Шапкин А.С., Шапкин В.А. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями
Подождите немного. Документ загружается.
271
Èíòåãðàë J âû÷èñëÿåì äàëüøå:
).91(96
8
1
18
8
1
2 48
0cos
8
1
4
2
9
8cos
8
1
8sin2
2
1
8sin
4
1
8cos2 48
2
9
4cos
8
1
4sin
2
1
4sin
4
1
4cos 48
2
9
4cos
16
1
4sin
4
1
24sin
16
1
4cos
4
1
4 48
2
2
2
0
2
2
0
2
ππππ
πππππππ
π
π
−=
−−+=
=
−
−
+⋅⋅+−=
=
−++−=
=
−
++
+−−=
ttttttt
tttttttJ
7. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÏÎËß
7.1. Äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàöèè
7.1.2. Íàéòè â òî÷êå À (1, 3, 0) ãðàäèåíò ñêàëÿðíîãî ïîëÿ
.
3
4
yx
z
U
+
+
=
Ãðàäèåíòîì ñêàëÿðíîãî ïîëÿ U (A), îáîçíà÷àåìûì ñèìâîëîì
grad u, íàçûâàåòñÿ âåêòîð, ïðîåêöèÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ÷àñò-
íûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè U (A) ïî ñîîòâåòñòâóþùèì êîîðäèíà-
òàì, ò.å.
. grad k
z
u
j
y
u
x
u
u
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
ι
Íàéäåì ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå
yxz
u
yx
z
y
u
yx
z
x
u
+
=
∂
∂
+
+−
=
∂
∂
+
+−
=
∂
∂
3
1
;
)3(
)4(
;
)3(
)4(3
22
è èõ çíà÷åíèÿ â òî÷êå À
6
1
;
9
1
;
3
1
−=
∂
∂
−=
∂
∂
−=
∂
∂
z
u
y
u
x
u
AA
272
è ýòè çíà÷åíèÿ ïîäñòàâèì â ôîðìóëó grad u:
.
6
1
9
1
3
1
grad kju −−−=
ι
7.1.3. Íàéòè â òî÷êå  (3, 1, 4) äèâåðãåíöèþ âåêòîðíîãî ïîëÿ
.10
3
),,(
2222
kzj
x
yz
y
xz
zyxF +
−
+
−
=
ι
Äèâåðãåíöèÿ ïîëÿ
F
âûðàæàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì
. div
z
F
y
F
x
F
F
z
y
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
Íàéäåì ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå
10)10( ;
63
;
2
2222
=
′
=
∂
∂
−=
′
−
=
∂
∂
−=
′
−
=
∂
∂
z
z
y
x
z
z
F
x
y
x
y
z
y
F
y
x
y
xz
x
F
è íàéäåì èõ çíà÷åíèÿ â òî÷êå B (3, 1, 4)
10 ;2
3
16
;6
1
32
=
∂
∂
−=
⋅
−=
∂
∂
−=
⋅
−=
∂
∂
B
B
B
z
Fz
y
F
y
x
Fx
è ïîäñòàâèì â ôîðìóëó äëÿ
F div
.21026 div =+−−=
B
F
7.1.4. Íàéòè â òî÷êå Ñ (2, 3, 1) ðîòîð âåêòîðíîãî ïîëÿ
.)32(
3223
),,( kzyxj
z
yx
z
yx
zyxF +−
−
+
−
=
ι
 òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå
F rot
÷åðåç äåêàðòîâû ïðÿìîó-
ãîëüíûå êîîðäèíàòû âåêòîðà
kFjFFF
zyx
++=
ι
âûðàæàåòñÿ ñëå-
äóþùèì îáðàçîì:
. rot k
y
F
x
F
j
x
F
z
F
z
F
y
F
F
x
y
z
x
y
z
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
=
ι
õy
273
Íàéäåì ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå
() ()
zzyx
y
F
zzyx
x
F
z
yx
z
yx
z
F
zz
yx
x
F
z
yx
z
yx
z
F
zz
yx
y
F
y
z
x
z
y
y
x
y
z
x
y
x
3)32( ;2)32(
;
3232
;
232
;
2323
;
223
2
2
=
′
+=
∂
∂
=
′
+=
∂
∂
−
−
′
−
=
∂
∂
=
′
−
=
∂
∂
−
−=
′
−
=
∂
∂
−
=
′
−
=
∂
∂
è èõ çíà÷åíèÿ â òî÷êå Ñ (2, 3, 1)
3 ;2 ;5 ;2 ;0 ;2 =
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
−=
∂
∂
y
F
x
F
z
F
x
F
z
F
y
F
zz
yy
xx
è ýòè çíà÷åíèÿ ïîäñòàâëÿåì â ôîðìóëó äëÿ
F rot
:
.422 rot kjF +−−=
ι
7.2. Èíòåãðàëû è èíòåãðàëüíûå òåîðåìû
7.2.1. Óáåäèòüñÿ, ÷òî ïîëå
kyxjzzzyxF )53(53),,(
+++=
ι
ïî-
òåíöèàëüíî è íàéòè åãî ïîòåíöèàë.
Ðåøåíèå. Íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ïîòåíöè-
àëüíîñòè ïîëÿ
),,( zyxF
ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî íóëþ ðîòîðà (âèõ-
ðÿ) ýòîãî ïîëÿ:
0 rot =F
Íàõîäèì âåêòîð ðîòîðà ïîëÿ
:)53(53 kyxjzzkRjQPF +++=++=
ιι
()
()
()
,0000)00()33( )55(
)3()5( )3()53( )5()53(
5353
rot
=⋅+⋅+⋅=−+−−−=
=
′
−
′
+
′
−
′
+−
′
−
′
+=
=
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
kjkj
kzzjzyxzyx
yxzz
zyx
kj
RQP
zyx
kj
F
yxzxzy
ιι
ι
ιι
ò.å. äàííîå ïîëå ïîòåíöèàëüíî.
274
7.2.2. Äàíû ïîëå
kxyjzxizyF ⋅+⋅⋅−+⋅−= 8)35()53(
2222
è ïè-
ðàìèäà ñ âåðøèíàìè Î (0; 0; 0), À (3; 0; 0), Â (0; 5; 0) è Ñ (0; 0; 8).
Íàéòè:
à) ïîòîê ïîëÿ
F ÷åðåç ãðàíü ÀÂÑ ïèðàìèäû â íàïðàâëåíèè
íîðìàëè, ñîñòàâëÿþùåé îñòðûé óãîë ñ îñüþ Îz;
á) ïîòîê ïîëÿ
F ÷åðåç âíåøíþþ ïîâåðõíîñòü ïèðàìèäû ñ ïî-
ìîùüþ òåîðåìû Îñòðîãðàäñêîãî Ãàóññà;
â) öèðêóëÿöèþ ïîëÿ
F
âäîëü çàìêíóòîãî êîíòóðà ÀÂÑ:
â
1
) íåïîñðåäñòâåííî;
â
2
) ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ñòîêñà (îáõîä êîíòóðà ïðîèñõîäèò
â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îòíîñèòåëüíî âíåøíåé íîðìàëè ê
ïîâåðõíîñòè ïèðàìèäû).
Ðåøåíèå. Ñòðîèì ÷åðòåæ ïèðàìèäû ÎÀBC (ðèñ. 66). Íàéäåì
óðàâíåíèå ïëîñêîñòè ÀÂÑ êàê óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â îòðåçêàõ:
1
853
=
++
zyx
èëè 40x + 24y + 15z 120 = 0.
Åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè ê ýòîé ïëîñêîñòè, îáåñïå÷èâàþ-
ùèé òðåáóåìîå íàïðàâëåíèå îðèåíòàöèè ïîâåðõíîñòè, èìååò âèä:
,
|| N
N
n =
ãäå
).15 24; ;40(=N
Ðèñ. 66
x
x
y
x
y
zz z
0 3
y
0 3
0 5
•
•
•
•
•
•
•
•
•
8
C
8
8
5
0
5
A
S
B
Syz
3
Sxz
Sxy
yz
5
8
8 −= xz
3
8
8 −=
xy
3
5
5 −=
n
K
K
K
275
Çäåñü
.492401152440||
222
==++=N
Òîãäà
.
49
15
;
49
24
;
49
40
49
15
49
24
49
40
=⋅+⋅+⋅= kjin
Ñëåäîâàòåëüíî, íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñû âåêòîðà
n
ðàâíû:
,
49
40
cos =
α
,
49
24
cos =
β
.
49
15
cos
=
γ
Òîãäà
cos a · dS = dy · dz, cos
β
· dS = dx · dz, cos
γ
· dS = dx · dy.
Äëÿ äàííîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ
) ; ;( RQPF =
áóäåò
P = 3y
2
5z
2
, Q = 5x
2
3z
2
, R = 8xy.
Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ ïîòîêà âåêòîðíîãî ïîëÿ
) ; ;( RQPF =
÷åðåç ïîâåðõíîñòü S = ABC ïîëó÷àåì:
∫∫∫∫∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
+⋅−+⋅−=
=⋅+⋅−+⋅−=
=⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅−=
=⋅⋅+⋅+=Π
xyxzyz
SSS
S
S
S
dydxxydxdzzxdzdyzy
dydxxydxdzzxdzdyzy
dSxydSzxdSzy
dSRQP
, 8 )3(5 )5(3
8 )3(5 )5(3
cos8cos)3(5 cos)5(3
)coscoscos(
2222
2222
2222
γβα
γβα
ãäå S
yz
, S
xz
, è S
xy
ïðîåêöèè ïîâåðõíîñòè S íà ñîîòâåòñòâóþùèå
êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè.
276
Ñëåäîâàòåëüíî,
.
9
5
32475294
9
5
105
4
3
1003128270940
9
25128
250
4
81
272
2
81
9
100
4
3
3
8
81
3
10
27
3
40
)5(
259
128
4
625
3
625
5
24
)69(
9
25
4 )3(
3
8
3
40
40
)5(
925
8
)5(
5
24
3
5
5
2
8
3
8
8
3
8
85
5
8
)5(
3
5
)5(
5
8
3
8 )3(5 )5(3
4
3
4
3
0
32
3
0
3
3
32
5
0
3
3
32
2
3
0
3
2
3
0
5
0
3
32
8
0
5
0
3
0
22
3
0
8
0
22
5
0
3
8
3
5
5
8
−=+−−=
=⋅+⋅+−⋅+
⋅
−=
+⋅−⋅+
+⋅
−⋅−⋅+−⋅
⋅
−
−⋅=
=⋅+−⋅⋅+
−⋅
−−+
+⋅
−
⋅
−−=
=
−⋅+
−−
−⋅⋅+
+
⋅−⋅−−⋅⋅⋅=
=+⋅−+−=Π
∫∫
∫
∫∫
∫
∫∫∫∫∫∫
−−−
dxxxxdxxxx
dyyyy
x
x
dxxxxdx
yyydy
dyxydxdzzxdxdzzydy
xxy
á) Ïîòîê âåêòîðíîãî ïîëÿ F ÷åðåç âíåøíþþ ïîâåðõíîñòü S âñåõ
ãðàíåé ïèðàìèäû ÎABC ðàâåí èíòåãðàëó îò äèâåðãåíöèè ýòîãî âåê-
òîðíîãî ïîëÿ, ò.å. ïî ôîðìóëå Îñòðîãðàäñêîãî Ãàóññà èìååì:
∫∫∫∫∫
⋅=⋅⋅
VS
dvFdsnF
.div
Çäåñü
.0000)8()35()53( div
2222
=++=
′
+
′
−+
′
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
zyx
x
y
zxz
y
z
R
y
Q
x
P
F
Ñëåäîâàòåëüíî
∫∫∫ ∫∫∫∫∫
=⋅=⋅=⋅⋅
VVS
dvdvFdsnF
.00div
277
â) Íàéäåì öèðêóëÿöèþ âåêòîðíîãî ïîëÿ
F
âäîëü çàìêíóòîãî
êîíòóðà ÀÂÑÀ, ãäå
.8)35()53(
2222
kxyjzxizyF ⋅+⋅−+⋅−=
Ïðèìåíÿåì ñíà÷àëà òåîðåìó Ñòîêñà.
. rot dsFnrdFÖ
ÑS
⋅⋅=⋅=
∫∫∫
Çäåñü êîíòóð Ñ â âèäå ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ, ëåæàùåãî
â ïëîñêîñòè 40x + 24y + 15z 120 = 0, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè À,
 è Ñ.
Íàéäåì ðîòîð äàííîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ.
.)610()108()68(
83553
rot
2222
kyxjzyizx
xyzxzy
zyx
kji
F
⋅−+⋅+−⋅+=
=
−−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
Òîãäà
∫∫ ∫∫∫∫
⋅−+−−++=
Sxz SxySyz
d
y
dx
y
xdzdxz
y
dzd
y
zxÖ
. )6(10 )108( )6(8
Èñïîëüçóåì çäåñü, ÷òî óðàâíåíèå ïëîñêîñòè åñòü 40x + 24y + 15z
120 = 0 è äëÿ êàæäîé êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè áóäåì ÷åðåç ýòî óðàâ-
íåíèå âûðàæàòü íóæíûå êîîðäèíàòû. Òîãäà ïîëó÷àåì èíòåãðàëû:
.000)225450225(480480
27
3
25
9503753
27
480
5
325
288
3
25
5075
3
)3(
9
480
3
)5(
25
288
)2510075( )3(
9
480
)5(
25
288
)6(10
5
3
40
40 3
5
24
24
33
3
0
323
0
3
5
0
3
3
0
2
3
0
2
5
0
2
3
0
5
0
3
0
8
0
5
0
8
0
3
5
3
8
5
8
=+=−+−+−=
=
⋅−⋅+⋅−+⋅−⋅
⋅
=
=
−+−+
−
⋅+
−
⋅−=
=⋅−+−+−⋅−⋅−⋅=
=⋅−+
+⋅
+−−
+−=
∫∫∫
∫∫
∫∫∫∫
−
−−
xxx
xx
dxxxdxxdyy
dyyxdx
dzzxdxdzzydyÖ
x
xy
278
Âû÷èñëèì öèðêóëÿöèþ ïîëÿ
F
íåïîñðåäñòâåííî ïî ôîðìóëå
.8)35( )53(
2222
dzxydyzxdxzy
dzRdyQdxPrdFÖ
Ñ
ÑÑ
⋅+⋅−+−=
=⋅+⋅+⋅=⋅=
∫
∫∫
Ðàçîáüåì îáùèé èíòåãðàë ïî êîíòóðó Ñ íà òðè ÷àñòè:
Ö = Ö
ÀÂ
+ Ö
ÂÑ
+ Ö
ÑÀ
.
Ó÷àñòîê ÀÂ:
. ),3( ,0 ,0
3
5
3
5
dxdyxydzz ⋅−=−⋅===
Òîãäà
.0
3
27
3
27
9
25
33
)3(
3
25
))3((
3
25
3
25
)3(
3
5
3 )53(
0
3
33
22
0
3
0
3
0
3
22
2
22
=
+−⋅=
−
−
−=
=−−=
=
−−⋅
⋅=+=
∫
∫∫
xx
dxxx
dxxxdyxdxyÖ
AB
Ó÷àñòîê ÂÑ: x = 0, dx = 0,
. ),5(
5
8
5
8
dydzyz −=−=
Òîãäà
.320125
25
64
3
)5(
25
643
)5(
5
8
3 )3(
0
5
3
0
5
0
5
2
2
2
2
=⋅=
−
⋅
⋅
=
=
−⋅⋅−=−=
∫∫
y
dyydyzÖ
ÂÑ
Ó÷àñòîê ÑÀ: y = 0, dy = 0,
. ),3(
3
8
3
8
dxdzxz −=−=
Òîãäà
.320)27(
27
320
3
)3(
9
645
)3(
3
8
5
3
0
3
0
3
2
∫
−=−=
−
⋅
⋅
=⋅
−⋅⋅−=
x
dxxÖ
ÑÀ
 ðåçóëüòàòå Ö = Ö
ÀÂ
+ Ö
ÂÑ
+ Ö
ÑÀ
= 0 + 320 320 = 0. Ñîâïà-
äåíèå âåëè÷èí öèðêóëÿöèè Ö, íàéäåííûõ ðàçíûìè ñïîñîáàìè,
ãîâîðèò î ïðàâèëüíîñòè ðåçóëüòàòà.
279
9.3. Ðÿäû Ôóðüå
9.3.1. Ðàçëîæèòü ôóíêöèþ f (x) â ðÿä Ôóðüå â óêàçàííîì èí-
òåðâàëå:
f (x) = (x 4)
2
â èíòåðâàëå (0; 4).
Ðåøåíèå. Äîîïðåäåëèì (ïðîäîëæèì) äàííóþ ôóíêöèþ íà ñåã-
ìåíò [4; 0] ÷åòíûì îáðàçîì è ðàçëîæèì åå â ðÿä Ôóðüå, ñ÷èòàÿ åå
çàäàííîé íà ñåãìåíòå [4; 4], ãäå îíà áóäåò ÷åòíîé (ðèñ. 67). Òîãäà
åå êîýôôèöèåíòû â ðÿäå Ôóðüå áóäóò:
,
4
sin
4
cos
2
1
0
∑
∞
=
⋅+⋅+
m
mm
xm
b
xm
a
a
ππ
ãäå
∫∫
−−
⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=
4
4
4
4
.
4
sin)(
4
1
,
4
cos)(
4
1
dx
xm
xfbdx
xm
xfa
mm
ππ
Òàê êàê f (x) ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ, òî åå ðÿä Ôóðüå ñîäåðæèò òîëü-
êî ñâîáîäíûé ÷ëåí à
0
è êîñèíóñû, à b
m
= 0.
Òîãäà
,...2 ,1 0, ,
4
cos)(
4
2
4
0
∫
=⋅⋅⋅=
mdx
xm
xfa
m
π
Íà îòðåçêå [0; 4] f (x) áóäåò ïðåäñòàâëÿòüñÿ ðÿäîì Ôóðüå òåì
æå, ÷òî è íà îòðåçêå [4; 4].
Ðèñ. 67
x
y
4 0 4 8 12
• • • • •
16
280
Òîãäà
.
3
32
6
64
)40(
6
1
])40()44[(
6
1
3
)4(
2
1
)4()4(
2
1
1)4(
4
2
333
4
0
3
4
0
2
4
0
2
0
==+⋅=−−−⋅=
=
−
⋅=−⋅−⋅=⋅⋅−⋅=
∫∫
x
xdxdxxa
Àíàëîãè÷íî
.
64
01
164
4
sin
44
0cos
4
)4(0
4
4
cos
4
4
cos
4
)4(
8
2
1
4
cos
4
,
4
sin
, ,4 :÷àñòÿì ïî
4
sin)4(
8
0
44
0
2
1
)4(2
4
sin
4
4
sin
4
)4(
2
1
4
sin
4
,
4
cos
,)4(2 ,)4(
, ÷àñòÿì ïî àíèåèíòåãðèðîâ
4
cos)4(
4
2
22
4
0
4
0
4
0
4
0
2
4
0
4
0
2
2
4
0
2
π
ππ
π
ππππ
π
π
π
ππ
π
π
π
π
ππ
π
π
π
π
π
π
π
π
⋅
=
+⋅−⋅−=
=
⋅⋅+⋅⋅−+⋅−=
=
⋅⋅
−−
−⋅−⋅
−⋅=
=
⋅−=⋅=
=−=
=
=
⋅−⋅−⋅
⋅
−=
=
⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅−=
=
⋅=⋅=
⋅−⋅=−=
−=
=
=⋅⋅−⋅=
∫
∫
∫
∫∫
∫
m
mm
xm
mmmm
dx
xm
m
xm
m
x
m
xm
m
vdx
xm
dv
dxduxu
dx
xm
x
mm
dxx
xm
m
xm
m
x
xm
m
vdx
xm
dv
dxxduxu
vduuvudv
dx
xm
xa
m