Руденко В.М. Математична статистика

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ȿɥɟɦɟɧɬɢ ɤɨɦɛɿɧɚɬɨɪɢɤɢ

Ⱦɥɹ ɪɿɲɟɧɧɹ ɡɚɜɞɚɧɶ ɬɟɨɪɿʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɜɚɠ-

ɥɢɜɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɦɚɸɬɶ ɬɚɤɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɩɨɧɹɬɬɹ ɤɨɦɛɿɧɚɬɨɪɢɤɢ, ɹɤ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨ-

ɜɤɚ, ɪɨɡɦɿɳɟɧɧɹ ɿ ɤɨɦɛɿɧɚɰɿɹ.

ɉɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɨɸ ɡ m ɪɿɡɧɢɯ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɬɚɤɢɣ ɨɛ’ɽɤɬ, ɹɤɢɣ ɫɤɥɚ-

ɞɚɽɬɶɫɹ ɡ ɰɢɯ ɫɚɦɢɯ m ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ. Ʉɿɥɶɤɿɫɬɶ P

ɬɚɤɢɯ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ-ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ,

ɹɤɿ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɨɞɢɧ ɜɿɞ ɨɞɧɨɝɨ ɥɢɲɟ ɦɿɫɰɟɦ ɪɨɡɬɚɲɭɜɚɧɧɹ ɫɜɨʀɯ ɟɥɟɦɟɧ-

ɬɿɜ, ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɽɬɶɫɹ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ:

!mP

, (3.10)

ɞɟ m!=1·2·3·…·m – ɮɚɤɬɨɪɿɚɥ ɱɢɫɥɚ m (ɩɪɨɬɟ 0!=1).

ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ ɬɪɶɨɯ ɨɛ'ɽɤɬɿɜ a, b, c (m =3) ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɞɨɪɿ-

ɜɧɸɽ 3!=1·2·3=6, ɚ ɫɚɦɟ ɬɚɤɿ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ:

a b c ; a c b ; b a c ; b c a ; c a b ; c b a .

Ɋɨɡɦɿɳɟɧɧɹɦ ɡ n ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ ɩɨ m ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɬɚɤɢɣ ɨɛ’ɽɤɬ, ɹɤɢɣ ɫɤɥɚɞɚ-

ɽɬɶɫɹ ɡ m ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ, ɜɢɛɪɚɧɢɯ ɡ n ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ. ɉɪɢɱɨɦɭ ɪɨɡɦɿɳɟɧɧɹ ɡ ɨɞɧɚɤɨ-

ɜɢɯ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ, ɚɥɟ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɦɿɫɰɹɦɢ ʀɯ ɪɨɡɬɚɲɭɜɚɧɧɹ, ɜɜɚɠɚɸɬɶɫɹ ɪɿɡɧɢɦɢ.

Ʉɿɥɶɤɿɫɬɶ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ-ɪɨɡɦɿɳɟɧɶ A

ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɽɬɶɫɹ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ:

)1()2)(1(  mnnnnA

ɚɛɨ

)!(



. (3.11)

ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ ɬɪɶɨɯ ɨɛ'ɽɤɬɿɜ a, b, c (n=3) ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɪɨɡɦɿɳɟɧɶ ɩɨ ɞɜɚ

ɨɛ'ɽɤɬɢ (m=2) ɛɭɞɟ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢ 623

 A , ɚ ɫɚɦɟ ɬɚɤɿ ɪɨɡɦɿɳɟɧɧɹ:

a b ; b a ; a c ; c a ; b c ; c b.

Ʉɨɦɛɿɧɚɰɿɽɸ ɡ n ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ ɩɨ m ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɬɚɤɢɣ ɨɛ’ɽɤɬ, ɹɤɢɣ ɫɤɥɚɞɚɽɬɶ-

ɫɹ ɡ m ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ, ɜɢɛɪɚɧɢɯ ɡ n ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ. ɉɪɨɬɟ ɨɛ’ɽɤɬɢ-ɤɨɦɛɿɧɚɰɿʀ ɜɿɞɪɿɡɧɹ-

ɸɬɶɫɹ ɦɿɠ ɫɨɛɨɸ ɯɨɱɚ ɛ ɨɞɧɢɦ ɟɥɟɦɟɧɬɨɦ. Ʉɿɥɶɤɿɫɬɶ ɬɚɤɢɯ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ ɋ

ɪɨɡ-

ɪɚɯɨɜɭɽɬɶɫɹ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ:

)!(!

mnm



ɚɛɨ

)1()2)(1(

mnnnn



. (3.12)

ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ ɬɪɶɨɯ ɨɛ'ɽɤɬɿɜ a, b, c (n=3) ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɤɨɦɛɿɧɚɰɿɣ ɩɨ ɞɜɚ

ɨɛ'ɽɤɬɢ (m=2) ɛɭɞɟ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢ:

121

321

)!23(!2





, ɚ ɫɚɦɟ: a b ; a c ; b c .

Ɉɬɠɟ, ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɋ

(ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɤɨɦɛɿɧɚɰɿɣ ɡ n ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ ɩɨ m) ɦɟɧɲɟ ɡɚ

(ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɪɨɡɦɿɳɟɧɶ ɡ n ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ ɩɨ m) ɭ P

ɪɚɡɿɜ, ɬɨɛɬɨ ɦɿɠ ɩɨɧɹɬɬɹɦɢ

ɤɨɦɛɿɧɚɬɨɪɢɤɢ ɿɫɧɭɽ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ:

. (3.13)

ɉɪɢɤɥɚɞ 3.8. əɤɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɭ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɧɿ ɡ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɦ

ɜɢɬɹɝɭɜɚɧɧɹɦ ɲɟɫɬɢ ɤɚɪɬɨɤ-ɥɿɬɟɪ «ȿ», «ɉ», «Ɋ» ɿ ɬ.ɞ. ɦɨɠɧɚ ɫɤɥɚɫɬɢ ɧɚɜɦɚɧ-

ɧɹ ɫɥɨɜɨ «ɉɊɈɐȿɋ»?

Ɋɿɲɟɧɧɹ: ȼɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɧɹ ɩɨɥɹɝɚɽ ɜ ɜɢɬɹɝɭɜɚɧɧɿ ɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿɣ ɩɨɫɥɿɞɨɜ-

ɧɨɫɬɿ ɤɚɪɬɨɤ ɡ ɥɿɬɟɪɚɦɢ ɛɟɡ ɩɨɜɟɪɧɟɧɧɹ. ɉɨɞɿɹ Ⱥ ɨɬɪɢɦɚɧɧɹ ɫɥɨɜɚ «ɉɊɈɐȿɋ»

ɽ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨɸ ɩɨɞɿɽɸ ɫɟɪɟɞ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɡ 6 ɥɿɬɟɪ. Ʉɿɥɶɤɿɫɬɶ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ

ɞɥɹ n=6 ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɹɤ P

= n! = 6! = 1ǜ2ǜ3ǜ4ǜ5ǜ6 = 720.

Ɂɜɿɞɫɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɛɚɠɚɧɨʀ ɩɨɞɿʀ ɽ %14,00014,0

720

)( || AP .

ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɫɤɥɚɫɬɢ ɧɚɜɦɚɧɧɹ ɫɥɨɜɨ «ɉɊɈɐȿɋ» ɡ ɲɟɫɬɢ ɜɿɞ-

ɩɨɜɿɞɧɢɤ ɤɚɪɬɨɤ-ɥɿɬɟɪ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 0,14%.

ɉɪɢɤɥɚɞ 3.9. əɤɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɫɤɥɚɫɬɢ ɧɚɜɦɚɧɧɹ ɫɥɨɜɨ «ɆȺɌȿɆȺɌɂɄȺ»

ɡ ɞɟɫɹɬɢ ɨɤɪɟɦɢɯ ɤɚɪɬɨɤ-ɥɿɬɟɪ?

Ɋɿɲɟɧɧɹ: ɉɨɞɿɹ Ⱥ ɨɬɪɢɦɚɧɧɹ ɫɥɨɜɚ «ɆȺɌȿɆȺɌɂɄȺ» ɽ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨɸ

ɩɨɞɿɽɸ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɡ 10 ɥɿɬɟɪ, ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɹɤɢɯ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɹɤ

n!=10!=3628800. ɉɪɨɬɟ ɞɟɹɤɿ ɥɿɬɟɪɢ ɩɨɜɬɨɪɸɸɬɶɫɹ («Ɇ» – 2 ɪɚɡɢ, «Ⱥ» – 3 ɪɚ-

ɡɢ, «Ɍ» – 2 ɪɚɡɢ), ɬɨɦɭ ɿɫɧɭɸɬɶ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ, ɹɤɿ ɧɟ ɡɦɿɧɸɸɬɶ ɫɥɨɜɚ.

Ⱦɥɹ ɥɿɬɟɪɢ «Ɇ» ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ, ɳɨ ɧɟ ɡɦɿɧɸɸɬɶ ɫɥɨɜɚ ɛɭɞɟ

2!=1ǜ2=2; ɞɥɹ ɥɿɬɟɪɢ «Ⱥ» – 3!=1ǜ2ǜ3=6; ɞɥɹ ɥɿɬɟɪɢ «Ɍ» – 2!=1ǜ2=2. Ɂɚɝɚɥɶɧɚ

ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ, ɳɨ ɧɟ ɡɦɿɧɸɸɬɶ ɫɥɨɜɚ ɛɭɞɟ

m=2!ǜ3!ǜ2!=1ǜ2ǜ1ǜ2ǜ3ǜ1ǜ2=24.

Ɂɜɿɞɫɢ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɛɚɠɚɧɨʀ ɩɨɞɿʀ ɽ

%0007,00000066,0

3628800

)( || AP

ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɫɤɥɚɫɬɢ ɧɚɜɦɚɧɧɹ ɫɥɨɜɨ ɆȺɌȿɆȺɌɂɄȺ ɞɨɪɿɜɧɸɽ

ɛɥɢɡɶɤɨ 0,0007%.

ɉɪɢɤɥɚɞ 3.10. Ɂɚɥɿɤɨɜɟ ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɦɿɫɬɢɬɶ 5 ɩɢɬɚɧɶ, ɧɚ ɤɨɠɧɟ ɡ ɹɤɢɯ ɩɪɨɩɨ-

ɧɭɸɬɶɫɹ ɞɜɿ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɿ «ɌȺɄ» ɿ «ɇȱ». ɉɪɚɜɢɥɶɧɚ ɜɿɞɩɨɜɿɞɶ ɧɚ

ɨɞɧɟ ɩɢɬɚɧɧɹ ɨɰɿɧɸɽɬɶɫɹ ɭ 1 ɛɚɥ, ɧɟɩɪɚɜɢɥɶɧɚ – ɭ 0 ɛɚɥɿɜ. əɤɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ,

ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɸɱɢ ɧɚɜɦɚɧɧɹ, ɫɤɥɚɫɬɢ ɡɚɥɿɤ, ɬɨɛɬɨ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɧɟ ɦɟɧɲ 4-ɯ ɛɚɥɿɜ?

Ɋɿɲɟɧɧɹ: ɉɨɞɿɹ Ⱥ ɭɫɩɿɲɧɨɝɨ ɫɤɥɚɞɚɧɧɹ ɡɚɥɿɤɭ – ɰɟ ɨɬɪɢɦɚɧɧɹ 4-ɯ ɚɛɨ 5-ɬɢ

ɛɚɥɿɜ ɡ 5-ɬɢ ɦɨɠɥɢɜɢɯ. Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɰɿɽʀ ɩɨɞɿʀ Ɋ(Ⱥ) = Ɋ(4)+Ɋ(5). Ɂɚɥɿɤɨɜɟ ɜɢ-

ɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹ ɦɿɫɬɢɬɶ ɩ’ɹɬɶ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ. əɤɳɨ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɬɢ ɧɚ-

ɜɦɚɧɧɹ, ɬɨ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɤɨɠɧɨʀ ɛɚɠɚɧɨʀ ɪ(1) ɿ ɤɨɠɧɨʀ ɧɟɛɚɠɚɧɨʀ ɪ(0) ɟɥɟɦɟɧ-

ɬɚɪɧɨʀ ɩɨɞɿʀ ɨɞɧɚɤɨɜɿ ɿ ɞɨɪɿɜɧɸɸɬɶ ɩɨ ½, ɬɨɛɬɨ ɪ(1) = ɪ(0) = ½ = 0,5.

Ɂɜɿɞɫɢ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɨɬɪɢɦɚɧɧɹ:

4 ɛɚɥɢ – Ɋ(4)=ɪ(1)ǜɪ(1)ǜɪ(1)ǜɪ(1)ǜɪ(0)ǜɋ

= 0,5

ǜ5 = 5/32 = 0,15625 = 15,625%;

5 ɛɚɥɿɜ – Ɋ(5)=ɪ(1)ǜɪ(1)ǜɪ(1)ǜɪ(1)ǜɪ(1)ǜɋ

= 0,5

ǜ1 = 1/32 = 0,03125 = 3,125%.

Ɂɚɝɚɥɶɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɫɤɥɚɞɚɧɧɹ ɡɚɥɿɤɭ Ɋ(Ⱥ) = 15,625% + 3,125% = 18,75%.

ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ: Ɂɝɿɞɧɨ ɭɦɨɜɚɦ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɫɤɥɚɫɬɢ ɡɚɥɿɤ, ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɸɱɢ ɧɚ-

ɜɦɚɧɧɹ ɧɚ 5 ɩɢɬɚɧɶ ɡɚɜɞɚɧɧɹ, ɞɨɪɿɜɧɸɽ 18,75% (ɩɪɨɬɟ, ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɧɟ ɫɤɥɚɫ-

ɬɢ ɡɚɥɿɤ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 1 – 18,75% = 81,25%).

Ɂɚɩɢɬɚɧɧɹ. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ.

1. Ɋɨɡɤɪɢɣɬɟ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɨɧɹɬɶ «ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹ», «ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɚ ɩɨɞɿɹ»,

«ɩɪɨɫɬɿɪ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ», «ɩɨɜɧɚ ɝɪɭɩɚ ɩɨɞɿɣ», «ɜɢɩɚɞɤɨɜɚ ɩɨɞɿɹ».

əɤɿ ɩɨɞɿʀ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɧɟɦɨɠɥɢɜɢɦɢ ɿ ɞɨɫɬɨɜɿɪɧɢɦɢ, ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɦɢ ɿ ɡɚ-

ɥɟɠɧɢɦɢ?

əɤɿ ɩɨɞɿʀ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɫɭɦɿɫɧɢɦɢ ɿ ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɦɢ?

ɇɚɡɜɿɬɶ ɿ ɨɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɨɫɧɨɜɧɿ ɬɢɩɢ ɨɩɟɪɚɰɿɣ ɧɚɞ ɩɨɞɿɹɦɢ (ɫɥɿɞɭɜɚɧɧɹ,

ɟɤɜɿɜɚɥɟɧɬɧɿɫɬɶ, ɞɨɩɨɜɧɟɧɧɹ, ɞɨɛɭɬɨɤ, ɫɭɦɚ).

ɓɨ ɬɚɤɟ «ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿʀ» ɿ ɹɤ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɤɥɚɫɢɱɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ?

6. əɤɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɦɚɸɬɶ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɧɟɦɨɠɥɢɜɢɯ ɿ ɞɨɫɬɨɜɿɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ?

ɇɚɜɟɞɿɬɶ ɮɨɪɦɭɥɭ ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɫɭɦɢ ɬɚ ɞɨɛɭɬɤɭ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɫɭɦɿ-

ɫɧɢɯ ɿ ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ.

8. Ɂɚ ɹɤɢɦɢ ɮɨɪɦɭɥɚɦɢ ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɸɬɶ ɬɚɤɿ ɟɥɟɦɟɧɬɢ ɤɨɦɛɿɧɚɬɨɪɢɤɢ, ɹɤ

ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɚ, ɪɨɡɦɿɳɟɧɧɹ ɿ ɤɨɦɛɿɧɚɰɿɹ?

9. ɋɮɨɪɦɭɥɸɣɬɟ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɭ ɪɚɦɤɚɯ ɚɤɫɿɨɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɩɿɞɯɨɞɭ.

10. Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɬɪɢ ɚɤɫɿɨɦɢ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ.

11. ɓɨ ɬɚɤɟ «ɭɦɨɜɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ»?

12. ɇɚɜɟɞɿɬɶ ɮɨɪɦɭɥɭ ɩɨɜɧɨʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ.

13. ɇɚɜɟɞɿɬɶ ɿ ɩɨɹɫɧɿɬɶ ɮɨɪɦɭɥɭ Ȼɚɣɽɫɚ.

14. ɉɨɜɬɨɪɿɬɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɩɪɨɰɟɞɭɪɢ ɡɚɜɞɚɧɶ ɡɚ ɩɪɢɤɥɚɞɚɦɢ 3.1 – 3.9.

3.2. ȼɂɉȺȾɄɈȼȱ ȼȿɅɂɑɂɇɂ

Ɋɨɡɩɨɞɿɥɢ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ

ȼɢɩɚɞɤɨɜɚ ɜɟɥɢɱɢɧɚ – ɰɟ ɜɟɥɢɱɢɧɚ, ɹɤɚ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ ɦɨɠɟ

ɩɪɢɣɦɚɬɢ ɩɟɜɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ (ɿɡ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɫɜɨʀɯ ɡɧɚɱɟɧɶ) ɡ ɩɟɜɧɨɸ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ.

ȼɢɩɚɞɤɨɜɨɸ ɦɨɠɧɚ ɧɚɡɜɚɬɢ ɛɭɞɶ-ɹɤɭ (ɧɟ ɨɛɨɜ’ɹɡɤɨɜɨ ɱɢɫɟɥɶɧɭ) ɡɦɿɧɧɭ ɏ,

ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɹɤɨʀ ɯ ɫɬɜɨɪɸɸɬɶ ɦɧɨɠɢɧɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ {ɯ}.

Ɋɨɡɪɿɡɧɹɸɬɶ ɞɢɫɤɪɟɬɧɭ ɿ ɧɟɩɟɪɟɪɜɧɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ.

Ⱦɢɫɤɪɟɬɧɨɸ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨɸ ɜɟɥɢɱɢɧɨɸ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɚ ɜɟɥɢɱɢɧɚ,

ɳɨ ɩɪɢɣɦɚɽ ɫɤɿɧɱɟɧɟ ɱɢɫɥɨ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡ ɦɧɨɠɢɧɢ, ɟɥɟɦɟɧɬɢ ɹɤɨʀ ɦɨɠɧɚ ɩɪɨɧɭ-

ɦɟɪɭɜɚɬɢ. ɇɟɩɟɪɟɪɜɧɨɸ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨɸ ɜɟɥɢɱɢɧɨɸ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɚ ɜɟ-

ɥɢɱɢɧɚ, ɦɨɠɥɢɜɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɹɤɨʀ ɧɟɩɟɪɟɪɜɧɨ ɡɚɩɨɜɧɸɸɬɶ ɞɟɹɤɢɣ ɿɧɬɟɪɜɚɥ.

Ɋɹɞɨɤ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜ-

ɥɟɧɢɣ ɹɤ ɭ ɬɚɛɥɢɱɧɿɣ ɮɨɪɦɿ – ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɬɚɛɥɢɰɿ, ɞɟ ɩɟɪɟɪɚɯɨɜɚɧɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ

ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɯ

, ɯ

, ..., ɯ

ɡ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɦɢ ɞɨ ɧɢɯ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɹɦɢ p

, p

..., p

(ɞɢɜ. ɬɚɛɥ. 3.2), ɬɚɤ ɿ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɝɪɚɮɿɱɧɨɝɨ ɡɨɛɪɚɠɟɧɧɹ (ɪɢɫ. 3.7).

Ɍɚɛɥɢɰɹ 3.2

Ɋɹɞɨɤ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ

Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ( ɯ

) ɯ

... ɯ

Ƀɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ( p

) p

... p

Ɋɢɫ. 3.7. Ƚɪɚɮɿɤ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨʀ

ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɏ

Ɋɹɞɨɤ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɦɨɠɟ ɦɚɬɢ ɚɧɚɥɿɬɢɱɧɭ ɮɨɪɦɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɧɹ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ:



)(

xXp

ȼ ɡɚɝɚɥɶɧɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɰɟ ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɚɬɢ ɹɤ f(X) = P(ɏ=ɯ) – ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧ-

ɤɰɿʀ f(X) ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ P(ɏ=ɯ) ɬɨɝɨ, ɳɨ ɡɦɿɧɧɚ ɏ ɩɪɢɣɦɚɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɯ.

Ɂɚ ɚɧɚɥɨɝɿɽɸ ɡ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɦɢ ɩɨɞɿɹɦɢ, ɦɨɠɧɚ ɜɜɚɠɚɬɢ, ɳɨ ɩɪɨɫɬɨɪɨɦ ɟɥɟ-

ɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɯ

, ɯ

, ..., ɯ

ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ ɽ ɫɤɿɧɱɟɧɚ ɦɧɨɠɢɧɚ ɰɢɯ

ɡɧɚɱɟɧɶ

:={ɯ}. Ʉɨɠɧɨɦɭ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨɦɭ ɡɧɚɱɟɧɧɸ ɯ

, ɯ

, ..., ɯ

, ɹɤɟ ɧɚɥɟɠɢɬɶ

ɞɨ ɦɧɨɠɢɧɢ

:, ɩɨɫɬɚɜɥɟɧɨ ɭ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿɫɬɶ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɟ ɱɢɫɥɨ – ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ p

, ..., p

, ɬɨɛɬɨ p

= P(ɏ = ɯ

)  0, ɩɪɢɱɨɦɭ ɫɭɦɚ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɩɨɹɜɢ ɜɫɿɯ ɟɥɟ-

ɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɨɞɢɧɢɰɿ:

. (3.14)

Ɉɬɠɟ, ɩɚɪɭ {:, Ɋ} ɦɨɠɧɚ ɜɜɚɠɚɬɢ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɢɦ ɩɪɨɫɬɨɪɨɦ, ɹɤɢɣ ɫɤɥɚɞɚ-

ɽɬɶɫɹ ɡɿ ɫɤɿɧɱɟɧɨʀ ɦɧɨɠɢɧɢ ɡɧɚɱɟɧɶ : ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ ɿ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ Ɋ, ɹɤɚ

ɜɢɡɧɚɱɟɧɚ ɧɚ ɦɧɨɠɢɧɿ ɡɧɚɱɟɧɶ : ɿ ɡɚɞɨɜɨɥɶɧɹɽ ɭɦɨɜɿ (3.14).

əɤɳɨ ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɞɚɧɿ ɽ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ, ɬɨ ɟɦɩɿɪɢɱ-

ɧɢɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɱɚɫɬɨɬ ɦɨɠɧɚ ɬɚɤɨɠ ɬɪɚɤɬɭɜɚɬɢ ɹɤ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢ-

ɧɢ – ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɦɨɠɥɢɜɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɦɢ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɹɦɢ ʀɯɧɶɨʀ

ɩɨɹɜɢ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɤɥɚɫɢɱɧɿ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɡɛɿɝɚɸɬɶɫɹ ɡ ɜɿɞɧɨɫɧɢɦɢ ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ

(ɞɢɜ. ɩɨɧɹɬɬɹ ɤɥɚɫɢɱɧɨʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ), ɬɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɱɚɫɬɨɬ ɦɨɠɧɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹ-

ɬɢ ɹɤ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ, ɩɪɨɬɟ, ɥɢɲɟ ɡɚ ɩɟɜɧɢɦɢ ɭɦɨ-

ɜɚɦɢ ɿ ɨɛɦɟɠɟɧɧɹɦɢ (ɦɨɜɚ ɩɪɨ ɧɢɯ ɣɬɢɦɟ ɧɢɠɱɟ).

Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɧɚ ɩɪɢɤɥɚɞɿ ɩɨɛɭɞɨɜɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ.

ɉɪɢɤɥɚɞ 3.11. Ɋɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɜɢɤɨɧɚɧɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ ɡɚ ɪɟ-

ɡɭɥɶɬɚɬɚɦɢ ɬɟɫɬɭɜɚɧɧɹ ɧɚɜɦɚɧɧɹ ɜɿɞɿɛɪɚɧɨʀ ɡ ɚɤɚɞɟɦɿɱɧɨɝɨ ɩɨɬɨɤɭ ɜɢɛɿɪɤɢ

ɫɬɭɞɟɧɬɿɜ ɨɛɫɹɝɨɦ 20 ɨɫɿɛ (ɬɚɛɥ. 3.3).

Ɍɚɛɥɢɰɹ 3.3

Ʉɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɢɤɨɧɚɧɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ

ɿ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4 2 6 3 5 4 5 4 1 5

ɿ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

5 3 5 4 6 3 4 2 5 3

ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ:

x ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɞɚɧɿ ɬɚɛɥ. 3.3 ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ ɯ

ɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɦɢ ɚɛ-

ɫɨɥɸɬɧɢɦɢ ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ m

ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɡɚɜɞɚɧɶ. ɑɚɫɬɨɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɡɚ ɛɭɞɶ-

ɹɤɢɦ ɜɿɞɨɦɢɦ ɦɟɬɨɞɨɦ ɿ ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ A3:ɋ9. ɋɭɦɚ ɚɛɫɨɥɸɬɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ ɩɨ-

ɜɢɧɧɚ ɫɤɥɚɫɬɢ ɨɛɫɹɝ ɜɢɛɿɪɤɢ, ɬɨɛɬɨ 20

m (ɞɢɜ. ɤɨɦɿɪɤɭ ɋ10 ɪɢɫ. 3.8);

x ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ pƍ

= P(ɏ = ɯ

) ɜɧɟɫɬɢ ɜ ɤɨɦɿɪɤɭ D3 ɜɢɪɚɡ

=C3/$C$10, ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɿ ɜɢɪɚɡɢ ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ D4:D9;

x ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɜ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ȿ3:ȿ9 ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ p

= P(ɏ  ɯ

);

x ɩɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɝɪɚɮɿɤɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ (ɪɢɫ. 3.9).

Ɋɢɫ. 3.8. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ

ɞɢɫɤɪɟɬɧɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ

Ɋɢɫ. 3.9. Ƚɪɚɮɿɤɢ ɮɭɧɤɰɿɣ

ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ

Ɉɬɠɟ, ɭ ɬɚɛɥɢɰɿ ɪɢɫ. 3.8 ɪɨɡɪɚɯɨɜɚɧɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨʀ

ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ (ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɜɢɤɨɧɚɧɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ) pƍ(ɯ) = P(ɏ = ɯ) ɿ p(ɯ) = P(ɏ ɯ), ɧɚ

ɪɢɫ. 3.9 ɡɨɛɪɚɠɟɧɨ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɝɪɚɮɿɤɢ.

ɋɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ pƍ

= P(ɏ = ɯ

) ɦɚɽ ɧɚɡɜɭ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ

ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ (ɞɢɜ. ɫɬɨɜɩɱɢɤ D ɪɢɫ. 3.8 ɿ ɝɿɫɬɨɝɪɚɦɭ ɪɢɫ. 3.9). Ʉɨɠɧɟ ɨɤɪɟɦɟ ɡɧɚ-

ɱɟɧɧɹ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɡɧɚɱɚɽ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ pƍ

ɤɨɠɧɨɝɨ ɨɤɪɟɦɨɝɨ ɡɧɚ-

ɱɟɧɧɹ ɯ

ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ , ɬɨɛɬɨ P(ɏ = ɯ

). ɋɭɦɚ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ pƍ

ɭɫɿɯ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ

ɡɧɚɱɟɧɶ ɯ

ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ (ɡɚ ɭɦɨɜɢ ɩɨɜɧɨʀ ɫɢɫɬɟɦɢ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ) ɞɨɪɿɜɧɸɽ

ɨɞɢɧɢɰɿ, ɬɨɛɬɨ

ɪ . əɤ ɛɚɱɢɦɨ ɡ ɪɢɫ. 3.8 (ɞɢɜ. ɤɨɦɿɪɤɭ D10), ɰɹ ɜɢɦɨɝɚ

ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ: 0,00+0,05+0,10+0,20+0,25+0,30+0,10=1,00.

ɋɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ p

= P(ɏ  ɯ

) ɦɚɽ ɧɚɡɜɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ (ɞɢɜ.

ɫɬɨɜɩɱɢɤ ȿ ɪɢɫ. 3.6 ɿ ɞɢɫɤɪɟɬɧɢɣ ɝɪɚɮɿɤ ɪɢɫ. 3.7 ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɯɨɞɢɧɨɤ ɡ ɧɚɫɢ-

ɱɟɧɧɹɦ ɞɨ 1,00). Ɋɨɡɩɨɞɿɥ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɩɨɤɚɡɭɽ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ p

ɞɥɹ

ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ, ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɹɤɨʀ ɧɟ ɩɟɪɟɜɢɳɭɽ ɯ

, ɬɨɛɬɨ P(ɏ  ɯ

). Ʉɨɠɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ

ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɽ ɫɭɦɨɸ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ pƍ

ɭɫɿɯ ɩɨɩɟɪɟɞɧɿɯ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɯ

ɡɦɿɧɧɨʀ ɏ, ɬɨɛɬɨ:

ɿj

ɪp

. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ j = 4 ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɪ

ɫɤɥɚɞɚɬɢɦɟ

35,00,200,100,050,00



ɪp

(ɞɢɜ. ɤɨɦɿɪɤɭ ȿ6 ɪɢɫ. 3.6).

Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɨɬɪɢɦɚɧɧɹ ɭ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɿ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡ ɩɨɜɧɨʀ ɫɢɫɬɟɦɢ

ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ (ɮɚɤɬɢɱɧɨ, ɰɟ ɽ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɞɨɫɬɨɜɿɪɧɨʀ ɩɨɞɿʀ) ɞɨɪɿɜɧɸɽ

ɨɞɢɧɢɰɿ. ȱ ɞɿɣɫɧɨ, ɞɥɹ j = n ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ

ɿn

ɪp (ɞɢɜ. ɤɨɦɿɪɤɭ ȿ9 ɪɢɫ. 3.6

ɚɛɨ ɨɫɬɚɧɧɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɧɚ ɝɪɚɮɿɤɭ ɪɢɫ. 3.7).

Ɂɚɤɨɧɨɦ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɽ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ, ɳɨ ɜɫɬɚɧɨɜɥɸɽ

ɡɜ’ɹɡɨɤ ɦɿɠ ɦɨɠɥɢɜɢɦɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɦɢ ɞɨ ɧɢɯ

ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɹɦɢ. Ɂɚɤɨɧ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɡɚɞɚɧɨ ɮɭɧɤɰɿɹɦɢ:

x ɮɭɧɤɰɿɽɸ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ F(x)

F(x) = P(X  x); (3.15)

x ɮɭɧɤɰɿɽɸ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ f(x)

f(x) = P(X = x). (3.16)

Ⱦɥɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ F(x) ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɚ ɜ

ɚɧɚɥɿɬɢɱɧɿɣ ɮɨɪɦɿ. Ɍɚɤ, ɡɚ ɞɚɧɢɦɢ ɪɢɫ. 3.8 ɮɭɧɤɰɿɹ F(x) ɦɚɬɢɦɟ ɜɢɝɥɹɞ:



;6,00.1

;5,90.0

;4,60.0

;3,35.0

;2,15.0

;1,05.0

)(

Ⱥɧɚɥɨɝɿɱɧɨ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɣ ɳɿɥɶɧɿɫɬɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ f(x). Ⱦɥɹ ɞɢɫ-

ɤɪɟɬɧɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɿ ɳɿɥɶɧɿɫɬɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡɜ’ɹɡɚɧɿ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹɦ:

xfxF

)()( (3.17)

Ⱦɥɹ ɧɟɩɟɪɟɪɜɧɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɚɬɢ ɬɚɤɿ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ:

– ɳɿɥɶɧɿɫɬɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ f(x) = F '(x). ɐɟ ɡɧɚɱɢɬɶ, ɳɨ ɳɿɥɶɧɿɫɬɶ f(x) ɽ ɩɟɪɲɨɸ

ɩɨɯɿɞɧɨɸ ɜɿɞ ɮɭɧɤɰɿʀ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ F(x);

– ɳɿɥɶɧɿɫɬɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɨʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɧɟɜɿɞ'ɽɦɧɚ, ɬɨɛ-

ɬɨ f(x)  0, ɿ ɦɚɽ ɬɚɤɭ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ:

f

f

1)( dxxf

. (3.18)

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ ɧɚɞɚɽ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɧɭ ɿɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɿɸ ɜɢɡɧɚɱɟɧɨɦɭ ɿɧ-

ɬɟɝɪɚɥɨɜɿ (3.18) ɹɤ ɩɥɨɳɿ (ɞɢɜ. ɡɚɮɚɪɛɨɜɚɧɭ ɩɥɨɳɭ ɧɚ ɪɢɫ. 3.10), ɹɤɚ ɡɜɟɪɯɭ

ɨɛɦɟɠɟɧɚ ɝɪɚɮɿɤɨɦ ɮɭɧɤɰɿʀ f(x), ɚ ɡɧɢɡɭ – ɜɿɫɫɸ ɚɛɫɰɢɫ ɭ ɦɟɠɚɯ –  x  +.

Ɋɨɡɦɿɪ ɩɥɨɳɿ ɡɚ ɿɧɬɟɝɪɚɥɨɦ (3.18) ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɨɞɢɧɢɰɿ.

Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ F(x) ɞɥɹ ɩɟɜɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ x (ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, x =

ɚ) ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɱɟɪɟɡ ɳɿɥɶɧɿɫɬɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ f(x) ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ:

f

dxxfF )()ɚ(

. (3.19)

Ɋɢɫ. 3.10. Ƚɟɨɦɟɬɪɢɱɧɚ ɿɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɿɹ

ɜɢɡɧɚɱɟɧɨɦɭ ɿɧɬɟɝɪɚɥɨɜɿ (3.18)

Ɋɢɫ. 3.11. Ƚɟɨɦɟɬɪɢɱɧɚ ɿɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɿɹ

ɜɢɡɧɚɱɟɧɨɦɭ ɿɧɬɟɝɪɚɥɨɜɿ (3.19)

ȱɧɬɟɝɪɚɥ (3.19) ɿ ɮɭɧɤɰɿɹ F(ɚ) ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɬɚɤɨɠ ɦɚɸɬɶ ɫɟɧɫ ɩɥɨɳɿ (ɞɢɜ. ɡɚ-

ɮɚɪɛɨɜɚɧɭ ɩɥɨɳɭ ɧɚ ɪɢɫ. 3.11), ɹɤɚ ɨɛɦɟɠɟɧɚ ɡ ɬɪɶɨɯ ɛɨɤɿɜ: ɡɜɟɪɯɭ – ɝɪɚɮɿ-

ɤɨɦ ɮɭɧɤɰɿʀ f(x), ɡɧɢɡɭ – ɜɿɫɫɸ ɚɛɫɰɢɫ ɭ ɦɟɠɚɯ –  x  ɚ, ɡ ɩɪɚɜɨɝɨ ɛɨɤɭ –

ɨɪɞɢɧɚɬɨɸ, ɹɤɚ ɩɪɨɯɨɞɢɬɶ ɱɟɪɟɡ ɬɨɱɤɭ x = ɚ.

Ⱦɥɹ x = + ɮɭɧɤɰɿɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ F()=1, ɬɨɛɬɨ

1)()( f

f

f

dxxfF . (3.20)

Ɉɬɠɟ, ɩɨɪɿɜɧɸɸɱɢ ɚɥɝɟɛɪɭ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɩɨɞɿɣ ɡ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɦ ɚɩɚɪɚɬɨɦ

ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ, ɦɨɠɧɚ ɞɿɣɬɢ ɞɨ ɜɢɫɧɨɜɤɭ ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɜɢɩɚɞ-

100

ɤɨɜɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɿɡɨɦɨɪɮɧɨ ɜɿɞɬɜɨɪɸɸɬɶɫɹ ɧɚ ɪɨɡɩɨɞɿɥɚɯ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɩɨɞɿɣ.

Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɩɪɢɤɥɚɞ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɧɟɩɟɪɟɪɜɧɨʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ.

ɉɪɢɤɥɚɞ 3.12. əɤ ɜɿɞɨɦɨ ɡ ɩɫɢɯɨɞɿɚɝɧɨɫɬɢɤɢ, ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɿɧɬɟɥɟɤɬɭ IQ (ɩɨ-

ɤɚɡɧɢɤ ɿɧɬɟɥɟɤɬɭɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɜɢɬɤɭ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɨɞɧɚɤɨɜɢɯ ɡɚ ɜɿɤɨɦ ɨɫɿɛ) ɪɨɡ-

ɩɨɞɿɥɹɽɬɶɫɹ ɡɚ ɡɚɤɨɧɨɦ, ɛɥɢɡɶɤɢɦ ɞɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ

, ɳɿɥɶɧɿɫɬɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɹɤɨ-

ɝɨ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɸ:

)/)((5,0

)(

IQx

exf



ɚɛɨ



)(

exp

)(

IQx

ɞɟ f(x) – ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ P(IQ = x) ɬɨɝɨ, ɳɨ IQ ɩɪɢɣɦɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ x;

IQ ɿ ı –

ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ ɿ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ; ʌ §

3,14; ɟ § 2,71. Ⱦɥɹ ɩɟɜɧɨɝɨ ɤɨɧɬɢɧɝɟɧɬɭ ɿɧɞɢɜɿɞɭɭɦɿɜ ɫɟɪɟɞɧɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ

IQ =100 ɿ ı =15.

Ɂɚɜɞɚɧɧɹ: ɉɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɿɧɬɟɥɟɤɬɭ IQ ɜ ɞɿɚɩɚɡɨɧɿ ɡɧɚ-

ɱɟɧɶ ɜɿɞ IQ

ɦɿɧ

= 50 ɞɨ IQ

Ɇɚɤɫ

= 150. ȼɢɡɧɚɱɢɬɢ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɬɨɝɨ, ɳɨ IQ

ɩɪɢ-

ɣɦɚɬɢɦɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ: ɚ) IQ

 80; ɛ) IQ

>110; ɜ) ɭ ɦɟɠɚɯ 70 < IQ

 90; ɝ) ɩɪɢɣɦɚ-

ɬɢɦɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɨɡɚ ɦɟɠɚɦɢ ɿɧɬɟɪɜɚɥɭ 80 < IQ

 120.

Ɋɿɲɟɧɧɹ:

Ɋɨɡɪɚɯɭɽɦɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ f(x) ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥ F(x)

ɭ ɬɚɛɥɢɱɧɿɣ ɮɨɪɦɿ ɜ ɭɤɚɡɚɧɨɦɭ ɞɿɚɩɚɡɨɧɿ ɡ ɿɧɬɟɪɜɚɥɨɦ 10 (ɪɢɫ. 3.10). Ⱦɟɬɚɥɿ

ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɪɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɩɿɡɧɿɲɟ ɭ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨɦɭ ɪɨɡɞɿɥɿ. ȼɚɠɥɢɜɢɦ ɦɨɦɟɧɬɨɦ

ɽ ɞɨɫɹɝɧɟɧɧɹ ɬɚɤ ɡɜɚɧɨʀ ɧɨɪɦɚɥɿɡɚɰɿʀ, ɡɚ ɭɦɨɜɢ ɹɤɨʀ ɩɥɨɳɚ ɩɿɞ ɤɪɢɜɨɸ ɳɿɥɶ-

ɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ f(x) ɩɨɜɢɧɧɚ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢ ɨɞɢɧɢɰɿ

. əɤ ɛɚɱɢɦɨ ɡ ɤɨɦɿɪɤɢ ɋ14

ɪɢɫ. 3.10, ɰɹ ɜɢɦɨɝɚ ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ.

ɉɨɛɭɞɭɽɦɨ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɝɪɚɮɿɤɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ IQ (ɪɢɫ. 3.13). Ɏɨɪɦɚ ɝɪɚɮɿɤɚ

ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ f(IQ) ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ «ɞɡɜɨɧɭ». ȼɨɧɚ ɽ ɫɢɦɟɬɪɢɱɧɨɸ ɜɿɞɧɨɫɧɨ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ

ɡɧɚɱɟɧɧɹ

IQ =100. Ƚɪɚɮɿɤ ɪɨɡɩɨɞɿɥ F(IQ) ɞɨɫɹɝɚɽ ɧɚɫɢɱɟɧɧɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ 1,00.

fÒ±ÏÆÉÑÛÊ ÜÒÉÒ ÑÒÔÐÆÏßÑÒÒ ÌÆ±ÒÑ¾ ÔÒÌÓÒÉÏ¾ ÉÍÈ. ÔÒÌÉÏ 3.4.