Шапкин А.С., Шапкин В.А. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями
Подождите немного. Документ загружается.
301
Ðåøåíèå. Òðåáóåòñÿ íàéòè âåðîÿòíîñòü P
13,26
. Çíàÿ òåîðåìó
Ëàïëàñà, íåîáõîäèìûå âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäèì ïî ñëåäóþùåé
ñõåìå:
;04,1
50,2
60,2
;6,24,1013;13
;50,224,6;26
;24,66,04,10;6,04,01
;4,104,026;4,0
==
−
=
=−=−=
===
=⋅==−=
=⋅==
npq
npm
x
npmm
npqn
npqq
npp
ϕ
(x) =
ϕ
(1,04) = 0,2323;
.
093,0
50,2
2323,0)(
==≈
npq
x
P
mn
ϕ
Çíà÷åíèÿ ôóíêöèè
ϕ
(x) íàõîäèì ïî òàáëèöå.
6.2.3. Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Ëàïëàñà
Åñëè âåðîÿòíîñòü p íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ À â êàæäîì èç n íå-
çàâèñèìûõ èñïûòàíèé ïîñòîÿííà è îòëè÷íà îò 0 è 1, òî âåðîÿò-
íîñòü òîãî, ÷òî m ÷èñëî ïîÿâëåíèé ñîáûòèÿ À ïðè n èñïûòàíè-
ÿõ çàêëþ÷åíî ìåæäó
npqnpa
α
+=
è
npqnpb
β
+=
(a < b),
óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ:
,1
)]( )( [
2
1
)(
lim =
Φ−Φ
<<
∞→
αβ
bmaP
n
(4)
ãäå
dtex
x
t
∫
−
=Φ
0
2
2
2
2
)(
π
ôóíêöèÿ Ëàïëàñà, à
npq
npa −
=
α
è
npq
npb −
=
β
(q = 1 p). Îòñþäà ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì n ñëåäóåò
ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî:
.
2
)( )(
)(
αβ
Φ−Φ
≈<< bmaP
(5)
302
Åñëè â ñîîòíîøåíèè (4) ïîëîæèòü
pq
n
εα
−=
è
,
pq
n
εβ
=
òî ïîëó÷èì
,
1
)(
lim
=
Φ
+<<−
∞→
pq
n
nnpmnnpP
n
ε
εε
(6)
îòêóäà
1 lim =
<−
∞→
ε
p
n
m
P
n
(òåîðåìà Áåðíóëëè), òàê êàê
1 lim =
Φ
∞→
pq
n
n
ε
è
=
<−<−=+<<−
εεεε
p
n
m
PnnpmnnpP )(
.
<−=
ε
p
n
m
P
Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n èç ôîðìóëû (6) ñëåäóåò ïðèáëè-
æåííîå ðàâåíñòâî:
Φ≈
<−
pq
n
p
n
m
P
εε
(7)
èëè
.
) | | (
Φ≈<−
npq
npmP
ε
ε
(8)
Ïðèìåð 6.18. Ïðè óñòàíîâèâøåìñÿ òåõíîëîãè÷åñêîì ïðîöåññå
ôàáðèêà âûïóñêàåò â ñðåäíåì 70% ïðîäóêöèè ïåðâîãî ñîðòà. ×åìó
ðàâíà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ïàðòèè èç 1000 èçäåëèé ÷èñëî ïåð-
âîñîðòíûõ çàêëþ÷åíî ìåæäó 652 è 760?
Ðåøåíèå. Èçâåñòíû ÷èñëî íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé n = 1000 è
âåðîÿòíîñòü íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ â îòäåëüíîì èñïûòàíèè p = 0,7.
Òðåáóåòñÿ íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ÷èñëî ïîÿâëåíèé ñîáûòèÿ
çàêëþ÷åíî ìåæäó a = 652 è b = 760. Èñêîìóþ âåðîÿòíîñòü íàõî-
äèì ïî ôîðìóëå (5)
.
)]( )( [
2
1
)(
αβ
Φ−Φ≈<< bmaP
303
Ðàñ÷åò
α
è
β
ïðîèçâîäèì ïî ñëåäóþùåé ñõåìå:
.
;
;
;
;48700652
;
1,99810)( )(
0,99813(3,31) )(
0,99997(4,14) )(
14,4
491,14
60
60700760
31,3
491,14
48
491,14210
;2103,0700)7,01(700
;70010007,0
=ΦΦ
=Φ=Φ
=Φ=Φ
==
−
=
=−=−
−=
−
=
−
=
==
=⋅=−⋅=
=⋅=
−=−=−
αβ
α
β
β
α
npq
npb
npb
npq
npa
npq
npq
np
npa
Ïîýòîìó èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü ïðèáëèæåííî ðàâíà:
.
99905,0
2
99810,1
2
)( )(
==
Φ−Φ
αβ
Ïðèìåð 6.19. Áþôôîí áðîñèë ìîíåòó 4040 ðàç, ïðè÷åì ãåðá
âûïàë 2048 ðàç. Ìîæíî ëè ñ÷èòàòü ïîëó÷åííîå îòêëîíåíèå ÷èñëà
ïîÿâëåíèé ãåðáà îò 2020 ñëó÷àéíûì èëè æå îíî îáóñëîâëåíî ñèñ-
òåìàòè÷åñêîé ïðè÷èíîé?
Ðåøåíèå. Ðàñõîæäåíèå ýìïèðè÷åñêîé ÷àñòîòû Áþôôîíà îò òå-
îðåòè÷åñêîé ìîæíî ñ÷èòàòü ñëó÷àéíûì, åñëè âåðîÿòíîñòü òîãî,
÷òî ïðè 4040 áðîñàíèÿõ ìîíåòû îòêëîíåíèå ÷èñëà âûïàäåíèé ãåð-
áà îò 2020 ðàâíî èëè áîëüøå ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå, ÷åì ó Áþô-
ôîíà, äîñòàòî÷íî áîëüøàÿ. Ïóñòü m ÷èñëî âûïàäåíèé ãåðáà
ïðè 4040 áðîñàíèÿõ ìîíåòû. Íàõîäèì âåðîÿòíîñòü:
P ( | m 2020 | < 28),
ãäå 28 = | 2048 2020 |;
.
) || (
Φ≈<−
npq
npmP
ε
ε
–
304
 äàííîì ñëó÷àå p = 0,5, q = 0,5, n = 4040,
ε
= 28. Îòñþäà
;;
;;
881,0
78,31
28
10105,02020
78,31101020205,04040
===⋅=
===⋅=
npq
npq
npqnp
ε
P ( | m 2020 | < 28) ≈ Φ (0,881) = 0,6217.
Ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ, ò.å. òîãî,
÷òî | m 2020 | ≥ 28, ðàâíà 1 0,6217 = 0,3783. Òàê êàê ýòà âåðîÿò-
íîñòü äîñòàòî÷íî áîëüøàÿ, òî ðåçóëüòàò Áþôôîíà ìîæíî ñ÷èòàòü
îáóñëîâëåííûì ñëó÷àéíûìè ïðè÷èíàìè.
Ïðèìåð 6.20. Ïîñàæåíî 600 ñåìÿí êóêóðóçû ñ âåðîÿòíîñòüþ
0,9 ïðîðàñòàíèÿ äëÿ êàæäîãî ñåìåíè. Íàéòè ãðàíèöó àáñîëþòíîé
âåëè÷èíû îòêëîíåíèÿ ÷àñòîñòè âçîøåäøèõ ñåìÿí îò âåðîÿòíîñòè
p = 0,9, åñëè ýòà ãðàíèöà äîëæíà áûòü ãàðàíòèðîâàíà ñ âåðîÿòíî-
ñòüþ P = 0,995.
Ðåøåíèå. Ìû çíàåì, ÷òî åñëè n ÷èñëî íåçàâèñèìûõ èñïûòà-
íèé è p âåðîÿòíîñòü íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ â îòäåëüíîì èñïû-
òàíèè, òî ïðè ëþáîì
ε
> 0 èìååò ìåñòî ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî:
,
Φ≈
<−
pq
n
p
n
m
P
εε
ãäå q = 1 p.  íàøåì ñëó÷àå n = 600, p = 0,9 , q = 1 0,9 = 0,1,
P = 0,995,
ε
? Ïî ôîðìóëå (7):
.
995,0
1,09,0
600
èëè
1,09,0
600
9,0
=
⋅
Φ
⋅
Φ≈
<−
εεε
n
m
P
Ïîëüçóÿñü òàáëèöåé, ðåøàåì óðàâíåíèå Φ (t) = 0,995; t = 2,81.
Îòñþäà
81,2
0,10,9
600
=
⋅
ε
è, ñëåäîâàòåëüíî,
.
034,0
610
3,081,2
1006
0,09
81,2
=
⋅
=
⋅
=
ε
305
Ïðèìåð 6.21. Ñ êîíâåéåðà ñõîäèò â ñðåäíåì 85% èçäåëèé ïåð-
âîãî ñîðòà. Ñêîëüêî èçäåëèé íåîáõîäèìî âçÿòü, ÷òîáû ñ âåðîÿò-
íîñòüþ 0,997 îòêëîíåíèå ÷àñòîñòè èçäåëèé ïåðâîãî ñîðòà â íèõ îò
0,85 ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå íå ïðåâîñõîäèëî 0,01?
Ðåøåíèå. Çäåñü p = 0,85, q = 1 0,85 = 0,15,
ε
= 0,01, P = 0,997,
n ? Òàê êàê â ðàâåíñòâå
Φ≈
<−
pq
n
p
n
m
P
εε
èçâåñòíà
âåðîÿòíîñòü P, ñòîÿùàÿ ñëåâà, òî ñíà÷àëà ðåøèì óðàâíåíèå Φ (t) = P.
Ïóñòü t
P
êîðåíü ýòîãî óðàâíåíèÿ. Òîãäà
,
P
t
pq
n
≈
ε
22
P
t
pq
n
≈
ε
è, ñëåäîâàòåëüíî,
.
2
2
ε
P
pqt
n
≈
Äëÿ íàøåãî ñëó÷àÿ t
0,997
= 3, ïîýòîìó
.
11475
0001,0
1475,1
)01,0(
315,085,0
2
2
==
⋅⋅
≈n
6.3. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû
Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (ÑÂ) ýòî ïåðåìåííàÿ, ïðèíèìàþùàÿ â
êàæäîì êîíêðåòíîì èñïûòàíèè êîíêðåòíîå ÷èñëîâîå çíà÷åíèå,
êîòîðîå ìîæåò ìåíÿòüñÿ îò îïûòà ê îïûòó.
Ïðèìåðû: êîëè÷åñòâî êëèåíòîâ, ïîñåòèâøèõ ïàðèêìàõåðñêóþ
çà äåíü; ìåñÿ÷íàÿ ïðèáûëü àòåëüå; âðåìÿ ïðîÿâëåíèÿ ôîòîïëåíêè.
Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ïðåäñòàâëÿþò ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé â
ñëó÷àéíûõ ýêñïåðèìåíòàõ (èñïûòàíèÿõ). Ñóùåñòâóåò äâà âèäà ñëó-
÷àéíûõ âåëè÷èí: äèñêðåòíûå è íåïðåðûâíûå.
Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ýòî ïåðåìåííûå, ïðèíè-
ìàþùèå òîëüêî îòäåëåííûå äðóã îò äðóãà ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ (êî-
òîðûå ìîæíî çàðàíåå ïåðå÷èñëèòü).
Ïðèìåðû: îöåíêè â çà÷åòíîé êíèæêå (3, 4, 5); êîëè÷åñòâî ñòó-
äåíòîâ íà ýêçàìåíå.
Íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáûå
çíà÷åíèÿ èç çàìêíóòîãî èëè îòêðûòîãî èíòåðâàëà. Íàïðèìåð, ðàç-
ìåðû îäíîé è òîé æå äåòàëè, îïðåäåëÿåìûå ðàçíûìè ëþäüìè èëè
ñ ïðèìåíåíèåì ðàçíûõ èíñòðóìåíòîâ, ðàçëè÷íû.
Âîçìîæíû êîìáèíèðîâàííûå (äèñêðåòíî-íåïðåðûâíûå) ñëó-
÷àéíûå âåëè÷èíû, êîòîðûå íà îäíèõ èíòåðâàëàõ ÿâëÿþòñÿ íåïðå-
ðûâíûìè, à íà äðóãèõ äèñêðåòíûìè.
306
6.3.1. Çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ
Çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû íàçûâàåòñÿ ëþáîå ïðàâèëî, ïîçâîëÿþùåå íàõîäèòü âñå
âåðîÿòíîñòè êàæäîãî çíà÷åíèÿ ýòîé âåëè÷èíû. Äëÿ ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí ëþáîãî âèäà ýòî ïðàâèëî, ïîçâîëÿþùåå íàõîäèòü âå-
ðîÿòíîñòè ïîÿâëåíèÿ ýòîé âåëè÷èíû â ëþáîì çàäàííîì èíòåðâà-
ëå åå çíà÷åíèé. Çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ çàäàþòñÿ â àíàëèòè÷åñ-
êîé, ãðàôè÷åñêîé èëè òàáëè÷íîé ôîðìå. Îáû÷íî äëÿ ýòîãî èñ-
ïîëüçóþòñÿ:
à) ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ (ìíîãîóãîëüíèê ðàñïðåäåëåíèÿ);
á) èíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ;
â) äèôôåðåíöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ýòî òàáëèöà, â êîòîðîé ïåðå÷èñëåíû âñå
âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ Ñ è ñîîòâåòñòâóþùèå èì âåðîÿòíîñòè. Îí
ÿâëÿåòñÿ èñ÷åðïûâàþùåé õàðàêòåðèñòèêîé äèñêðåòíîé ÑÂ.
Ó íåïðåðûâíûõ ÑÂ ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ îòñóòñòâóåò, ïîýòîìó
îí íå ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíûì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ ÑÂ. Ïðè-
ìåð ðÿäà ðàñïðåäåëåíèÿ èëëþñòðèðóåòñÿ òàáë. 1, ãäå ïðåäñòàâ-
ëåíî (â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ) ïÿòü çíà÷åíèé äèñêðåòíîé ñëó÷àé-
íîé âåëè÷èíû Õ. Ïðè ýòîì ñóììà âñåõ âåðîÿòíîñòåé âñåãäà ðàâíà
åäèíèöå.
Òàáëèöà 1
x
i
3 0 1 3 4
P
i
0,3 0,2 0,1 0,3 0,1
Èíòåãðàëüíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ íàçûâàþò ôóíêöèþ
F (x), îïðåäåëÿþùóþ äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ õ âåðîÿòíîñòü òîãî,
÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ ïðèìåò çíà÷åíèå, ìåíüøåå õ, ò.å.
F (x) = P (X < x),
ãäå õ íåêîòîðàÿ òåêóùàÿ ïåðåìåííàÿ.
Èíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñàìàÿ óíèâåðñàëüíàÿ
õàðàêòåðèñòèêà ÑÂ. Îíà ñóùåñòâóåò è äëÿ äèñêðåòíûõ è äëÿ íå-
ïðåðûâíûõ ÑÂ, ïîëíîñòüþ è îäíîçíà÷íî õàðàêòåðèçóÿ èõ ñ âåðî-
ÿòíîñòíîé òî÷êè çðåíèÿ, ò.å. ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç ôîðì çàêîíà ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ. ×àñòî ñëîâî «èíòåãðàëüíàÿ» îïóñêàåòñÿ.
307
Íà ðèñ. 72 ïðåäñòàâëåíà èíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ
äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, çàäàííîé òàáë. 1.
Îñíîâíûå ñâîéñòâà èíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ:
1. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ åñòü íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ, çàê-
ëþ÷åííàÿ ìåæäó íóëåì è åäèíèöåé: 0 ≤ F (x) ≤ 1, ãäå íà ãðàíèöàõ
èíòåðâàëà: F (x = ∞) = 0 è F (x = +∞) = 1.
2. Âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ÑÂ â èíòåðâàëå îò
α
äî
β
, ðàâíà ðàç-
íîñòè çíà÷åíèé èíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íà êîíöàõ
èíòåðâàëà, ò.å.
P (
α
< x <
β
) = F (
β
) F (
α
).
3. Èíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ ñâîåãî
àðãóìåíòà, ò.å. åñëè x
2
> x
1
, òî F (x
2
) ≥ F (x
1
).
4.  îòäåëüíûõ òî÷êàõ F (x) ìîæåò èìåòü ðàçðûâ.  ýòèõ òî÷-
êàõ âåëè÷èíà ñêà÷êà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà âåðîÿòíîñòè
ïîÿâëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â ýòîé òî÷êå:
P (X = x) = F (x + 0) F (x).
Ðèñ. 72. Èíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ñì. òàáë. 1)
x
I
= 3 x
2
= 0 x
3
= 1 x
4
= 3 x
5
= 4 x
F (x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
p
5
= 0,1
p
4
= 0,3
p
3
= 0,1
p
2
= 0,2
p
1
= 0,3
}
{
308
5. Ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ÑÂ èìååò ñòó-
ïåí÷àòûé âèä (ðèñ. 72), à íåïðåðûâíîé íåïðåðûâíóþ ëèíèþ
(ðèñ. 73).
Ïëîòíîñòüþ (äèôôåðåíöèàëüíîé ôóíêöèåé) ðàñïðåäåëåíèÿ
íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû x íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ åå
èíòåãðàëüíîé ôóíêöèè: f (x) = F′ (x).
Îñíîâíûå ñâîéñòâà ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ:
1. Äèôôåðåíöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ íåîòðèöàòåëüíà: f (x) ≥ 0.
2. Èíòåãðàë îò f (x) â ïðåäåëàõ îò ∞ äî õ* ðàâåí èíòåãðàëüíîé
ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ
∫
∞
<<∞=<==
*
.
*)( *)( *)( )(
x
xXPxXPxFdxx
f
Ýòîò èíòåãðàë ÷èñëåííî ðàâåí ïëîùàäè ôèãóðû, ëåæàùåé ëå-
âåå òî÷êè õ* è çàêëþ÷åííîé ìåæäó êðèâîé ïëîòíîñòè è îñüþ àáñ-
öèññ (ðèñ. 74).
Ðèñ. 73. Èíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîé
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
2 1 0 1 2 3 4 õ
F (x)
1,0
≥
<≤−
−<
=
4 ïðè1
42 ïðè)(
2 ïðè0
)(
x
xxy
x
xF
309
Ðèñ. 75. Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå èíòåãðàëüíîé ôóíêöèè
â èíòåðâàëå îò
α
äî
β
0 α β x
F (x)
S = P(
α
< x <
β
)
3. Ñ ïîìîùüþ äèôôåðåíöèàëüíîé ôóíêöèè ìîæíî îïðåäåëèòü
âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â çàäàííûé èíòåð-
âàë îò
α
äî
β
, êîòîðàÿ ðàâíà
∫
=<<
β
α
βα
,
)( )(
dxxfXP
ò.å. âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ â çàäàííûé
èíòåðâàë (
α
;
β
) ðàâíà îïðåäåëåííîìó èíòåãðàëó îò ïëîòíîñòè ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ, âçÿòîìó â ïðåäåëàõ îò
α
äî
β
(ñì. ðèñ. 75).
Ðèñ. 74. Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå èíòåãðàëüíîé ôóíêöèè
F (x*) = P (X < x*)
0 x* x
F (x)
S = F(x*)
310
4. Èíòåãðàë îò ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ â áåñêîíå÷íûõ ïðå-
äåëàõ ðàâåí åäèíèöå:
.
101 )( )( )(
==∞−∞=
∫
∞
∞
FFdxxf
Ïðèìåð 6.22. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ çàäàíà èíòåãðàëüíîé ôóí-
êöèåé:
2 ïðè1
20 ïðè
2
,0 ïðè0
)(
.
,
>
≤≤
<
=
x
x
x
x
xF
Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ Õ ïðè-
ìåò çíà÷åíèå, ïðèíàäëåæàùåå èíòåðâàëó (0; 1).
Ðåøåíèå. Èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà ïðèðàùåíèþ èíòåãðàëü-
íîé ôóíêöèè íà çàäàííîì èíòåðâàëå:
P (0 < X < 1) = F (1) F (0).
Òàê êàê íà èíòåðâàëå (0; 1) ïî óñëîâèþ
,
2
)(
x
xF =
òî
.
2
1
2
0
2
1
)0( )1( =−=FF
Èòàê,
.
2
1
)10(
=<< XP
6.3.2. ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Ì (Õ) è äèñïåðñèÿ D (X) íàèáî-
ëåå ÷àñòî ïðèìåíÿåìûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Îíè
õàðàêòåðèçóþò íàèáîëåå âàæíûå ÷åðòû ðàñïðåäåëåíèÿ: åãî ïîëî-
æåíèå è ñòåïåíü ðàçáðîñàííîñòè.
Ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì íàçûâàåòñÿ:
à) äëÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñóììà âñåõ ïðîèçâå-
äåíèé åå âîçìîæíûõ çíà÷åíèé íà èõ âåðîÿòíîñòè:
∑∑
⋅=⋅=
i
ii
i
ii
pxxpxXM
;
)( )(