Руденко В.М. Математична статистика

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ɦɨɠɧɚ ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɩɟɪɲɨʀ ɿ ɞɪɭɝɨʀ ɩɨɯɿɞɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ ɡɚ ɭɦɨɜ ɦɨ-

ɧɨɬɨɧɧɨɫɬɿ ɮɭɧɤɰɿʀ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɧɚ ɩɟɜɧɨɦɭ ɩɪɨɦɿɠɤɭ [a, b].

ȿɦɩɿɪɢɱɧɢɦ ɚɧɚɥɨɝɨɦ Ɇɨ[X] ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ X ɽ ɜɢɛɿɪɤɨɜɚ ɦɨɞɚ Ɇɨ

– ɹɤ ɜɚɪɿɚɧɬɚ, ɹɤɚ ɧɚɣɱɚɫɬɿɲɟ ɡɭɫɬɪɿɱɚɽɬɶɫɹ ɭ ɜɢɛɿɪɰɿ.

Ɋɢɫ. 3.24. Ɇɨɞɚ

Ɇɨ[X] ɽ ɦɚɤɫɢɦɭɦ ɳɿɥɶ

ɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ

Ɋɢɫ. 3.25. Ɇɟɞɿɚɧɚ

Ɇd[X] ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ

ɡɚ ɭɦɨɜ

Ɋ(ɏ Ɇd[X]) = Ɋ(ɏɆd[X])

Ɉɡɧɚɱɟɧɧɹ. Ɇɟɞɿɚɧɨɸ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ X ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɬɚɤɟ ʀʀ ɡɧɚɱɟɧɧɹ

Ɇd[X], ɩɪɢ ɹɤɨɦɭ ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ ɭɦɨɜɚ ɨɞɧɚɤɨɜɢɯ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɩɪɢɣɦɚɬɢ

ɡɦɿɧɧɨɸ ɏ ɡɧɚɱɟɧɧɹ, ɧɟ ɜɢɳɟ ɡɚ Ɇd[X] ɿ ɧɟ ɧɢɠɱɟ Ɇd[X], ɬɨɛɬɨ

Ɋ( ɏ Ɇd[X] ) = Ɋ( ɏ Ɇd[X] ).

Ɂɝɿɞɧɨ ɡ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɧɨɸ ɿɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɿɽɸ ɦɟɞɿɚɧɚ Ɇd[X] – ɰɟ ɬɨɱɤɚ ɧɚ ɚɛɫ-

ɰɢɫɿ, ɱɟɪɟɡ ɹɤɭ ɩɥɨɳɚ, ɳɨ ɥɟɠɢɬɶ ɩɿɞ ɝɪɚɮɿɤɨɦ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ, ɞɿɥɢɬɶɫɹ ɧɚɜɩɿɥ –

ɧɚ ɞɜɿ ɪɿɜɧɿ ɱɚɫɬɢɧɢ S

(ɪɢɫ. 3.25). ɍ ɪɚɡɿ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɛɿɪɤɨɜɨʀ ɦɟɞɿɚɧɢ

Ɇd ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɞɚɧɿ ɭɩɨɪɹɞɤɨɜɭɸɬɶɫɹ ɭ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɢɣ ɪɹɞ. Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ

ɟɥɟɦɟɧɬɭ ɰɶɨɝɨ ɪɹɞɭ ɿ ɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɜɢɛɿɪɤɨɜɨʀ ɦɟɞɿɚɧɢ (ɞɢɜ. ɪɨɡɞɿɥ 2.2).

ȼɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ:

x ɹɤɳɨ X

, X

, ..., X

– ɩɨɩɚɪɧɨ ɧɟɡɚɥɟɠɧɿ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ (ɬɨɛɬɨ X

ɧɟɡɚɥɟɠɧɿ ɞɥɹ i  j ), ɬɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɫɭɦɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɫɭɦɿ ɦɚɬɟ-

ɦɚɬɢɱɧɢɯ ɫɩɨɞɿɜɚɧɶ ɰɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ

Ɇ[X

+ X

+ … + X

] = Ɇ[X

] + Ɇ[X

] + ...+Ɇ[X

]; (3.25)

x ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɞɨɛɭɬɤɭ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ X

, ..., X

ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɞɨɛɭɬɤɨɜɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɯ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɰɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ

112

Ɇ[X

· X

· … · X

] = Ɇ[X

] · Ɇ[X

] · ... ·Ɇ[X

]; (3.26)

x ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɤɨɧɫɬɚɧɬɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɫɚɦɿɣ ɤɨɧɫɬɚɧɬɿ

M[a] = a; (3.27)

x ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɪɿɡɧɢɰɿ X– M[X] ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ

M[X– M[X]] = 0; (3.28)

x ɹɤɳɨ ɧɟɡɚɥɟɠɧɿ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ X ɿ Y ɜɢɡɧɚɱɟɧɿ ɧɚ ɬɨɦɭ ɠ ɫɚɦɨɦɭ

ɩɪɨɫɬɨɪɿ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ, a ɿ b – ɞɟɹɤɿ ɱɢɫɥɚ, ɬɨ

M[aX+bY] = aM[X] + bM[Y]. (3.29)

Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ. Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɩɨɤɚɡɭɽ, ɧɚ-

ɜɤɨɥɨ ɹɤɨʀ ɱɢɫɟɥɶɧɨʀ ɦɿɪɢ ɝɪɭɩɭɸɬɶɫɹ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ. ɉɪɨɬɟ,

ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɬɚɤɨɠ ɦɚɬɢ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɜɢɦɿɪɸɜɚɬɢ ɦɿɧɥɢɜɿɫɬɶ (ɜɚɪɿɚɬɢɜɧɿɫɬɶ) ɜɢ-

ɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɳɨɞɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ. Ɍɚɤɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ ɦɿɧ-

ɥɢɜɨɫɬɿ ɽ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɤɜɚɞɪɚɬɭ ɪɿɡɧɢɰɿ ɦɿɠ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨɸ ɜɟɥɢɱɢ-

ɧɨɸ ɬɚ ʀʀ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɦ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹɦ, ɚ ɫɚɦɟ M[(X – Ɇ[ɏ])

Ɉɡɧɚɱɟɧɧɹ. Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɽɸ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɱɢɫɥɨ

]])[[(][

XMXMXD 

, (3.30)

ɚɛɨ



][)(][ XMɯxfXD



ɇɚ ɪɢɫ.3.26 ɧɚɜɟɞɟɧɨ ɮɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ – ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨʀ

ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ f(x

) – ɚ ɬɚɤɨɠ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ: ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ Ɇ[ɏ] (ɤɨɦɿ-

ɪɤɚ ȿ9) ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ D[X] (ɤɨɦɿɪɤɚ G9).

qÔÒÓÒÑ¾ÐÒ ÓÒÔÈÑÅÖÍ ÙÊ ÒÌÑÆÚÊÑÑÅ Ì ÒÌÑÆÚÊÑÑÅÐ ÈÍÇÔ±ÒÈÒ ÉÍÕÓÊÔÕ

113

Ɋɢɫ. 3.26. Ɏɨɪɦɭɥɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ Ɇ[ɏ] ɿ D[X]

ɍ ɬɚɛɥɢɰɿ ɪɢɫ.3.27 ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿ-

ɜɚɧɧɹ Ɇ[ɏ] ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ D[X] ɡɚ ɞɚɧɢɦɢ ɩɪɢɤɥɚɞɚ 3.14, ɚ ɬɚɤɨɠ ɝɿɫɬɨɝɪɚɦɭ ɪɨɡ-

ɩɨɞɿɥɭ Ɇ[ɏ] = 4,00 (ɤɨɦɿɪɤɚ ȿ9) ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ D[X] = 1,00 (ɤɨɦɿɪɤɚ G9).

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɩɨɤɚɡɭɽ, ɳɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ

ɝɪɭɩɭɸɬɶɫɹ ɛɿɥɹ ɡɧɚɱɟɧɧɹ 4,00, ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɹɤɢɯ ɫɬɚɧɨɜɢɬɶ 50% ɜɿɞ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɤɿ-

ɥɶɤɨɫɬɿ. ɉɪɨɬɟ, ɧɚɜɤɨɥɨ ɬɚɤɨɝɨ ɠ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɦɨɠɭɬɶ ɝɪɭɩɭɜɚɬɢɫɹ ɣ ɿɧɲɿ ɞɚɧɿ.

Ɋɢɫ. 3.27. Ɍɚɛɥɢɰɹ ɿ ɝɿɫɬɨɝɪɚɦɚ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡ

Ɇ[ɏ]=4,00 ɿ D[X]=1,00

Ɂ ɪɢɫ.3.28 ɜɢɞɧɨ, ɳɨ ɞɥɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ Ɇ[ɏ] = 4,00 ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ

D[X] = 2,32 ɽ ɭɞɜɿɱɿ ɛɿɥɶɲɨɸ, ɧɿɠ ɡɚ ɞɚɧɢɦɢ ɪɢɫ. 3.27. ɉɪɨ ɡɧɚɱɧɭ ɦɿɧɥɢɜɿɫɬɶ

ɫɜɿɞɱɢɬɶ ɣ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɚ ɝɿɫɬɨɝɪɚɦɚ.

Ɋɢɫ. 3.28. Ɍɚɛɥɢɰɹ ɿ ɝɿɫɬɨɝɪɚɦɚ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡ

Ɇ[ɏ]=4,00 ɿ D[X]=2,32

ɉɪɨɩɨɧɭɽɦɨ ɩɨɪɿɜɧɹɬɢ ɬɚɛɥɢɰɿ ɿ ɝɪɚɮɿɤɢ ɪɢɫ. 3.27 ɿ 3.28 ɿ ɡɪɨɛɢɬɢ ɜɢɫɧɨɜɤɢ.

ȼɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ, ɹɤɿ ɩɨɫɬɿɣɧɨ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭ-

ɸɬɶɫɹ ɭ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɧɨ-ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɦɟɬɨɞɚɯ:

x ɹɤɳɨ ɏ – ɜɢɩɚɞɤɨɜɚ ɜɟɥɢɱɢɧɚ, ɚ ɿ b – ɞɟɹɤɿ ɱɢɫɥɚ, Y = aɏ+b, ɬɨ

114

D[aɏ+b] = a

D[X] (3.31)

(ɰɟ ɡɧɚɱɢɬɶ, ɳɨ ɱɢɫɥɨ ɚ ɹɤ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɦɚɫɲɬɚɛɭ ɫɭɬɬɽɜɨ ɜɩɥɢɜɚɽ ɧɚ ɞɢɫɩɟ-

ɪɫɿɸ, ɬɨɞɿ ɹɤ ɱɢɫɥɨ b – ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɡɫɭɜɭ ɧɚ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɧɟ ɜɩɥɢɜɚɽ);

x ɹɤɳɨ X

, X

, ..., X

– ɩɨɩɚɪɧɨ ɧɟɡɚɥɟɠɧɿ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ (ɬɨɛɬɨ X

ɧɟɡɚɥɟɠɧɿ ɞɥɹ i  j ), ɬɨ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ ɫɭɦɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɫɭɦɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ

D[X

+ X

+ … + X

] = D[X

] + D[X

] + ...+D[X

]. (3.32)

ɋɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɳɨɞɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ (3.25) ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ (3.32)

ɦɚɸɬɶ ɜɚɠɥɢɜɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɪɢ ɜɢɜɱɟɧɧɿ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ, ɨɫɤɿɥɶɤɢ ɪɟ-

ɡɭɥɶɬɚɬɢ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ ɚɛɨ ɜɢɦɿɪɿɜ ɪɨɡɝɥɹɞɚɸɬɶɫɹ ɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿɣ

ɫɬɚɬɢɫɬɢɰɿ, ɹɤ ɪɟɚɥɿɡɚɰɿʀ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ.

Ɂ ɞɢɫɩɟɪɫɿɽɸ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɬɿɫɧɨ ɡɜ'ɹɡɚɧɢɣ ɳɟ ɨɞɢɧ ɩɨɤɚɡɧɢɤ ɦɿɧ-

ɥɢɜɨɫɬɿ – ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ.

Ɉɡɧɚɱɟɧɧɹ. ɋɬɚɧɞɚɪɬɧɢɦ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹɦ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ ɧɚɡɢɜɚ-

ɽɬɶɫɹ ɧɟɜɿɞ'ɽɦɧɟ ɱɢɫɥɨ

][][ XDXSD 

. (3.33)

Ɉɬɠɟ, ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɏ ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɨ ɡɜ’ɹɡɚɧɨ ɡ ɞɢɫɩɟɪɫɿɽɸ.

ɍ ɬɟɨɪɿʀ ɬɚ ɩɪɚɤɬɢɰɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɶ ɬɚɤɨɠ ɜɚɠɥɢɜɭ ɪɨɥɶ ɜɿɞɿ-

ɝɪɚɸɬɶ ɫɩɟɰɿɚɥɶɧɿ ɮɭɧɤɰɿʀ – ɬɚɤ ɡɜɚɧɿ ɦɨɦɟɧɬɢ (ɩɨɱɚɬɤɨɜɿ ɿ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɿ), ɹɤɿ

ɽ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɚɦɢ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ.

Ɉɡɧɚɱɟɧɧɹ. ɉɨɱɚɬɤɨɜɢɦ ɦɨɦɟɧɬɨɦ k-ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ

ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ k-ʀ ɫɬɟɩɟɧɿ ɰɿɽʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ:

][

XMv

(3.34)

Ɉɡɧɚɱɟɧɧɹ. ɐɟɧɬɪɚɥɶɧɢɦ ɦɨɦɟɧɬɨɦ k-ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ

ɏ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ k-ʀ ɫɬɟɩɟɧɿ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɰɿɽʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ

ɜɿɞ ɣɨɝɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ:

XMXMm )(



, (3.35)

ɚɛɨ

aXMm ][



, ɞɟ

][XMa

Ⱦɥɹ ɩɨɡɧɚɱɟɧɧɹ ɦɨɦɟɬɧɿɜ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɦɨ ɬɿ ɠ ɫɚɦɿ ɥɿɬɟɪɢ, ɳɨ ɿ

ɞɥɹ ɦɨɦɟɬɧɿɜ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɨɝɨ ɪɹɞɭ, ɚɥɟ ɡ ɞɨɞɚɬɤɨɜɢɦ ɡɧɚɤɨɦ ˜ («ɬɿɥɶɞɚ»).

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Ɏɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɦɨɦɟɧɬɿɜ ɞɢɫɤɪɟɬɧɢɯ (ɹɤɿ ɩɪɢɣɦɚɸɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ

ɡ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ ɪ

) ɿ ɧɟɩɟɪɟɪɜɧɢɯ (ɡɿ ɳɿɥɶɧɿɫɬɸ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ f(ɯ)) ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ

ɜɟɥɢɱɢɧ ɧɚɜɟɞɟɧɨ ɭ ɬɚɛɥ. 3.4.

Ɍɚɛɥɢɰɹ 3.4

Ɏɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɦɨɦɟɧɬɿɜ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ

ȼɢɩɚɞɤɨɜɚ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ

Ɇɨɦɟɧɬ

Ⱦɢɫɤɪɟɬɧɚ ɇɟɩɟɪɟɪɜɧɚ

ɉɨɱɚɬɤɨɜɢɣ

pxv

f

f

dxxfxv

)(

ɐɟɧɬɪɚɥɶɧɢɣ



paxm

)(

f

f

 dxxfaxm

)()(

əɤ ɿ ɞɥɹ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɢɯ ɪɹɞɤɿɜ ɦɨɦɟɧɬɢ ɞɢɫɤɪɟɬɧɢɯ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɦɚ-

ɸɬɶ ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɢɣ ɫɟɧɫ:

ɉɟɪɲɢɣ ɩɨɱɚɬɤɨɜɢɣ ɦɨɦɟɧɬ (k=1) ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ ɽ ʀʀ ɦɚɬɟɦɚ-

ɬɢɱɧɢɦ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹɦ:

][

XMv

. (3.36)

Ⱦɪɭɝɢɣ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɣ ɦɨɦɟɧɬ (k=2) ɜɢɡɧɚɱɚɽ ɞɢɫɩɟɪɫɿɸ D[X] ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ

ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ:

][)(



XDpaxm

. (3.37)

Ɍɪɟɬɿɣ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɣ ɦɨɦɟɧɬ (k=3) ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɽ ɚɫɢɦɟɬɪɿɸ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢ-

ɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ:



paxm

)(

Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ Ⱥ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ:

Apax



)(

. (3.38)

ɑɟɬɜɟɪɬɢɣ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɣ ɦɨɦɟɧɬ (k=4) ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɽ ɤɪɭɬɿɫɬɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ

ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ.

116



paxm

)(

Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬɨɦ ɟɤɫɰɟɫɭ ȿ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɱɢɫɥɨ:

Epax



 

3)(

. (3.39)

ɇɚ ɨɫɧɨɜɿ ɩɨɪɿɜɧɹɧɧɹ ɡɧɚɱɟɧɶ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɯ ɿ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɦɨɦɟɧɬɿɜ ɜɢɤɨɧɭ-

ɽɬɶɫɹ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ (ɞɢɜ., ɧɚɩɪɢ-

ɤɥɚɞ, ɪɨɡɞɿɥɢ 4 ɿ 5).

əɤ ɜɿɞɡɧɚɱɚɥɨɫɹ ɜɢɳɟ, ɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɰɿ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶɫɹ ɞɜɚ

ɩɚɪɚɥɟɥɶɧɢɯ ɪɹɞɤɚ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ: ɩɟɪɲɢɣ – ɦɚɽ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɞɨ ɩɪɚɤɬɢɤɢ (ɰɟ ɩɨ-

ɤɚɡɧɢɤɢ ɜɢɛɿɪɤɢ), ɞɪɭɝɢɣ – ɛɚɡɭɽɬɶɫɹ ɧɚ ɬɟɨɪɿʀ (ɰɟ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɨʀ

ɦɨɞɟɥɿ). ɋɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɰɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɭ ɬɚɛɥ. 3.5.

Ɍɚɛɥɢɰɹ 3.5

ɋɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ ɣ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɨʀ ɦɨɞɟɥɿ

ɉɨɤɚɡɧɢɤɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ ɉɨɤɚɡɧɢɤɢ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɨʀ ɦɨɞɟɥɿ

1. ɑɚɫɬɨɬɚ ɜɿɞɧɨɫɧɚ m

/n Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɪ

2. Ɏɭɧɤɰɿɹ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ f

Ɏɭɧɤɰɿɹ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ f(x)

3. ȼɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ

ȼɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ

f(x)

1)(

f

f

1)( dxxf

4. Ɏɭɧɤɰɿɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ F

Ɏɭɧɤɰɿɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ F(x)

xfxF

)()(

f

dxxfxF )()(

ɋɟɪɟɞɧɽ

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ

Ɇ[X]



ɿɿ

ɯfɯXM

)(][



f

f

 dxxfxXM )(][

6. Ɇɨɞɚ Mo Ɇɨɞɚ Ɇɨ[X]

7. Ɇɟɞɿɚɧɚ Ɇd Ɇɟɞɿɚɧɚ Md[X]

117

Ɍɚɛɥɢɰɹ 3.5 ɩɪɨɞɨɜɠɟɧɧɹ

Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɹ

D[X]



][)(][ XMɯxfXD





)(

Xxf

iix



f

f



][)(][ XMɯxfXD

ɋɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ

][

][][ XDXSD

Ɉɬɠɟ, ɦɟɬɨɸ ɨɩɢɫɨɜɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɽ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ

ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɞɚɧɢɯ ɧɚ ɫɢɫɬɟɦɭ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ – ɬɚɤ ɡɜɚɧɢɯ

ɫɬɚɬɢɫɬɢɤ, ɳɨ ɦɚɸɬɶ

ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɞɨ ɪɟɚɥɶɧɨ ɿɫɧɭɸɱɢɯ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ. Ɍɚɤ, ɩɫɢɯɨɥɨɝɢ, ɩɟɞɚɝɨɝɢ, ɿɧɲɿ ɮɚ-

ɯɿɜɰɿ ɩɪɚɰɸɸɬɶ ɭ ɪɟɚɥɶɧɿɣ ɫɮɟɪɿ, ɨɛ’ɽɤɬɚɦɢ ɹɤɨʀ ɽ ɨɫɨɛɢ, ɝɪɭɩɢ ɨɫɿɛ, ɤɨɥɟɤ-

ɬɢɜɢ, ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɚɦɢ ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɫɥɭɠɚɬɶ ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ. ɉɪɨɬɟ ɨɫɧɨ-

ɜɧɚ ɦɟɬɚ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹ – ɰɟ ɡɞɨɛɭɬɬɹ ɧɨɜɨɝɨ ɡɧɚɧɧɹ, ɚ ɡɧɚɧɧɹ ɿɫɧɭɽ ɜ ɿɞɟɚɥɶɧɿɣ

ɮɨɪɦɿ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ

ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɯ ɦɨɞɟɥɟɣ. Ɂɜɿɞɫɢ ɜɢɧɢɤɚɽ ɩɪɨɛɥɟ-

ɦɚ ɤɨɪɟɤɬɧɨɝɨ ɩɟɪɟɯɨɞɭ ɜɿɞ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɪɟɚɥɶɧɢɯ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ ɞɨ ɩɨ-

ɤɚɡɧɢɤɿɜ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨʀ ɦɨɞɟɥɿ. ɐɟɣ ɩɟɪɟɯɿɞ ɩɨɬɪɟɛɭɽ ɚɧɚɥɿɡɭ ɹɤ ɡɚɝɚɥɶɧɢɯ ɦɟ-

ɬɨɞɢɱɧɢɯ ɩɿɞɯɨɞɿɜ, ɬɚɤ ɿ ɫɬɪɨɝɢɯ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɯ ɩɿɞɫɬɚɜ. ɉɪɢɧɰɢɩɨɜɭ ɦɨɠɥɢ-

ɜɿɫɬɶ ɬɭɬ ɜɿɞɤɪɢɜɚɽ ɡɚɤɨɧ ɜɟɥɢɤɢɯ ɱɢɫɟɥ, ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɟ ɨɛʉɪɭɧɬɭɜɚɧɧɹ ɹɤɨɦɭ

ɛɭɥɨ ɧɚɞɚɧɟ əɤɨɛɨɦ Ȼɟɪɧɭɥɥɿ (1654-1705), ɉɚɮɧɭɬɿɽɦ Ʌɶɜɨɜɢɱɟɦ

ɑɟɛɢɲɟɜɢɦ

(1821-1894) ɬɚ ɿɧɲɢɦɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɚɦɢ XIX ɫɬ.

Ɂɚɩɢɬɚɧɧɹ. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ.

1. Ɋɨɡɤɪɢɣɬɟ ɩɨɧɹɬɬɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ.

ɑɢɦ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɚ ɿ ɧɟɩɟɪɟɪɜɧɚ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ?

Ɂ ɹɤɢɯ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɢɣ ɩɪɨɫɬɿɪ?

əɤ ɩɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ?

5. əɤ ɡɜ’ɹɡɚɧɿ ɦɿɠ ɫɨɛɨɸ ɮɭɧɤɰɿɹ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ f(x) ɿ ɮɭɧɤɰɿɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ F(x)?

6. ɇɚɞɚɣɬɟ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɧɭ ɿɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɿɸ ɿɧɬɟɝɪɚɥɨɜɿ

1)()( f

f

f

dxxfF

118

7. Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɪɨɡɩɨɞɿɥ, ɮɭɧɤɰɿɹ ɹɤɨɝɨ

f

100

)()100( dxxfxF

= 0,50.

əɤɚ ɿɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɿɹ ɩɥɨɳɿ ɩɿɞ ɝɪɚɮɿɤɨɦ ɳɿɥɶɧɿɫɬɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡɦɿɧɧɨʀ?

əɤɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɨɦ ɿ ɳɿɥɶɧɿɫɬɸ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ?

10.

əɤ ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɡɚ ɩɪɨɰɟɧɬɢɥɟɦ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ?

11.

ɓɨ ɬɚɤɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɟ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ?

12.

ɉɨɹɫɧɿɬɶ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɫɩɨɞɿɜɚɧɧɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢ-

ɧɢ.

13.

ɋɮɨɪɦɭɥɸɣɬɟ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹ ɦɨɞɢ ɿ ɦɟɞɿɚɧɢ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ.

14.

ɋɮɨɪɦɭɥɸɣɬɟ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ.

15.

Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ.

16.

əɤɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɩɨɱɚɬɤɨɜɢɦ ɿ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɦ ɦɨɦɟɧɬɨɦ k-ɝɨ

ɩɨɪɹɞɤɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ?

17.

ɑɢɦ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɮɨɪɦɭɥɢ ɩɨɱɚɬɤɨɜɨɝɨ ɿ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨɝɨ ɦɨɦɟɧɬɿɜ ɜɢ-

ɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ?

18.

ɉɨɜɬɨɪɿɬɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɩɪɨɰɟɞɭɪɢ ɡɚɜɞɚɧɶ ɡɚ ɩɪɢɤɥɚɞɚɦɢ 3.11 – 3.15.

3.3. ɁȺɄɈɇ ȼȿɅɂɄɂɏ ɑɂɋȿɅ

ɉɨɜɬɨɪɧɿ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹ

əɜɢɳɚ ɿ ɩɪɨɰɟɫɢ, ɳɨ ɜɢɜɱɚɽ ɩɫɢɯɨɥɨɝɿɹ, – ɰɟ, ɹɤ ɩɪɚɜɢɥɨ, ɫɤɥɚɞɧɿ ɩɨɞɿʀ.

Ɍɨɦɭ ɮɨɪɦɭɜɚɧɧɹ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨʀ ɛɚɡɢ ɨɩɢɫɭ ɬɚɤɢɯ ɩɨɞɿɣ ɡɪɭɱɧɨ ɪɨɡɝɥɹɞɚɬɢ ɧɚ

ɩɪɢɤɥɚɞɿ ɩɨɜɬɨɪɧɢɯ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ. Ɍɟɫɬɭɜɚɧɧɹ ɬɚ ɿɫɩɢɬɢ ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɦɨɠɧɚ

ɜɜɚɠɚɬɢ ɩɪɢ ɞɟɹɤɢɯ ɭɦɨɜɚɯ ɩɪɢɤɥɚɞɨɦ ɬɚɤɢɯ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ.

ɤɥɚɫɢɱɧɨɝɨ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ – ɰɟ ɱɢɫɥɨ, ɞɨ ɹɤɨɝɨ ɧɚɛɥɢɠɚɽɬɶɫɹ

ɱɚɫɬɨɬɚ ɩɨɹɜɥɟɧɶ ɛɚɠɚɧɨʀ ɩɨɞɿʀ ɩɪɢ ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɿ ɧɟɡɚɥɟɠɧɨ ɜɢɤɨɧɚɧɢɯ ɜɢ-

ɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɶ. Ⱦɨ ɬɨɝɨ ɠ ɿ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ, ɿ ɱɚɫɬɨɬɚ ɜɢɪɚɠɚɸɬɶɫɹ ɜ ɞɨɥɹɯ ɨɞɢɧɢ-

ÑÒÉ ÓÍÛ¾Öß «ÌÆ±ÒÑÍ ÈÊÏÍ±ÍØ ÚÍÕÊÏ», ÐÆáÚÍ ÑÆ ¾ÈÆÌ ÒÕÑÒÈÑ ÖÊÒÔÊÐÍ (cÊ-

ÔÑ¾ÏÏ, yÊÇÍÛÊÈÆ, ÙÊÑÖÔÆÏßÑÒ

ɝÔÆÑÍÚÑÒ ÖÊÒÔÊÐÍ ÖÆ Ñ.).

119

ɰɿ, ʀɯɧɿ ɱɢɫɟɥɶɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɪɨɡɦɿɳɟɧɿ ɦɿɠ ɧɭɥɟɦ ɿ ɨɞɢɧɢɰɟɸ, ɯɨɱɚ, ɹɤ ɜɿɞɨɦɨ,

ɱɚɫɬɨɬɚ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɿ ʀʀ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɧɟ ɫɩɿɜɩɚɞɚɸɬɶ ɜ ɿɞɟɚɥɿ.

Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ, ɹɤɭ ɦɨɠɧɚ ɜɤɚɡɚɬɢ ɞɨ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ, ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ

ɚɩɪɿɨɪɧɨɸ.

ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɩɪɢ ɩɿɞɤɢɞɚɧɧɿ ɦɨɧɟɬɢ ɧɚɩɟɪɟɞ ɜɿɞɨɦɨ, ɳɨ ɜɨɧɚ ɦɨɠɟ ɜɩɚɫɬɢ

ɜɝɨɪɭ «ɝɟɪɛɨɦ» ɚɛɨ «ɰɢɮɪɨɸ». Ɍɭɬ ɦɨɠɥɢɜɿ ɥɢɲɟ ɞɜɿ ɩɨɞɿʀ, ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɹɤɢɯ

(ɹɤɳɨ ɦɨɧɟɬɚ ɿɞɟɚɥɶɧɚ) ɨɞɧɚɤɨɜɿ:

P(«ɝɟɪɛ») = P(«ɰɢɮɪɚ») = ½ = 0,5.

ȱɧɲɚ ɫɢɬɭɚɰɿɹ ɦɨɠɟ ɦɚɬɢ ɦɿɫɰɟ ɩɪɢ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɧɹɯ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɜɩɥɢɜɭ

ɧɨɜɢɯ ɩɟɞɚɝɨɝɿɱɧɢɯ ɬɟɯɧɨɥɨɝɿɣ ɚɛɨ ɩɫɢɯɨɥɨɝɿɱɧɢɯ ɦɟɬɨɞɢɤ ɧɚ ɨɤɪɟɦɢɯ ɨɫɿɛ

(ɲɤɨɥɹɪɿɜ, ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɬɨɳɨ) ɚɛɨ ɧɚ ɜɟɫɶ ɤɨɥɟɤɬɢɜ. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɬɚɤɢɯ ɜɢɩɪɨɛɭ-

ɜɚɧɶ ɩɟɪɟɞɛɚɱɢɬɢ ɧɚɩɟɪɟɞ ɧɟɦɨɠɥɢɜɨ. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɡɞɿɣɫɧɟɧɧɹ ɬɚ-

ɤɢɯ ɩɨɞɿɣ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɜɫɬɚɧɨɜɥɟɧɚ ɬɿɥɶɤɢ ɧɚ ɩɿɞɫɬɚɜɿ ɞɨɫɥɿɞɭ, ɬɨɛɬɨ

ɚɩɨɫɬɟɪɿɨɪɿ.

Ⱦɥɹ ɩɪɚɤɬɢɤɢ ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɧɧɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɚɩɚɪɚɬɭ ɬɟɨɪɿʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ

ɜɚɠɥɢɜɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɦɚɽ ɜɿɞɩɨɜɿɞɶ ɧɚ ɩɢɬɚɧɧɹ ɩɪɨ ɬɟ

, ɱɢ ɫɩɿɜɩɚɞɚɸɬɶ ɚɩɪɿɨɪɧɿ

(ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɿ)

ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɡɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɦɢ (ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɦɢ) ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɹɦɢ,

ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɦɢ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ

ɱɚɫɬɨɬ? ȱ ɹɤɳɨ ɬɚɤ, ɬɨ ɩɪɢ ɹɤɢɯ ɭɦɨɜɚɯ?

Ⱦɚɸɱɢ ɩɪɢɧɰɢɩɨɜɨ ɩɨɡɢɬɢɜɧɭ ɜɿɞɩɨɜɿɞɶ ɧɚ ɰɟ ɩɢɬɚɧɧɹ, ɱɢɫɥɟɧɧɿ ɞɨɫɥɿɞɢ ɿ

ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɧɹ ɩɨɤɚɡɚɥɢ, ɳɨ

ɱɚɫɬɨɬɢ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɩɨɞɿɣ ɬɢɩɭ

ɧɚɛɥɢɠɚ-

ɸɬɶɫɹ ɞɨ ʀɯɧɿɯ

ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ p ɭ ɦɿɪɭ ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɹ ɱɢɫɥɚ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ ɩ. ɇɚ-

ɩɪɢɤɥɚɞ, ɹɤɳɨ ɨɞɧɭ ɣ ɬɭ ɠ ɦɨɧɟɬɭ ɩɿɞɤɢɞɚɬɢ ɜɟɥɢɤɭ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɪɚɡɿɜ, ɬɨ ɜ ɹɤɨ-

ɦɭɫɶ ɱɢɫɥɿ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ ɜɢɩɚɞɟ «ɝɟɪɛ», ɚ ɜ ɿɧɲɢɯ ɜɢɩɚɞɟ «ɰɢɮɪɚ». ɉɪɢɦɿɬɧɨ

ɬɟ, ɳɨ ɱɢɦ ɛɿɥɶɲɟ ɡɞɿɣɫɧɟɧɨ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ, ɬɢɦ

ɟɦɩɿɪɢɱɧɚ ɱɚɫɬɨɬɚ ɩɨɞɿʀ ɫɬɚɽ

ɛɥɢɠɱɨɸ ɞɨ ʀʀ

ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ (ɞɥɹ ɿɞɟɚɥɶɧɨʀ ɦɨɧɟɬɢ ɪ=0,5).

ȱɫɧɭɸɬɶ ɿ ɩɪɹɦɿ ɟɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɿ ɩɿɞɬɜɟɪɞɠɟɧɧɹ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɱɚɫɬɨɬɚ ɡɞɿɣɫ-

ɧɟɧɧɹ ɞɟɹɤɢɯ ɩɨɞɿɣ ɛɥɢɡɶɤɚ ɞɨ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ, ɜɢɡɧɚɱɟɧɨʀ ɡ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɯ ɦɿɪɤɭ-

ɜɚɧɶ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ ɡ ɩɿɞɤɢɞɚɧɧɹɦ ɦɨɧɟɬɢ (ɬɚɛɥ. 3.6).

Ɂ ɬɚɛɥ. 3.6 ɜɢɞɧɨ, ɳɨ ɩɪɢ ɡɛɿɥɶɲɟɧɿ ɱɢɫɥɚ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ

n ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɱɚɫ-

ɬɨɬɢ

ɩɨɞɿʀ ɜɿɞ ʀʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ p

 ɡɦɟɧɲɭɽɬɶɫɹ. ɍ ɰɶɨɦɭ ɮɚɤɬɿ ɽ ɩɪɨɹɜ ɞɿʀ

ɬɚɤ ɡɜɚɧɨɝɨ

ɡɚɤɨɧɭ ɜɟɥɢɤɢɯ ɱɢɫɟɥ: ɜɢɛɿɪɤɨɜɿ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɩɪɢ ɡɪɨɫɬɚɧɧɿ

120

ɱɢɫɥɚ ɞɨɫɥɿɞɿɜ ɧɚɛɥɢɠɚɸɬɶɫɹ ɞɨ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɯ, ɚ ɰɟ ɞɚɽ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɨɰɿɧɸɜɚ-

ɬɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɢɯ ɦɨɞɟɥɟɣ ɡɚ ɞɚɧɢɦ ɞɨɫɥɿɞɿɜ.

Ɍɚɛɥɢɰɹ 3.6

Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ

ɑɢɫɥɨ

ɜɢɩɪɨɛɭ-

ɜɚɧɶ

ɑɢɫɥɨ

ɩɨɞɿɣ

ɜɢɩɚɞɚɧɧɹ

«ɝɟɪɛɨɦ»

ɑɚɫɬɨɬɚ

ɩɨɞɿʀ

Ɍɟɨɪɟɬɢɱɧɚ

ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ

ɩɨɞɿʀ

ȼɿɞɯɢɥɟɧɧɹ

ɱɚɫɬɨɬɢ ɜɿɞ

ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ

ɏɬɨ ɩɪɨɜɨɞɢɜ

ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹ

n m



Ȼɸɮɮɨɧ 4 040 2 048 0,5069 0,5000 0,0069

ɉɿɪɫɨɧ:

ɩɟɪɲɟ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹ

12 000 6 019 0,5016 0,5000 0,0016

ɉɿɪɫɨɧ:

ɞɪɭɝɟ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹ

24 000 12 012 0,5005 0,5000 0,0005

Ɂɚɤɨɧ ɜɟɥɢɤɢɯ ɱɢɫɟɥ ɧɨɫɢɬɶ ɨɛ'ɽɤɬɢɜɧɢɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪ ɿ ɦɚɽ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɭ ɟɦɩɿ-

ɪɢɱɧɭ ɛɚɡɭ. ȼɢɫɧɨɜɤɢ ɡɚɤɨɧɭ ɩɿɞɬɜɟɪɞɠɭɸɬɶ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɨɫɥɿɞɢ Ʉɟɬɥɟ: ɜ

ɭɪɧɭ ɩɨɦɿɳɚɥɢ 20 ɛɿɥɢɯ ɿ 20 ɱɨɪɧɢɯ ɤɭɥɶ, ɩɨɬɿɦ ɜɢɬɹɝɭɜɚɥɢ ɡ ɧɟʀ ɧɚɜɦɚɧɧɹ

ɨɞɧɭ ɤɭɥɸ, ɪɟɽɫɬɪɭɜɚɥɢ ʀʀ ɤɨɥɿɪ ɿ ɩɨɜɟɪɬɚɥɢ ɤɭɥɸ ɧɚɡɚɞ. Ʉɨɠɧɟ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹ

ɩɨɜɬɨɪɸɜɚɥɢ ɛɚɝɚɬɨ ɪɚɡɿɜ. Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɹɜɢ ɛɿɥɨʀ ɚɛɨ ɱɨɪɧɨʀ

ɤɭɥɿ ɡɚɥɢɲɚɥɚ-

ɫɹ ɩɪɢ ɰɶɨɦɭ ɩɨɫɬɿɣɧɨɸ, ɪɿɜɧɨɸ 1/2 (ɞɢɜ. ɬɚɛɥ. 3.7).

Ɍɚɛɥɢɰɹ 3.7

Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɞɨɫɥɿɞɿɜ Ʉɟɬɥɟ

Ɂ ɧɢɯ ɨɩɢɧɢɥɨɫɹ ɑɢɫɥɨ

ɜɢɣɧɹɬɢɯ ɤɭɥɶ

ɛɿɥɢɯ ɱɨɪɧɢɯ

ɋɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ

ɛɿɥɢɯ ɿ ɱɨɪɧɢɯ ɤɭɥɶ

4 1 3 0,33

16 8 8 1,00

64 28 36 0,78

256 125 131 0,95

1022 526 496 1,06

4096 2066 2030 1,02

Ɂ ɬɚɛɥ. 3.7 ɜɢɞɧɨ, ɹɤ ɿɡ ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɹɦ ɱɢɫɥɚ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ

ɛɿɥɢɯ ɿ ɱɨɪɧɢɯ ɤɭɥɶ ɧɚɛɥɢɠɚɽɬɶɫɹ ɞɨ ɨɞɢɧɢɰɿ.