Русаков В.С. и др. Механика. Методика решения задач

Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии

251

движения их центров масс и вращательного движения с одинако-

вой угловой скоростью относительно осей, проходящих через их

центры масс (см. рис. 7.12).

В случае, когда масса гантели сосредоточена на ее концах,

момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс,

равен:

4

2

ml

J = .

(7.71)

При этом скорости центров масс гантелей после первого соударе-

ния в лабораторной системе отсчета и угловая скорость их враще-

ния равны:

2

21

υυ

−

=

′

=

′

, (7.72)

l

21

υυ

ω

+

= . (7.73)

В соответствии с (7.65) скорости центров масс гантелей по-

сле соударения в системе центра масс системы тел равны нулю.

Следовательно, в рассматриваемом частном случае гантели, враща-

ясь с одинаковой угловой скоростью, испытают повторное соуда-

рение (см. решение Задачи 8 в Главе 3).

Задача. 7.5

Тонкий однородный стержень длиной l

0

и массой г10

0

=m

вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через точку его

подвеса, описывая при этом коническую поверхность (см.

рис. 7.13). Жук, сидящий на стержне, начинает медленно ползти с

верхнего закрепленного его конца к нижнему концу. Начальный

Рис. 7.12

B

A

D

ω

C

2

υ

′

ω

1

υ

′

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

252

угол отклонения стержня от вертикали

составляет

0

α

= 60°. При какой массе жука

m угол отклонения стержня от вертикали

составит

1

α

= 45° после того, как жук дос-

тигнет нижнего конца стержня?

Решение

I. При движении жука вдоль стерж-

ня на систему тел «стержень + жук» дей-

ствуют силы тяжести и силы реакции со

стороны подвеса. Поскольку моменты

этих сил относительно вертикальной оси,

проходящей через точку подвеса, равны нулю, момент импульса

рассматриваемой системы тел относительно этой оси в лаборатор-

ной инерциальной системе отсчета не изменяется.

Поэтому при

решении задачи будем использовать закон сохранения момента

импульса относительно вертикальной оси для двух моментов вре-

мени: начала движения (l = 0,

0

α

=

) и момента достижения жу-

ком конца стержня (l = l

0

,

1

α

=

). Здесь введены обозначения: l −

расстояние от жука до точки подвеса стержня и

α

− угол отклоне-

ния стержня от вертикали.

В процессе движения жука расстояние l, угол

α

, а также уг-

ловая скорость вращения стержня

ω

изменяются. Для нахождения

взаимосвязи между углом отклонения

α

и угловой скоростью

ω

удобно перейти к неинерциальной системе отсчета, жестко связан-

ной с вращающимся стержнем. В этой системе отсчета на систему

тел «стержень + муфта» действуют силы тяжести, сила реакции

подвеса в точке крепления стержня и силы инерции.

Поскольку жук в соответствии с условием задачи движется

по стержню медленно, то угловая скорость вращения стержня

ω

также медленно изменяется (0

≅

ω

&

), следовательно, переносная

сила инерции (см. (4.16) в Главе 4) примерно равна центробежной

силе инерции:

цбпер

FF ≅ . Силой инерции Кориолиса (см. (4.17) в

Главе 4), действующей на медленно движущегося жука, также пре-

небрегаем: 0

Кор

≅F .

Рис. 7.13

l

0

, m

0

m

α

Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии

253

Сумма моментов внешних сил, действующих на систему тел

«стержень + жук, равна нулю относительно любой оси, неподвиж-

ной относительно выбранной неинерциальной системы отсчета.

Заметим, что центробежная сила инерции, действующая на

различные элементы стержня, зависит от расстояния между дан-

ным элементом и вертикальной осью вращения неинерциальной

системы отсчета. Следовательно, для расчета суммарного

момента

сил инерции, действующих на стержень, необходимо просуммиро-

вать моменты сил инерции, действующих на каждый из элементов

стержня. Заметим также, что момент силы реакции подвеса в точке

крепления стержня равен нулю относительно оси, проходящей че-

рез точку подвеса.

Таким образом, для решения задачи воспользуемся законом

сохранения момента импульса системы тел «стержень

+ жук» от-

носительно вертикальной оси в лабораторной инерциальной систе-

ме отсчета и условием равенства нулю суммарного момента сил,

действующих на эту систему тел относительно оси, жестко связан-

ной с вращающимся стержнем и проходящей через точку подвеса,

в неинерциальной системе отсчета.

II. Момент импульса системы тел «стержень + жук» L скла-

дывается из

моментов импульсов стержня

ст

L и жука

ж

L в отдель-

ности. Момент импульса элемента стержня

ст

L зависит от расстоя-

ния между данным элементом и вертикальной осью вращения

стержня. Следовательно, для расчета суммарного момента импуль-

са стержня необходимо просуммировать моменты импульсов всех

элементов стержня. Запишем момент импульса системы тел «стер-

жень + жук» в лабораторной инерциальной системе отсчета отно-

сительно вертикальной оси вращения:

=+=+=

∫

αωααωα

sinsinsinsin

0

жст

lmlxdx

l

m

xLLL

l

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+=

2

00

2

3

1

sin mllm

αω

, (7.74)

где x − координата элемента стержня длиной dx вдоль стержня от-

носительно точки подвеса.

Запишем также закон сохранения момента импульса системы

тел «стержень + жук» относительно вертикальной оси в лаборатор-

ной инерциальной системе отсчета на интервале времени от начала

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

254

движения жука (l = 0,

0

α

=

) до момента достижения им нижнего

конца стержня (l = l

0

,

1

α

=

):

()

0sin

3

1

3sin

3

1

2

000

2

0

2

001

2

101

=−+=− lmlmmLL

αωαω

, (7.75)

где L

0

и

ω

0

− момент импульса системы тел и

угловая скорость их вращения в начальный

момент времени, а значения этих величин в

конечный момент времени − L

1

и

ω

1

.

Запишем равенство нулю суммы мо-

ментов внешних сил, действующих на систе-

му тел «стержень + жук», относительно гори-

зонтальной оси, неподвижной в выбранной

неинерциальной системе отсчета и проходя-

щей через верхний конец стержня O (см.

рис. 7.14):

0

ж

цб

ст

цб

ж

тж

ст

тж

=+++ MMMM . (7.76)

Моменты сил тяжести, действующих на стержень

ст

тж

M и жука

ж

тж

M , равны:

α

sin

2

1

00

ст

тж

glmM −= , (7.77)

α

sin

ж

тж

mglM −= . (7.78)

Момент центробежной силы инерции

ж

цб

M (см. (4.16) в Главе 4),

действующей на жука, определяется выражением:

ααω

cossin

22ж

цб

lmM = . (7.79)

Для нахождения суммарного момента сил инерции, дейст-

вующих на стержень

ст

цб

M , рассмотрим элемент стержня длиной dx,

находящийся на расстоянии x от верхнего конца стержня. Центро-

бежная сила инерции (см. (4.16)), действующая на этот элемент,

равна

αω

sindd

2

0

ст

цб

xx

l

m

F = , (7.80)

где

α

sinx – расстояние от элемента стержня до вертикальной оси

вращения выбранной неинерциальной системы отсчета.

Рис. 7.14

m

0

g

mg

α

ст

цб

dF

dl

ж

цб

F

O

Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии

255

Момент силы инерции, действующей на элемент стержня,

относительно горизонтальной оси, неподвижной в выбранной не-

инерциальной системе отсчета и проходящей через верхний конец

стержня O, можно записать в виде (см. рис. 7.21):

ααωα

cossindcosdd

22

0

ст

цб

ст

цб

xx

l

m

xFM == . (7.81)

Интегрируя (7.104) по всей длине стержня, получим суммар-

ный момент сил инерции, действующих на стержень:

ααωααω

cossin

3

1

cossind

2

0

2

0

22

0

ст

цб

0

lmxx

l

m

M

l

==

∫

. (7.82)

III. Определим взаимосвязь между угловой скоростью вра-

щения стержня (и жука) и угла отклонения стержня от вертикали в

произвольный момент времени. Решая совместно уравнения

(7.76) − (7.79) и (7.82), получаем:

()

α

ω

cos32

23

22

00

mllm

mllmg

+

= .

(7.83)

В соответствии с (7.83) для начального (l = 0,

0

α

=

) и ко-

нечного (l = l

0

,

1

α

= ) моментов времени можно записать:

00

0

cos2

3

α

ω

l

g

=

, (7.84)

()

mml

mmg

3cos2

23

010

0

1

+

=

α

ω

. (7.85)

Преобразуя закон сохранения момента импульса системы тел

«стержень + жук» (7.75), получаем:

()

0sin3sin

00

2

001

2

1

=−+ mmm

αωαω

. (7.86)

Подстановка (7.84) и (7.85) в (7.86) дает квадратное уравне-

ние для определения искомой массы жука m:

0

cos

sin

156

0

1

4

0

4

2

00

2

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅−++

α

mmmm . (7.87)

Решая уравнение (7.87), окончательно получим:

0

1

4

0

4

cos

sin

2415

12

1

mm

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅++−=

α

. (7.88)

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

256

Воспользовавшись численными значениями физических ве-

личин, заданных в условии задачи, находим

г2,332,0

0

=

≈

mm .

Задача 7.6

Спутник массой m движется по эллиптической траектории

вокруг планеты, находящейся в одном из ее фокусов (см. рис. 7.15).

Известны наименьшее r

1

и наибольшее r

2

расстояния от

спутника до центра планеты, а также модуль его скорости

υ

1

в наи-

более близкой к планете точке траектории. Найти массу планеты

M, а также радиусы кривизны траектории спутника и в наиболее

близкой R

1

и наиболее удаленной R

2

от планеты точках его траек-

тории.

Решение

I. Лабораторную систему отсчета, связанную с планетой, бу-

дем считать инерциальной. При дальнейшем рассмотрении будем

считать спутник материальной точкой, а планету − сферически

симметричным телом. Движение спутника по эллиптической тра-

ектории происходит под действием одной силы – силы гравитаци-

онного взаимодействия (см. п. 2.1.2.А в Главе 2) спутника и плане-

ты. Поскольку эта

сила является центральной (п. 3.1.2.А в Главе 3),

то момент импульса спутника относительно оси, проходящей через

центр планеты перпендикулярно плоскости траектории спутника, в

соответствии с законом сохранения момента импульса механиче-

ской системы относительно оси (см. п. 7.1. Теоретический матери-

ал) не меняется со временем.

Будем считать, что система тел «спутник + планета» является

изолированной

, а центральные силы взаимодействия тел системы −

Рис. 7.15

1

r

2

r

m

M

1

υ

r

υ

2

υ

Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии

257

потенциальны (п. 3.1.2.А в Главе 3). В этом случае можно восполь-

зоваться законом сохранения механической энергии рассматривае-

мой системы (п. 7.1. Теоретический материал).

II. Запишем закон сохранения момента импульса спутника

относительно оси, проходящей через центр планеты перпендику-

лярно плоскости траектории спутника (см. рис. 7.15), для моментов

времени нахождения спутника на минимальном r

1

и максимальном

r

2

расстоянии от планеты:

0

1122

=−

υ

mrmr , (7.89)

где

2

υ

− модуль скорости спутника при максимальном удалении от

планеты. При записи (7.89) было учтено, что скорость

υ

и радиус-

вектор

r

спутника относительно центра планеты в рассматривае-

мые моменты времени взаимно перпендикулярны. Заметим, что в

остальные моменты времени угол между скоростью

υ и радиус-

вектором

r

не равен 2/

π

(рис. 7.15).

Запишем закон сохранения механической энергии системы

тел «спутник + планета» для моментов времени нахождения спут-

ника на минимальном r

1

и максимальном r

2

расстоянии от планеты:

0

22

p

1

2

1

p

2

=−−+ E

m

E

m

υυ

. (7.90)

Здесь

p

1

E и

p

2

E − потенциальные энергии системы тел «спут-

ник + планета» в рассматриваемые моменты времени.

Определим потенциальную энергию системы при произволь-

ном расстоянии

r

между спутником и центром планеты.

Выберем ноль отсчета потенциальной энергии, соответст-

вующий положению спутника на физически бесконечно большом

расстоянии от планеты. Тогда в соответствии с определением по-

тенциальной энергии механической системы (см. (3.32) в Главе 3)

можно записать:

r

mM

Gr

r

mM

GE

r

−=−=

∫

∞

d

2

p

. (7.91)

Следовательно, потенциальная энергия системы тел «спут-

ник + планета» в моменты нахождения спутника на минимальном

r

1

и максимальном r

2

расстоянии от планеты равна:

1

P

1

r

mM

GE −=

, (7.92)

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

258

2

P

2

r

mM

GE −=

. (7.93)

Для определения радиуса кривизны траектории спутника за-

пишем уравнение его движения в проекции на нормальную ось,

направленную к центру кривизны траектории перпендикулярно

скорости спутника, в рассматриваемые моменты времени:

2

1

2

1

r

mM

G

R

m =

υ

, (7.94)

2

r

mM

G

R

m =

υ

. (7.95)

III. Решая записанную в п. II систему уравнений

(7.89)

− (7.95) получаем искомое выражения для массы планеты

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+=

2

1

12

2

1

2 r

r

rr

G

M

υ

(7.96)

и радиусов кривизны траектории в рассматриваемые моменты вре-

мени

21

2

rr

RR

+

==

. (7.97)

Заметим, что обе искомые физические величины не зависят

от массы спутника, что дает возможность нахождения массы пла-

неты, исходя из измерений только кинематических характеристик

спутника.

7.3.2. Гироскопы. Гироскопические силы

Задача 7.7

Электродвигатель закреплен на подставке так, что его ось и

общий центр масс находятся посередине между опорами подстав-

ки, расстояние между которыми равно

l. Двигатель с подставкой

поставили на гладкую горизонтальную поверхность. Найти силы

давления опор подставки на поверхность, если после включения

ротор двигателя раскручивается с угловым ускорением

β

вокруг

его геометрической оси, а его момент инерции относительно этой

оси равен

J. Масса двигателя с подставкой равна m.

Глава 7. Законы сохранения момента импульса и механической энергии

259

Решение

I. Задачу решаем в лабораторной

системе отсчета. Ось Z декартовой сис-

темы координат направим вертикально

вверх. Ось, относительно которой за-

писываем моменты сил и импульса тел,

выберем совпадающей с геометриче-

ской осью ротора и направленной за

плоскость чертежа (см. рис. 7.16).

При включении электродвигателя

момент сил, действующих на ротор со

стороны статора, закрепленного

на

подставке, изменяет момент импульса

ротора. В соответствии с третьим законом Ньютона такой же по

величине момент сил действует со стороны ротора на статор с под-

ставкой. При этом на подставку действуют также моменты сил ре-

акции со стороны поверхности, на которой она находится. Под-

ставка с закрепленным на ней статором

остается в покое, поэтому

суммарный момент всех внешних сил, действующих на них отно-

сительно произвольно выбранной оси, равен нулю.

II. Для ротора двигателя запишем уравнение моментов отно-

сительно выбранной оси:

M

t

L

=

d

, (7.98)

где

L − момент импульса ротора относительно оси его вращения.

Поскольку момент силы тяжести относительно оси ротора

равен нулю, суммарный момент внешних сил

M равен моменту

сил, действующих на ротор со стороны статора с подставкой.

Условия равновесия для статора и подставки запишем в сле-

дующем виде:

0

22

21

=−+−

l

F

l

FM , (7.99)

0

21

=−

+

mgFF . (7.100)

где

F

1

и F

2

– силы, действующие на подставку со стороны поверх-

ности (см. рис. 7.16).

Момент импульса ротора, вращающегося с угловой скоро-

стью

ω

относительно своей геометрической оси, равен

ω

JL

=

. (7.101)

Рис. 7.16

Z

F

2

F

1

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

260

В соответствии с определением углового ускорения запишем:

td

d

ω

β

= . (7.102)

В результате получена полная система уравнений для нахож-

дения сил, действующих на подставку со стороны поверхности. В

соответствии с третьим законом Ньютона эти силы равны по вели-

чине искомым силам, действующим со стороны подставки на по-

верхность.

III. Решая полученную систему уравнений (7.98) – (7.102) от-

носительно

F

1

и F

2

, получаем:

l

Jmg

F

β

+=

2

1

, (7.103)

l

Jmg

F

β

−=

2

. (7.104)

Заметим, что при угловом ускорении ротора

J

mgl

2

≥

β

правая

опора подставки двигателя отрывается от поверхности.

Задача 7.8

Массивный цилиндрический каток (бегун) массой

m, кото-

рый может вращаться вокруг своей геометрической оси, приведен

во вращение вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоро-

стью

ω

и катится без скольжения по горизонтальной опорной плите

(см. рис. 7.17).

Радиус катка

r. Момент инерции катка относительно геомет-

рической оси равен

J

0

. Вычислить полную силу давления катка на

опорную плиту.

Рис. 7.17

ω

r

m, J

0

Русаков В.С. и др. Механика. Методика решения задач

Подождите немного. Документ загружается.