Руденко В.М. Математична статистика

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ȼɢɫɧɨɜɤɢ. Ɋɿɜɧɹɧɧɹ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ;=0,82+1,37·X ɚ ɬɚɤɨɠ

=0,67

+ 0,42·Y (ɝɪɚ-

ɮɿɤɢ ɪɟɝɪɟɫɿʀ) ɞɚɸɬɶ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɚɧɚɥɿɬɢɱɧɨɝɨ ɩɪɨɝɧɨɡɭɜɚɧɧɹ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɚɥɟɠ-

ɧɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɧɟɡɚɥɟɠɧɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ. Ɉɬɪɢɦɚɧɿ ɪɟɝɪɟɫɿɣɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ

ɦɚɸɬɶ ɪɿɡɧɿ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɿ ɜɢɤɨɧɭɸɬɶ ɪɿɡɧɿ ɩɪɨɝɧɨɡɭɸɱɢ ɮɭɧɤɰɿʀ: ɩɟ-

ɪɲɟ ɩɪɨɝɧɨɡɭɽ Y ɡɚ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ ɏ, ɞɪɭɝɟ – ɧɚɜɩɚɤɢ, ɏ ɡɚ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ Y (ɡɜɢ-

ɱɚɣɧɨ, ɹɤɳɨ ɬɚɤɟ ɩɪɨɝɧɨɡɭɜɚɧɧɹ ɦɚɽ ɫɟɧɫ).

Ɇɧɨɠɢɧɧɚ ɪɟɝɪɟɫɿɹ

Ɇɧɨɠɢɧɧɚ ɪɟɝɪɟɫɿɹ – ɰɟ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɡɦɿɧɧɨʀ Y ɥɿɧɿɣɧɨɸ ɤɨɦ-

ɛɿɧɚɰɿɽɸ m ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɡɦɿɧɧɢɯ ɏ

, ɏ

, …, ɏ

. ɇɚɣɩɪɨɫɬɿɲɢɣ ɜɚɪɿɚɧɬ ɪɟɝɪɟɫɿʀ

ɦɚɽ ɦɿɫɰɟ ɞɥɹ m=2, ɤɨɥɢ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɫɩɪɨɝɧɨɡɭɜɚɬɢ ɡɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɨɞɧɿɽʀ ɡɦɿɧɧɨʀ Y

ɜɿɞ ɞɜɨɯ ɡɦɿɧɧɢɯ ɏ

ɿ ɏ

. Ɋɿɜɧɹɧɧɹ ɬɚɤɨʀ ɦɧɨɠɢɧɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ:

02211

BXBXBY 

, (2.30)

ɞɟ

111

s/sbB



;

222

s/sbB



;

22110

XÂXÂYB 

;

)r/()rrr(b

1212211

1

;

)r/()rrr(b

1212122

1

;

, s

– ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɿ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɿ ɫɟɪɟɞɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ Y , ɏ

ɿ ɏ

;

, r

– ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɩɚɪɧɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɉɿɪɫɨɧɚ ɦɿɠ Y ɿ ɏ

, Y ɿ ɏ

, ɏ

ɿ ɏ

Ⱦɥɹ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɡɜ'ɹɡɤɭ, ɡ ɨɞɧɨɝɨ ɛɨɤɭ, ɡɦɿɧɧɨʀ Y, ɚ ɡ ɿɧɲɨɝɨ – ɞɜɨɯ ɡɦɿɧ-

ɧɢɯ ɏ

ɿ ɏ

, ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɦɧɨɠɢɧɧɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ:

22112,1 yyy

rbrbR 



. (2.31)

ɉɪɢɤɥɚɞ 2.11. ɋɩɪɨɝɧɨɡɭɜɚɬɢ ɡɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɡɦɿɧɧɨʀ Y ɜɿɞ ɤɨɦɛɿɧɚɰɿʀ ɧɟɡɚɥɟ-

ɠɧɢɯ ɡɦɿɧɧɢɯ ɏ

ɿ ɏ

ɡɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ ɪɢɫ. 2.65.

ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ:

ȼɢɤɨɧɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɦɧɨɠɢɧɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɿ ɦɧɨɠɢɧɧɨʀ ɤɨ-

ɪɟɥɹɰɿʀ (ɪɢɫ. 2.65 ɿ 2.66):

–

ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ȼ15:D15 ɜɧɟɫɬɢ =ɋɊɁɇȺɑ(B3:B14), =ɋɊɁɇȺɑ(C3:C14) ɿ

=ɋɊɁɇȺɑ(D3:D14), ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɫɟɪɟɞɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ

§ 4,00,

§ 5,83

§3,17;

–

ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ȼ16:D16 ɜɧɟɫɬɢ ɮɭɧɤɰɿʀ =ɋɌȺɇȾɈɌɄɅɈɇ(B3:B14),

=ɋɌȺɇȾɈɌɄɅɈɇ(C3:C14), =ɋɌȺɇȾɈɌɄɅɈɇ(D3:D14) ɿ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɫɬɚɧɞɚɪ-

ɬɧɿ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ s

§ 0,74; s

§ 2,17 ɿ s

§ 1,11

;

–

ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ȼ17:ȼ19 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɩɚɪɧɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɉɿɪɫɨ-

ɧɚ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ MS Excel =ɉɂɊɋɈɇ() ɡ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɦɢ ɚɪɝɭɦɟɧɬɚɦɢ

ɿ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɬɚɤɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ r

§ 0,68; r

§ 0,11 ɿ r

§ –0,21;

–

ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ȼ20 ɿ ȼ21 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡɢ =(B17-B18*B19)/(1-B19^2) ɿ

=(B18-B17*B19)/(1-B19^2), ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ b

§ 0,74 ɿ b

§ 0,27;

–

ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ȿ20:ȿ22 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡɢ =B20*B16/C16, =B21*B16/D16 ɿ

=B15-E20*C15-E21*D15, ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɦɧɨɠɢɧɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ

§ 0,25; ȼ

§ 0,18 ɿ ȼ

§ 1,97;

Ɋɢɫ. 2.65. ɉɚɪɚɦɟɬɪɢ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɬɚ ɦɧɨɠɢɧɧɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿɹ R

y-1,2

–

ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ȿ3:ȿ14 ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ; ɡɚ

ɪɿɜɧɹɧɧɹɦ ɦɧɨɠɢɧɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɬɢɩɭ ;=0,251·X

+0,18·X

+1,97. Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɭ ɤɨ-

ɦɿɪɤɭ ȿ3 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ =$E$20*C3+$E$21*D3+$E$22. Ⱥɧɚɥɨɝɿɱɧɿ ɜɢɪɚɡɢ ɜɧɟ-

ɫɬɢ ɜ ɤɨɦɿɪɤɢ ȿ4:ȿ14;

–

ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ22 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ =ɄɈɊȿɇɖ(B20*B17+B21*B18) ɿ ɨɬɪɢɦɚɬɢ

ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɦɧɨɠɢɧɧɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ R

y-1,2

§ 0,73.

Ɋɢɫ. 2.66. Ɏɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɬɚ ɦɧɨɠɢɧɧɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ

Ɋɟɝɪɟɫɿɣɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ;=0,251·X

+0,18·X

+1,97 ɞɚɽ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɩɪɨɝɧɨɡɭ-

ɜɚɧɧɹ ɡɦɿɧɧɨʀ Y ɡɚ ɡɦɿɧɧɢɦɢ ɏ

ɿ ɏ

. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɩɪɨɝɧɨɡɨɜɚɧɢɦɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ

ɦɨɠɭɬɶ ɛɭɬɢ ɬɚɤɿ: ; § 2,83 ɞɥɹ ɏ

=2 ɿ ɏ

=2 ɿ ; § 3,08 ɞɥɹ ɏ

=3 ɿ ɏ

=2 ɬɚ ɿɧ. Ʉɨ-

ɟɮɿɰɿɽɧɬ ɦɧɨɠɢɧɧɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ

2,1y

§0,73 ɫɜɿɞɱɢɬɶ ɩɪɨ ɫɭɬɬɽɜɢɣ ɩɪɹɦɢɣ ɡɜ'ɹ-

ɡɨɤ ɦɿɠ ɡɦɿɧɧɨʀ Y, ɡ ɨɞɧɨɝɨ ɛɨɤɭ, ɿ ɡɦɿɧɧɢɦɢ ɏ

ɿ ɏ

, ɡ ɞɪɭɝɨɝɨ, ɩɪɨɬɟ ɨɰɿɧɢɬɢ

ɜɤɥɚɞ ɭ ɤɨɪɟɥɹɰɿɸ ɤɨɠɧɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ ɨɤɪɟɦɨ ɧɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɽɬɶɫɹ ɦɨɠɥɢɜɢɦ.

Ɂɚɩɢɬɚɧɧɹ. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ.

1. Ɋɨɡɤɪɢɣɬɟ ɿɞɟɸ ɦɟɬɨɞɿɜ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɹɤ ɡɚɫɨɛɭ ɩɪɨɝɧɨɡɭɜɚɧɧɹ.

2. Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɩɪɨɝɧɨɡɭɸɱɿ ɦɨɠɥɢɜɨɫɬɿ ɨɞɧɨɦɿɪɧɨʀ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ.

3. Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɩɪɨɝɧɨɡɭɸɱɿ ɦɨɠɥɢɜɨɫɬɿ ɦɧɨɠɢɧɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ.

4. ɉɨɜɬɨɪɿɬɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɩɪɨɰɟɞɭɪɢ ɡɚɜɞɚɧɶ ɡɚ ɩɪɢɤɥɚɞɚɦɢ 2.10 – 2.11.

5. ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɥɚɛɨɪɚɬɨɪɧɭ ɪɨɛɨɬɭ ʋ 7.

3. ɈɋɇɈȼɂ ɌȿɈɊȱȲ ɃɆɈȼȱɊɇɈɋɌȿɃ

Ɉɫɧɨɜɧɢɦ ɡɚɜɞɚɧɧɹɦ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɽ ɨɩɢɫ ɿ ɩɨɹɫɧɟɧɧɹ ɿɦɨɜɿɪ-

ɧɿɫɧɨʀ ɩɨɜɟɞɿɧɤɢ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɶ. Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɧɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɜɢɪɿɲɭɽ ɰɟ ɡɚ-

ɜɞɚɧɧɹ ɜɢɜɱɟɧɧɹɦ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɜɢɛɿɪɤɨɜɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫ-

ɬɿ – ɜɢɛɿɪɤɢ. Ⱦɨɫɥɿɞɠɭɸɱɢ ɬɭ ɱɢ ɿɧɲɭ ɜɢɛɿɪɤɭ, ɦɚɸɬɶ ɧɚ ɭɜɚɡɿ ʀʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɭ

(ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɭ) ɩɪɢɪɨɞɭ, ɬɨɛɬɨ ɜɢɛɿɪɤɭ ɪɨɡɝɥɹɞɚɸɬɶ ɹɤ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ

ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ

ɡɧɚɱɟɧɶ, ɳɨ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɽ ɩɟɜɧɿ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ. Ⱦɥɹ

ɨɬɪɢɦɚɧɧɹ

ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɨɪɝɚɧɿɡɭɸɬɶ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹ (ɿɫɩɢɬɢ, ɫɩɨɫɬɟɪɟ-

ɠɟɧɧɹ ɬɨɳɨ) ɩɪɢ ɩɟɜɧɢɯ (ɜɿɞɨɦɢɯ) ɭɦɨɜɚɯ. Ɉɬɠɟ, ɨɰɿɧɸɸɱɢ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɭ ɫɭɤɭ-

ɩɧɿɫɬɶ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɜɢɛɿɪɤɢ ɡɚ ʀʀ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɢɦɢ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɹɦɢ, ɦɢ ɩɨɫɬɿɣɧɨ

ɦɚɽɦɨ ɫɩɪɚɜɭ ɿɡ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɸ ɧɚɛɭɬɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɩɨɞɿɣ, ɨɬɪɢɦɚɧɢɯ ɭ

ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɶ.

ȼɪɚɯɨɜɭɸɱɢ ɬɟ, ɳɨ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɩɨɞɿɣ ɜɢɜɱɚɽ ɬɟɨɪɿɹ ɣɦɨɜɿɪ-

ɧɨɫɬɟɣ, ɹɤɚ ɜɜɚɠɚɽɬɶɫɹ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨɸ ɛɚɡɨɸ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɶ, ɪɨɡɝɥɹ-

ɧɟɦɨ ɨɫɧɨɜɧɿ ɩɨɧɹɬɬɹ ɿ ɡɚɤɨɧɨɦɿɪɧɨɫɬɿ ɰɿɽʀ ɝɚɥɭɡɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɯ ɡɧɚɧɶ.

ɇɚɝɚɞɚɽɦɨ, ɳɨ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɨɬɪɢɦɚɧɢɯ ɭ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹɯ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɡɧɚ-

ɱɟɧɶ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɬɚɤɨɠ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɜɢɛɿɪɤɨɸ, ɹɤɚ ɩɿɞɥɹɝɚɽ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱ-

ɧɿɣ ɨɛɪɨɛɰɿ. ɋɥɨɜɨ «ɟɦɩɿɪɢɱɧɚ» ɨɡɧɚɱɚɽ ɬɟ, ɳɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɩɪɨ-

ɜɨɞɹɬɶɫɹ ɡɚ ɞɚɧɢɦɢ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ (ɞɨɫɥɿɞɿɜ ɚɛɨ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ). Ɂ ɰɿɽʀ ɠ ɩɪɢɱɢ-

ɧɢ ɞɥɹ ɩɨɧɹɬɬɹ «ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ» ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɬɟɪɦɿɧ «ɜɢ-

ɛɿɪɤɨɜɚ ɮɭɧɤɰɿɹ» ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɭ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿ ɩɨɜɬɨɪɧɢɯ ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɶ

ɞɟɹɤɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɨɬɪɢɦɚɧɨ n ɡɧɚɱɟɧɶ: x

, x

, … x

. ɐɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɪɢɪɨɞɧɨ ɜɜɚ-

ɠɚɬɢ ɪɟɚɥɿɡɚɰɿɽɸ ɧɚɛɨɪɭ ɡ n ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɨɞɧɚɤɨɜɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɟɧɢɯ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ

ɜɟɥɢɱɢɧ ɡ ɧɟɜɿɞɨɦɨɸ ɮɭɧɤɰɿɽɸ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ F(x), ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɹɤɨʀ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɜɢ-

ɡɧɚɱɢɬɢ, ɡɧɚɣɬɢ.

ɓɨɛ ɨɰɿɧɤɢ ɛɭɥɢ ɜɿɪɨɝɿɞɧɢɦɢ, ɜɢɛɿɪɤɚ ɦɚɽ ɛɭɬɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɧɢɰɶɤɨɸ (ɪɟɩɪɟɡɟ-

ɧɬɚɬɢɜɧɨɸ). Ȳʀ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɿ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɩɨɜɢɧɧɿ ɡɛɿɝɚɬɢɫɹ ɚɛɨ ɛɭɬɢ ɛɥɢɡɶɤɢɦɢ ɞɨ

ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ. ɐɟ ɦɨɠɧɚ ɞɨɫɹɝɬɢ, ɹɤɳɨ ɝɚɪɚɧɬɭɜɚɬɢ ɜɫɿɦ

ɨɛ'ɽɤɬɚɦ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɨɞɧɚɤɨɜɭ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɬɪɚɩɢɬɢ ɭ ɜɢɛɿɪɤɭ.

3.1. ȼɂɉɊɈȻɍȼȺɇɇə ɌȺ ɉɈȾȱȲ

Ɉɫɧɨɜɧɿ ɩɨɧɹɬɬɹ ɿ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹ

Ɂ ɬɨɱɤɢ ɡɨɪɭ ɬɟɨɪɿʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ

ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɲɥɹɯɨɦ ɜɢɜɱɟɧɧɹ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ ɜɢɛɿɪɤɢ ɜɢɤɨɧɭɸɬɶ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ

ɦɨɞɟɥɸɜɚɧɧɹ ɫɢɬɭɚɰɿʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɩɨɞɿɣ, ɨɬɪɢɦɚɧɢɯ ɭ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ.

ȼɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹ – ɰɟ ɡɞɿɣɫɧɟɧɧɹ ɩɟɜɧɢɯ ɞɿɣ ɚɛɨ ɭɦɨɜ, ɹɤɿ ɦɨɠɧɚ ɜɿɞɧɨɜɢɬɢ

ɞɨɜɿɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ ɪɚɡɿɜ (ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɫɬɭɞɟɧɬɚɦɢ ɚɛɨ ɭɱɧɹɦɢ ɬɟɫɬɭ).

ȿɥɟɦɟɧɬɚɪɧɚ ɩɨɞɿɹ (Ȧ)

– ɦɨɠɥɢɜɢɣ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹ (ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ,

ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɨɞɧɨɝɨ ɡɚɜɞɚɧɧɹ: «ɜɢɤɨɧɚɧɨ» – «ɧɟ ɜɢɤɨɧɚɧɨ», «1» –

«0»). ɉɨɧɹɬɬɹ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨʀ ɩɨɞɿʀ ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɞɨ ɨɫɧɨɜɧɢɯ ɩɨɧɹɬɶ ɬɟɨɪɿʀ ɣɦɨɜɿ-

ɪɧɨɫɬɟɣ ɿ ɧɟ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɱɟɪɟɡ ɿɧɲɿ ɩɪɨɫɬɿɲɿ ɩɨɧɹɬɬɹ.

ɋɮɨɪɦɭɥɸɽɦɨ ɫɩɨɱɚɬɤɭ ɨɫɧɨɜɧɿ ɩɨɧɹɬɬɹ ɚɥɝɟɛɪɢ ɩɨɞɿɣ, ɩɨɜ’ɹɡɚɧɢɯ ɡ ɜɢ-

ɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɧɹɦɢ, ɧɚ ɨɩɢɫɨɜɨɦɭ ɪɿɜɧɿ.

ɋɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɭɫɿɯ ɦɨɠɥɢɜɢɯ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ {Ȧ

, Ȧ

, …, Ȧ

} ɭɬɜɨɪɸɽ

ɩɪɨɫɬɿɪ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ

:( :

). Ɂɚɩɢɫ ɭ ɞɭɠɤɚɯ ɱɢɬɚɽɬɶɫɹ: «ȿɥɟɦɟɧ-

ɬɢ Ȧ ɧɚɥɟɠɚɬɶ ɞɨ ɩɪɨɫɬɨɪɭ

:». ɍ ɩɨɞɚɥɶɲɨɦɭ ɜɜɚɠɚɬɢɦɟ, ɳɨ ɩɪɨɫɬɿɪ ɟɥɟɦɟ-

ɧɬɚɪɧɢɯ

ɩɨɞɿɣ : ɽ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɫɤɿɧɱɟɧɚ.

ȼɢɩɚɞɤɨɜɨɸ ɩɨɞɿɽɸ A ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɜɫɹɤɢɣ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹ, ɳɨ

ɦɨɠɟ ɜɿɞɛɭɬɢɫɹ ɚɛɨ ɧɟ ɜɿɞɛɭɬɢɫɹ. ȼɢɩɚɞɤɨɜɨɸ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɹɤ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɚ

ɩɨɞɿɹ Ȧ (ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɦ ɨɞɧɨɝɨ ɡɚɜɞɚɧɧɹ), ɬɚɤ ɿ

ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ { Ȧ

, Ȧ

, …, Ȧ

} ɿɡ ɩɪɨɫɬɨɪɭ ɩɨɞɿɣ {Ȧ

, Ȧ

, …, Ȧ

} (ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɜɢ-

ɤɨɧɚɧɧɹ ɞɟɤɿɥɶɤɨɯ m ɡɚɜɞɚɧɶ ɿɡ n ɡɚɩɪɨɩɨɧɨɜɚɧɢɯ, ɞɟ m  n). Ⱦɥɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ

ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɚɬɢ Ⱥ(

A

), ɬɨɛɬɨ ɟɥɟɦɟɧɬɢ Ȧ ɧɚɥɟɠɚɬɶ ɞɨ ɩɨɞɿʀ Ⱥ. ɍ

ɫɜɨɸ ɱɟɪɝɭ ɩɨɞɿɹ

Ⱥ(

:Ⱥ

) ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɞɨ ɩɪɨɫɬɨɪɭ ɩɨɞɿɣ :.

Ⱦɨɫɬɨɜɿɪɧɨɸ ɽ ɩɨɞɿɹ V, ɹɤɚ ɭ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɿ ɧɟɨɞɦɿɧɧɨ ɩɨɜɢɧɧɚ ɜɿɞɛɭɬɢɫɹ.

ɇɟɦɨɠɥɢɜɨɸ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɩɨɞɿɹ U, ɹɤɚ ɭ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɿ ɧɟ ɦɨɠɟ ɜɿɞɛɭɬɢɫɹ.

ɉɨɞɿɹ

ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɨɸ ɩɨɞɿʀ Ⱥ, ɹɤɳɨ ɜɨɧɚ ɩɨɥɹɝɚɽ ɜ ɧɟɩɨɹɜɿ ɩɨɞɿʀ Ⱥ.

Ⱦɨɛɭɬɤɨɦ

ȼȺ

ɩɨɞɿɣ Ⱥ ɿ ȼ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɩɨɞɿɹ ɋ, ɳɨ ɩɨɥɹɝɚɽ ɜ ɫɩɿɥɶɧɿɣ ɩɨ-

ɹɜɿ

ɿ ɩɨɞɿʀ Ⱥ, ɿ ɩɨɞɿʀ ȼ, ɬɨɛɬɨ ȼȺ

 .

ɋɭɦɨɸ

ȼȺ 

ɩɨɞɿɣ Ⱥ ɿ ȼ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɩɨɞɿɹ ɋ, ɳɨ ɩɨɥɹɝɚɽ ɜ ɩɨɹɜɿ ɯɨɱɚ ɛ

ɨɞɧɿɽʀ

ɡ ɩɨɞɿɣ Ⱥ ɚɛɨ ȼ, ɬɨɛɬɨ ȼȺ

 .

ɉɨɞɿʀ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶɫɹ

ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɦɢ, ɹɤɳɨ ɧɚɫɬɚɧɧɹ ɨɞɧɿɽʀ ɧɿɹɤɢɦ ɱɢɧɨɦ ɧɟ

ɜɩɥɢɜɚɽ

ɧɚ ɩɨɹɜɭ ɿɧɲɨʀ, ɿɧɚɤɲɟ ɜɨɧɢ ɽ ɡɚɥɟɠɧɢɦɢ.

ɉɨɞɿʀ ɽ

ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɦɢ, ɹɤɳɨ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɶ ɜɨɧɢ ɧɟ ɦɨɠɭɬɶ

ɜɿɞɛɭɬɢɫɹ ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ

ɿɧɚɤɲɟ ɜɨɧɢ ɜɜɚɠɚɸɬɶɫɹ ɫɭɦɿɫɧɢɦɢ. ɇɿɹɤɿ ɞɜɿ ɧɟɫɭɦɿɫɧɿ

ɩɨɞɿʀ ɧɟ ɦɨɠɭɬɶ ɜɿɞɛɭɬɢɫɹ ɪɚɡɨɦ.

ɉɨɜɧɨɸ ɝɪɭɩɨɸ ɩɨɞɿɣ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɬɚɤɚ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɩɨɩɚɪɧɨ ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɯ

ɩɨɞɿɣ

, ɞɥɹ ɹɤɨʀ ʀɯɧɹ ɫɭɦɚ ɽ ɞɨɫɬɨɜɿɪɧɨɸ ɩɨɞɿɽɸ :. ȱɧɚɤɲɟ ɤɚɠɭɱɢ, ɭ ɪɟɡɭɥɶ-

ɬɚɬɿ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɶ ɞɥɹ ɩɨɜɧɨʀ ɝɪɭɩɢ ɞɟɤɿɥɶɤɨɯ ɩɨɞɿɣ

ɧɟɨɞɦɿɧɧɨ ɩɨɜɢɧɧɚ ɜɿɞ-

ɛɭɬɢɫɹ

ɯɨɱɚ ɛ ɨɞɧɚ ɡ ɧɢɯ.

Ɉɬɠɟ, ɩɟɪɲɢɦ ɤɪɨɤɨɦ ɩɪɢ ɩɨɛɭɞɨɜɿ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɨʀ ɦɨɞɟɥɿ ɪɟɚɥɶɧɨɝɨ ɹɜɢɳɚ

ɽ ɜɢɨɤɪɟɦɥɟɧɧɹ ɭ

ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹɯ ɦɨɠɥɢɜɢɯ ɹɤ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ, ɬɚɤ ɿ ɫɤɥɚɞɧɢɯ

ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ

ɩɨɞɿɣ, ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ʀɯɧɿɯ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ (ɡɚɥɟɠɧɿ – ɧɟɡɚɥɟɠɧɿ, ɫɭɦɿ-

ɫɧɿ – ɧɟɫɭɦɿɫɧɿ ɿ ɬ.ɩ.), ɚ ɬɚɤɨɠ ɦɨɠɥɢɜɢɯ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿɜ ɨɩɟɪɚɰɿɣ ɧɚɞ ɩɨɞɿɹɦɢ

(ɫɭɦɢ, ɞɨɛɭɬɤɭ, ɞɨɩɨɜɧɟɧɧɹ ɬɚ ɿɧ.). ɉɪɨɬɟ, ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɣ ɜɢɳɟ ɩɨɧɹɬɿɣɧɢɣ

ɚɩɚɪɚɬ ɚɥɝɟɛɪɢ ɩɨɞɿɣ ɧɚ ɨɩɢɫɨɜɨɦɭ ɪɿɜɧɿ ɧɟ ɡɞɚɬɧɢɣ ɞɨ ɤɿɥɶɤɿɫɧɨʀ ɨɰɿɧɤɢ ɰɢɯ

ɩɨɞɿɣ, ɚ, ɡɧɚɱɢɬɶ, ɧɟ ɞɚɽ ɤɨɪɟɤɬɧɨʀ ɦɨɠɥɢɜɨɫɬɿ ɭ ɩɨɛɭɞɨɜɿ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɧɢɯ ɦɨɞɟ

ɥɟɣ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ ɪɟɚɥɶɧɨɫɬɿ.

ɉɪɢɣɧɹɬɢɣ ɭ ɫɭɱɚɫɧɿɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿɣ ɧɚɭɰɿ ɚɤɫɿɨɦɚɬɢɱɧɢɣ ɩɿɞɯɿɞ ɞɨ ɬɟɨɪɿʀ

ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ, ɪɨɡɪɨɛɧɢɤɨɦ ɹɤɨɝɨ ɛɭɜ Ⱥɧɞɪɿɣ Ɇɢɤɨɥɚɣɨɜɢɱ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜ

(1903-1987), ɛɚɡɭɽɬɶɫɹ ɧɚ ɬɟɨɪɿʀ ɦɧɨɠɢɧ. ȱ ɯɨɱɚ ɨɫɧɨɜɢ ɬɟɨɪɿʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ

ɛɭɥɨ ɫɮɨɪɦɨɜɚɧɨ ɪɚɧɿɲɟ (XVII-XVIII ɫɬ.), ɧɿɠ ɫɬɜɨɪɟɧɨ ɬɟɨɪɿɸ ɦɧɨɠɢɧ (ɜ

ɨɫɧɨɜɧɨɦɭ ɜ ɏɏ ɫɬ.), ɨɫɬɚɧɧɹ ɞɚɽ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɪɨɡɝɥɹɞɚɬɢ ɬɟɨɪɿɸ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫ-

ɬɟɣ ɿ

ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɭ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɭ ɹɤ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɭ ɱɚɫɬɢɧɭ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ, ɩɪɨɜɨɞɢɬɢ

ɞɨɤɚɡɢ, ɞɨɜɨɞɢɬɢ ɬɟɨɪɟɦɢ, ɮɨɪɦɭɥɸɜɚɬɢ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ

ɫɬɪɨɝɨɫɬɿ. ɉɪɨɿɥɸɫɬɪɭɽɦɨ ɨɫɧɨɜɧɿ ɨɩɟɪɚɰɿʀ ɧɚɞ ɩɨɞɿɹɦɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɦɚɬɟ-

ɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɚɩɚɪɚɬɭ ɬɟɨɪɿʀ ɦɧɨɠɢɧ.

Ɉɩɟɪɚɰɿʀ ɧɚɞ ɩɨɞɿɹɦɢ

Ɉɫɧɨɜɧɿ ɨɩɟɪɚɰɿʀ ɧɚɞ ɩɨɞɿɹɦɢ ɦɨɠɧɚ ɩɪɨɞɟɦɨɧɫɬɪɭɜɚɬɢ ɩɪɢɤɥɚɞɚɦɢ ɚɥɝɟ-

ɛɪɢ ɩɨɞɿɣ –

ɚɥɝɟɛɪɢ Ȼɭɥɹ – ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɿɚɝɪɚɦ ȼɟɧɧɚ (ɪɢɫ. 3.1).

ɚ) ȼ ɧɚɥɟɠɢɬɶ :

:B

ɛ) ɫɥɿɞɭɜɚɧɧɹ

BA 

ɜ) ɟɤɜɿɜɚɥɟɧɬɧɿɫɬɶ

F=B

ɝ) ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɿɫɬɶ

=ȍ\ȼ

ɿ C ɫɭɦɿɫɧɿ ɩɨɞɿʀ:

ɿ D ɧɟɫɭɦɿɫɧɿ ɩɨɞɿʀ:

ɞɨɛɭɬɨɤ ȼ·ɋ ɫɭɦɚ ȼ+ɋ ɞɨɛɭɬɨɤ ȼ·D ɫɭɦɚ ȼ+D

ʉ) ɩɟɪɟɬɢɧ

CB 

ɞ) ɨɛ'ɽɞɧɚɧɧɹ

CB *

ɟ) ɩɟɪɟɬɢɧ

DB 

= Ø

ɽ) ɨɛ'ɽɞɧɚɧɧɹ

DB *

Ɋɢɫ. 3.1. Ɉɩɟɪɚɰɿʀ ɧɚɞ ɩɨɞɿɹɦɢ

Ɂ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɬɨɱɤɢ ɡɨɪɭ ɩɨɞɿʀ ɪɨɡɝɥɹɞɚɸɬɶɫɹ ɹɤ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɢ (

Ⱥ, B, C,

...) ɦɧɨɠɢɧɢ

: ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ Ȧ. Ɉɬɠɟ, ɩɪɨɫɬɿɪ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ – ɰɟ

ɞɟɹɤɚ ɦɧɨɠɢɧɚ

:, ɚ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɿ ɩɨɞɿʀ – ɰɟ ʀʀ ɟɥɟɦɟɧɬɢ Ȧ.

Ɉɩɟɪɚɰɿʀ ɧɚɞ ɩɨɞɿɹɦɢ ɦɨɠɧɚ ɪɨɡɝɥɹɞɚɬɢ ɹɤ ɨɩɟɪɚɰɿʀ ɧɚɞ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɦɢ ɩɿɞ-

ɦɧɨɠɢɧɚɦɢ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɨɸ

Ⱥ ɿ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɨɸ ȼ ɩɨɜɧɨʀ ɦɧɨɠɢɧɢ :

ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ

Ȧ.

əɤɳɨ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ ɜɿɞɛɭɜɚɽɬɶɫɹ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɚ ɩɨɞɿɹ

Ȧ, ɹɤɚ ɧɚ-

ɥɟɠɢɬɶ ɦɧɨɠɢɧɿ

Ⱥ, ɬɨ ɫɬɜɟɪɞɠɭɽɬɶɫɹ, ɳɨ ɩɨɞɿɹ Ⱥ ɬɚɤɨɠ ɜɿɞɛɭɥɚɫɹ.

Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɨɫɧɨɜɧɿ ɨɩɟɪɚɰɿʀ ɧɚɞ ɩɨɞɿɹɦɢ ɡ ɬɨɱɤɢ ɡɨɪɭ ɬɟɨɪɿʀ ɦɧɨɠɢɧ.

ɉɪɢɤɥɚɞ 3.1. Ɂɚɞɚɧɨ ɩɪɨɫɬɿɪ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ (ɦɧɨɠɢɧɚ :) ɹɤ ɫɭɤɭɩ-

ɧɿɫɬɶ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɯ ɱɢɫɟɥ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. ɍ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɶ

ɡɚɮɿɤɫɨɜɚɧɨ ɧɢɡɤɭ ɩɨɞɿɣ. ɉɨɞɿʀ

Ⱥ, B, C, D ɿ F ɹɤ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɢ ɦɧɨɠɢɧɢ :

ɜɤɥɸɱɚɥɢ ɬɚɤɿ ɟɥɟɦɟɧɬɢ:

A={2,3}; B={2,3,4,5}; C={3,4,5,6}, D={6,7,8,9} ɿ

F={2,3,4,5}. Ɂ’ɹɫɭɜɚɬɢ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɨɫɧɨɜɧɢɯ ɨɩɟɪɚɰɿʀ ɚɥɝɟɛɪɢ ɩɨɞɿɣ.

Ɋɿɲɟɧɧɹ:

ɚ) ɡɚ ɭɦɨɜɚɦɢ ɩɪɢɤɥɚɞɭ ɜɫɿ ɟɥɟɦɟɧɬɢ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɢ

B={2,3,4,5} ɧɚɥɟɠɚɬɶ

ɞɨ ɦɧɨɠɢɧɢ

:={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Ɂɚ ɚɧɚɥɨɝɿɽɸ ɞɨ ɨɩɟɪɚɰɿɣ ɧɚɞ ɦɧɨɠɢ-

ɧɚɦɢ ɰɟ ɡɧɚɱɢɬɶ, ɳɨ ɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɚ ɩɨɞɿɹ

B ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɞɨ ɩɪɨɫɬɨɪɭ ɩɨɞɿɣ :,

ɬɨɛɬɨ

:B

(ɪɢɫ. 3.1ɚ);

ɛ) ɭɫɿ ɟɥɟɦɟɧɬɢ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɢ

Ⱥ={2,3} ɧɚɥɟɠɚɬɶ ɞɨ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɢ

B={2,3,4,5}, ɬɨɦɭ ɭ ɪɚɡɿ ɩɨɹɜɭ ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɜɿɞɛɭɜɚɬɢɦɟɬɶɫɹ ɿ ɩɨɞɿɹ B. ɍ ɰɿɣ ɫɢɬɭɚ-

ɰɿʀ ɦɨɠɧɚ ɫɬɜɟɪɞɠɭɜɚɬɢ, ɳɨ ɭ ɪɚɡɿ ɡɞɿɣɫɧɟɧɧɹ ɩɨɞɿɹ

Ⱥ ɫɩɪɢɱɢɧɸɽ ɩɨɹɜɭ ɩɨɞɿʀ

B. Ɍɚɤɭ ɨɩɟɪɚɰɿɸ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ «ɫɥɿɞɭɜɚɧɧɹ» ɿ ɡɚɩɢɫɭɸɬɶ ɹɤ

BA 

(ɪɢɫ. 3.1ɛ);

ɜ) ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɢ

F ɿ B ɫɤɥɚɞɚɸɬɶɫɹ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɯ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ: B={2,3,4,5} ɿ

F={2,3,4,5}. ɐɟ ɡɧɚɱɢɬɶ, ɳɨ ɩɨɞɿɹ B ɡɚɜɠɞɢ ɫɩɪɢɱɢɧɸɽ ɩɨɹɜɭ ɩɨɞɿʀ F, ɬɨɛ-

ɬɨ

FB  . ɍ ɫɜɨɸ ɱɟɪɝɭ ɩɨɞɿɹ F ɫɩɪɢɱɢɧɸɽ ɩɨɹɜɭ ɩɨɞɿʀ B, ɬɨɛɬɨ BF  . Ɉɬɠɟ,

ɩɨɞɿʀ

F ɿ B ɟɤɜɿɜɚɥɟɧɬɧɿ. ȿɤɜɿɜɚɥɟɧɬɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿɣ ɡɚɩɢɫɭɸɬɶ ɹɤ F=B (ɪɢɫ. 3.1ɜ);

ɝ) ɩɨɞɿɹ

ȼ , ɹɤɚ ɜɿɞɛɭɜɚɽɬɶɫɹ, ɤɨɥɢ ɧɟ ɜɿɞɛɭɜɚɽɬɶɫɹ ɩɨɞɿɹ ȼ, ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ

ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɨɸ ɩɨɞɿʀ ȼ. ɉɪɨɬɢɥɟɠɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿʀ ȼ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɹɤ ɞɨɩɨɜɧɟɧɧɹ

ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɢ B, ɬɨɛɬɨ

= : \ ȼ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} \ {2,3,4,5}={1, 6, 7, 8,

9}. Ɂɜɿɞɫɢ

={1, 6, 7, 8, 9} (ɡɚɮɚɪɛɨɜɚɧɚ ɩɥɨɳɚ ɧɚ ɪɢɫ. 3.1ɝ);

ʉ)

ɞɨɛɭɬɨɤ ȼ·ɋ ɩɨɞɿɣ ȼ ɿ ɋ – ɰɟ ɩɨɞɿɹ, ɳɨ ɩɨɥɹɝɚɽ ɜ ɫɩɿɥɶɧɿɣ ɩɨɹɜɿ ɿ ɩɨɞɿʀ

ȼ, ɿ ɩɨɞɿʀ ɋ. Ⱦɨɛɭɬɨɤ ɩɨɞɿɣ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɩɟɪɟɬɢɧɨɦ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɯ ɦɧɨɠɢɧ ȼ ɿ

ɋ:

CB 

= {2,3,4,5}



{5,6,7,8}={5}. Ⱦɨɛɭɬɨɤ ɩɨɞɿɣ ȼ·ɋ ɦɚɽ ɦɿɫɰɟ, ɤɨɥɢ ɞɟɹɤɿ

ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɢ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ ɧɚɥɟɠɚɬɶ ɹɤ ɦɧɨɠɢɧɿ

ȼ, ɬɚɤ ɿ ɦɧɨɠɢɧɿ ɋ

(ɪɢɫ. 3.1ʉ). ɍ ɩɪɢɤɥɚɞɿ ɫɩɿɥɶɧɨɸ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɨɸ ɽ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɚ ɩɨɞɿɹ Ȧ ={5};

ɞ)

ɫɭɦɚ ȼ+ɋ ɩɨɞɿɣ ȼ ɿ ɋ – ɰɟ ɩɨɞɿɹ, ɳɨ ɩɨɥɹɝɚɽ ɜ ɩɨɹɜɿ ɯɨɱɚ ɛ ɨɞɧɿɽʀ ɡ ɩɨ-

ɞɿɣ ɚɛɨ

ȼ, ɚɛɨ ɋ. ɋɭɦɚ ɩɨɞɿɣ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɨɩɟɪɚɰɿɽɸ ɨɛ'ɽɞɧɚɧɧɹ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɯ

ɦɧɨɠɢɧ

ȼ ɿ ɋ:

CB *

= {2,3,4,5}

{5,6,7,8}={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Ɉɬɠɟ ɫɭɦɚ ɩɨ-

ɞɿɣ

ȼ+ɋ ɦɚɽ ɦɿɫɰɟ, ɤɨɥɢ ɜɿɞɛɭɜɚɽɬɶɫɹ ɯɨɱɚ ɛ ɨɞɧɚ ɹɤɚɫɶ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɚ ɩɨɞɿɹ Ȧ ɡ

ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɢ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 3.1ɞ);

Ⱦɨɛɭɬɨɤ ɩɨɞɿɣ

ȼ·ɋ ɿ ɫɭɦɚ ɩɨɞɿɣ ȼ+ɋ, ɜɢɡɧɚɱɟɧɢɯ ɜɢɳɟ ɡɚ ɚɧɚɥɨɝɿɽɸ ɨɩɟ-

ɪɚɰɿɣ ɬɟɨɪɿʀ ɦɧɨɠɢɧ (ɪɢɫ. 3.1 ʉ, ɞ ), ɦɚɸɬɶ ɦɿɫɰɟ ɞɥɹ ɬɚɤ ɡɜɚɧɢɯ

ɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨ-

ɞɿɣ B ɿ C, ɹɤɿ ɦɨɠɭɬɶ ɜɿɞɛɭɜɚɬɢɫɹ ɪɚɡɨɦ. ɉɪɨɬɟ ɩɨɞɿʀ, ɹɤɿ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿ ɜɢɩɪɨ-

ɛɨɜɭɜɚɧɶ ɧɟ ɦɨɠɭɬɶ ɜɿɞɛɭɬɢɫɹ ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ, ɽ

ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɦɢ. Ɉɩɟɪɚɰɿʀ ɞɨɛɭɬɤɭ

ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ

ȼ·D ɿ ɫɭɦɢ ɰɢɯ ɩɨɞɿɣ ȼ+D ɩɪɨɞɟɦɨɧɫɬɪɨɜɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 3.1ɟ, ɽ;

ɟ) ɡɚ ɭɦɨɜɚɦɢ ɩɪɢɤɥɚɞɭ

ɞɨɛɭɬɨɤ ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ ȼ·D ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɩɟ-

ɪɟɬɢɧɨɦ

ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɯ ɦɧɨɠɢɧ ȼ ɿ D:

DB 

= {2,3,4,5}



{6,7,8,9}={}=Ø. ȼ ɪɟ-

ɡɭɥɶɬɚɬɿ ɨɬɪɢɦɚɽɦɨ ɬɚɤ ɡɜɚɧɭ

ɩɨɪɨɠɧɸ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɭ Ø, ɹɤɿɣ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɧɟ-

ɦɨɠɥɢɜɚ

ɩɨɞɿɹ. əɤ ɛɚɱɢɦɨ ɡ ɪɢɫ. 3.1ɟ, ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɢ ȼ ɿ D ɧɟ ɦɚɸɬɶ ɫɩɿɥɶɧɢɯ

ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ – ɜɨɧɢ ɧɟɫɭɦɿɫɧɿ. Ɉɬɠɟ ɞɨɛɭɬɨɤ ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ

ȼ·ɋ ɽ ɧɟɦɨɠɥɢ-

ɜɨɸ

ɩɨɞɿɽɸ;

ɽ)

ɫɭɦɚ ȼ +D ɧɟɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ ȼ ɿ D ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɨɛ'ɽɞɧɚɧɧɹɦ ɜɿɞɩɨɜɿɞ-

ɧɢɯ ɦɧɨɠɢɧ

ȼ ɿ D:

DB *

= {2,3,4,5}

{6,7,8,9}={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. ɋɭɦɚ ɧɟ-

ɫɭɦɿɫɧɢɯ ɩɨɞɿɣ ɜɤɥɸɱɚɽ ɜɫɿ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɿ ɩɨɞɿʀ ɤɨɠɧɨʀ ɨɤɪɟɦɨʀ ɩɨɞɿʀ (ɪɢɫ. 3.1ɽ).

Ɍɚɤɢɦ ɱɢɧɨɦ, ɨɩɟɪɚɰɿʀ ɧɚɞ ɩɨɞɿɹɦɢ ɦɨɠɧɚ ɪɨɡɝɥɹɞɚɬɢ ɹɤ ɨɩɟɪɚɰɿʀ ɧɚɞ ɜɿɞ-

ɩɨɜɿɞɧɢɦɢ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɚɦɢ. Ⱥɥɝɟɛɪɚ ɩɨɞɿɣ ɿɡɨɦɨɪɮɧɨ ɜɿɞɬɜɨɪɸɽɬɶɫɹ ɧɚ ɚɥɝɟɛ-

ɪɿ ɦɧɨɠɢɧ. Ɉɞɧɚɤ ɭ ɬɟɨɪɿʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɞɥɹ ɩɨɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɥɚɫɧɢɯ ɩɨɧɹɬɶ ɜɢ-

ɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶɫɹ ɫɜɨʀ ɬɟɪɦɿɧɢ, ɹɤɿ ɞɟɳɨ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɜɿɞ

ɬɟɪɦɿɧɿɜ ɬɟɨɪɿʀ

ɦɧɨɠɢɧ. ȼɿɞɩɨɜɿɞɧɿɫɬɶ ɦɿɠ ɬɟɪɦɿɧɨɥɨɝɿɱɧɢɦɢ ɪɹɞɚɦɢ ɰɢɯ ɞɜɨɯ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɯ

ɞɢɫɰɢɩɥɿɧ ɦɨɠɧɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɬɚɛɥ. 3.1.

Ɍɚɛɥɢɰɹ 3.1

ȼɿɞɩɨɜɿɞɧɿɫɬɶ ɬɟɪɦɿɧɿɜ ɬɟɨɪɿʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɿ ɬɟɨɪɿʀ ɦɧɨɠɢɧ

Ɍɟɨɪɿɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ Ɍɟɨɪɿɹ ɦɧɨɠɢɧ

ɉɪɨɫɬɿɪ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɯ ɩɨɞɿɣ Ɇɧɨɠɢɧɚ

ȿɥɟɦɟɧɬɚɪɧɚ ɩɨɞɿɹ ȿɥɟɦɟɧɬ ɰɿɽʀ ɦɧɨɠɢɧɢ

ɉɨɞɿɹ ɉɿɞɦɧɨɠɢɧɚ

Ⱦɨɫɬɨɜɿɪɧɚ ɩɨɞɿɹ ɉɿɞɦɧɨɠɢɧɚ, ɳɨ ɡɛɿɝɚɽɬɶɫɹ ɡ ɦɧɨɠɢɧɨɸ

ɇɟɦɨɠɥɢɜɚ ɩɨɞɿɹ ɉɨɪɨɠɧɹ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɚ Ø

ɉɨɞɿɹ, ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɚ B

Ⱦɨɩɨɜɧɟɧɧɹ

B, ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɚ

ɋɭɦɚ Ⱥ+ȼ ɩɨɞɿɣ Ⱥ ɿ ȼ

Ɉɛ'ɽɞɧɚɧɧɹ

ȼȺ *

ɩɿɞɦɧɨɠɢɧ Ⱥ ɿ ȼ

Ⱦɨɛɭɬɨɤ Ⱥ·ȼ ɩɨɞɿɣ Ⱥ ɿ ȼ

ɉɟɪɟɬɢɧ

ȼȺ 

ɩɿɞɦɧɨɠɢɧ Ⱥ ɿ ȼ

ɉɨɞɿʀ Ⱥ ɿ ȼ ɧɟɫɭɦɿɫɧɿ

ɉɟɪɟɬɢɧ

ȼȺ 

= Ø, ɩɨɪɨɠɧɹ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɚ

ɉɨɞɿʀ Ⱥ ɿ ȼ ɫɭɦɿɫɧɿ

ɉɟɪɟɬɢɧ

ȼȺ 

 Ø, ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɚ ɧɟ ɩɨɪɨɠɧɹ

Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿɣ

ȼɢɩɚɞɤɨɜɭ ɩɨɞɿɸ ɦɨɠɧɚ ɩɟɪɟɞɛɚɱɢɬɢ ɥɢɲɟ ɡ ɞɟɹɤɨɸ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɸ.

Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿʀ – ɰɟ ɱɢɫɟɥɶɧɚ ɦɿɪɚ ɨɛ'ɽɤɬɢɜɧɨʀ ɦɨɠɥɢɜɨɫɬɿ ɰɿɽʀ ɩɨɞɿʀ

(ɿɧɬɭʀɬɢɜɧɟ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ). Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿʀ

Ⱥ ɩɨɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ Ɋ(Ⱥ).

əɤɳɨ ɡɞɿɣɫɧɸɜɚɬɢ ɪɿɡɧɨɦɚɧɿɬɧɿ ɜɢɩɪɨɛɭɜɚɧɧɹ, ɬɨ ɦɨɠɧɚ ɤɨɧɫɬɚɬɭɜɚɬɢ, ɳɨ

ɪɿɡɧɿ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɩɨɞɿʀ ɦɨɠɭɬɶ ɦɚɬɢ

ɪɿɡɧɭ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɩɨɹɜɢ.

Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɧɟɦɨɠɥɢɜɨʀ ɩɨɞɿʀ U ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ, Ɋ(U) = 0.

Ƀɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɞɨɫɬɨɜɿɪɧɨʀ ɩɨɞɿʀ V ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɨɞɢɧɢɰɿ, Ɋ(V) = 1.

Ɉɬɠɟ, ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ

Ɋ(A) ɛɭɞɶ-ɹɤɨʀ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɡɧɚɯɨɞɢɬɶɫɹ ɦɿɠ ɧɭ-

ɥɟɦ ɿ ɨɞɢɧɢɰɟɸ: 0

Ɋ(A) 1.

ȱɧɤɨɥɢ ɩɨɞɿʀ ɦɨɠɧɚ ɜɜɚɠɚɬɢ ɪɿɜɧɨɦɨɠɥɢɜɢɦɢ, ɹɤɳɨ ɡɚ ɭɦɨɜɚɦɢ ɜɢɩɪɨ-

ɛɭɜɚɧɶ ɜɿɞɫɭɬɧɿ ɩɿɞɫɬɚɜɢ ɜɜɚɠɚɬɢ ɞɟɹɤɿ ɡ ɧɢɯ ɛɿɥɶɲ ɦɨɠɥɢɜɢɦɢ, ɚɧɿɠ ɛɭɞɶ-

ɹɤɿ ɿɧɲɿ. əɤɳɨ ɞɟɤɿɥɶɤɚ ɩɨɞɿɣ: 1) ɭɬɜɨɪɸɸɬɶ ɩɨɜɧɭ ɝɪɭɩɭ; 2) ɧɟɫɭɦɿɫɧɿ; 3) ɪɿ-

ɜɧɨɦɨɠɥɢɜɿ, ɬɨ ɜɨɧɢ ɦɚɸɬɶ ɧɚɡɜɭ «

ɜɢɩɚɞɤɢ».

Ʉɥɚɫɢɱɧɚ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɞɿʀ Ⱥ – ɰɟ ɱɢɫɥɨ Ɋ(A), ɞɨ ɹɤɨɝɨ ɧɚɛɥɢɠɚɽɬɶɫɹ ɜɿɞɧɨ-

ɲɟɧɧɹ

ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɩɨɹɜɥɟɧɶ ɛɚɠɚɧɨʀ ɩɨɞɿʀ Ⱥ ɞɨ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɦɨɠɥɢɜɢɯ ɩɨɞɿɣ

ɜɢɛɿɪɤɨɜɨɝɨ ɩɪɨɫɬɨɪɭ ɩɪɢ ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɿ ɧɟɡɚɥɟɠɧɨ ɜɢɤɨɧɚɧɢɯ ɜɢɩɪɨɛɨɜɭɜɚɧɶ:

ɩɨɞɿɣɦɨɠɥɢɜɢɯɤɿɥɶɤɿɫɬɶɡɚɝɚɥɶɧɚ

Aɩɨɞɿʀɛɚɠɚɧɨʀɩɨɹɜɥɟɧɶɤɿɥɶɤɿɫɬɶ

___

____

)(

. (3.1)

əɤɳɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɞɨɫɥɿɞɭ ɡɜɨɞɹɬɶɫɹ ɞɨ ɫɯɟɦɢ

ɜɢɩɚɞɤɿɜ, ɬɨ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨ-

ɞɿʀ

Ⱥ ɨɛɱɢɫɥɸɽɬɶɫɹ ɹɤ ɜɿɞɧɨɫɧɚ ɱɚɫɬɨɬɚ ɡɞɿɣɫɧɟɧɧɹ ɩɨɞɿʀ Ⱥ:

AP )(

, (3.2)

ɞɟ

m – ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɩɨɹɜɥɟɧɶ ɛɚɠɚɧɢɯ ɜɢɩɚɞɤɿɜ ɚɛɨ ɫɩɪɢɹɬɥɢɜɢɯ ɩɨɞɿɣ;

n – ɡɚɝɚɥɶɧɚ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɢɩɚɞɤɿɜ.

Ɉɬɠɟ, ɞɥɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ ɨɛɫɹɝɨɦ

n ɜɿɞɧɨɫɧɿ ɱɚɫɬɨɬɢ f

(ɯ

)=m

/n ɦɨɠ-

ɧɚ ɬɪɚɤɬɭɜɚɬɢ ɹɤ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ

(ɯ

) ɩɨɹɜɢ ɡɧɚɱɟɧɶ ɜɚɪɿɚɧɬ ɯ

ɉɪɢɤɥɚɞ 3.2. Ɂɧɚɣɬɢ ɱɢɫɟɥɶɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ Ɋ(Ⱥ) ɩɨɞɿʀ Ⱥ, ɳɨ ɫɬɭ-

ɞɟɧɬ ɧɚ ɿɫɩɢɬɚɯ ɡ 20 ɪɿɜɧɨɦɨɠɥɢɜɢɯ ɛɿɥɟɬɿɜ (ɰɟ ɡɚɝɚɥɶɧɚ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɢɩɚɞɤɿɜ)

ɜɢɬɹɝɧɟ ɡ ɩɟɪɲɨɝɨ ɪɚɡɭ ɛɿɥɟɬ ʋ7 (ɛɚɠɚɧɢɣ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɣ ɨɛ’ɽɤɬ).