Шапкин А.С., Шапкин В.А. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями

Подождите немного. Документ загружается.

331

Ïðèìåð 6.34. Ïóñòü ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü Õ ïîä÷èíåíà

íîðìàëüíîìó çàêîíó. Òðåáóåòñÿ îöåíèòü åå ïàðàìåòðû.

Òàê êàê ïàðàìåòðàìè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ

)(

xXMa ==

, òî

≈

ïðè îáúåìå âûáîðêè n ≤ 30,

≈

ïðè îáúåìå âûáîðêè n > 30.

6.4.5. Èíòåðâàëüíûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ.

Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî

îæèäàíèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ

ïðè èçâåñòíîì

σσ

Ïóñòü ÑÂ Õ îáðàçóþò ãåíåðàëüíóþ ñîâîêóïíîñòü è

 íåèç-

âåñòíûé ïàðàìåòð ÑÂ Õ. Åñëè ñòàòèñòè÷åñêàÿ îöåíêà

* ÿâëÿåòñÿ

ñîñòîÿòåëüíîé, òî ÷åì áîëüøå îáúåì âûáîðêè, òåì òî÷íåå ïîëó-

÷àåì çíà÷åíèå

. Îäíàêî íà ïðàêòèêå ìû èìååì âûáîðêè íå î÷åíü

áîëüøîãî îáúåìà, ïîýòîìó íå ìîæåì ãàðàíòèðîâàòü áîëüøóþ

òî÷íîñòü.

Ïóñòü

*  ñòàòèñòè÷åñêàÿ îöåíêà äëÿ

. Âåëè÷èíà |

* 

íàçûâàåòñÿ òî÷íîñòüþ îöåíêè. ßñíî, ÷òî òî÷íîñòü ÿâëÿåòñÿ ÑÂ,

ò.ê.

*  ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Çàäàäèì ìàëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñ-

ëî

è ïîòðåáóåì, ÷òîáû òî÷íîñòü îöåíêè |

* 

| áûëà ìåíüøå

ò.å. |

* 

| <

Ìû íå ìîæåì êàòåãîðè÷åñêè óòâåðæäàòü, ÷òî îöåíêà

* óäîâ-

ëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó |

* 

| <

; ìîæíî ëèøü ãîâîðèòü î âåðî-

ÿòíîñòè

, ñ êîòîðîé ýòî íåðàâåíñòâî âûïîëíèòñÿ.

Íàäåæíîñòüþ

èëè äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ îöåíêè

ïî

* íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòü

, ñ êîòîðîé îñóùåñòâëÿåòñÿ íåðàâåí-

ñòâî |

* 

| <

, ò.å.

= Ð {|

* 

| <

Îáû÷íî íàäåæíîñòü g çàäàþò íàïåðåä, ïðè÷åì, çà

áåðóò ÷èñ-

ëî, áëèçêîå ê 1 (0,9; 0,95; 0,99; ).

Òàê êàê íåðàâåíñòâî |

* 

| <

ðàâíîñèëüíî äâîéíîìó íåðà-

âåíñòâó

* 

≤

* +

, òî ïîëó÷àåì:

= Ð {

* 

* +

332

Èíòåðâàë (

* 

* +

) íàçûâàåòñÿ äîâåðèòåëüíûì èíòåð-

âàëîì, ò.å. äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë ïîêðûâàåò íåèçâåñòíûé ïà-

ðàìåòð

ñ âåðîÿòíîñòüþ

. Çàìåòèì, ÷òî êîíöû äîâåðèòåëüíîãî

èíòåðâàëà ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûìè è èçìåíÿþòñÿ îò âûáîðêè ê âû-

áîðêå, ïîýòîìó òî÷íåå ãîâîðèòü, ÷òî èíòåðâàë (

* 

* +

)

ïîêðûâàåò íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð

, à íå

ïðèíàäëåæèò ýòîìó

èíòåðâàëó.

Ïóñòü ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü çàäàíà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé

Õ, ðàñïðåäåëåííîé ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó, ïðè÷åì, ñðåäíåå êâàä-

ðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå

èçâåñòíî. Íåèçâåñòíûì ÿâëÿåòñÿ ìàòå-

ìàòè÷åñêîå îæèäàíèå à = Ì (Õ). Òðåáóåòñÿ íàéòè äîâåðèòåëüíûé

èíòåðâàë äëÿ à ïðè çàäàííîé íàäåæíîñòè

Âûáîðî÷íàÿ ñðåäíÿÿ

...

ÿâëÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêîé îöåíêîé äëÿ

ax =

Òåîðåìà. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà

èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðå-

äåëåíèå, åñëè Õ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, è

,)(

aXM =

, )(

ãäå

,)( XD=

).( XMa =

Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ à èìååò âèä:

δδ

+<<−

ÂÂ

XaX

.} || {

γδ

=<−aXP

Íàõîäèì

Ïîëüçóÿñü ñîîòíîøåíèåì

, 2 2} || {













Φ=













Φ=<−

aXP

ãäå Φ(z)  ôóíêöèÿ Ëàïëàñà, èìååì:

. 2













333

Îáîçíà÷èâ

, t

ïîëó÷èì Φ(t) =

. Òàê êàê γ çàäàíà, òî ïî

òàáëèöå çíà÷åíèé ôóíêöèè Ëàïëàñà íàõîäèì çíà÷åíèå t.

Èç ðàâåíñòâà

t =

íàõîäèì

 òî÷íîñòü îöåíêè.

Çíà÷èò, äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ à èìååò âèä:

. ,

ÂÂ













⋅+⋅−

σσ

Åñëè çàäàíà âûáîðêà èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè Õ

õ

n

n = n

+  + n

, òî äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë áóäåò:













⋅+

⋅

⋅−

⋅

∑∑

σσ

ò.å.

ÂÂ













⋅+<<⋅−

txa

σσ

Ïðèìåð 6.35. Íàéòè äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ îöåíêè ìà-

òåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ à íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ íàäåæ-

íîñòüþ 0,95, çíàÿ âûáîðî÷íóþ ñðåäíþþ

,43,10

îáúåì âûáîð-

êè n = 100 è ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå

= 5.

Ðåøåíèå. Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé

ÂÂ

txa

σσ

⋅+<<⋅−

Íàéäåì t. Èç ñîîòíîøåíèÿ 2Φ(t) = 0,95 ïîëó÷èì: Φ(t) = 0,475.

Ïî òàáëèöå íàõîäèì t = 1,96. Íàéäåì òî÷íîñòü îöåíêè

.98,0

100

51,96

⋅

334

Èñêîìûé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë (10,43  0,98 < a < 10,43 + 0,98)

èëè (9,45 < a < 11,41).

Ñìûñë ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà òàêîâ: åñëè áóäåò ïðîèçâåäå-

íî áîëüøîå ÷èñëî âûáîðîê, òî 95% èç íèõ îïðåäåëÿò òàêèå äîâå-

ðèòåëüíûå èíòåðâàëû, â êîòîðûõ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå áó-

äåò çàêëþ÷åíî.

6.5. Ìåòîäû ðàñ÷åòà õàðàêòåðèñòèê

âûáîðêè

Ðàññìîòðèì ðàöèîíàëüíûå ìåòîäû îïðåäåëåíèÿ õàðàêòåðèñ-

òèê âûáîðêè

è d

6.5.1. Óñëîâíûå âàðèàíòû.

Ìåòîä ïðîèçâåäåíèé

Ïóñòü âûáîðêà èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè Õ ÿâëÿåòñÿ âà-

ðèàöèîííûì ðÿäîì ñ ðàâíîîòñòîÿùèìè âàðèàíòàìè, ò.å.

õ

n

< õ

<  < õ

, õ

i+1

 õ

= h = const, n = n

+ n

+  + n

Óñëîâíûìè íàçûâàþò âàðèàíòû u

, îïðåäåëÿåìûå ðàâåíñòâîì

−

ãäå Ñ  ëîæíûé íóëü. Îáû÷íî ïîëàãàþò Ñ ðàâíûì âàðèàíòå ñ

íàèáîëüøåé ÷àñòîòîé.

Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî óñëîâíûå âàðèàíòû ïðèíèìàþò òîëüêî

öåëûå çíà÷åíèÿ, è, åñëè x

= C, òî u

= 0.

Óñëîâíûå âàðèàíòû u

, u

, , u

îáðàçóþò óñëîâíóþ âû-

áîðêó

 u

 n

335

Òîãäà ìîæíî îïðåäåëèòü óñëîâíûå ýìïèðè÷åñêèå ìîìåíòû

ïîðÿäêà k:

∑

⋅

Îïðåäåëèâ óñëîâíûå âûáîðî÷íûå ìîìåíòû ïåðâîãî è âòîðîãî

ïîðÿäêà

, ;

∑∑

⋅

ìîæíî îïðåäåëèòü âûáîðî÷íûå ñðåäíþþ è äèñïåðñèþ:

.])([ ;

22*

2Â

1Â

hMMdChMx ⋅−=+⋅=

Ïðèìåð 6.36. Äàíû âûáîðî÷íûå âàðèàíòû x

è ñîîòâåòñòâóþ-

ùèå ÷àñòîòû n

êîëè÷åñòâåííîãî ïðèçíàêà Õ:

10 15 20 25 30

61650244

Íàéòè ìåòîäîì ïðîèçâåäåíèé âûáîðî÷íûå ñðåäíþþ, äèñïåð-

ñèþ è ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå.

Ðåøåíèå. Ñîñòàâèì ðàñ÷åòíóþ òàáëèöó, äëÿ ÷åãî:

1) çàïèøåì âàðèàíòû x

â ïåðâûé ñòîëáåö;

2) çàïèøåì ÷àñòîòû n

âî âòîðîé ñòîëáåö;

3) â êà÷åñòâå ëîæíîãî íóëÿ Ñ âûáåðåì âàðèàíòó 20 (ýòà âàðè-

àíòà èìååò íàèáîëüøóþ ÷àñòîòó); â êëåòêå òðåòüåãî ñòîëáöà, êî-

òîðàÿ ïðèíàäëåæèò ñòðîêå, ñîäåðæàùåé âàðèàíòó 20, ïèøåì 0; íàä

íóëåì ïîñëåäîâàòåëüíî çàïèñûâàåì óñëîâíûå âàðèàíòû 1, 2, à

ïîä íóëåì  ïîñëåäîâàòåëüíî 1, 2;

4) ïðîèçâåäåíèÿ ÷àñòîò íà óñëîâíûå âàðèàíòû u

çàïèñûâàåì â

÷åòâåðòûé ñòîëáåö; íàõîäèì ñóììó ýòèõ ïðîèçâåäåíèé è ïîìåùà-

åì åå â íèæíþþ êëåòêó ñòîëáöà;

5) ïðîèçâåäåíèÿ ÷àñòîò íà êâàäðàòû óñëîâíûõ âàðèàíò çàïè-

øåì â ïÿòûé ñòîëáåö; ñóììó ÷èñåë ñòîëáöà (80) ïîìåùàåì â íèæ-

íþþ êëåòêó ñòîëáöà;

336

6) ïðîèçâåäåíèÿ ÷àñòîò íà êâàäðàòû óñëîâíûõ âàðèàíò, óâå-

ëè÷åííûõ íà åäèíèöó, çàïèøåì â øåñòîé (êîíòðîëüíûé) ñòîëáåö;

ñóììó ÷èñåë ñòîëáöà (188) ïîìåùàåì â íèæíþþ êëåòêó ñòîëáöà.

Â èòîãå ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ðàñ÷åòíóþ òàáëèöó:

· u

⋅

+ 1)

10 6 2 12 24 6

15 16 1 16 16 0

20 50 0 0 0 50

25 24 1 24 24 96

30 4 2 8 16 36

n = 100

∑

=80

∑

188)1(

Êîíòðîëü

.188)1 (

;1881004280 2

=+⋅+=+⋅+⋅

∑

∑∑

iii

nunun

Ñîâïàäåíèå íàéäåííûõ ñóìì ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî âû-

÷èñëåíèÿ ïðîèçâåäåíû ïðàâèëüíî.

Âû÷èñëèì óñëîâíûå ìîìåíòû ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ:

.8,0

100

;04,0

100

======

∑∑

iiii

Íàéäåì øàã (ðàçíîñòü ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè âàðèàíòà-

ìè): h = 15  10 = 5.

Íàéäåì èñêîìóþ âûáîðî÷íóþ ñðåäíþþ:

.2,2020504,0

1â

=+⋅=+⋅= ChMx

Íàéäåì èñêîìóþ âûáîðî÷íóþ äèñïåðñèþ:

.96,195](0,04) 8,0[])([

222*

2â

=⋅−=⋅−= hMMd

Íàéäåì èñêîìîå ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå:

.47,496,19

ââ

=== d

337

6.5.2. Ýìïèðè÷åñêèå è òåîðåòè÷åñêèå ÷àñòîòû

Ïóñòü çíà÷åíèÿ ÑÂ Õ îáðàçóþò ãåíåðàëüíóþ ñîâîêóïíîñòü.

Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ Õ íåèçâåñòåí.

Ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ âûáîðêó îáúåìà n èç ãåíåðàëüíîé ñî-

âîêóïíîñòè

õ

... n

n = n

+  + n

×àñòîòû n

ïîÿâëåíèÿ âàðèàíò x

òàêæå íàçûâàþò ýìïèðè÷åñ-

êèìè ÷àñòîòàìè.

Ïóñòü Õ  äèñêðåòíàÿ ÑÂ è èìåþòñÿ îñíîâàíèÿ ïðåäïîëîæèòü,

÷òî èçó÷àåìàÿ âåëè÷èíà Õ ðàñïðåäåëåíà ïî íåêîòîðîìó îïðåäå-

ëåííîìó çàêîíó. Çíàÿ çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ Õ, ìû ìîæåì íàéòè

âåðîÿòíîñòè p

ïîÿâëåíèÿ çíà÷åíèé x

, ò.å.

= P {X = x

Òåîðåòè÷åñêèìè ÷àñòîòàìè n

íàçûâàþò ÷àñòîòû, îïðåäåëÿå-

ìûå ïî ôîðìóëå n

= n · p

Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî n

óêàçûâàåò, ñêîëüêî ðàç äîëæíî ïî-

ÿâèòüñÿ â ñðåäíåì çíà÷åíèå x

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ ñ ïðåäïîëà-

ãàåìûì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ.

Ïóñòü òåïåðü Õ  íåïðåðûâíàÿ ÑÂ. Ðàññìîòðèì áîëåå äåòàëü-

íî îïðåäåëåíèå òåîðåòè÷åñêèõ ÷àñòîò, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî Õ  íîð-

ìàëüíî ðàñïðåäåëåííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà.

Ïóñòü

õ

... n

n = n

+  + n

, ðàâíîîòñòîÿùàÿ âûáîðêà èç ãåíåðàëüíîé ñîâî-

êóïíîñòè Õ, n

,  , n

 ýìïèðè÷åñêèå ÷àñòîòû, õ

i+1

 x

= h.

Òîãäà òåîðåòè÷åñêèå ÷àñòîòû îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå

pnn

⋅=

′

ãäå p

 âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ Õ â i-ûé ÷àñòè÷íûé èíòåðâàë ñ

êîíöàìè

−

338

Ïðèáëèæåííî âåðîÿòíîñòè p

ìîãóò áûòü íàéäåíû ïî ôîðìóëå

),(

⋅=

ãäå

−

i = 1, 2, ..., m,

)(

−

⋅=

Çíà÷åíèÿ ôóíêöèè

(u) íàõîäÿòñÿ ïî òàáëèöå.

6.6. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ïðîâåðêà ãèïîòåç

Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ðåçóëüòàòû íàáëþäåíèé èñïîëüçóþòñÿ äëÿ

ïðîâåðêè ïðåäïîëîæåíèé (ãèïîòåç) îòíîñèòåëüíî ëèáî ñàìîãî

âèäà ðàñïðåäåëåíèÿ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, ëèáî çíà÷åíèÿ

ïàðàìåòðîâ óæå èçâåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ  ñòàòèñòè÷åñêèõ ãè-

ïîòåç. Ïóñòü èçâåñòíî ðàñïðåäåëåíèå ÑÂ Õ (íàïðèìåð, ýòî íîð-

ìàëüíûé çàêîí), è ïî âûáîðêå íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü ãèïîòåçó

î çíà÷åíèè íåêîòîðîãî ïàðàìåòðà (

èëè

) ýòîãî ðàñïðå-

äåëåíèÿ.

Â äàëüíåéøåì âûäâèãàåìóþ è ïðîâåðÿåìóþ ãèïîòåçó áóäåì

íàçûâàòü íóëåâîé ãèïîòåçîé (èëè îñíîâíîé) è îáîçíà÷àòü åå ÷å-

ðåç Í

. Íàðÿäó ñ Í

ðàññìàòðèâàþò òàêæå îäíó èç àëüòåðíàòèâ-

íûõ (êîíêóðèðóþùèõ) ãèïîòåç Í

. Íàïðèìåð, åñëè ïðîâåðÿåòñÿ

ãèïîòåçà î ðàâåíñòâå ïàðàìåòðà

íåêîòîðîìó çàäàííîìó çíà-

÷åíèþ

, ò.å. Í

, òî â êà÷åñòâå àëüòåðíàòèâíîé ãèïî-

òåçû ìîæíî ðàññìîòðåòü îäíó èç ñëåäóþùèõ: à) Í

;

á) Í

; â) Í

≠

; ã) Í

, ãäå

 äðóãîå

çàäàííîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà

Âûäâèíóòàÿ ãèïîòåçà Í

ìîæåò ñîîòâåòñòâîâàòü èñòèíå èëè

íåò. Ïðè ïðîâåðêå ãèïîòåçû Í

ïî ðåçóëüòàòàì âûáîðêè ìîãóò

áûòü äîïóùåíû îøèáêè äâóõ ðîäîâ: 1) îøèáêà ïåðâîãî ðîäà 

îòâåðãíóòà ïðàâèëüíàÿ ãèïîòåçà; 2) îøèáêà âòîðîãî ðîäà  ïðè-

íÿòà íåïðàâèëüíàÿ ãèïîòåçà. Ïîñëåäñòâèÿ ýòèõ îøèáîê íåðàâíîç-

íà÷íû, è ðîëü êàæäîé îöåíèâàåòñÿ äî êîíöà ïî óñëîâèÿì êîíê-

ðåòíîé çàäà÷è. Íàïðèìåð, åñëè ïðè ïðîâåðêå êà÷åñòâà ïàðòèè äå-

òàëåé ïî âûáîðêå èç íåå â êà÷åñòâå Í

ïðèíÿòà ãèïîòåçà, ÷òî äîëÿ

áðàêà íå áîëåå 0,1%, òî ïðè äîïóùåíèè çäåñü îøèáêè ïåðâîãî

ðîäà áóäåò çàáðàêîâàíà ãîäíàÿ ïðîäóêöèÿ, à äîïóñòèâ îøèáêó

âòîðîãî ðîäà, âûïóñòèì ïîòðåáèòåëþ ïàðòèþ äåòàëåé ñ äîëåé

339

áðàêà áîëüøå äîïóñòèìîãî. Ïåðåä íà÷àëîì àíàëèçà âûáîðêè

ôèêñèðóþò î÷åíü ìàëîå ÷èñëî

. Âåðîÿòíîñòü ñîâåðøèòü îøèáêó

ïåðâîãî ðîäà íàçûâàåòñÿ óðîâíåì çíà÷èìîñòè

. Îáû÷íî áå-

ðóò

= 0,05; 0,01; 0,005.

Ïðàâèëî, ïî êîòîðîìó ïðèíèìàåòñÿ ðåøåíèå ïðèíÿòü èëè

îòêëîíèòü ãèïîòåçó Í

, íàçûâàåòñÿ êðèòåðèåì èëè ñòàòèñòè÷åñ-

êèì êðèòåðèåì K. Âûáîð K çàâèñèò îò êîíêðåòíîé çàäà÷è.

Îáû÷íî êðèòåðèé ïðîâåðêè ãèïîòåçû ðåàëèçóåòñÿ ñ ïîìîùüþ

íåêîòîðîé ñòàòèñòè÷åñêîé õàðàêòåðèñòèêè, îïðåäåëåííîé ïî âû-

áîðêå, ò.å. ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîé ñòàòèñòèêè

. Çäåñü

 íåêî-

òîðàÿ ÑÂ, çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ êîòîðîé èçâåñòåí.

Â ìíîæåñòâå âñåõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ñòàòèñòèêè q êðèòåðèÿ

K âûäåëèì ïîäìíîæåñòâî

, ïðè êîòîðîì ãèïîòåçà Í

îòêëîíÿ-

åòñÿ. Ýòî ïîäìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêîé îáëàñòüþ. Òî

ïîäìíîæåñòâî çíà÷åíèé

, ïðè êîòîðîì ãèïîòåçó Í

íå îòêëîíÿ-

þò, íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ ïðèíÿòèÿ ãèïîòåçû (äîïóñòèìîé îáëàñ-

òüþ). Òî÷êè, ðàçäåëÿþùèå ýòè îáëàñòè, íàçûâàþòñÿ êðèòè÷åñêè-

ìè òî÷êàìè. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê èñïîëüçóþò ïðèí-

öèï ïðàêòè÷åñêîé íåâîçìîæíîñòè ñîáûòèé, èìåþùèõ ìàëóþ

âåðîÿòíîñòü. Ïðè ýòîì çàäàþòñÿ äîñòàòî÷íî ìàëîé âåëè÷èíîé

íàçûâàåìîé óðîâíåì çíà÷èìîñòè êðèòåðèÿ, è îïðåäåëÿþò êðèòè-

÷åñêóþ îáëàñòü êàê ìíîæåñòâî òåõ çíà÷åíèé

, âåðîÿòíîñòü êîòî-

ðûõ ïðèíàäëåæàòü ê îáëàñòè

ðàâíÿëàñü áû

, ò.å.

P {

∈

} =

Åñëè ïî äàííûì âûáîðêè ïðè äàííîì óðîâíå çíà÷èìîñòè ïî-

ëó÷àåòñÿ, ÷òî

∉

, òî ýòî ìîæåò ñëóæèòü îñíîâàíèåì äëÿ îò-

êëîíåíèÿ ãèïîòåçû Í

Ðàññìîòðèì ïðîâåðêó ãèïîòåçû î íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè

ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè Õ. Ïóñòü ðàñïðåäåëåíèå Õ íåèçâåñòíî,

íî åñòü îñíîâàíèå ïðåäïîëîæèòü, ÷òî Õ èìååò íîðìàëüíîå ðàñ-

ïðåäåëåíèå, ò.å. âûäâèãàåòñÿ íóëåâàÿ ãèïîòåçà Í

î íîðìàëüíîñòè

ÑÂ Õ. Ñòàòèñòè÷åñêèé êðèòåðèé, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî ïðîâåðÿ-

åòñÿ íóëåâàÿ ãèïîòåçà, íàçûâàåòñÿ êðèòåðèåì ñîãëàñèÿ. Èìååòñÿ

íåñêîëüêî êðèòåðèåâ ñîãëàñèÿ. Îáû÷íî â íèõ èñïîëüçóþò ñòàòèñ-

òèêè, èìåþùèå òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèé, ïîäãîòîâëåííûå çàðàíåå:

ñòàòèñòèêó ñ íîðìàëüíûì íîðìèðîâàííûì ðàñïðåäåëåíèåì, ñòà-

òèñòèêó

è ñòàòèñòèêó Ôèøåðà. Ðàññìîòðèì êðèòåðèé ñîãëàñèÿ

Ïèðñîíà (êðèòåðèé ñîãëàñèÿ χ

Ïèðñîíà,

 «xè êâàäðàò»).

340

Ïóñòü äëÿ Õ ïîëó÷åíà âûáîðêà îáúåìà n, çàäàííàÿ â âèäå ñòà-

òèñòè÷åñêîãî ðÿäà ñ ðàâíîîòñòîÿùèìè âàðèàíòàìè:

õ

n

Íàéäåì ïî äàííûì âûáîðêè âåëè÷èíû

. Ïðåäïîëà-

ãàÿ, ÷òî Õ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, âû÷èñëèì âåëè-

÷èíû

′

)( ,

−

⋅=













−

⋅

′

íàçûâàåìûå òåîðåòè÷åñêèìè ÷àñòîòàìè, â ïðîòèâîïîëîæíîñòü

÷åìó n

çäåñü íàçûâàþò ýìïèðè÷åñêèìè ÷àñòîòàìè.

Â êà÷åñòâå ñòàòèñòèêè

âûáèðàþò ÑÂ

)(

∑

′

−

Îíà ïîä÷èíÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèþ

ñ ÷èñëîì ñòåïåííîé ñâîáîäû

= s  r  1, ãäå s  ÷èñëî ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé õ

; r  ÷èñëî ïàðà-

ìåòðîâ, îò êîòîðûõ çàâèñèò ðàñïðåäåëåíèå. Äëÿ íîðìàëüíîãî çà-

êîíà òàêèõ ïàðàìåòðîâ äâà:

)(

XMxa ==

−

⋅==

ò.å.

r = 2, è

= s  3. Åñëè ýìïèðè÷åñêîå è òåîðåòè÷åñêîå ðàñïðåäåëå-

íèÿ ñîâïàäàþò, òî

= 0. Ïî äàííîìó óðîâíþ çíà÷èìîñòè a è

÷èñëó ñòåïåíåé ñâîáîäû

â òàáëèöå ðàñïðåäåëåíèÿ

íàõîäÿò êðè-

òè÷åñêîå çíà÷åíèå

êðèò.

è îïðåäåëÿþò êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü:

êðèò.

.}:{

êðèò.

χχχω

≥=

Çàòåì âû÷èñëÿþò íàáëþäàåìîå

çíà÷åíèå

, ò.å.

íàáë.

ïî ôîðìóëå

)(

íàáë.

∑

′

−

Åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî

êðèò.

íàáë.

òî íóëåâóþ ãèïîòåçó Í

î òîì,

÷òî X èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, ïðèíèìàþò. Â ýòîì ñëó-

÷àå îïûòíûå äàííûå âûáîðêè õîðîøî ñîãëàñóþòñÿ ñ ãèïîòåçîé î

íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè.