øàðîâ ÷åðíî-
ãî öâåòà. Íàóäà÷ó ïî îäíîìó èçâëåêàþò 3 øàðà è ïîñëå êàæäîãî
èçâëå÷åíèÿ âîçâðàùàþò îáðàòíî â óðíó. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî,
÷òî ñðåäè èçâëå÷åííûõ øàðîâ îêàæåòñÿ:
à) ðîâíî äâà áåëûõ øàðà, á) íå ìåíå äâóõ áåëûõ øàðîâ.
Ðåøåíèå. Èìååì ñõåìó ñ âîçâðàùåíèåì, ò.å. êàæäûé ðàç ñîñòàâ
øàðîâ íå èçìåíÿåòñÿ:
à) ïðè èçâëå÷åíèè òðåõ øàðîâ äâà èç íèõ äîëæíû áûòü áåëû-
ìè, à îäèí ÷åðíûé. Ïðè ýòîì ÷åðíûé ìîæåò îêàçàòüñÿ èëè ïåð-
âûì, èëè âòîðûì, èëè òðåòüèì. Ïðèìåíÿÿ ñîâìåñòíî òåîðåìû ñëî-
æåíèÿ è óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé, èìååì:
;
512
135
8
3
8
3
8
5
8
3
8
5
8
3
8
5
8
3
8
3
321321321
=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
áá÷á÷á÷áá
PPPPPPPPPP
á) âûíóòü íå ìåíåå äâóõ áåëûõ øàðîâ îçíà÷àåò, ÷òî áåëûõ øà-
ðîâ äîëæíî áûòü èëè äâà, èëè òðè:
.
512
162
8
3
8
3
8
3
512
135
512
135
)áåëûõ 3( )áåëûõ 2( )ìåíåå íå(
321
=⋅⋅+=
=⋅⋅+=+=
ááá
PPPPPP
12.1.3.  óðíå íàõîäÿòñÿ 6 áåëûõ è 5 ÷åðíûõ øàðîâ. Òðè øàðà
íàóäà÷ó ïîñëåäîâàòåëüíî èçâëåêàþòñÿ áåç âîçâðàùåíèÿ èõ â óðíó.
Íàéòè âåðîÿòíîñòü, ÷òî òðåòèé ïî ñ÷åòó øàð îêàæåòñÿ áåëûì.
Ðåøåíèå. Åñëè òðåòèé ïî ñ÷åòó øàð äîëæåí áûòü áåëûì, òî
ïåðâûå äâà øàðà ìîãóò áûòü áåëûìè, èëè áåëûì è ÷åðíûì, èëè
÷åðíûì è áåëûì, èëè ÷åðíûìè, ò.å. èìåþòñÿ ÷åòûðå ãðóïïû íå-
352
ñîâìåñòíûõ ñîáûòèé. Ïðèìåíÿÿ ê íèì òåîðåìó óìíîæåíèÿ âåðî-
ÿòíîñòåé, ïîëó÷èì:
.
11
6
990
540
9
6
10
4
11
5
9
5
10
6
11
5
9
5
10
5
11
6
9
4
10
5
11
6
)(
321321321321
==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
á÷÷áá÷á÷áááá
PPPPPPPPPPPPP
12.2. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû
12.2.1. Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ
èìååò âèä:
x
i
2 1 0 mm + n
P
i
0,2 0,1 0,2 P
4
P
5
Íàéòè âåðîÿòíîñòè P
4
, P
5
è äèñïåðñèþ D (x), åñëè ìàòåìàòè-
÷åñêîå îæèäàíèå M (x) = 0,5 + 0,5 · m + 0,1 · n.
Ðåøåíèå. Èç óñëîâèÿ
∑
=
1
i
P
èìååì P
4
+ P
5
+ 0,2 + 0,1 + 0,2 = 1
èëè P
4
+ P
5
= 0,5.
Èç îïðåäåëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ
∑
⋅=
ii
pxxÌ
)(
ïîëó÷èì:
0,4 0,1 + m · P
4
+ (m + n) P
5
= 0,5 + 0,5m + 0,1n,
èëè
m · P
4
+ (m + n) P
5
= 0,5m + 0,1n,
èëè
m (P
4
+ P
5
) + nP
5
= 0,5m + 0,1n.
Èç ýòèõ äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ íåèçâåñòíûìè îòíîñèòåëüíî
P
4
è P
5
èìååì:
P
4
= 0,4, P
5
= 0,1.
Äèñïåðñèþ íàéäåì èç ôîðìóëû
D (x) = M (x
2
) (M (x))
2
.
353
Íàõîäèì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êâàäðàòà ñëó÷àéíîé âåëè-
÷èíû
M (x
2
) = (2)
2
· 0,2 + (1)
2
· 0,1 + 0 · 0,2 + m
2
· 0,4 + (m + n)
2
· 0,1 =
=0,9 + 0,4 · m
2
+ 0,1 · (m + n)
2
.
Òîãäà
D (x) = (0,9 + 0,4 · m
2
+ 0,1 · (m + n)
2
) (0,5 + 0,5m + 0,1n)
2
=
= 0,65 + 0,25m
2
+ 0,1 · m · n + 0,09 · n
2
+ 0,5 · m + 0,1 · n
Ñþäà ïîäñòàâëÿéòå ñâîè m è n è ïîëó÷àéòå ãîòîâûé îòâåò.
Îäíàêî, ñ ñàìîãî íà÷àëà ýòîé çàäà÷è áåðèòå ñâîè çíà÷åíèÿ ïàðà-
ìåòðîâ m è n è ðåøàéòå.
12.2.2. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âå-
ëè÷èíû Õ èìååò âèä:
∞<≤
<<
−
≤<∞
=
.6ïðè0
,64ïðè
2
)4(
,4ïðè0
)(
x
x
xa
x
xf
Íàéòè: à) ïàðàìåòð à.
Èç óñëîâèÿ, ÷òî
∫
∞
∞
=
,1 )(
dxxf
èìååì
()
,1)44()46(
4
èëè ,1
2
)4(
2
èëè ,1 )4(
2
226
4
2
6
4
=−−−=
−
=−
∫
axa
dxx
a
èëè
;14
4
=⋅
a
îòêóäà à = 1.
á) ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x).
Èç ñâîéñòâà ôóíêöèè ïëîòíîñòè f (x) èìååì:
. )( )(
∫
∞−
=
x
dxx
f
xF
Ðàññìàòðèâàåì òðè èíòåðâàëà.
x
••
4 6
354
Ïðè õ ≤ 4.
.0 0 )( =⋅=
∫
∞−
x
dxxF
Ïðè 4 < õ < 6.
()
.
4
)4(
)44()4(
4
1
)4(
4
1
)4(
2
1
0 )(
2
22
4
2
4
−
=−−−=
=−=−+⋅=
∫∫
∞−
x
x
xdxxdxxF
x
xx
Ïðè õ ≥ 6.
()
.1)44()46(
4
1
)4(
4
1
0 )4(
2
1
0 )(
22
6
4
2
6
4
=−+−=
=−=⋅+−+⋅=
∫∫∫
∞−∞−
xdxdxxdxxF
xx
Òàêèì îáðàçîì,
≥
<<
−
≤
=
;6ïðè1
,64ïðè
4
)4(
,4ïðè0
)(
2
x
x
x
x
xF
â) âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ â èíòåð-
âàë (5, 7).
,
4
3
4
1
4
4
4
)45(
4
)46(
)5( )6( )5( )7( )75(
22
=−=
−
−
−
=
=−=−=<< FFFFXP
èëè äðóãèì ñïîñîáîì
.
4
3
)14(
4
1
)4(
4
1
0 )4(
2
1
)( )75(
6
5
2
7
6
6
5
7
5
=−=−=
=⋅+−==<<
∫∫∫
x
dxdxxdxxfXP
355
ã) ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Ì(x) è D (x).
.
9
2
9
1216
9
1212
2
1
4
9
1024
4
9
320
4
9
44
4
4
6
9
1024
6
9
320
6
9
44
4
6
2
1
9
1024
9
320
9
44
42
1
9
1024
9
640
3
44
2
1
)4(
3
16
2
1
)( ))( ( )(
.
3
16
42
3
4
62
3
6
2
1
2
32
1
)4(
2
1
)4(
2
1
)( )(
23
4
23
4
23
4
6
4
23
6
4
2
2
2
3
2
3
2
3
6
4
2
6
4
4
6
4
6
=
+−=
=
⋅−+⋅−−
⋅−+⋅−=
=
−+−=
−+−=
=−
−=⋅−=
=
⋅−−⋅−=
−=
=−=−==
∫
∫∫
∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
xxx
x
dxxxx
dxxxxfxMxxD
x
x
dxxxdxxxdxxfxxÌ
ä) ïîñòðîèì ôóíêöèè F (x) (ðèñ. 82) è f (x) (ðèñ. 83).
Ðèñ. 82
x
F(õ)
0 4 6
1
356
12.2.3. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X
1
, X
2
, X
3
èìåþò ãåîìåòðè÷åñêîå,
áèíîìèàëüíîå è ïóàññîíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî.
Íàéòè âåðîÿòíîñòè P (4 ≤ X
i
≤ 6), åñëè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ
Ì (X
i
) = 4, à äèñïåðñèÿ D (X
2
) = 2:
à) Äëÿ ãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
.
4
3
1 è
4
1
)(
1
èëè ,
1
)(
1
=−==== Pq
XM
P
P
XM
Òîãäà
.244,0
1024
999
4
1
4
3
4
3
4
3
4
1
)6( )5( )4( )64(
543
161514
1
==
+
+
=
=⋅++⋅=++=≤≤
−−−
qppqqpPPPXP
Òàê êàê äëÿ ãåîìåòðè÷åñêîãî çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ P (n) = P · q
n1
.
á) Äëÿ áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ì (X) = np è D (X) = npq
=
=
.2
,4
npq
np
Äåëèì îäíî óðàâíåíèå íà äðóãîå, ïîëó÷àåì
.8 è
2
1
2
1
1 ,
2
1
==−== npq
Ðèñ. 83
x
f (õ)
0 4 6
1
357
Âåðîÿòíîñòü
P (4 ≤ X
2
≤ 6) = P
4,8
+ P
5,8
+ P
6,8
.
Ïî ôîðìóëå Áåðíóëëè
mnmmnmm
nmn
qP
mnm
n
qpCP
−−
⋅
−
=⋅=
! )(!
!
èìååì
.
256
28
2
1
2
1
! 6)(8! 6
! 8
.
256
56
2
1
2
1
! 5)(8! 5
! 8
.
256
70
2
1
2
1
! 4)(8! 4
! 8
686
8,6
585
8,5
484
8,4
=
−
=
=
−
=
=
−
=
−
−
−
P
P
P
Îêîí÷àòåëüíî
.602,0
256
154
256
28
256
56
256
70
)64(
2
==++=≤≤ XP
â) Äëÿ ïóàññîíîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
Ì (X) = D (X) =
λ
; Ì (X
3
) =
λ
è
λ
= 4.
Âåðîÿòíîñòü
P (4 ≤ X
3
≤ 6) = P
4,8
+ P
5,8
+ P
6,8
.
Ïî ôîðìóëå Ïóàññîíà
.
!
,
λ
λ
−
≈
e
m
P
m
nm
Òîãäà
.456,0
360
35
4
! 6
4
! 5
4
! 4
1
4
! 6
4
! 5
4
! 4
4
)64(
44
2
444
6
4
5
4
4
1
=⋅⋅=
=
++⋅=++=≤≤
−
−−−−
e
eeeeXP
12.2.4. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X
4
, X
5
, X
6
èìåþò ðàâíîìåðíîå,
ïîêàçàòåëüíîå è íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî. Íàé-
òè âåðîÿòíîñòü P (2 < X
i
< 6), åñëè ó ýòèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
358
ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è ñðåäíå êâàäðàòè÷åñêèå îòêëîíåíèÿ
ðàâíû 4:
à) Çàêîí ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä:
>
≤<
−
≤
=
.ïðè0
,ïðè
1
,ïðè0
)(
bx
bxa
ab
ax
xf
Íàéäåì ïàðàìåòðû à è b èç óñëîâèÿ
.4
12
)(
)( ;4
2
)(
2
2
=
−
==
+
=
ab
XD
ab
XM
Èìååì ñèñòåìó
±=−
=+
.38
8
ab
ab
Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó íàéäåì, ÷òî
.344,344
,344,344
22
11
+=−=
−=+=
ba
ba
Òàê êàê ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî à < b, òî
.344,344 +=−= ba
Òîãäà
+>
+≤<−
−≤
=
344ïðè0
344344ïðè
24
3
344ïðè0
)(
x
x
x
xf
Îïðåäåëÿåì èñêîìóþ âåðîÿòíîñòü
.289,0
6
3
)26(
24
3
24
3
24
3
)62(
2
6
6
2
4
==−=⋅==<<
∫
xdxXP
á) Ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå èìååò âèä:
≥⋅
<
=
−
.0ïðè
,0ïðè0
)(
xe
x
xf
x
λ
λ
359
Äëÿ ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
1
)(
λ
=XM
è
.
1
)(
λ
σ
=X
Òîãäà
.
4
1
=
λ
Îïðåäåëÿåì âåðîÿòíîñòü
.383,0223,0606,0
4
1
4
1
)62(
5,15,0
2
1
2
3
2
6
4
1
4
1
4
1
6
2
6
2
5
=−=−=
−−=
=−=
−==<<
−−
−−
−−−
∫∫
eeee
exdedxeXP
xxx
â) Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â çàäàííûé èíòåðâàë íîðìàëüíî ðàñ-
ïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îïðåäåëÿåòñÿ êàê
. )(
6
−
Φ
−
Φ=<<
σ
α
σ
β
βα
aa
XP
Çäåñü a = M (X) = 4,
σ
= 4. Òîãäà
,383,01915,02
)5,0( 2)5,0( )5,0(
4
42
4
46
)62(
6
=⋅=
=Φ=Φ−Φ=
−
Φ
−
Φ=<< XP
ãäå ôóíêöèÿ Ëàïëàñà Φ(t) îïðåäåëÿåòñÿ ïî òàáëèöàì.
13. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
13.1. ×èñëåííàÿ îáðàáîòêà äàííûõ îäíîìåðíîé âûáîðêè
Âûáîðêà Õ îáúåìîì 100 èçìåðåíèé çàäàíà òàáëèöåé:
i 12 3 4567
x
i
0,2 1,4 2,6 3,8 5 6,2 7,4
j
x
m
513252519103
ãäå x
i
ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé,
i
x
m
÷àñòîòû ñ êîòîðûìè âñòðå-
÷àþòñÿ çíà÷åíèÿ x
i
.
360
13.1.1 Ïîñòðîèòü ïîëèãîí îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò
NmW
i
xi
/=
.
Ðåøåíèå. Âû÷èñëÿÿ îòíîñèòåëüíûå ÷àñòîòû
100//
ixi
mNmW
i
==
ïîëó÷àåì:
x
i
0,2 1,4 2,6 3,8 5 6,2 7,4
W
i
0,05 0,13 0,25 0,25 0,19 0,1 0,03
Ïîñòðîèì ïîëèãîí îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò (ðèñ. 84).
13.1.2. Âû÷èñëèòü ñðåäíåå âûáîðî÷íîå
X
, âûáîðî÷íóþ äèñ-
ïåðñèþ D
x
è ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå
σ
x
.
Ðåøåíèå. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ
X
, D
x
è
σ
x
âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì
ïðîèçâåäåíèé. Ââåäåì óñëîâíûå âàðèàíòû
,
)(
1
x
xi
h
cx
u
−
=
ãäå c
x
çíà÷åíèå õ
i
, êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò íàèáîëüøàÿ ÷àñòî-
òà, c
x
= 3,8, h
x
øàã âûáîðêè, h
x
= 1,2.
Òîãäà, âû÷èñëÿÿ u
i
, ïîëó÷èì óñëîâíûé ðÿä:
u
i
-3 -2 -1 0 1 2 3
m
i
513252519103
Ðèñ. 84
x
w
i
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0,2 1,4 2,6 3,8 5 6,2 7,4
0