Шапкин А.С., Шапкин В.А. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями
Подождите немного. Документ загружается.
261
ÐÅØÅÍÈÅ ÒÈÏÎÂÛÕ ÇÀÄÀ×
ÊÎÍÒÐÎËÜÍÎÉ ÐÀÁÎÒÛ ÏÎ ÑÏÅÖÈÀËÜÍÛÌ
ÐÀÇÄÅËÀÌ ÂÛÑØÅÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ
6. ÄÂÎÉÍÛÅ, ÒÐÎÉÍÛÅ È ÊÐÈÂÎËÈÍÅÉÍÛÅ
ÈÍÒÅÃÐÀËÛ
6.1. Äâîéíûå èíòåãðàëû
6.1.1. Èçìåíèòü ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ:
à)
. ) ;(
2
0
4
2
dxyxdy
y
y
f
∫∫
+
Îáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ (çàøòðèõîâàíà) (ðèñ. 57) îãðàíè÷å-
íà ñíèçó è ñâåðõó ïðÿìûìè y = 0 è y = 2, à ñëåâà è ñïðàâà ïðÿìûìè
õ = 2y è õ = y + 4. Ìåíÿåì ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ, òîãäà â íà-
ïðàâëåíèè îñè Îó íà õ ∈ [0; 6] íóæíî âûäåëèòü äâå îáëàñòè:
õ ∈ [0; 4] è õ ∈ [4; 6] è ïåðâàÿ îáëàñòü D
1
áóäåò îãðàíè÷åíà ñíèçó
è ñâåðõó ïðÿìûìè: y = 0 è
,
2
x
y
=
a âòîðàÿ îáëàñòü y = õ 4
è y = 2.
Òîãäà
. ) ;( ) ;( ) ;(
6
4
2
4
4
00
2
0
4
2
2
dyyxfdxdyyxfdxdxyxfdy
x
y
y
x
∫∫∫∫∫∫
−
+
+=
Ðèñ. 57
046
y
•
2
x
262
á)
. ) ;( ) ;( ) ;(
1
0
26
4
6
40
4
00
2
6
16
2
dxyxfdydyyxfdxdyyxfdx
y
y
x
x
∫∫∫∫∫∫
−
=+
−
Ñòðîèì îáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ D (ðèñ. 58). Îíà ñîñòîèò èç
äâóõ îáëàñòåé: D
1
íà îòðåçêå õ ∈ [0; 4] îãðàíè÷åííîé ñíèçó è
ñâåðõó êðèâûìè y = 0 è
,
16
2
x
y =
è D
2
íà îòðåçêå õ ∈ [4; 6] îãðà-
íè÷åííîé ñíèçó è ñâåðõó ïðÿìûìè y = 0 è
.
2
6 x
y
−
=
Ïðè èçìåíåíèè ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿ áóäåì èìåòü ïðàâèëü-
íóþ îáëàñòü D, îãðàíè÷åííóþ ñëåâà è ñïðàâà êðèâûìè
yx 4=
è õ = 6 2ó, à ñíèçó è ñâåðõó ïðÿìûìè y = 0 è y = 1. Îòâåò çàïèñàí
íàâåðõó.
6.1.2. Íàéòè îáúåì òåëà, îãðàíè÷åííîãî ïîâåðõíîñòÿìè: z = 0;
y = x
2
è ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè À (2; 4; 0),
B (4; 4; 0), C (0; 0; 6).
Ñîñòàâèì óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òðè çàäàí-
íûå òî÷êè:
,0)6(24)6()4(4)6(42)6()4)(6()6(4
4
4
4
2
6 44
6 42
6
,0
=−⋅⋅−−−−−−⋅−+−−+⋅⋅=
=
−
=
−−−
−−−
−−−
yxzzyx
y
x
zyx
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
CBCBCB
CACACA
CCC
Ðèñ. 58
046
y
1
x
263
èëè
24õ + 24y + 8z 48 + 16z 96 + 24x + 12y = 0,
èëè
3y + 2z 12 = 0
è îêîí÷àòåëüíî
.
2
3
6 yz −=
Èçîáðàçèì òåëî (ðèñ. 59): ïàðàáîëè÷åñêèé öèëèíäð y = x
2
îã-
ðàíè÷åí ñíèçó ïëîñêîñòüþ z = 0, à ñâåðõó ïëîñêîñòüþ
yz
2
3
6
−=
ïàðàëëåëüíîé îñè Ox. Îáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ D (ðèñ. 60) åñòü
ôèãóðà îãðàíè÷åííàÿ ïàðàáîëîé y = x
2
è ïðÿìîé y = 4.
 ñèëó ñèììåòðèè òåëà îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè zOy óäâîèì
èíòåãðàë:
åä.) (êóá.
5
32
2
20
3
22212 2
20
3
212 2
4
3
612 2 )(
4
3
64
4
3
462
4
3
6 2
2
3
6 2
532
0
53
2
0
42
2
0
2222
4
2
0
2
2
0
4
2
2
=
⋅−⋅−⋅=
−−=
=
−−=
−⋅−
⋅−⋅=
=
−=
−=
∫∫
∫∫∫
xxx
dxxxdxxx
yydxdyydxV
x
x
Ðèñ. 59 Ðèñ. 60
0
y
x
z
2 0 2 õ
y
4
D
264
6.1.3. Èçîáðàçèòü è íàéòè ïëîùàäü ôèãóð, îãðàíè÷åííûõ ëè-
íèÿìè:
à) y = 0; y = õ
2
è y = 4 (õ 6)
2
.
Ïîñòðîèì äâå ïàðàáîëû è íàéäåì èõ òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ:
−=
=
,)6(4
2
2
xy
xy
îòñþäà õ
2
= 4(õ 6)
2
èëè x
2
16x + 48 = 0, åãî êîðíè x
1
= 4
è x
2
= 12. Íà ÷åðòåæå (ðèñ. 61) èçîáðàæåíà çàøòðèõîâàííàÿ ôè-
ãóðà, ïëîùàäü êîòîðîé îïðåäåëÿåì:
()
åä.) (êâ. 32
3
32
3
64
)64()6 6(
3
4
4
3
1
)6(
3
4
3
1
)6(4
3336
4
34
0
3
2
6
4
4
0
2
)6(4
0
6
4
0
4
0
)6(4
0
6
40
4
0
2
2
2
2
=+=
=−−−+=−+=
=−+=
=⋅+⋅=+=
∫∫
∫∫∫∫∫∫
−
−
xx
dxxdxx
ydxydxdydxdydxS
x
x
x
x
Ðèñ. 61
y
x
0 4 6
265
á) (x
2
+ y
2
)
2
= 18 · xy.
 ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ ýòî óðàâíåíèå çàïèøåòñÿ â âèäå
(ñìîòðèòå ïðèìåð 4.4.1á):
ρ
2
= 9 sin 2
ϕ
. Ðàññìîòðèì çàøòðèõîâàí-
íóþ îáëàñòü, äëÿ íåå êîîðäèíàòû
ρ
è
ϕ
îïðåäåëåíû íåðàâåíñòâà-
ìè
,
4
0
π
ϕ
≤≤
.2sin30
ϕρ
≤≤
Òîãäà
()
åä.). (êâ. 90cos
2
cos 9
)2cos( 9)2( 2sin
2
1
18 2sin3 2
2
1
4 4
4
44
44
0
00
2
2sin3
0
0
2
2sin3
00
=
−−=
=−=⋅==
====
∫∫
∫∫∫∫∫
π
ϕϕϕϕϕ
ρϕρρϕρϕρ
π
ππ
ππ
ϕ
ϕ
dd
dddddS
D
6.2. Òðîéíûå èíòåãðàëû
6.2.1. Íàéòè èíòåãðàë
,
dzdydx
V
x
∫∫∫
åñëè òåëî V îãðàíè÷åíî
ïëîñêîñòÿìè: x = 0, y = 0, x + 4y 2z = 0 è x + y + z 6 = 0.
Ðåøåíèå. Òåëî V îãðàíè÷åíî êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè xOz
è yOz, à ñíèçó è ñâåðõó ñîîòâåòñòâåííî ïëîñêîñòÿìè:
)4(
2
1
yxz +=
è z = 6 x y. Íàéäåì ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïëîñêîñòåé:
−−=
+=
,6
)4(
2
1
yxz
yxz
èëè
,6)4(
2
1
yõyx −−=+
èëè
x + 2y 4 = 0.
266
Èìååì
).4(
2
1
xy −=
Ïîñòðîèì íà ïëîñêîñòè xOy îáëàñòü D
(ðèñ. 62). Âû÷èñëÿåì:
.88
3
64
163
4
1
8
1
3
1
2
23
8
1
2 3
8
1
2 3
)4(
2
1
2
1
)4(
2
1
2
1
)4(
2
1
2 3
2
1
2
1
2 3 3
2
3
6
)4(
2
1
)6(
4
0
43
2
4
0
322
4
0
2
4
0
)4(
0
2
4
0
)4(
0
4
0
)4(
0
4
0
6
)4(
)4(
0
4
0
6
)4(
)4(
0
4
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
=
+−=
+−⋅=
=
+−=
+−=
=
−−−⋅−−⋅=
=
−−=
−−=
=
+−−−=
===
∫∫
∫
∫∫∫
∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫
−
−
−
−−
+
−
−−
+
−
xx
x
dxxxxdxxxx
xxxxdxx
yxyydxxdyyxdxx
yxyxdydxx
zdydxxdzdydxxdzdydxx
x
x
x
yx
yx
x
yx
yx
x
V
Ðèñ. 62
D
0 4
x
y
267
6.2.2. Íàéòè îáúåì òåëà, îãðàíè÷åííîãî ïîâåðõíîñòÿìè:
2z = x
2
+ y
2
; z = 2; x = 0; y = 2x.
Ðåøåíèå. Òåëî ñíèçó îãðàíè÷åíî ïîâåðõíîñòüþ
),(
22
2
1
yxz +=
à ñâåðõó z = 2. Íà ïëîñêîñòè xOy ïîñòðîèì îáëàñòü D (ðèñ. 63).
Ïåðåéäåì ê öèëèíäðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì:
=
=
=
.
,sin
,cos
zz
y
x
ϕρ
ϕρ
Óðàâíåíèå ïàðàáîëîèäà áóäåò èìåòü âèä:
2z =
ρ
2
cos
2
ϕ
+
ρ
2
· sin
2
ϕ
, èëè 2z =
ρ
2
, èëè
.
2
2
ρ
=
z
Ðàäèóñ
ρ
èçìåíÿåòñÿ îò 0 äî
.2222 =⋅== z
ρ
Íàéäåì ïðåäåëû èçìåíåíèÿ óãëà
ϕ
(ðèñ. 64).
Ðèñ. 63
y
x
D
γ
ϕ
Ðèñ. 64
À
x
0 Â
y
θ
268
,2tg
2
==
==
x
x
x
y
OB
AB
θ
òîãäà
θ
= 63,4349° è
ϕ
= 90° +
θ
=
= 153,4349° = 0,852
π
, ò.å.
ϕ
èçìåíÿåòñÿ îò 0 äî 153,4349° = 0,852
π
.
Íàõîäèì îáúåì:
åä.). (êóá. 704,122
4
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
852,0
0
852,0
0
2
0
4
2
852,0
0
2
0
3
852,0
0
2
0
2
852,0
0
2
2
0
852,0
0
22
0
852,0
0
2
2
2
2
πϕϕρ
ρ
ϕ
ρρρϕρ
ρ
ρϕρρϕ
ρρϕϕρρ
π
ππ
πππ
π
ρ
ρ
===
⋅−⋅=
=
−=
−==
====
∫∫
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
dd
ddddzdd
dzdddzdddzdydxV
VV
6.3. Êðèâîëèíåéíûå èíòåãðàëû
6.3.1. Âû÷èñëèòü êðèâîëè-
íåéíûé èíòåãðàë
, );( );( dyyxQdxyxP
Ñ
+
∫
ãäå
P(x; y) = 2x + 2y,
Q(x; y) = 4x + 2y,
à êîíòóð C (OABO) îãðàíè÷åí
ëèíèÿìè:
ÎÀ : y = 4x
2
,
AB : y = 16,
BO : x = 0.
à) Âû÷èñëÿåì íåïîñðåäñòâåí-
íî. Ñòðîèì êîíòóð (ðèñ. 65).
Ðèñ. 65
À
D
0 2
x
y
16
B
269
Îáõîä êîíòóðà ñîâåðøàåì ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè:
()
()
.
3
128
256)644(256
3
320
4
)32( 16
3
40
2 )322( )6440(2
)202(16 )162(2 )16(2
)4( )42(2 )4(2
)24( )22(
0
16
20
2
22
0
432
0
16
0
2
2
0
32
222
=−+−
++=
=+++
++=
=+++++=
=++++++
++++=
=+++
∫∫∫
∫∫
∫
∫
yxxxxx
dyydxxdxxxx
ydyyddxdxx
xdxxdxxx
dyyxdxyx
BOAB
OA
ÎÀÂÎ
á) Âû÷èñëÿåì êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë ïî ôîðìóëå Ãðèíà:
.
3
128
3
8
8 8
3
4 8 )(4 8
2 2
)24(
2
0
2
0
3
2
16
4
2
0
16
4
2
0
2
2
=
−=
−=−=
=⋅==
=−=
∂
∂
−
∂
∂
=+
∫
∫∫∫
∫∫∫∫∫
x
xdxx
ydxdydx
dydxdydx
y
P
x
Q
dyQdxP
x
x
DDÑ
Âû÷èñëåíèå êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà íåïîñðåäñòâåííî è ïî
ôîðìóëå Ãðèíà ñîâïàëî.
6.3.2. Âû÷èñëèòü êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë
zdzdyzydxzxJ
C
12 )22( )42( −+++=
∫
270
âäîëü îäíîãî âèòêà âèíòîâîé ëèíèè Ñ:
≤≤=
=
=
.20,6
,4sin2
,4cos2
π
ttz
ty
tx
Ðåøåíèå.
(
)
. 9 4cos 2 4sin 4 48
)274cos6 4sin12( 16
)274cos64cos4sin24sin124cos4sin2( 16
6612 )4cos4(2)124sin4(
)4sin42( )244cos4(
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
−+−=
=−+−=
=−+⋅+−−=
=⋅⋅⋅−⋅⋅++
+⋅−+=
∫∫∫
∫
∫
∫
dttdtttdttt
dtttttt
dtttttttttt
dttdtttt
dttttJ
πππ
π
π
π
Ðàññìîòðèì äâà èíòåãðàëà, êîòîðûå âîçüìåì ïî ÷àñòÿì:
.4sin
16
1
4cos
4
1
)4( 4 cos
4
1
4
1
4cos
4
1
4sin
1
ttttdtttdtttJ +−=⋅+−==
∫∫
.4cos
4
1
)4( 4sin
4
1
, 4sin
; ,
ttdtvdttdv
dtdutu
−===
==
∫
.4cos
16
1
4sin
4
1
)4( 4 sin
4
1
4
1
4sin
4
1
4cos
2
ttttdtttdtttJ +=⋅−==
∫∫
.4sin
4
1
)4( 4cos
4
1
, 4cos
; ,
ttdtvdttdv
dtdutu
===
==
∫