Руденко В.М. Математична статистика

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ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɞɥɹ n = 6, p = 0,3; ɧɚ ɪɢɫ. 3.33 – ɝɪɚɮɿɤɢ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶ-

ɧɨʀ ɬɚ ɿɧɬɟɝɪɚɥɶɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ.

Ɋɢɫ. 3.32. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɨɝɨ

ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ (

n = 6; p = 0,30)

Ɋɢɫ. 3.33. Ƚɪɚɮɿɤɢ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɨɝɨ

ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ (

n = 6; p = 0,30)

Ⱦɥɹ «ɫɭɦɥɿɧɧɨɝɨ» ɫɬɭɞɟɧɬɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ

ɪ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨʀ ɛɚɠɚɧɨʀ ɩɨɞɿʀ

ɫɤɥɚɞɚɬɢɦɟ ɛɿɥɶɲɟ 50%, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, 70% ɚɛɨ 0,7. ɇɚ ɪɢɫ. 3.34 ɿ 3.35 ɧɚɜɟɞɟɧɨ

ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɞɥɹ

n = 6, p = 0,7, ɚ ɬɚɤɨɠ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɝɪɚɮɿɤɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ.

Ɋɢɫ. 3.34. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɨɝɨ

ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ (

n = 6; p = 0,70)

Ɋɢɫ. 3.35. Ƚɪɚɮɿɤɢ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɨɝɨ

ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ (

n = 6; p = 0,70)

Ɋɿɡɧɢɰɸ ɦɿɠ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɢɦɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɚɦɢ ɞɥɹ ɪɿɡɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫ-

ɬɟɣ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɛɚɠɚɧɢɯ ɩɨɞɿɣ ɦɨɠɧɚ ɫɩɨɫɬɟɪɿɝɚɬɢ ɧɚ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɯ ɝɪɚɮɿ-

ɤɚɯ. ɉɪɨɩɨɧɭɽɦɨ ɫɚɦɨɫɬɿɣɧɨ ɩɪɨɤɨɦɟɧɬɭɜɚɬɢ ɪɢɫ. 3.31, 3.33 ɿ 3.35.

Ɉɫɧɨɜɧɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨʀ ɬɟɧɞɟɧɰɿʀ ɿ ɜɚɪɿɚɬɢɜɧɨɫɬɿ ɞɥɹ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶ-

ɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɡɧɚɱɚɸɬɶɫɹ ɬɚɤ:

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x ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ

= n · p;

x ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ )1(

ppns

 ;

x ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ

ɇɚ ɪɢɫ. 3.36 ɭ ɬɚɛɥɢɱɧɿɣ ɮɨɪɦɿ ɩɨɤɚɡɚɧɚ ɡɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɰɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɪɨɡ-

ɩɨɞɿɥɭ ɜɿɞ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ

ɪ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨʀ ɛɚɠɚɧɨʀ ɩɨɞɿʀ.

Ɋɢɫ. 3.36. Ɂɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɆɐɌ ɿ ɆɆ ɜɿɞ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɩɨɞɿʀ

əɤ ɛɚɱɢɦɨ ɡ ɬɚɛɥɢɰɿ ɪɢɫ. 3.36, ɞɥɹ «ɛɚɣɞɭɠɨɝɨ» ɫɬɭɞɟɧɬɚ (

ɪ = 0,5) ɫɟɪɟɞɧɽ

ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɫɤɥɚɞɚɽ 3 ɛɚɠɚɧɢɯ ɩɨɞɿʀ, ɞɥɹ «ɫɥɚɛɤɨɝɨ» (

ɪ = 0,3) – ɜ ɫɟɪɟɞɧɶɨɦɭ 1,8

ɛɚɠɚɧɢɯ ɩɨɞɿɣ; ɞɥɹ «ɫɭɦɥɿɧɧɨɝɨ» ɫɬɭɞɟɧɬɚ (

ɪ = 0,7) – ɜ ɫɟɪɟɞɧɶɨɦɭ 4,2 ɛɚɠɚ-

ɧɢɯ ɩɨɞɿɣ ɡ 6 ɦɨɠɥɢɜɢɯ.

ɇɚ ɩɪɢɤɥɚɞɿ

ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɦɨɠɧɚ ɩɪɨɞɟɦɨɧɫɬɪɭɜɚɬɢ ɡɚɝɚɥɶɧɭ

ɦɟɬɨɞɢɤɭ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɯ ɮɭɧɤɰɿɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜ ɪɿɲɟɧɧɿ ɪɟɚɥɶɧɢɯ

ɩɪɚɤɬɢɱɧɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ.

ɉɪɢɤɥɚɞ 3.19. ɍ ɬɚɛɥɢɰɿ ɪɢɫ. 3.37 ɪɨɡɪɚɯɨɜɚɧɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɡɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɦɢ

ɞɚɧɢɦɢ (ɿɫɩɢɬɢ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɡɚ ɬɟɫɬɚɦɢ) ɿ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɣ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɡ

ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɹɦɢ ɭɫɩɿɯɭ

p(1) = 0,50 ɿ ɧɟɭɫɩɿɯɭ p(0) = 1– p(1) = 1–0,50 = 0,50.

133

Ɋɢɫ. 3.37. ȿɦɩɿɪɢɱɧɢɣ ɿ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ

əɤ ɜɢɞɧɨ ɡ ɪɢɫ. 3.37, ɝɪɚɮɿɤ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ «ɪɟɚɥɶɧɨʀ ɫɢɬɭɚɰɿʀ»

ɫɭɬɬɽɜɨ ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɜɿɞ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨɝɨ ɬɚɤ ɡɜɚɧɨɝɨ ɜɚɪɿɚɧɬɭ «50/50». ɐɟ ɞɚɽ

ɩɿɞɫɬɚɜɢ ɫɩɨɞɿɜɚɬɢɫɹ ɧɚ ɬɟ, ɳɨ ɪɟɚɥɶɧɿ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɿɫɩɢɬɿɜ ɡɭɦɨɜɥɟɧɿ ɛɿɥɶɲɨɸ

ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ «ɭɫɩɿɯɿɜ» ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ, ɬɨɛɬɨ

ɪ(1) > ɪ(0).

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨ

ɪɟɚɥɶɧɭ ɡɞɚɬɧɿɫɬɶ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɞɨ ɭɫɩɿɲɧɨɝɨ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɡɚ-

ɜɞɚɧɶ (ɳɨ ɡɭɦɨɜɥɸɸɬɶ ɤɨɦɩɟɬɟɧɬɧɿɫɬɶ, ɦɨɬɢɜɚɰɿɹ, ɿɧɬɟɥɟɤɬ ɚɛɨ ɿɧɲɿ ɱɢɧɧɢ-

ɤɢ) ɦɨɠɧɚ ɡɚɮɿɤɫɭɜɚɬɢ ɱɟɪɟɡ ɧɟɜɿɞɨɦɭ (ɩɨɤɢ ɳɨ) ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ

ɪ*. Ɂɧɚɣɬɢ ɣɦɨ-

ɜɿɪɧɿɫɬɶ

ɪ* ɦɨɠɧɚ ɧɚɜɿɬɶ ɩɪɨɫɬɢɦ ɞɨɛɨɪɨɦ (ɡɛɿɥɶɲɭɸɱɢ ɚɛɨ ɡɦɟɧɲɭɸɱɢ)

ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ

ɪ ɬɚɤ, ɳɨɛ ɧɚɛɥɢɡɢɬɢ («ɩɿɞɬɹɝɧɭɬɢ») ɝɪɚɮɿɤ

ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɞɨ ɝɪɚɮɿɤɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. Ɂɪɨɡɭɦɿɥɨ, ɳɨ ɬɚ-

ɤɟ ɧɚɛɥɢɠɟɧɧɹ «ɪɭɱɧɢɦ» ɲɥɹɯɨɦ ɧɟ ɽ ɟɮɟɤɬɢɜɧɢɦ.

Ɂɚɜɞɚɧɧɹ: ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɪ*.

Ɋɿɲɟɧɧɹ

Ɉɩɬɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ

ɪ* ɦɨɠɧɚ ɞɨɫɹɝɬɢ ɡ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹɦ

ɤɨɦɩ'ɸɬɟɪɧɢɯ ɿɧɬɟɪɚɤɬɢɜɧɢɯ ɦɨɠɥɢɜɨɫɬɟɣ MS Excel ɭ ɬɚɤɿɣ ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɨɫɬɿ:

x ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɦɢɲɿ ɚɤɬɢɜɿɡɭɜɚɬɢ ɿ ɧɚɛɥɢɡɢɬɢ ɞɨɧɢɡɭ ɬɨɱɤɭ ɝɪɚɮɿɤɚ ɬɟɨ-

ɪɟɬɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, 0,31 ɞɨ ɬɨɱɤɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ

ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ 0,16 (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 3.38).

x ɜɧɚɫɥɿɞɨɤ ɰɶɨɝɨ ɡ'ɹɜɢɬɶɫɹ ɞɿɚɥɨɝɨɜɟ ɜɿɤɧɨ «Ⱦɨɛɿɪ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ», ɜ ɹɤɨɦɭ

ɜɫɬɚɧɨɜɢɬɢ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ, ɹɤ ɡɨɛɪɚɠɟɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 3.39;

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Ɋɢɫ. 3.38. ɇɚɛɥɢɠɟɧɧɹ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɞɨ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ

x ɩɿɫɥɹ ɤɨɦɚɧɞɢ ɈɄ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɩɨɜɿɞɨɦɥɟɧɧɹ ɩɪɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɞɨɛɨɪɭ ɩɚɪɚ-

ɦɟɬɪɚ – «Ɋɿɲɟɧɧɹ ɡɧɚɣɞɟɧɨ» (ɪɢɫ. 3.40);

Ɋɢɫ. 3.39. ȼɿɤɧɨ

«Ⱦɨɛɿɪ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ»

Ɋɢɫ. 3.40. ȼɿɤɧɨ

«Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɞɨɛɨɪɭ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ»

x ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿ ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ ȿ12 ɡ’ɹɜɢɬɶɫɹ ɧɨɜɟ ɩɟɪɟɪɚɯɨɜɚɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨ-

ɜɿɪɧɨɫɬɿ

ɪ, ɹɤɟ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ 0,72, ɚ ɜ ɟɥɟɤɬɪɨɧɧɿɣ ɬɚɛɥɢɰɿ – ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɩɟ-

ɪɟɪɚɯɨɜɚɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ. Ɂɦɿɧɢɬɶɫɹ ɬɚɤɨɠ ɿ ɮɨɪɦɚ ɝɪɚɮɿɤɚ

ɰɿɽʀ ɮɭɧɤɰɿʀ, ɹɤɢɣ ɧɚɛɥɢɡɢɬɶɫɹ ɞɨ ɝɪɚɮɿɤɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ (ɪɢɫ. 3.41).

Ɋɢɫ. 3.41. ɇɚɛɥɢɠɟɧɧɹ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɞɨ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ

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ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ «ɭɫɩɿɯɭ» ɫɤɥɚɞɚɽ ɩɪɢɛɥɢɡɧɨ 72% (ɪ = 0,72) ɿ ɛɿɥɶɲ

ɧɿɠ ɭɞɜɿɱɿ ɩɟɪɟɜɢɳɭɽ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɢɯ ɧɚɫɥɿɞɤɿɜ (1– ɪ) = 0,28. ɍ ɡɦɿ-

ɫɬɨɜɧɨɦɭ ɩɥɚɧɿ ɰɟ ɦɨɠɟ ɨɡɧɚɱɚɬɢ, ɳɨ, ɩɨ-ɩɟɪɲɟ, ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɬɟɫɬɭɜɚɧɧɹ ɡ ɛɿ-

ɥɶɲɨɸ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ ɦɨɠɧɚ ɩɪɢɣɦɚɬɢ ɡɚ ɧɚɫɥɿɞɨɤ ɫɩɪɨɦɨɠɧɨɫɬɿ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɞɨ

ɭɫɩɿɲɧɨɝɨ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɡɚɜɞɚɧɶ, ɩɨ-ɞɪɭɝɟ, – ɩɪɨɰɟɞɭɪɚ ɿɫɩɢɬɭ ɦɚɽ ɩɟɜɧɢɣ ɪɿ-

ɜɟɧɶ ɞɿɚɝɧɨɫɬɢɱɧɢɯ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ ɳɨɞɨ ɧɚɜɱɚɥɶɧɢɯ ɞɨɫɹɝɧɟɧɶ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ.

ɇɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ

Ɋɨɛɨɬɢ ə. Ȼɟɪɧɭɥɥɿ, ɚ ɬɚɤɨɠ ɩɪɢɜɚɬɧɿ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹ ɿɧɲɢɯ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɿɜ

XVII-ɏVIII ɫɬ. ɡ ȯɜɪɨɩɢ ɡɝɨɞɨɦ ɨɮɨɪɦɢɥɢɫɹ ɜ ɬɟɨɪɿɸ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ. ɍ ɩɨɱɚɬ-

ɤɨɜɢɣ ɩɟɪɿɨɞ ɪɨɡɜɢɬɤɭ ɨɫɧɨɜɧɨɸ ɩɪɨɛɥɟɦɨɸ ɞɚɧɨʀ ɬɟɨɪɿʀ ɛɭɥɨ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ

ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɫɤɥɚɞɧɨʀ ɩɨɞɿʀ ɩɪɢ ɧɚɝɨɞɿ ɩɟɜɧɨʀ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɩɨɹɜ ɧɚ

ɡɪɚɡɨɤ ɪɨɡɝɥɹɧɭɬɢɯ ɜɢɳɟ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ ɡ ɩɿɞɤɢɞɚɧɧɹɦ ɦɨɧɟɬ. Ɏɨɪɦɭɥɚ ɞɥɹ ɬɚ-

ɤɢɯ

ɡɚɜɞɚɧɶ ɛɭɥɚ ɜɢɡɧɚɱɟɧɚ, ɩɪɨɬɟ ɞɥɹ ɜɟɥɢɤɢɯ ɨɛɫɹɝɿɜ (ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɨɛɱɢɫɥɢ-

ɬɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɩɪɢ 20 000 ɩɿɞɤɢɞɚɧɶ ɦɨɧɟɬɢ ɜɢɩɚɞɭɬɶ 5000 ɚɛɨ ɛɿ-

ɥɶɲɟ «ɝɟɪɛɿɜ») ɬɚɤɿ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɜɢɝɥɹɞɚɥɢ ɞɭɠɟ ɝɪɨɦɿɡɞɤɢɦɢ.

ɇɚ ɩɨɱɚɬɤɭ XVIII ɫɬ. ɞɟ Ɇɭɚɜɪɭ (1667-1754) ɜɞɚɥɨɫɹ ɚɩɪɨɤɫɢɦɭɜɚɬɢ ɛɿɧɨ-

ɦɿɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɨɪɦɭɥɢ





)(

exp

)(

(3.57)

ɞɟ

f(x) – ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ; ȝ ɿ ı – ɫɟɪɟɞɧɽ ɿ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ. Ɏɭɧɤɰɿɹ f(x)

ɨɬɪɢɦɚɥɚ ɧɚɡɜɭ

ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ.

Ɏɭɧɤɰɿɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɱɟɪɟɡ ɳɿɥɶɧɿɫɬɶ

f

)

dttfx )()(

. (3.58)

MS Excel ɦɿɫɬɢɬɶ ɮɭɧɤɰɿɸ =ɇɈɊɆɊȺɋɉ(

x; ȝ; ı; l), ɹɤɚ ɩɨɜɟɪɬɚɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ

ɚɛɨ ɮɭɧɤɰɿʀ

ĭ(ɯ), ɚɛɨ ɮɭɧɤɰɿʀ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ f(x) ɞɥɹ ɡɚɞɚɧɢɯ ȝ ɿ ı. ɉɚɪɚɦɟɬɪ l ɜɢ-

ɡɧɚɱɚɽ ɮɨɪɦɭ ɮɭɧɤɰɿʀ: ɹɤɳɨ

l=0, =ɇɈɊɆɊȺɋɉ() ɩɨɜɟɪɬɚɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ĭ(ɯ), ɿɧ-

ɚɤɲɟ

f(x). ɇɚ ɪɢɫ. 3.42 ɩɪɢɜɟɞɟɧɨ ɮɨɪɦɭɥɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɡ ɜɢɤɨɪɢɫ-

ɬɚɧɧɹɦ ɮɭɧɤɰɿɣ MS Excel =ȻɂɇɈɆɊȺɋɉ() ɿ =ɇɈɊɆɊȺɋɉ().

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Ɋɢɫ. 3.42. Ɏɨɪɦɭɥɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ (n = 6; p = 0,5; ȝ = 3; ı = 1,22)

ɇɚ ɪɢɫ. 3.43 ɿ 3.44 ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɛɿɧɨɦɿ-

ɚɥɶɧɨɝɨ ɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɝɪɚɮɿɤɢ ɞɥɹ ɞɜɨɯ ɧɚɛɨɪɿɜ ɩɚɪɚ-

ɦɟɬɪɿɜ: ɩɟɪɲɢɣ (

n = 6; p = 0,5; ȝ = 3; ı = 1,22) ɿ ɞɪɭɝɢɣ (n = 10; p = 0,5; ȝ = 5 ɿ

ı = 1,58). Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ȝ ɿ ı ɨɬɪɢɦɚɧɨ ɡ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ.

Ɋɢɫ. 3.43. Ȼɿɧɨɦɿɚɥɶɧɢɣ ɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ (n = 6; p = 0,5; ȝ = 3; ı =1,22)

ɉɨɪɿɜɧɸɸɱɢ ɝɪɚɮɿɤɢ ɤɪɢɜɢɯ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɨɝɨ ɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ,

ɦɨɠɧɚ ɤɨɧɫɬɚɬɭɜɚɬɢ, ɳɨ ɮɭɧɤɰɿɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɰɿɥɤɨɦ ɡɚɞɨɜɿɥɶɧɨ

ɚɩɪɨɤɫɢɦɭɽ ɮɭɧɤɰɿɸ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. Ȼɿɥɶɲ ɬɨɝɨ, ɿɡ ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɹɦ

ɨɛɫɹɝɭ ɜɢɛɿɪɤɢ

n ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɡɧɚɱɟɧɶ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɿ ɛɿɧɨɦɿɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ

|

b(x)-f(x)| /n ɡɦɟɧɲɭɽɬɶɫɹ (ɞɥɹ n = 6 ɫɤɥɚɞɚɽ 0,54% ; ɞɥɹ n = 10 – 0,24%).

137

Ɋɢɫ. 3.44. Ȼɿɧɨɦɿɚɥɶɧɢɣ ɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ (n =10; p = 0,5; ȝ=5; ı = 1,58)

ɍɧɿɜɟɪɫɚɥɶɧɿɫɬɶ ɮɭɧɤɰɿʀ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɩɨɥɹɝɚɽ ɜ ɬɨ-

ɦɭ, ɳɨ ɜɨɧɚ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽ ɭ ɹɤɨɫɬɿ ɫɜɨʀɯ ɚɪɝɭɦɟɧɬɿɜ ɨɞɧɿ ɡ ɨɫɧɨɜɧɢɯ ɯɚɪɚɤɬɟ-

ɪɢɫɬɢɤ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ – ɫɟɪɟɞɧɽ

ȝ ɿ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ı, ɚ ɬɚɤɨɠ «ɩɪɚɰɸɽ»

ɿ ɞɥɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɢɯ, ɿ ɞɥɹ ɧɟɩɟɪɟɪɜɧɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ.

Ɏɨɪɦɭɥɚ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ (3.56) ɡɚɞɚɽ ɥɢɲɟ ɞɟɹɤɭ ɬɢɩɨ-

ɜɭ ɮɨɪɦɭ ɝɪɚɮɿɤɚ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɢɦɟɬɪɢɱɧɨɝɨ «ɞɡɜɨɧɭ», ɜɿɞɨɦɨɝɨ ɩɿɞ ɧɚɡɜɨɸ

ɧɨ-

ɪɦɚɥɶɧɨʀ ɤɪɢɜɨʀ

. Ɇɿɧɹɸɱɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ȝ ɿ ı, ɦɨɠɧɚ ɡɪɭɲɭɜɚɬɢ ɤɨɧɤɪɟɬɧɭ ɧɨɪ-

ɦɚɥɶɧɭ ɤɪɢɜɭ ɜɡɞɨɜɠ ɱɢɫɥɨɜɨʀ ɨɫɿ ɨɪɞɢɧɚɬ ɿ ɦɿɧɹɬɢ ʀʀ ɪɨɡɦɚɯ .

ɇɚ ɪɢɫ. 3.45 ɝɪɚɮɿɤɢ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɩɨɛɭɞɨɜɚɧɨ ɞɥɹ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ,

ɹɤɿ ɦɚɸɬɶ ɪɿɡɧɿ ɫɟɪɟɞɧɿ ȝ ɿ ɪɿɡɧɿ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɿ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ı. ɉɪɨɩɨɧɭɽɦɨ ɩɪɨ-

ɚɧɚɥɿɡɭɜɚɬɢ ɫɯɨɠɿɫɬɶ ɿ ɪɿɡɧɢɰɸ ɰɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ.

138

Ɋɢɫ. 3.45. ɋɿɦ'ɹ ɝɪɚɮɿɤɿɜ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ

ɉɨɩɭɥɹɪɧɿɫɬɶ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɨɛʉɪɭɧɬɨɜɚɧɨ ɜɢɫɧɨɜɤɚɦɢ ɰɟɧɬɪɚ-

ɥɶɧɨʀ ɝɪɚɧɢɱɧɨʀ ɬɟɨɪɟɦɢ, ɨɫɤɿɥɶɤɢ ɜ ɩɪɢɪɨɞɿ, ɫɨɰɿɚɥɶɧɿɣ, ɩɟɞɚɝɨɝɿɱɧɿɣ ɫɮɟɪɚɯ

ɿ ɫɢɬɭɚɰɿɹɯ ɛɚɝɚɬɨ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɽ ɫɭɦɚɦɢ ɞɟɤɿɥɶɤɨɯ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɮɚɤ-

ɬɨɪɿɜ. ɋɟɪɟɞ ɫɿɦɟɣɫɬɜɚ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɨɫɨɛɥɢɜɟ ɦɿɫɰɟ ɡɚɣɦɚɽ ɪɨɡɩɨ-

ɞɿɥ, ɹɤɢɣ ɦɚɽ ɧɭɥɶɨɜɟ ɫɟɪɟɞɧɽ ȝ = 0 ɿ ɨɞɢɧɢɱɧɟ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ı = 1

}

exp{

)(

zf 

(3.59)

Ƚɪɚɮɿɤ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ

ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɢɦ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɦ ɪɨɡ-

ɩɨɞɿɥɨɦ

. Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɿ ɮɭɧɤɰɿʀ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ f(z), ɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ĭ(z) ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɚ

ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɚɛɨ ɫɩɟɰɿɚɥɶɧɢɯ ɬɚɛɥɢɰɶ

, ɚɛɨ ɤɨɦɩ’ɸɬɟɪɧɢɯ ɩɪɨɝɪɚɦ, ɡɨɤɪɟɦɚ,

ɮɭɧɤɰɿɣ MS Excel =ɇɈɊɆɊȺɋɉ() ɿ =ɇɈɊɆɋɌɊȺɋɉ() (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 3.46).

ɋɬɚɧɞɚɪɬɧɨɦɭ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɨɜɿ ɩɪɢɬɚɦɚɧɧɿ ɬɚɤɿ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ:

x ɩɥɨɳɚ, ɹɤɚ ɦɚɽ ɫɟɧɫ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɩɿɞ ɝɪɚɮɿɤɨɦ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ, ɞɨɪɿɜɧɸɽ 1;

x ɤɪɢɜɚ ɝɪɚɮɿɤɭ ɧɟ ɩɟɪɟɬɢɧɚɽ ɜɿɫɶ z ɯɨɱɚ ɿ ɧɚɛɥɢɠɚɽɬɶɫɹ ɞɨ ɧɟʀ ɭ ɦɿɪɭ ɬɨ-

ɝɨ, ɹɤ

z ɫɬɚɽ ɛɿɥɶɲɟ ɬɪɶɨɯ, ɚɥɟ ɧɿɤɨɥɢ ʀʀ ɧɟ ɬɨɪɤɚɽɬɶɫɹ;

x ɧɚɣɜɢɳɚ ɬɨɱɤɚ ɤɪɢɜɨʀ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ 0,3989 ɪɨɡɬɚɲɨɜɚɧɚ ɧɚɞ ɧɭ-

ɥɶɨɜɢɦ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ

z ;

Ȼɨɥɶɲɟɜ Ʌ.ɇ., ɋɦɢɪɧɨɜ ɇ.ȼ. Ɍɚɛɥɢɰɵ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ. – Ɇ.: ɇɚɭɤɚ,

1965 (1-ɟ ɢɡɞ.), 1968 (2-ɟ ɢɡɞ.), 1983 (3-ɟ ɢɡɞ.).

139

Ɋɢɫ. 3.46. Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɿ ɝɪɚɮɿɤɢ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɝɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ

x ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɚ ɧɨɪɦɚɥɶɧɚ ɤɪɢɜɚ ɡɚɜɠɞɢ ɛɭɞɟ ɫɢɦɟɬɪɢɱɧɨɸ ɳɨɞɨ ɜɟɪɬɢɤɚ-

ɥɿ, ɩɪɨɜɟɞɟɧɨʀ ɱɟɪɟɡ

z = 0, ʀʀ ɚɫɢɦɟɬɪɿɹ ɿ ɟɤɫɰɟɫ ɞɨɪɿɜɧɸɸɬɶ ɧɭɥɸ;

x ɜɫɹɤɭ ɿɧɲɭ ɧɨɪɦɚɥɶɧɭ ɤɪɢɜɭ ɦɨɠɧɚ ɫɭɦɿɫɬɢɬɢ ɿɡ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɸ ɡɚ ɞɨɩɨ-

ɦɨɝɨɸ ɨɩɟɪɚɰɿʀ

ɧɨɪɦɚɥɿɡɚɰɿʀ (ɩɟɪɟɯɿɞ ɜɿɞ ɡɦɿɧɧɨʀ ɯ ɞɨ z ɞɢɜ. ɪɨɡɞɿɥ 2.2 )



; (3.60)

x ɹɤɳɨ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ X

ɿ X

ɦɚɸɬɶ ɮɭɧɤɰɿʀ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿ-

ɥɭ

N(ȝ

; ı

) ɿ N(ȝ

; ı

) ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ, ɬɨ ɜɢɩɚɞɤɨɜɚ ɜɟɥɢɱɢɧɚ (X

+ X

)

ɦɚɽ ɧɨɪ-

ɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ

);(

121

VVPP

N

;

x ɹɤɳɨ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ X

, X

, ..., X

ɽ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɦɢ ɿ ɦɚɸɬɶ ɨɞɢɧ ɬɨɣ

ɫɚɦɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ

N(ȝ; ı), ɬɨ ʀɯɧɽ ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ

XXX



ɦɚɽ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ

)/;( nN

əɤ ɜɿɞɨɦɨ, ɩɥɨɳɚ ɩɿɞ ɤɪɢɜɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɦɚɽ ɫɟɧɫ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ. Ɂɚ-

140

ɝɚɥɶɧɚ ɩɥɨɳɚ ɩɿɞ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɸ ɤɪɢɜɨɸ, ɞɟ ɚɛɫɰɢɫɚ z ɡɦɿɧɸɽɬɶɫɹ ɜɿɞ

f

ɞɨ

f , ɞɨɪɿɜɧɸɽ 1. Ⱥ ɰɟ ɡɧɚɱɢɬɶ, ɳɨ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɪ ɬɨɝɨ, ɳɨ z ɛɭɞɭɬɶ ɩɪɢɣɦɚɬɢ

ɛɭɞɶ ɹɤɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ (ɜɿɞ

f

ɞɨ

f

), ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ 1 (ɚɛɨ 100%).

Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ z ɩɪɢɣɦɚɬɢɦɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɿɞ z

ɞɨ z

, ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ

ɡɧɚɱɟɧɧɸ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨʀ

ɩɥɨɳɿ ɩɿɞ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɸ ɤɪɢɜɨɸ, ɨɛɦɟɠɟɧɭ ɡ ɛɨɤɿɜ ɰɢɦɢ

ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ. Ⱦɥɹ ɧɨɪɦɨɜɚɧɨʀ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨʀ ɤɪɢɜɨʀ (ɞɟ

ı =1) ɡɧɚɱɟɧɧɹ z ɦɨɠɧɚ

ɡɚɩɢɫɭɜɚɬɢ ɜ ɨɞɢɧɢɰɹɯ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɝɨ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ

ı, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ «z ɡɦɿɧɸɽɬɶɫɹ

ɜɿɞ –1

ı ɞɨ +1ı», ɚɛɨ «z ɡɦɿɧɸɽɬɶɫɹ ɜɿɞ –1 ɞɨ +1».

Ⱦɥɹ ɡɧɚɱɟɧɶ

z ɜɿɞ –1ı ɞɨ +1ı ɩɥɨɳɚ (ɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɪɢɣɦɚɬɢ

ɡɧɚɱɟɧɧɹ

ȝ ± ı) ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ 0,683 (ɚɛɨ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ 68,3%).

Ⱦɥɹ ɡɧɚɱɟɧɶ

z ɜɿɞ –2ı ɞɨ +2ı ɩɥɨɳɚ (ɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɪɢɣɦɚɬɢ

ɡɧɚɱɟɧɧɹ

ȝ ± 2ı) ɞɨɪɿɜɧɸɽ 0,954 (ɚɛɨ 95,4%).

Ⱦɥɹ ɡɧɚɱɟɧɶ

z ɜɿɞ –3ı ɞɨ +3ı ɩɥɨɳɚ (ɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ) ɞɨɪɿɜɧɸɽ

0,997 (ɚɛɨ 99,7%). ɋɥɿɞ ɡɜɟɪɧɭɬɢ ɭɜɚɝɭ ɧɚ ɬɟ, ɳɨ 99,7% ɡɧɚɱɟɧɶ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ

(ɬɨɛɬɨ ɩɪɚɤɬɢɱɧɨ ɜɫɿ ʀʀ ɡɧɚɱɟɧɧɹ) ɡɧɚɯɨɞɹɬɶɫɹ ɜ ɦɟɠɚɯ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ

ȝ ± 3ı. ɐɟɣ

ɮɚɤɬ ɨɬɪɢɦɚɜ ɫɜɨɽɪɿɞɧɭ ɧɚɡɜɭ «

ɡɚɤɨɧ ɬɪɶɨɯ ɫɢɝɦ».

əɤ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɡ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹɦ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡ-

ɩɨɞɿɥɭ? ɉɨɪɹɞ ɡ ɤɥɚɫɢɱɧɢɦɢ ɮɨɪɦɭɥɚɦɢ, ɹɤɿ ɜɢɝɥɹɞɚɸɬɶ ɡɚɧɚɞɬɨ ɝɪɨɦɿɡɞɤɢ-

ɦɢ ɿ ɞɭɠɟ ɧɟɡɪɭɱɧɢɦɢ, ɿɫɧɭɸɬɶ ɫɩɟɰɿɚɥɶɧɨ ɪɨɡɪɚɯɨɜɚɧɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɬɚɛɥɢɰɿ.

ɉɪɨɬɟ ɧɚɣɩɨɬɭɠɧɿɲɢɦ ɫɩɨɫɨɛɨɦ ɜɜɚɠɚɸɬɶɫɹ ɤɨɦɩ’ɸɬɟɪɧɿ ɡɚɫɨɛɢ.

ɓɨɛ ɩɿɞɪɚɯɭɜɚɬɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ (ɩɥɨɳɭ), ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ ɡɧɚɱɟɧɶ

z ɜɿɞ –1ı

ɞɨ +1

ı , ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɜɢɤɨɧɚɬɢ 3 ɞɿʀ:

x ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɪ

ɞɥɹ z ɜɿɞ

f

ɞɨ –1ı ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ

=ɇɈɊɆɊȺɋɉ(–1;

0; 1; 1), ɹɤɚ ɩɨɜɟɪɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ 15,866%;

x ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɪ

ɞɥɹ z ɜɿɞ f ɞɨ +1ı ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ

=ɇɈɊɆɊȺɋɉ(+1;

0; 1; 1), ɹɤɚ ɩɨɜɟɪɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ 84,134%;

x ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɪ = ɪ

– ɪ

= 84,134% – 15,866% = 68,269% § 68,3%..

ȼ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɰɿ ɱɚɫɬɨ ɜɢɧɢɤɚɽ ɧɟɨɛɯɿɞɧɿɫɬɶ ɜɢɪɿɲɭɜɚɬɢ ɡɜɨɪɨɬ-

ɧɿ ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɬɢɩɭ: «ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ

z, ɹɤɨɦɭ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɩɟɜɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɪ». ɇɚɩɪɢ-

ɤɥɚɞ, ɞɥɹ ɹɤɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ

z, ɩɨɱɢɧɚɸɱɢ ɜɿɞ –, ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɫɤɥɚɞɚɬɢɦɟ 5%?