Шапкин А.С., Шапкин В.А. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями
Подождите немного. Документ загружается.
291
Ïðèìåð 6.6. Äâà ñòàíêà ðàáîòàþò íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà.
Âåðîÿòíîñòü áåñïåðåáîéíîé ðàáîòû ïåðâîãî ñòàíêà â òå÷åíèå íå-
êîòîðîãî âðåìåíè t ðàâíà p
1
= 0,9, âòîðîãî p
2
= 0,8. Êàêîâà
âåðîÿòíîñòü áåñïåðåáîéíîé ðàáîòû îáîèõ ñòàíêîâ â òå÷åíèå óêà-
çàííîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè?
Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ñîáûòèÿ: À
1
è À
2
áåñïåðå-
áîéíàÿ ðàáîòà ñîîòâåòñòâåííî ïåðâîãî è âòîðîãî ñòàíêîâ â òå÷å-
íèå âðåìåíè t; A áåñïåðåáîéíàÿ ðàáîòà îáîèõ ñòàíêîâ â òå÷åíèå
óêàçàííîãî âðåìåíè. Òîãäà ñîáûòèå À åñòü ñîâìåùåíèå ñîáûòèé À
1
è À
2
, ò.å. À = À
1
À
2
. Òàê êàê ñîáûòèÿ À
1
è À
2
íåçàâèñèìû (ñòàíêè
ðàáîòàþò íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà), òî ïî ôîðìóëå (5) ïîëó÷èì:
P (À) = P (À
1
) · P (À
2
) = 0,9 · 0,8 = 0,72.
Ïðèìåð 6.7.  çàäà÷å 6.6. îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü áåñïåðåáîé-
íîé ðàáîòû õîòÿ áû îäíîãî èç äâóõ ñòàíêîâ â òå÷åíèå âðåìåíè t
(ñîáûòèå Â).
Ðåøåíèå.
Ïåðâûé ñïîñîá. Ðàññìîòðèì ïðîòèâîïîëîæíîå ñîáûòèå
B
îçíà÷àþùåå ïðîñòîé îáîèõ ñòàíêîâ â òå÷åíèå âðåìåíè t. Î÷åâèä-
íî, ÷òî ñîáûòèå
B
åñòü ñîâìåùåíèå ñîáûòèé
1
A
è
2
A
ïðîñòîåâ
ïåðâîãî è âòîðîãî ñòàíêîâ, ò.å.
.
21
AAB =
Òàê êàê ñîáûòèÿ
1
A
è
2
A
íåçàâèñèìû, òî
.02,02,01,0)]( 1[ )]( 1[)( )( )(
2121
=⋅=−−=⋅= APAPAPAPBP
Îòñþäà
.98,0)(1)( =−= BPBP
Âòîðîé ñïîñîá. Ñîáûòèå  ïðîèñõîäèò â òîì ñëó÷àå, êîãäà
èìååò ìåñòî îäíî èç ñëåäóþùèõ òðåõ íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé: ëèáî
À
1
·
2
À
ñîâìåùåíèå ñîáûòèé À
1
è
2
À (ïåðâûé ñòàíîê ðàáîòàåò,
âòîðîé íå ðàáîòàåò), ëèáî
1
À
· À
2
ñîâìåùåíèå ñîáûòèé
1
À
è
À
2
(ïåðâûé ñòàíîê íå ðàáîòàåò, âòîðîé ðàáîòàåò), ëèáî À
1
À
2
ñîâìåùåíèå ñîáûòèé À
1
è À
2
(îáà ñòàíêà ðàáîòàþò), ò.å.
.
212121
AAAAAAB ⋅+⋅+⋅=
292
Ïî ôîðìóëå (3) ïîëó÷èì:
).( )( )( )(
212121
AAPAAPAAPBP ⋅+⋅+⋅=
 ñèëó òîãî, ÷òî ñîáûòèÿ À
1
è À
2
, à ñëåäîâàòåëüíî, À
1
è
2
A
,
1
A
è À
2
íåçàâèñèìû, èìååì:
.98,0)( )( )( )]( 1[)]( 1[ )(
)( )( )( )( )( )( )(
212121
212121
=⋅+−+−=
=⋅+⋅+⋅=
APAPAPAPAPAP
APAPAPAPAPAPBP
Ïðèìåð 6.8. Ïðè óâåëè÷åíèè íàïðÿæåíèÿ ìîæåò ïðîèçîéòè
ðàçðûâ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè âñëåäñòâèå âûõîäà èç ñòðîÿ îäíîãî èç
òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ýëåìåíòîâ; âåðîÿòíîñòè îòêà-
çà ýëåìåíòîâ ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû 0,2; 0,3; 0,4. Îïðåäåëèòü âåðî-
ÿòíîñòü òîãî, ÷òî ðàçðûâà öåïè íå ïðîèçîéäåò.
Ðåøåíèå. Ïóñòü ñîáûòèÿ À
1
, À
2
, À
3
îçíà÷àþò âûõîä èç ñòðîÿ
ñîîòâåòñòâåííî ïåðâîãî, âòîðîãî è òðåòüåãî ýëåìåíòîâ. Èõ
âåðîÿòíîñòè ïî óñëîâèþ ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû: P (A
1
) = 0,2;
P (A
2
) = 0,3; P (A
3
) = 0,4. Òîãäà âåðîÿòíîñòè ïðîòèâîïîëîæíûõ
ñîáûòèé
,
1
A
,
2
A
3
A
ñîîòâåòñòâåííî ïåðâûé, âòîðîé è òðåòèé ýëå-
ìåíò íå âûøåë èç ñòðîÿ) ðàâíû:
.6,0)( ;7,0)( ;8,0)( 1)(
3211
===−= APAPAPAP
Ñîáûòèå À, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ðàçðûâà öåïè íå ïðîèçîøëî,
åñòü ñîâìåùåíèå íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé
,
1
A
,
2
A
3
A
:
.
321
AAAA ⋅⋅=
Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ôîðìóëå (5) ïîëó÷àåì:
.336,06,07,08,0)( )( )( )(
321
=⋅⋅=⋅⋅= APAPAPAP
Ïðèìåð 6.9.  óðíå 6 ÷åðíûõ, 5 êðàñíûõ è 4 áåëûõ øàðà. Ïîñ-
ëåäîâàòåëüíî âûíèìàþò òðè øàðà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
ïåðâûé øàð îêàæåòñÿ ÷åðíûì, âòîðîé êðàñíûì è òðåòèé áå-
ëûì.
Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ñîáûòèÿ: À ïåðâûé âûíó-
òûé øàð ÷åðíûé,  âòîðîé øàð êðàñíûé, Ñ òðåòèé øàð áå-
ëûé. Îáîçíà÷èì ÷åðåç D ñîáûòèå, çàêëþ÷àþùååñÿ â òîì, ÷òî øàðû
âûíóòû â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè: ÷åðíûé, êðàñíûé, áåëûé. Î÷åâèä-
íî, D = A · B · C.
293
Ïî ôîðìóëå (4) èìååì:
P (D) = P (A) · P (B / A) · P (C / AB).
Íàéäåì âåðîÿòíîñòè, âõîäÿùèå â ïðàâóþ ÷àñòü ýòîãî ðàâåí-
ñòâà. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïåðâîíà÷àëüíî âûíóò ÷åðíûé øàð,
.
5
2
15
6
)(
=
=AP
Âåðîÿòíîñòü èçâëå÷åíèÿ èç óðíû êðàñíîãî øàðà ïðè
óñëîâèè, ÷òî ïåðâîíà÷àëüíî áûë âûíóò ÷åðíûé øàð,
,
14
5
)/(
=ABP
òàê êàê ïîñëå èçúÿòèÿ ÷åðíîãî øàðà â óðíå îñòà-
ëîñü 14 øàðîâ è èç íèõ 5 êðàñíûõ. Âåðîÿòíîñòü èçâëå÷åíèÿ èç
óðíû áåëîãî øàðà ïîñëå òîãî, êàê áûëè èçâëå÷åíû ÷åðíûé è êðàñ-
íûé øàðû,
13
4
)/(
=ABCP
(ïîñëå èçúÿòèÿ ÷åðíîãî è êðàñíîãî
øàðîâ â óðíå îñòàëîñü 13 øàðîâ è èç íèõ 4 áåëûõ).
Òàêèì îáðàçîì,
.
91
4
13
4
14
5
5
2
)( =⋅⋅=DP
Ïðèìåð 6.10. Çàâîä èçãîòàâëèâàåò îïðåäåëåííîãî òèïà èçäå-
ëèÿ; êàæäîå èçäåëèå èìååò äåôåêò ñ âåðîÿòíîñòüþ p
1
= 0,1. Èçäå-
ëèå îñìàòðèâàåòñÿ îäíèì êîíòðîëåðîì; îí îáíàðóæèâàåò èìåþ-
ùèéñÿ äåôåêò ñ âåðîÿòíîñòüþ p
2
= 0,8, à åñëè äåôåêò íå îáíàðó-
æåí, ïðîïóñêàåò èçäåëèå â ãîòîâóþ ïðîäóêöèþ. Êðîìå òîãî,
êîíòðîëåð ìîæåò ïî îøèáêå çàáðàêîâàòü èçäåëèå, íå èìåþùåå
äåôåêòà; âåðîÿòíîñòü ýòîãî ðàâíà p
3
= 0,3. Íàéòè âåðîÿòíîñòè ñëå-
äóþùèõ ñîáûòèé:
À
1
èçäåëèå áóäåò çàáðàêîâàíî, íî îøèáî÷íî;
À
2
èçäåëèå áóäåò ïðîïóùåíî â ãîòîâóþ ïðîäóêöèþ ñ äåôåê-
òîì;
À
3
èçäåëèå áóäåò çàáðàêîâàíî.
Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ñîáûòèÿ:
Â
1
èçäåëèå èìååò äåôåêò;
Â
2
êîíòðîëåð îáíàðóæèò èìåþùèéñÿ äåôåêò;
Â
3
êîíòðîëåð çàáðàêóåò èçäåëèå, íå èìåþùåå äåôåêòà.
Ïî óñëîâèþ çàäà÷è P (B
1
) = p
1
= 0,1; P (B
2
) = p
2
= 0,8;
.3,0)(
3
3
1
== pBP
B
Ñîáûòèå À
1
ïî ñìûñëó îçíà÷àåò: «èçäåëèå íå
294
èìååò äåôåêòà è èçäåëèå áóäåò çàáðàêîâàíî êîíòðîëåðîì», ò.å.
.
311
BBA ⋅=
Òîãäà
.27,03,09,0)1()()( )( )(
3131311
1
=⋅=⋅−=⋅=⋅= ppBPBPBBPAP
B
Ñîáûòèå À
2
ïî ñìûñëó îçíà÷àåò: «èçäåëèå èìååò äåôåêò è êîí-
òðîëåð íå îáíàðóæèò äåôåêò», ò.å.
.
212
BBA ⋅=
Òîãäà
,02,02,01,0)1()( )( )(
21212
=⋅=−⋅=⋅= ppBPBPAP
ò.ê. ñîáûòèÿ B è
2
B
íåçàâèñèìûå.
Ñîáûòèå À
3
ïî ñìûñëó îçíà÷àåò: «èçäåëèå èìååò äåôåêò è êîí-
òðîëåð îáíàðóæèâàåò äåôåêò èëè èçäåëèå íå èìååò äåôåêòà è êîí-
òðîëåð çàáðàêóåò èçäåëèå», ò.å.
31213
BBBBA ⋅+⋅=
è
.35,03,09,08,01,0)1(
)()()( )( )( )(
3121
312131213
1
=⋅+⋅=⋅−+⋅=
=⋅+⋅=⋅+⋅=
ppPP
BPBPBPBPBBBBPAP
B
6.1.4. Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè è ôîðìóëà Áàéåñà
Åñëè ñ íåêîòîðûì îïûòîì ñâÿçàíî n èñêëþ÷àþùèõ äðóã äðó-
ãà ñîáûòèé (ãèïîòåç) Í
1
, Í
2
, , Í
n
è åñëè ñîáûòèå À ìîæåò îñó-
ùåñòâèòüñÿ òîëüêî ïðè îäíîé èç ýòèõ ãèïîòåç, òî âåðîÿòíîñòü ñî-
áûòèÿ À âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè:
P (A) = P (H
1
) · P (A/H
1
) + P (H
2
) · P (A/H
2
) + + P (H
n
) · P (A/H
n
).
Åñëè äî îïûòà âåðîÿòíîñòè ãèïîòåç áûëè P (H
1
), P (H
2
), ,
P (H
n
), òî ïîñëå ïðîâåäåíèÿ îïûòà, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî îñóùå-
ñòâèëîñü ñîáûòèå À, âåðîÿòíîñòè ãèïîòåç ìîæíî ïåðåîöåíèòü ïî
ôîðìóëå Áàéåñà:
). ..., ,2 ,1(
)/( )(
)/( )(
)/(
1
ni
HAPHP
HAPHP
AHP
n
i
ii
ii
i
=
⋅
⋅
=
∑
=
295
Ïðèìåð 6.11. Èìååòñÿ òðè óðíû ñ øàðàìè. Â ïåðâîé óðíå 4 áå-
ëûõ è 5 ÷åðíûõ, âî âòîðîé 5 áåëûõ è 4 ÷åðíûõ, â òðåòüåé 6
áåëûõ øàðîâ. Íåêòî âûáèðàåò íàóãàä îäíó èç óðí è âûíèìàåò èç
íåå øàð. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî: à) ýòîò øàð îêàæåòñÿ áå-
ëûì; á) áåëûé øàð âûíóò èç âòîðîé óðíû.
Ðåøåíèå:
à) ïóñòü À ñîáûòèå, îçíà÷àþùåå, ÷òî èçâëå÷åí áåëûé øàð.
Ðàññìîòðèì òðè ãèïîòåçû:
H
1
âûáðàíà ïåðâàÿ óðíà;
H
2
,, âòîðàÿ ,, ;
H
3
,, òðåòüÿ ,, .
Òàê êàê óðíà, èç êîòîðîé èçâëåêàþò øàð, âûáèðàåòñÿ íàóãàä, òî
.
3
1
)( )( )(
321
=== HPHPHP
Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ À ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû:
9
4
)/(
1
=HAP
(âåðîÿòíîñòü èçâëå÷åíèÿ áåëîãî øàðà èç ïåðâîé óðíû),
9
5
)/(
2
=HAP
(âåðîÿòíîñòü èçâëå÷åíèÿ áåëîãî øàðà èç âòîðîé óðíû),
P (A/H
3
) = 1 (âåðîÿòíîñòü èçâëå÷åíèÿ áåëîãî øàðà èç òðåòüåé óðíû).
Îòñþäà ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè ïîëó÷èì:
.
3
2
2
3
1
1
3
1
9
5
3
1
9
4
3
1
)( =⋅=⋅+⋅+⋅=AP
á) äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî áåëûé øàð èçâëå÷åí
èç âòîðîé óðíû, âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Áàéåñà:
.
18
5
3
2
9
5
3
1
)(
)/( )(
)/(
22
2
=
⋅
==
AP
HAPHP
AHP
296
Ïðèìåð 6.12. Ïî ëèíèè ñâÿçè ïåðåäàþòñÿ äâà ñèãíàëà À è Â
ñîîòâåòñòâåííî ñ âåðîÿòíîñòÿìè 0,72 è 0,28. Èç-çà ïîìåõ
6
1
÷àñòü
À-ñèãíàëîâ èñêàæàåòñÿ è ïðèíèìàåòñÿ êàê Â-ñèãíàëû, à
7
1
÷àñòü
ïåðåäàííûõ Â-ñèãíàëîâ ïðèíèìàåòñÿ êàê À-ñèãíàëû.
à) Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íà ïðèåìíîì ïóíêòå áó-
äåò ïðèíÿò À-ñèãíàë.
á) Èçâåñòíî, ÷òî ïðèíÿò À-ñèãíàë. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî,
÷òî îí æå è áûë ïåðåäàí?
Ðåøåíèå:
à) ïóñòü ñîáûòèå À íà ïðèåìíîì ïóíêòå ïîÿâèëñÿ À-ñèãíàë.
Ââåäåì ãèïîòåçû: Í
À
ïåðåäàí ñèãíàë À, Í
Â
ïåðåäàí ñèãíàë Â.
Ïî óñëîâèþ P (H
A
) = 0,72; P (H
B
) = 0,28.
Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðèíÿò À-ñèãíàë ïðè óñëîâèè, ÷òî îí
æå ïîñëàí, ðàâíà:
.
6
5
6
1
1)/( =−=
A
HAP
Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðèíÿò À-ñèãíàë ïðè óñëîâèè, ÷òî ïî-
ñëàí Â-ñèãíàë, ðàâíà:
.
7
1
)/( =
B
HAP
Îòñþäà ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè ïîëó÷àåì
.64,0
7
1
28,0
6
5
72,0)/( )( )/( )( )( =⋅+⋅=⋅+⋅=
BBAA
HAPHPHAPHPAP
á) âåðîÿòíîñòü ïðèåìà À-ñèãíàëà ïðè óñëîâèè, ÷òî îí æå áûë
ïåðåäàí, íàéäåì ïî ôîðìóëå Áàéåñà:
.
64,0
6,0
64,0
6
5
72,0
)(
)/( )(
)/( =
⋅
=
⋅
=
AP
HAPHP
AHP
AA
A
Ïðèìåð 6.13. Ïàññàæèð ìîæåò îáðàòèòüñÿ çà ïîëó÷åíèåì áè-
ëåòà â îäíó èç òðåõ êàññ. Âåðîÿòíîñòè îáðàùåíèÿ â êàæäóþ êàññó
çàâèñÿò îò èõ ìåñòîïîëîæåíèÿ è ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî p
1
, p
2
, p
3
.
Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ê ìîìåíòó ïðèõîäà ïàññàæèðà èìåþùèåñÿ
â êàññå áèëåòû áóäóò ðàñïðîäàíû, ðàâíà äëÿ ïåðâîé êàññû p
4
, äëÿ
297
âòîðîé p
5
, äëÿ òðåòüåé p
6
. Ïàññàæèð íàïðàâèëñÿ çà áèëåòîì.
Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îí ïðèîáðåòåò áèëåò?
Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ:
À ïàññàæèð ïðèîáðåòåò áèëåò;
Í
1
ïàññàæèð íàïðàâèëñÿ â ïåðâóþ êàññó;
Í
2
ïàññàæèð íàïðàâèëñÿ âî âòîðóþ êàññó;
Í
3
ïàññàæèð íàïðàâèëñÿ â òðåòüþ êàññó.
ßñíî, ÷òî ñîáûòèÿ Í
1
, Í
2
, Í
3
îáðàçóþò ïîëíóþ ãðóïïó ñîáû-
òèé è íåñîâìåñòíû (ìû ñ÷èòàåì, ÷òî ïàññàæèð ìîæåò íàïðàâèòü-
ñÿ òîëüêî â îäíó êàññó). Ñîáûòèÿ Í
1
, Í
2
, Í
3
ÿâëÿþòñÿ ãèïîòåçà-
ìè. Ñîáûòèå À ìîæåò ïðîèçîéòè òîëüêî ïðè óñëîâèè, ÷òî ïðî-
èçîøëà îäíà èç ãèïîòåç.
Ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè:
).1( )1( )1(
)()( )()( )()( )(
635241
321
321
pPpPpP
APHPAPHPAPHPAP
HHH
−+−+−=
=⋅+⋅+⋅=
Ïðèìåð 6.14. Èìåþòñÿ òðè ïàðòèè äåòàëåé ïî 30 äåòàëåé â êàæ-
äîé. ×èñëî ñòàíäàðòíûõ äåòàëåé â ïåðâîé, âòîðîé è òðåòüåé ïàðòè-
ÿõ ñîîòâåòñòâåííî ðàâíî 20, 15, 10. Èç íàóäà÷ó âçÿòîé ïàðòèè íà-
óäà÷ó èçâëå÷åíà äåòàëü, îêàçàâøàÿñÿ ñòàíäàðòíîé. Çàòåì èç òîé
æå ïàðòèè âòîðè÷íî íàóäà÷ó èçâëåêëè äåòàëü, êîòîðàÿ òàêæå îêà-
çàëàñü ñòàíäàðòíîé. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äåòàëè áûëè
èçâëå÷åíû èç òðåòüåé ïàðòèè.
Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç À ñîáûòèå â êàæäîì èç äâóõ èñ-
ïûòàíèé áûëà èçâëå÷åíà ñòàíäàðòíàÿ äåòàëü.
Ìîæíî ñäåëàòü òðè ïðåäïîëîæåíèÿ (ãèïîòåçû): Í
1
äåòàëè
èçâëåêàëèñü èç ïåðâîé ïàðòèè; Í
2
äåòàëè èçâëåêàëèñü èç âòî-
ðîé ïàðòèè; Í
3
äåòàëè èçâëåêàëèñü èç òðåòüåé ïàðòèè.
Òàê êàê äåòàëè èçâëåêàëèñü èç íàóäà÷ó âçÿòîé ïàðòèè, òî âå-
ðîÿòíîñòè ãèïîòåç îäèíàêîâû:
.
3
1
)( )( )(
321
=== HPHPHP
Íàéäåì óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü
),(
1
AP
H
ò.å. âåðîÿòíîñòü òîãî,
÷òî èç ïåðâîé ïàðòèè áóäóò ïîñëåäîâàòåëüíî èçâëå÷åíû äâå ñòàí-
äàðòíûå äåòàëè:
87
38
29
19
30
20
)(
.
1
=⋅=AP
H
298
Íàéäåì óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü
),(
2
AP
H
ò.å. âåðîÿòíîñòü òîãî,
÷òî èç âòîðîé ïàðòèè áóäóò ïîñëåäîâàòåëüíî èçâëå÷åíû (áåç âîç-
âðàùåíèÿ) äâå ñòàíäàðòíûå äåòàëè:
29
7
29
14
30
15
)(
.
2
=⋅=AP
H
Íàéäåì óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü
),(
3
AP
H
ò.å. âåðîÿòíîñòü òîãî,
÷òî èç òðåòüåé ïàðòèè áóäóò ïîñëåäîâàòåëüíî èçâëå÷åíû äâå ñòàí-
äàðòíûå äåòàëè:
29
3
29
9
30
10
)(
.
3
=⋅=AP
H
Èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îáå èçâëå÷åííûå ñòàíäàðòíûå
äåòàëè âçÿòû èç òðåòüåé ïàðòèè, ïî ôîðìóëå Áåéåñà ðàâíà:
.
68
9
261
68
29
1
29
3
3
1
29
7
3
1
87
38
3
1
29
3
3
1
)( )( )( )( )( )(
)( )(
)(
321
3
321
3
3
==
⋅+⋅+⋅
⋅
=
=
⋅+⋅+⋅
⋅
=
APHPAPHPAPHP
APHP
HP
HHH
H
A
6.2. Ñõåìà ïîâòîðíûõ èñïûòàíèé
6.2.1. Ôîðìóëà Áåðíóëëè
Åñëè ïðè îäíèõ è òåõ æå óñëîâèÿõ îïðåäåëåííûé îïûò ïîâòî-
ðÿåòñÿ n ðàç è åñëè âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ íåêîòîðîãî ñîáûòèÿ À
â êàæäîì îïûòå ðàâíà p, òî âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñîáûòèå À â
ñåðèè èç n îïûòîâ ïðîèçîéäåò ðîâíî k ðàç, íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
Áåðíóëëè:
.1 ãäå ,
)(
pq
knkk
nn
qpCkP
=
−
=
(1)
Ñî÷åòàíèÿ èç n ïî k íàõîäÿò ïî ôîðìóëå
,
! )( !
!
knk
n
C
k
n
−
=
ãäå n! = P
n
= 1 · 2 · 3 · · n.
299
×èñëî k
0
ïîÿâëåíèé ñîáûòèÿ À â ñåðèè èç n îïûòîâ, âåðîÿò-
íîñòü êîòîðîãî íàèáîëüøàÿ, íàçûâàåòñÿ íàèâåðîÿòíåéøèì ÷èñ-
ëîì íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ À â n îïûòàõ. Ýòî ÷èñëî íàõîäÿò ïî
ôîðìóëå
k
0
= [np + p]. (2)
Ñèìâîë [] îçíà÷àåò çäåñü öåëóþ ÷àñòü ÷èñëà.
Åñëè ÷èñëî np + p öåëîå, òî íàèâåðîÿòíåéøèì áóäåò òàêæå è
÷èñëî k
0
1 ñ òîé æå âåðîÿòíîñòüþ P
n
(k
0
).
Ïðèìåð 6.15. Ñðåäè äåòàëåé, îáðàáàòûâàåìûõ ðàáî÷èì, áûâà-
åò â ñðåäíåì 4% íåñòàíäàðòíûõ. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðå-
äè âçÿòûõ íà èñïûòàíèå 30 äåòàëåé äâå äåòàëè áóäóò íåñòàíäàðò-
íûìè. Êàêîâî íàèâåðîÿòíåéøåå ÷èñëî íåñòàíäàðòíûõ äåòàëåé â
ðàññìàòðèâàåìîé âûáîðêå èç 30 äåòàëåé è êàêîâà åãî âåðîÿòíîñòü?
Ðåøåíèå. Çäåñü îïûò çàêëþ÷àåòñÿ â ïðîâåðêå êàæäîé èç 30 äå-
òàëåé íà êà÷åñòâî. Ñîáûòèå À ïîÿâëåíèå íåñòàíäàðòíîé äåòàëè;
åãî âåðîÿòíîñòü Ð = 0,04, òîãäà q = 0,96. Îòñþäà ïî ôîðìóëå Áåð-
íóëëè íàõîäèì:
.202,0)96,0()04,0()2(
2822
3030
≈=CP
Íàèâåðîÿòíåéøåå ÷èñëî íåñòàíäàðòíûõ äåòàëåé â äàííîé âû-
áîðêå âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (2):
k
0
= [30 · 0,04 + 0,04] = [1,24] = 1,
a åãî âåðîÿòíîñòü ðàâíà
.
305,0)96,0(04,0)1(
2911
3030
≈⋅⋅=CP
Ïðèìåð 6.16. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â öåëü ïðè îäíîì âûñò-
ðåëå ðàâíà 0,8. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ñåðèè èç ÷åòûðåõ
âûñòðåëîâ áóäåò: à) õîòÿ áû îäíî ïîïàäàíèå; á) íå ìåíåå òðåõ ïî-
ïàäàíèé; â) íå áîëåå îäíîãî ïîïàäàíèÿ.
Ðåøåíèå. Çäåñü n = 4, p = 0,8, q = 0,2. a) Íàéäåì âåðîÿòíîñòü
ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ â ñåðèè èç ÷åòûðåõ âûñòðåëîâ íåò
íè îäíîãî ïîïàäàíèÿ â öåëü:
.
0016,02,0)0(
4400
44
=== qpCP
300
Îòñþäà íàõîäèì âåðîÿòíîñòü õîòÿ áû îäíîãî ïîïàäàíèÿ â öåëü:
.
9984,00016,01)1(
4
=−=≥kP
á) Ñîáûòèå Â, çàêëþ÷àþùååñÿ â òîì, ÷òî â ñåðèè èç ÷åòûðåõ
âûñòðåëîâ ïðîèçîøëî íå ìåíåå òðåõ ïîïàäàíèé â öåëü, îçíà÷àåò,
÷òî áûëî ëèáî òðè ïîïàäàíèÿ (ñîáûòèå Ñ), ëèáî ÷åòûðå (ñîáûòèå
D), ò.å. Â = Ñ + D. Îòñþäà P (B) = P (C) + P (D); ñëåäîâàòåëüíî,
.
8192,08,02,08,04
)4( )3( )3(
43
044
4
133
4444
=+⋅⋅=
=+=+=≥ qpCqpCPPkP
â) Àíàëîãè÷íî âû÷èñëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â öåëü íå
áîëåå îäíîãî ðàçà:
.
2576,02,08,040016,0
0016,0)1( )0( )1(
3
311
4444
=⋅⋅+=
=+=+=≤ qpCPPkP
6.2.2. Ëîêàëüíàÿ òåîðåìà Ëàïëàñà
Åñëè âåðîÿòíîñòü p ïîÿâëåíèÿ íåêîòîðîãî ñîáûòèÿ À ïîñòî-
ÿííà â n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèÿõ è îòëè÷íà îò 0 è 1, òî âåðîÿò-
íîñòü P
mn
òîãî, ÷òî â ýòèõ èñïûòàíèÿõ ñîáûòèå À íàñòóïèò m ðàç
ïðè n → ∞, óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ:
,1
)(
lim =
∞→
x
Pnpq
mn
n
ϕ
ãäå
,
2
2
2
1
)(
x
ex
−
⋅=
π
ϕ
à
.
npq
npm
x
−
=
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îòíîñè-
òåëüíî p, åñëè n äîñòàòî÷íî áîëüøîå, èìååò ìåñòî ïðèáëèæåííîå
ðàâåíñòâî:
.
)(
npq
x
P
mn
ϕ
≈
(3)
Ïðèìåð 6.17. Âåðîÿòíîñòü èçãîòîâëåíèÿ äåòàëè âûñøåãî ñîð-
òà íà äàííîì ñòàíêå ðàâíà 0,4. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè
íàóäà÷ó âçÿòûõ 26 äåòàëåé ïîëîâèíà îêàæåòñÿ âûñøåãî ñîðòà.