Сапожников С.З. Китанин Э.Л. Техническая термодинамика и теплопередача

Подождите немного. Документ загружается.

121

2. ТЕПЛОПЕРЕДАЧА

2.1. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ТЕПЛОПЕРЕДАЧЕ

Любое реальное (т. е. необратимое) преобразование энергии

связано с ее переходом в теплоту (полным или частичным).

Первое начало термодинамики показывает, какая часть

теплоты расходуется на совершение работы, а какая преобразуется

во внутреннюю энергию термодинамической системы. Таким

образом, оно определяет энергетический баланс и отвечает на

вопрос: “Какое количество теплоты выделено (поглощено) в

процессе преобразования энергии?”

Второе начало утверждает, что в неравномерно нагретой

термодинамической системе теплота самопроизвольно передается

от более нагретой области к менее нагретой. Это начало отвечает на

другой вопрос: "В каком направлении происходит передача

теплоты?"

Оба начала имеют важнейшее значение, но не могут

разрешить задачу, связанную с самопроизвольным необратимым

теплопереносом в пространстве, где температура распределена

неравномерно. Вспомним, в частности, что в термодинамике мы

сознательно не использовали реальное время, а процесс передачи

энергии считали квазистатическим, т. е. весьма медленным.

Теплопередача — сложный физический процесс. Его опре-

деляют форма и размеры термодинамической системы, рас-

пределение температуры внутри системы и в окружающей среде,

теплофизические свойства веществ и т. д. В простейшем случае,

когда неравномерно нагретые тела находятся в соприкосновении и

неподвижны относительно друг друга, теплота передается

теплопроводностью. Если среда (жидкость, газ, пар, поток частиц

сыпучего материала) движется относительно поверхности твердого

тела, имеющей температуру, отличную от температуры среды, то

122

между ними происходит конвективный теплообмен. Если же тела

с разными температурами не находятся в соприкосновении, то

между ними происходит теплообмен излучением: тепловая

энергия передается в форме электромагнитных волн или фотонов.

Излучение, в отличие от теплопроводности и конвективного

теплообмена, не требует, чтобы тела соприкасались или были

разделены материальной средой; теплообмен излучением

происходит и в вакууме.

Все три вида теплопередачи (или любые два из них) могут

действовать одновременно. Например, горячая поверхность

тормозной системы автомобиля (рис. 71) отдает теплоту (а это по

скромным оценкам примерно половина мощности двигателя):

– теплопроводностью: к элементам подвески;

– путем конвективного теплообмена: к потоку воздуха, обте-

кающего тормоза (в зависимости от того, стоит автомобиль или

движется, скорость обтекания и количество теплоты, отводимое в

единицу времени, будут сущетвенно различаться);

– излучением: через почти прозрачный для электромагнитных

волн воздух к поверхности кузова, грунту и другим телам,

имеющим более низкую, чем тормоза, температуру.

Рис. 71.

И теплопроводность, и конвективный теплообмен, и тепло-

обмен излучением — достаточно хорошо разработанные разделы

общей теории теплопередачи. Каждый из них использует свой круг

123

понятий и свои методы исследования, однако позволяет, при не-

обходимости, учитывать вклад и других видов теплопередачи.

Общие для всех видов теплопередачи вопросы:

1. Как распределены в пространстве и как изменяются во

времени значения температуры в различных (в принципе — во

всех) точках рассматриваемой термодинамической системы?

2. Какое количество теплоты передается от системы в целом и

от любой, сколь угодно малой части ее поверхности, в

окружающую среду?

Интуитивно ясно, что оба вопроса тесно связаны. Неравно-

мерность распределения температуры приводит к передаче

теплоты — так утверждает второе начало. Но второе начало не

объясняет, как зависит от температур областей теплота,

передаваемая от более нагретой области к менее нагретой, поэтому

распределение температуры и тепловые потоки должны

определяться какими-то дополнительными соотношениями.

Эти дополнительные феноменологические (т. е. связанные с

явлениями, феноменами) гипотезы обычно подтверждаются дли-

тельной практикой и огромным числом экспериментов, а потому

фактически выполняют роль законов.

Итак, теория теплопередачи основана на первом и втором

началах термодинамики и на ограниченном числе феноменоло-

гических гипотез, т. е., в отличие от равновесной термодинамики,

не является вполне строгой теорией.

Впрочем, и в задачах термодинамики нам требовались

сведения об уравнениях состояния и физических свойствах

реальных веществ, поэтому для инженера и термодинамика, и

теплопередача стоят, по сути, на одном уровне строгости.

2.2. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

2.2.1. Основные понятия и определения

Теплопроводность — молекулярный перенос теплоты в

сплошной среде, обусловленный неравномерностью распре-

124

деления температуры в различных ее областях. При этом

теплота может превращаться в другие виды энергии (хотя возможен

и обратный переход, например, при нагреве среды электрическим

током), а области с различными температурами находятся в

механическом соприкосновении.

Называя теплопроводность молекулярным переносом

теплоты, имеют в виду, что теплота в этом случае передается

посредством теплового движения микрочастиц. В газах роль таких

частиц выполняют атомы, молекулы или ионы, совершающие

броуновское движение. В жидкостях и твердых диэлектриках

теплопроводность связана с упругими волнами, которые возникают

при согласованных смещениях атомов и молекул относительно

положений устойчивого равновесия. В металлах теплоту передает

поток свободных электронов (электронный газ). Как видим, термин

“молекулярный” довольно условен и означает лишь, что в среде не

перемещаются частицы более крупные, чем молекулы.

В теории теплопроводности не рассматривают природу

передачи теплоты в той или иной материальной среде. При таком

подходе физические особенности среды характеризуют

эмпирическими величинами — теплофизическими свойствами,

которые, в общем случае, зависят от параметров состояния среды,

например, от температуры. Среду при этом рассматривают как

однородную (континуум), а дискретным, на микроуровне, ее

строением не интересуются.

Мы говорили, что для количественного описания любого вида

теплопередачи (в частности — теплопроводности) оба начала

термодинамики необходимо дополнить феноменологическими

гипотезами. В теории теплопроводности используют гипотезу Био-

Фурье, речь о которой пойдет в разд. 2.2.2.

Познакомимся с основными понятиями теории

теплопроводности.

Распределение температуры в теплопроводящей среде

характеризует так называемое поле температуры. М. Фарадей,

впервые предложивший это название, сознавал, что поле

температуры не является полем в том смысле, как поле

125

гравитационное, электромагнитное и т. п. Речь идет о совокупности

значений температуры Т во всех точках пространственной области

с координатами х, у, z в данный момент времени τ≥ 0. Уравнение

(

)

τ,,, zyxTT = ,

(2.1)

называют уравнением поля температуры. Обычно требуется

определить конкретный вид формулы (2.1) для исследуемой

области.

Если процесс теплопроводности не зависит от времени τ, то

поле температуры называют стационарным, а функцию

()

zyxTT ,,= — уравнением стационарного поля температуры. В

противном случае поле и его уравнение называют нестацио-

нарными.

Если температура меняется вдоль одной или двух координат,

то говорят об одномерном или двумерном поле температуры. Так,

()

τ,xT — нестационарное одномерное, а

(

)

yxT ,

— стационарное

двумерное поле температуры.

Если мысленно соединить все точки среды, температура в

которых одинакова, то такое геометрическое место точек образует

изотермическую поверхность

. Сечение среды условной плос-

костью заданной ориентации позволяет получать следы изо-

термических поверхностей — изотермы. Как изотермические

поверхности, так и изотермы нигде не пересекаются: уравнение

(2.1) определяет температуру в каждой точке среды однозначно, а

пересечение означало бы, что в данной точке поддерживаются

одновременно два и более значений температуры.

В состоянии равновесия

(

)

∞

,,, zyxT const, и вместо

изотермической поверхности приходится рассматривать

изотермический объем, охватывающей всю область

(

)

zyx ,, .

126

Рис. 72.

На рис. 72 условно показано сечение среды с тремя

изотермами: средняя соответствует температуре Т, а крайние

отличаются от нее на величину ±∆Т. В любом направлении S

скорость изменения температуры характеризует производная

∂

. Эта скорость максимальна, когда линия S совпадает с

нормалью к изотерме n. Максимальное значение производной

gradlim

max

∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

→∆

называют градиентом температуры. Градиент считают вектором,

направленным по нормали к изотермической поверхности в

сторону увеличения температуры; заметим, что

()

∂

≤

∂

,cos

В теории теплопроводности всегда рассматривают разность

температур (конечную ∆T или бесконечно малую dТ, ∂Т), поэтому

выбор температурной шкалы — стоградусной (Цельсия),

абсолютной термодинамической или иной — принципиального

значения не имеет, обозначение T далее относим к температуре по

любой из них. Однако выбор шкалы следует оговорить заранее,

чтобы избежать путаницы при задании теплофизических свойств и

других зависящих от температуры параметров.

Количество теплоты, проходящее через произвольную по-

верхность (реальную или условную) за время τ, обозначим Q

;

размерность этой величины — Дж. Количество теплоты,

127

проходящее через произвольную поверхность в единицу времени,

назовем тепловым потоком:

Q =

, Вт

Если тепловой поток определяется в расчете на единицу

площади поверхности dF, то величину

⋅

== , Вт/м

назовем плотностью теплового потока.

Плотность теплового потока определяется не только вели-

чиной, но и направлением, т. е. является вектором:

zyx

qkqjqiq

++= ,

(2.2)

где

kji

— единичные векторы (орты) декартовой системы коор-

динат;

zyx

qqq ,, — проекции вектора q

на оси х, у и z.

Важно помнить, что величины Q и q представляют собой

производные, т. е. определены в бесконечно узких пределах dτ и

dF. В частных случаях, когда поле температуры стационарно, а

плотность теплового потока во всех точках поверхности одинакова,

можно считать, что

Q =

q =

, но это — исключение, а не пра-

вило! Нередко максимальное значение q на определенных участках

поверхности ограничивают (например, на трубах водогрейного

котла или на наружной поверхности теплоизоляции): если

плотность теплового потока выходит за предельное значение,

нарушается тепловой режим, а иногда возникает опасность аварии.

В этих случаях надо обязательно помнить о "местном" характере

величины q: в опасной зоне она может превысить допустимую, хотя

среднее по поверхности F значение

останется в приемлемых

пределах.

2.2.2. Гипотеза Био–Фурье

128

В 1804 г. французский физик Ж. Био предположил, что

количество теплоты d

, проходящее через любую

изотермическую поверхность в сторону уменьшения температуры,

должно быть прямо пропорционально времени dτ, площади

поверхности dF, разности температур ∆T между "соседними"

изотермами и обратно пропорционально расстоянию между ними

∆n:

dτdλd

∆

−= ,

(2.3)

где λ — коэффициент пропорциональности, “выравнивающий”

размерности левой и правой частей формулы (2.3) и однозначно

определяемый природой проводящей среды.

Знак "–" в формуле (2.3) указывает, что теплота передается из

области с более высокой температурой в область, где температура

ниже; при ∆T > О

d Q < О и наоборот.

В 1807 г. Ж.-Б. Фурье, соотечественник Ж. Био, показал, что

при ∆n >0 уравнение (2.3) принимает вид

λgrad

−==

(2.4)

Это соотношение называют законом Фурье. Уравнение (2.4)

выдержало многолетнюю экспериментальную проверку и в

большинстве случаев выполняется, однако не является столь

общим, как первое и второе начала термодинамики, поскольку не

может правильно описать физическую картину теплопроводности в

некоторых особых условиях, например, при весьма быстрых

процессах токопередачи.

Величину λ, входящую в уравнения (2.3) и (2.4), называют

теплопроводностью, ее размерность — Вт/(м⋅К). Фурье считал

коэффициент λ постоянным, фактически же теплопроводность

зависит от природы среды и определяется параметрами ее

состояния.

129

Так, например, большинство теплоизоляторов — материалы

пористые, в них много мелких ячеек, заполненных воздухом (для

него λ = 0,02…0,03 Вт/м⋅К), что и определяет низкое значение λ для

теплоизолятора в целом. Если слой изоляции увлажнится, то

проникшая в ячейки вода может заметно (в несколько раз)

повысить теплопроводность материала. Наиболее сильно выражена

зависимость λ от температуры, от давления теплопроводность λ

зависит слабо.

Теплопроводность численно равна плотности теплового

потока при градиенте температуры, равном единице. Эта

величина не имеет такого глубокого физического смысла как,

например, теплоемкость; она лишь устанавливает связь между

модулями двух векторов:

q gra

Теплопроводность меняется в широких пределах:

0,006–0,6 Вт/(м⋅К) — для газов,

0,07…0,7 Вт/(м⋅К — для жидкостей,

0,04…10 Вт/(м⋅К) — для неметаллов,

8…425 Вт/(м⋅К) — для металлических материалов.

2.2.3. Дифференциальное уравнение теплопроводности

Уравнения (2.3) и (2.4) формируют гипотезу

теплопроводности, но не дают удобных для практики решений,

поскольку величина

∂

остается неизвестной. Это понимал и

Ж.-Б. Фурье, который в 1814 г. получил дифференциальное

уравнение для одномерной задачи теплопроводности. Более общий

и вполне строгий вывод такого уравнения был предложен

М.В. Остроградским в 1830 г.; рассмотрим его подробнее.

Используем в дальнейших рассуждениях оба начала тер-

модинамики, а также гипотезу Био–Фурье.

Первое начало для среды объемом V запишем в виде

∫

−∆=−

pVHQQ d

(2.5)

130

где Q

— количество теплоты, выделяемое (поглощаемое)

внутренними источниками (стоками), имеющими мощность q

;

— количество теплоты, переданное через поверхность среды F;

∆H — изменение энтальпии среды; р — давление в объеме V.

Поскольку теплопроводность λ и объем V большинства сред

слабо зависят от давления р, условие (2.5) упростим, полагая

р = const, dр = 0 и, следовательно,

HQQ

∆

−

(2.6)

Второе начало применительно к процессу теплопроводности

выражается неравенством М. Планка

(

)

0grad,cosγcos

= Tq

(2.7)

которое означает, что угол γ между векторами плотности

потока и градиента температуры лежит в пределах π/2 < γ < 3π/2 (на

рис. 72 "разрешенная" область значений γ заштрихована).

Уравнение (2.4), строго говоря, относится к изотропной среде

(свойства которой одинаковы во всех направлениях); оно

удовлетворяет требованию (2.7) при γ = π. Уравнение (2.4) является

одной из форм второго начала и одновременно выполняет роль

феноменологической гипотезы.

Итак, вывод уравнения теплопроводности основан на

уравнении первого начала (2.5) и на частном случае второго

начала — интегральном законе Фурье (2.4).

Выделим на поверхности среды тела площадку dF внешней

нормалью n

(рис. 73).

Мощность внутренних источников — количество теплоты, выде-

ляемое (поглощаемое) внутренними тепловыми источниками

(стоками) в единице объема среды в единицу времени, измеряется в

Вт/м