Руденко В.М. Математична статистика

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ɋɩɨɫɿɛ 2.

ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ:

Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ r

ɡɚ ɧɨɪɦɨɜɚɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫ.

2.55, ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɮɨɪɦɭɥɢ ɪɢɫ. 2.56.

Ɋɢɫ. 2.55. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ r

ɡɚ ɧɨɪɦɨɜɚɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ

ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ȼ16 ɿ ɋ16 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɫɟɪɟɞɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ

;

ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ȼ17 ɿ ɋ17 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɿ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ s

ɿ s

;

Ɋɢɫ. 2.56. Ɏɨɪɦɭɥɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ r

ɡɚ ɧɨɪɦɨɜɚɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ

ɭ ɫɬɨɜɩɱɢɤɚɯ D ɿ E ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɧɨɪɦɨɜɚɧɿ ɞɚɧɿ z

ɿ z

(ɡɜɟɪɧɿɬɶ ɭɜɚɝɭ,

ɳɨ ɫɟɪɟɞɧɽ ɧɨɪɦɨɜɚɧɢɯ ɞɚɧɢɯ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 0, ɚ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ – 1,00);

ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ ȼ18 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ r

ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ (2.23);

ȼɢɫɧɨɜɤɢ. Ɉɞɧɟ ɬɟ ɫɚɦɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ r

§ +0,70 ɪɨɡɪɚɯɨɜɚɧɨ ɞɜɨɦɚ ɫɩɨɫɨɛɚ-

ɦɢ. Ɇɟɬɨɞɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɡɚ ɧɨɪɦɨɜɚɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ ɜɢɝɥɹɞɚɸɬɶ ɛɿɥɶɲ ɥɚɤɨɧɿɱ-

ɧɨ. Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɩɚɪɧɨɝɨ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɉɿɪɫɨɧɚ r

ɦɨɠɧɚ ɬɚɤɨɠ ɨɬɪɢɦɚ-

ɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɫɩɟɰɿɚɥɶɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ MS Excel =ɉɂɊɋɈɇ().

ɇɟɥɿɧɿɣɧɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿɹ

ɉɪɢɤɥɚɞ 2.8. Ɉɰɿɧɢɬɢ ɡɜ'ɹɡɨɤ ɦɿɠ ɜɿɤɨɦ (ɡɦɿɧɧɚ X) ɿ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɦɢ ɞɨɩɨɦɿ-

ɠɧɨɝɨ ɬɟɫɬɭ «ɰɢɮɪɚ-ɡɧɚɤ» ɲɤɚɥɢ ɿɧɬɟɥɟɤɬɭ ɞɨɪɨɫɥɢɯ ȼɟɤɫɥɟɪɚ (ɡɦɿɧɧɚ Y).

ɍɩɨɪɹɞɤɨɜɚɧɿ ɡɚ ɜɿɤɨɦ ɞɚɧɿ 15 ɨɫɿɛ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɭ ɬɚɛɥɢɰɿ ɪɢɫ. 2.58.

ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ:

ɨɰɿɧɢɬɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪ ɥɿɧɿɣɧɨɫɬɿ (ɧɟɥɿɧɿɣɧɨɫɬɿ) ɡɜ'ɹɡɤɭ ɦɿɠ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ

ɨɡɧɚɤ ɜɿɤɭ (X) ɿ ɬɟɫɬɭ (Y) ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɞɿɚɝɪɚɦɢ ɪɨɡɫɿɹɧɧɹ (ɪɢɫ. 2.57);

6 1014182226303438

ȼɿɤ , ɯ

Ɍɟɫɬ, y

Ɋɢɫ. 2.57. Ⱦɿɚɝɪɚɦɚ ɪɨɡɫɿɹɧɧɹ ɨɡɧɚɤ

ɩɟɪɟɤɨɧɚɬɢɫɹ, ɳɨ ɤɨɪɟɥɹɰɿɹ ɧɟɥɿɧɿɣɧɚ – ɫɩɨɱɚɬɤɭ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɬɟɫɬɭɜɚɧ-

ɧɹ ɤɪɭɬɨ ɡɪɨɫɬɚɸɬɶ ɞɥɹ ɨɫɿɛ ɜɿɤɨɦ ɜɿɞ 10 ɞɨ 22 ɪɨɤɿɜ, ɞɨɫɹɝɚɸɬɶ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶ-

ɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ, ɚ ɩɨɬɿɦ ɩɨɜɿɥɶɧɨ ɡɦɟɧɲɭɸɬɶɫɹ. əɤɿɫɧɚ ɤɚɪɬɢɧɚ ɞɚɽ ɩɿɞɫɬɚɜɢ

ɞɥɹ ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɧɧɹ ɤɿɥɶɤɿɫɧɨʀ ɦɿɪɢ ɧɟɥɿɧɿɣɧɨɫɬɿ – ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ,

ɱɢɫɟɥɶɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɹɤɨɝɨ ɡɧɚɯɨɞɢɬɶɫɹ ɭ ɦɟɠɚɯ ɜɿɞ 0 ɞɨ 1:

ɡɚɝɚɥɜɧɭɬɪxy

SSSS /1



, (2.24)

ɞɟ

¦¦



iɜɧɭɬɪ

yysSS

)( – ɜɧɭɬɪɿɲɧɶɨɝɪɭɩɨɜɚ ɫɭɦɚ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɜɿɞɯɢ-

ɥɟɧɶ y

ɜɿɞ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ y ; )1(

 nsSS

yɡɚɝɚɥ

– ɡɚɝɚɥɶɧɚ ɫɭɦɚ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ;

ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɤɜɚɞɪɚɬɢ ɪɿɡɧɢɰɶ s

ɨɤɪɟɦɨ ɞɥɹ ɤɨɠɧɨʀ ɜɿɤɨɜɨʀ ɝɪɭɩɢ (ɜɿɤɨ-

ɜɿ ɝɪɭɩɢ ɜɢɞɿɥɟɧɨ ɡɚɮɚɪɛɨɜɚɧɢɦɢ ɪɹɞɤɚɦɢ, ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɿɜ ɿ ɜɿɞɩɨɜɿ-

ɞɧɢɯ ɮɨɪɦɭɥ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 2.58 ɿ 2.59);

ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ D3 ɜɢɪɚɡ =(C3-ɋɊɁɇȺɑ($C$3:$C$4))^2. Ⱥɧɚɥɨɝɿɱɧɢɣ

ɜɢɪɚɡ ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ D4 (ɜɿɤɨɜɚ ɝɪɭɩɚ 10 ɦɿɫɬɢɬɶ ɥɢɲɟ ɞɜɚ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɬɟɫɬɭ);

Ɋɢɫ. 2.58. Ʉɨɪɟɥɹɰɿɣɧɟ

ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ

,xy

§ 0,67

Ɋɢɫ. 2.59. Ɏɨɪɦɭɥɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ

ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ

,xy

ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ s

ɞɥɹ ɿɧɲɢɯ ɜɿɤɨɜɢɯ ɝɪɭɩ, ɞɟ x = 14, 18, 22, 26, 30, 34 ɿ 38;

ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ D18 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ SS

ɜɧɭɬɪ

(ɜɢɪɚɡ =ɋɍɆɆ(D3:D17));

ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ D19 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ SS

ɡɚɝɚɥ

(ɜɢɪɚɡ =Ⱦɂɋɉ(C3:C17)*(A17-1));

ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ D20 ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ Ș

y,x

(ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ =1-D18/D19);

ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ D21 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɉɿɪɫɨɧɚ ɞɥɹ ɜɫɶɨɝɨ ɦɚ-

ɫɢɜɭ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ MS Excel =ɉɂɊɋɈɇ(B3:B17;C3:C17). Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬ

ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ ɩɪɢɛɥɢɡɧɨ ɧɭɥɸ (r

§ –0,04), ɳɨ ɫɜɿɞɱɢɬɶ ɩɪɨ (ɧɿ-

ɛɢɬɨ) ɜɿɞɫɭɬɧɿɫɬɶ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɡɜ'ɹɡɤɭ ɦɿɠ ɡɦɿɧɧɢɦɢ;

ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɨɤɪɟɦɨ ɞɥɹ ɱɚɫɬɢɧ ɦɚɫɢɜɭ: ɭ ɤɨɦɿɪ-

ɰɿ D22 ɞɥɹ ɜɿɤɭ ɜɿɞ 10 ɞɨ 22, ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ D23 ɞɥɹ ɜɿɤɭ ɜɿɞ 26 ɞɨ 38 .

Ɉɬɠɟ, ɞɥɹ ɜɿɤɭ ɜɿɞ 10 ɞɨ 22 ɪɨɤɿɜ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɦɚɽ ɜɢɫɨɤɟ ɞɨɞɚɬɧɟ

ɡɧɚɱɟɧɧɹ (r

§+0,83), ɳɨ ɩɿɞɬɜɟɪɞɠɭɽ ɩɪɹɦɢɣ ɡɜ'ɹɡɨɤ, ɹɤɢɣ ɦɨɠɧɚ ɫɩɨɫɬɟɪɿɝɚ-

ɬɢ ɧɚ ɞɿɚɝɪɚɦɿ. Ⱦɥɹ ɜɿɤɭ ɜɿɞ 26 ɞɨ 38 ɪɨɤɿɜ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɦɚɽ ɜɿɞ'ɽɦɧɟ

ɡɧɚɱɟɧɧɹ (r

§–0,69), ɳɨ ɿɧɬɟɪɩɪɟɬɭɽɬɶɫɹ ɹɤ ɡɜɨɪɨɬɧɢɣ ɡɜ'ɹɡɨɤ. Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɤɨ-

ɪɟɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ

67,0

ɩɿɞɬɜɟɪɞɠɭɽ ɜɢɫɨɤɿɣ ɪɿɜɟɧɶ ɧɟ ɥɿɧɿɣɧɨɫɬɿ

ɡɜ’ɹɡɤɭ ɡɦɿɧɧɢɯ X Y.

ɋɥɿɞ ɡɜɟɪɧɭɬɢ ɭɜɚɝɭ ɧɚ ɬɟ, ɳɨ ɞɥɹ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ Ș

y,x

ɫɩɨɱɚɬɤɭ ɜɤɚɡɭɸɬɶ ɿɧ-

ɞɟɤɫ y, ɚ ɩɨɬɿɦ – ɯ, ɹɤɢɣ ɽ ɦɿɪɨɸ ɩɪɨɝɧɨɡɭɜɚɧɧɹ Y ɩɨ X. ȼɚɠɥɢɜɨ ɡɚɡɧɚɱɢɬɢ,

ɳɨ ɞɥɹ ɥɿɧɿɣɧɨɝɨ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɡɜ'ɹɡɤɭ ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ r

= r

ɩɪɨɬɟ Ș

y,x

ɿ Ș

x,y

ɦɚɬɢɦɭɬɶ ɪɿɡɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ. əɤɳɨ ɡɜɟɪɧɭɬɢɫɹ ɞɨ ɞɿɚɝɪɚɦɢ ɪɨɡɫɿ-

ɹɧɧɹ (ɪɢɫ. 2.57), ɬɨ ɦɨɠɧɚ ɜɿɞɡɧɚɱɢɬɢ ɬɨɣ ɮɚɤɬ, ɳɨ ɞɥɹ ɨɫɨɛɢ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɜɿ-

ɤɨɦ 10 ɪɨɤɿɜ (ɏ=10), ɦɨɠɧɚ ɩɪɨɝɧɨɡɭɜɚɬɢ ɫɟɪɟɞɧɸ ɨɰɿɧɤɭ ɬɟɫɬɭ ɭ 8 ɛɚɥɿɜ

(Y=(7+9)/2=8), ɭ ɬɨɣ ɱɚɫ ɹɤ ɞɥɹ ɨɰɿɧɤɢ ɬɟɫɬɭ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɭ 8 ɛɚɥɿɜ ɜɿɤ ɨɫɨɛɢ

ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɹɤ ɛɥɢɡɶɤɨ 10, ɬɚɤ ɿ ɛɥɢɡɶɤɨ

38 ɪɨɤɿɜ.

Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɜɚɠɥɢɜɢɯ ɞɥɹ ɩɫɢɯɨɥɨɝɨ-ɩɟɞɚɝɨɝɿɱɧɢɯ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɶ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧ-

ɬɿɜ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɩɪɢɜɟɞɟɧɨ ɪɚɡɨɦ ɡ ɨɰɿɧɤɨɸ ʀɯɧɶɨʀ ɜɿɪɨɝɿɞɧɨɫɬɿ ɭ ɪɨɡɞɿɥɿ 5.6.

Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɜɡɚɽɦɧɨʀ ɡɜ'ɹɡɚɧɨɫɬɿ

, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɑɭɩɪɨɜɚ K ɿ ɉɿɪɫɨɧɚ ɋ ɡɚ-

ɫɬɨɫɨɜɭɸɬɶɫɹ ɞɥɹ ɨɰɿɧɤɢ ɡɜ'ɹɡɤɭ ɭ ɫɢɬɭɚɰɿɹɯ, ɤɨɥɢ ɤɨɠɧɚ ɹɤɿɫɧɚ ɨɡɧɚɤɚ ɫɤɥɚ-

ɞɚɽɬɶɫɹ ɛɿɥɶɲ ɧɿɠ ɡ ɞɜɨɯ ɝɪɭɩ. Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɑɭɩɪɨɜɚ Ʉ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɭ ɪɚɡɿ

ɧɟɨɞɧɚɤɨɜɨʀ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɪɹɞɤɿɜ ɿ ɫɬɨɜɩɱɢɤɿɜ ɬɚɛɥɢɰɿ ɫɩɪɹɠɟɧɨɫɬɿ (k

 k

)1)(1(



, (2.25)

ɞɟ k

ɿ k

– ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɝɪɭɩ ɩɟɪɲɨʀ ɿ ɞɪɭɝɨʀ ɨɡɧɚɤɢ (ɩɚɪɚɦɟɬɪɢ ɏ ɿ Y).

Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɜɡɚɽɦɧɨʀ ɡɜ'ɹɡɚɧɨɫɬɿ ɉɿɪɫɨɧɚ ɋ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɽɬɶɫɹ, ɤɨɥɢ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ

ɪɹɞɤɿɜ ɿ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɫɬɨɜɩɰɿɜ ɭ ɬɚɛɥɢɰɿ ɫɩɪɹɠɟɧɨɫɬɿ ɡɛɿɝɚɸɬɶɫɹ (k

= k



, ɞɟ



. (2.26)

Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɑɭɩɪɨɜɚ K ɿ ɉɿɪɫɨɧɚ ɋ ɡɦɿɧɸɸɬɶɫɹ ɜɿɞ 0 ɞɨ 1.

ɉɪɢɤɥɚɞ 2.9. Ɉɰɿɧɢɬɢ ɡɜ'ɹɡɚɧɿɫɬɶ ɦɿɠ ɩɪɢɧɚɥɟɠɧɿɫɬɸ ɨɫɿɛ ɞɨ ɩɟɜɧɨʀ ɫɨɰɿ-

ɚɥɶɧɨʀ ɝɪɭɩɢ ɬɚ ʀɯ ɩɫɢɯɿɱɧɢɦɢ ɫɬɚɧɚɦɢ (ɬɚɛɥ. 2.5).

Ɍɚɛɥɢɰɹ 2.5

Ɋɨɡɩɨɞɿɥ ɝɪɭɩ ɡɚ ɩɫɢɯɿɱɧɢɦɢ ɫɬɚɧɚɦɢ

ɉɫɢɯɿɱɧɿ ɫɬɚɧɢ (ɩɚɪɚɦɟɬɪ X)

ɋɨɰɿɚɥɶɧɿ ɝɪɭɩɢ

(ɩɚɪɚɦɟɬɪ Y)

Ɇɨɧɨɬɨɧɿɹ ɇɭɞɶɝɚ ɋɚɦɨɬɧɿɫɬɶ Ⱥɫɬɟɧɿɹ

ȼɫɶɨɝɨ:

ɫɬɭɞɟɧɬɢ 10 43 7 5 65

ɫɥɭɠɛɨɜɰɿ 42 14 25 6 87

ɩɟɧɫɿɨɧɟɪɢ 51 11 10 33 105

ȼɫɶɨɝɨ 103 68 42 44 257

ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ:

Ⱦɥɹ ɫɢɬɭɚɰɿʀ ɡ ɧɟɨɞɧɚɤɨɜɨɸ ɤɿɥɶɤɿɫɬɸ ɪɹɞɤɿɜ ɿ ɫɬɨɜɩɱɢɤɿɜ (k

 k

) ɜɢɤɨ-

ɪɢɫɬɚɬɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɜɡɚɽɦɧɨʀ ɡɜ'ɹɡɚɧɨɫɬɿ ɑɭɩɪɨɜɚ Ʉ.

ȼɧɟɫɬɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɞɚɧɿ ɭ ɬɚɛɥɢɰɸ ɪɢɫ. 9.20 ɿ ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɬɚɤɿ ɞɿʀ:

– ɪɨɡɩɢɫɚɬɢ ɞɨɤɥɚɞɧɿɲɟ ɜɢɪɚɡ ĳ

, ɜɢɯɨɞɹɱɢ ɡ ɭɦɨɜ k

= 3 ɿ k

= 4:







¦¦¦

(2.27)

– ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɨɤɪɟɦɿ ɫɤɥɚɞɨɜɿ (ɪɢɫ. 2.60 ɿ 2.61):

538,0

2222



;

454,0

2222



;

513,0

2222



Ɋɢɫ. 2.60. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɑɭɩɪɨɜɚ Ʉ

Ɋɢɫ. 2.61. Ɏɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɑɭɩɪɨɜɚ Ʉ

– ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪ

= 0,538+0,454+0,513–1 § 0,505.

– ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɱɢɫɟɥɶɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɜɡɚɽɦɧɨʀ ɡɜ'ɹɡɚɧɨɫɬɿ ɑɭɩɪɨɜɚ Ʉ

45,0

)14)(13(

505,0

)1)(1(



ȼɢɫɧɨɜɤɢ. Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɑɭɩɪɨɜɚ K § 0,45 ɫɜɿɞɱɢɬɶ ɩɪɨ ɩɨɦɿɪɧɭ

ɜɡɚɽɦɧɭ ɡɜ’ɹɡɚɧɿɫɬɶ ɦɿɠ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ Y ɿ ɏ. ɇɚɩɪɚɜɥɟɧɧɹ ɡɜ'ɹɡɚɧɨɫɬɿ ɤɨɟɮɿɰɿ-

ɽɧɬ Ʉ ɧɟ ɜɤɚɡɭɽ. ɐɟ ɦɨɠɧɚ ɨɰɿɧɢɬɢ ɡɚ ɮɨɪɦɨɸ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ.

Ɂɚɩɢɬɚɧɧɹ. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ.

1. ɓɨ ɬɚɤɟ ɤɨɪɟɥɹɰɿɹ? Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɨɫɨɛɥɢɜɨɫɬɿ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɡɜ'ɹɡ-

ɤɭ.

əɤɿ ɜɢɞɢ ɡɜ’ɹɡɤɿɜ (ɬɪɢ ɬɢɩɢ ɡɚɥɟɠɧɨɫɬɟɣ) ɦɿɠ ɡɦɿɧɧɢɦɢ X ɿ Y ɦɨɠɧɚ

ɜɢɞɿɥɢɬɢ?

Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɣ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɽ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨɸ ɜɟɥɢɱɢ-

ɧɨɸ.

əɤɢɣ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɢɣ ɡɜ’ɹɡɨɤ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɩɪɹɦɢɦ, ɚ ɹɤɢɣ – ɡɜɨɪɨɬɧɢɦ?

əɤ ɹɤɿɫɧɨ ɨɰɿɧɢɬɢ ɥɿɧɿɣɧɿɫɬɶ (ɧɟɥɿɧɿɣɧɿɫɬɶ) ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ?

ȼ ɹɤɢɯ ɦɟɠɚɯ ɡɧɚɯɨɞɢɬɶɫɹ ɱɢɫɟɥɶɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚɦɢ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ?

əɤ ɤɿɥɶɤɿɫɧɨ ɨɰɿɧɢɬɢ ɥɿɧɿɣɧɿɫɬɶ (ɧɟɥɿɧɿɣɧɿɫɬɶ) ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ?

Ɂɚɩɢɲɿɬɶ ɮɨɪɦɭɥɭ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɉɟɪɫɨɧɚ.

ȼ ɹɤɢɯ ɦɟɠɚɯ ɡɧɚɯɨɞɢɬɶɫɹ ɱɢɫɟɥɶɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɜɿɞɧɨɲɟɧ-

ɧɹ?

10.

Ɉɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɣɬɟ ɨɫɨɛɥɢɜɨɫɬɿ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɜɡɚɽɦɧɨʀ

ɡɜ'ɹɡɚɧɨɫɬɿ ɑɭɩɪɨɜɚ K ɿ ɉɿɪɫɨɧɚ ɋ.

11.

ȼ ɹɤɢɯ ɦɟɠɚɯ ɡɧɚɯɨɞɢɬɶɫɹ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɜɡɚɽɦɧɨʀ ɡɜ'ɹɡɚɧɨɫɬɿ

ɑɭɩɪɨɜɚ K ɿ ɉɿɪɫɨɧɚ ɋ?

12. ɉɨɜɬɨɪɿɬɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɩɪɨɰɟɞɭɪɢ ɡɚɜɞɚɧɶ ɡɚ ɩɪɢɤɥɚɞɚɦɢ 2.7 – 2.9.

13. ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɥɚɛɨɪɚɬɨɪɧɿ ɪɨɛɨɬɢ ʋ 4 – ʋ 6.

2.4. ɊȿȽɊȿɋȱə

ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɡɜ’ɹɡɤɢ ɦɿɠ ɡɦɿɧɧɢɦɢ ɞɨɫɥɿɞɠɭɸɬɶɫɹ ɧɟ ɥɢɲɟ ɦɟɬɨɞɚɦɢ ɤɨ-

ɪɟɥɹɰɿɣɧɨɝɨ, ɚ ɣ ɪɟɝɪɟɫɿɣɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ, ɹɤɿ ɞɨɩɨɜɧɸɸɬɶ ɨɞɢɧ ɨɞɧɨɝɨ. Ɉɫɧɨɜɧɟ

ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ – ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɜ’ɹɡɤɭ ɦɿɠ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɦɢ ɡɦɿɧ-

ɧɢɦɢ ɿ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɣɨɝɨ ɿɧɬɟɧɫɢɜɧɨɫɬɿ ɬɚ ɧɚɩɪɹɦɭ. Ɉɫɧɨɜɧɟ ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɪɟɝɪɟ-

ɫɿɣɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ ɽ ɜɫɬɚɧɨɜɥɟɧɧɹ ɮɨɪɦɢ ɿ ɜɢɜɱɟɧɧɹ ɡɚɥɟɠɧɨɫɬɿ ɡɦɿɧɧɢɯ.

Ɋɟɝɪɟɫɿɹ ɞɨɡɜɨɥɹɽ ɡɚ ɜɟɥɢɱɢɧɨɸ ɨɞɧɿɽʀ ɨɡɧɚɤɢ (ɡɦɿɧɧɚ ɏ) ɡɧɚɯɨɞɢɬɢ ɫɟɪɟ-

ɞɧɿ (ɨɱɿɤɭɜɚɧɿ) ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɿɧɲɨʀ ɨɡɧɚɤɢ (ɡɦɿɧɧɚ Y), ɡɜ'ɹɡɚɧɨʀ ɡ ɏ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨ.

Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɜ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹɯ ɤɨɧɤɪɟɬɧɢɣ ɜɢɞ ɜɡɚɽɦɨɡɜ'ɹɡɤɿɜ ɧɟɜɿɞɨɦɢɣ, ɨɞɧɟ ɡ

ɝɨɥɨɜɧɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ ɪɟɝɪɟɫɿɣɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ ɩɨɥɹɝɚɽ ɭ ɞɨɛɨɪɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨɝɨ ɜɢɪɚɡɭ

Y = f (X), ɝɪɚɮɿɤ ɹɤɨɝɨ ɩɪɨɯɨɞɢɬɶ ɱɟɪɟɡ ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɬɨɱɤɢ (ɚɛɨ ɞɨɫɢɬɶ

ɛɥɢɡɶɤɨ

ɞɨ ɧɢɯ) ɿ ɬɚɤɢɦ ɱɢɧɨɦ ɡɜ'ɹɡɭɽ ɡɦɿɧɧɿ ɏ ɿ Y.

ȼɢɪɚɡ Y = f (X) ɦɚɽ ɧɚɡɜɭ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɪɟɝɪɟɫɿʀ, ɮɭɧɤɰɿɹ f (X) – ɮɭɧɤɰɿɹ ɪɟɝɪɟ-

ɫɿʀ, ɚ ʀɯɧɿ ɝɪɚɮɿɤɢ – ɥɿɧɿʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ. Ɋɟɝɪɟɫɿɣɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ ɜɢɹɜɥɹɽ ɤɿɥɶɤɿɫɧɭ ɡɚɥɟɠ-

ɧɿɫɬɶ ɨɡɧɚɤɢ-ɮɚɤɬɨɪɚ (ɡɚɥɟɠɧɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ) ɜɿɞ ɨɞɧɨɝɨ ɚɛɨ ɞɟɤɿɥɶɤɨɯ ɨɡɧɚɤ-

ɮɚɤɬɨɪɿɜ (ɧɟɡɚɥɟɠɧɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ). ɐɹ ɡɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɦɨɠɟ

ɛɭɬɢ ɨɞɧɨɦɿɪɧɨɸ ɱɢ ɛɚ-

ɝɚɬɨɦɿɪɧɨɸ (ɦɧɨɠɢɧɧɨɸ), ɹɤ ɥɿɧɿɣɧɨɸ, ɬɚɤ ɿ ɧɟɥɿɧɿɣɧɨɸ.

Ɉɞɧɨɦɿɪɧɚ ɥɿɧɿɣɧɚ ɪɟɝɪɟɫɿɹ

ɩɪɢɩɭɫɤɚɽ ɬɿɥɶɤɢ ɞɜɿ ɡɦɿɧɧɿ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɧɟ-

ɡɚɥɟɠɧɭ ɏ ɿ ɡɚɥɟɠɧɭ Y, ɚ ɬɚɤɨɠ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɥɿɧɿɣɧɨɝɨ ɬɢɩɭ ;=ɚ

+ ɚ

·X. Ʌɿɧɿɣɧɚ

ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɞɚɽ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɜɢɹɜɥɹɬɢ, ɧɚ ɫɤɿɥɶɤɢ ɡɦɿɧɸɽɬɶɫɹ ɫɟɪɟɞɧɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ

ɨɞɧɿɽʀ ɨɡɧɚɤɢ ɩɪɢ ɡɦɿɧɿ ɿɧɲɨʀ. ɉɨɛɭɞɨɜɚ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɩɨɥɹɝɚɽ ɭ ɪɨɡɪɚɯɭɧ-

ɤɚɯ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɚ

ɿ ɚ





)Xx(

)Yy()Xx(

; (2.28)

XaYa 

, (2.29)

ɞɟ

– ɫɟɪɟɞɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɦɿɧɧɢɯ Y ɿ ɏ.

ȼɢɛɿɪ ɡɧɚɱɟɧɶ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɚ

ɿ ɚ

ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ ɡɚ ɦɟɬɨɞɨɦ «ɧɚɣɦɟɧɲɢɯ

ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ» ɬɚɤ, ɳɨɛ ɫɭɦɚ

¦¦

 

)()

(

iiii

XaayYy

ɛɭɥɚ ɦɿɧɿɦɚɥɶɧɨɸ.

əɤɳɨ ɧɟɡɚɥɟɠɧɨɸ ɨɡɧɚɤɨɸ ɜɢɫɬɭɩɚɽ Y ɚ ɡɚɥɟɠɧɨɸ – ɏ, ɬɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɥɿɧɿɣ-

ɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɛɭɞɟ ɦɚɬɢ ɿɧɲɢɣ ɜɢɝɥɹɞ ɬɢɩɭ

+ b

·Y. Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɥɿɧɿɣɧɨʀ

ɪɟɝɪɟɫɿʀ b

ɿ b

ɜɿɞɪɿɡɧɹɬɢɦɭɬɶɫɹ ɜɿɞ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɚ

ɿ ɚ

ɉɪɢɤɥɚɞ 2.10. Ɉɰɿɧɢɬɢ ɡɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɭɫɩɿɲɧɨɫɬɿ ɧɚɜɱɚɧɧɹ (Y) ɜɿɞ ɡɚɬɪɚɱɟɧɨ-

ɝɨ ɱɚɫɭ (X). ȿɦɩɿɪɢɱɧɿ ɞɚɧɿ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨ ɜ ɬɚɛɥɢɰɿ ɪɢɫ. 2.62.

ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ:

ȼɢɤɨɧɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɚ

ɿ ɚ

–

ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ȼ15 ɿ ɋ15 ɜɧɟɫɬɢ =ɋɊɁɇȺɑ(B3:B13) ɿ =ɋɊɁɇȺɑ(C3:C13) ɿ

ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɫɟɪɟɞɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɦɚɫɢɜɿɜ

§ 2,39

§ 4,09;

–

ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ D3:H13 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɪɿɡɧɢɰɿ, ɞɨɛɭɬɤɢ ɿ ɤɜɚɞɪɚɬɢ ɪɿɡɧɢɰɶ ɡɚ

ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɯ ɮɨɪɦɭɥ, ɳɨ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 2.63;

–

ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ F14:H14 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɫɭɦɢ ɞɨɛɭɬɤɿɜ ɿ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɪɿɡɧɢɰɶ;

–

ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ D17 ɿ D17 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ ɚ

ɿ ɚ

ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɜɢɪɚɡɿɜ =F14/G14 ɿ

=C15-D17*B15:

= 7,11/5,19 § 1,37 ɿ ɚ

= 4,09–1,37·2,39 § 0,82;

Ɋɢɫ. 2.62. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ

Ɋɢɫ. 2.63. Ɏɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ

–

ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ȱ3:ȱ13 ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ; ɡɚ ɪɟ-

ɝɪɟɫɿɣɧɢɦ ɪɿɜɧɹɧɧɹɦ ;=0,82+1,37·X. Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȱ3 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ

=$D$18+$D$17*B3. Ⱥɧɚɥɨɝɿɱɧɿ ɜɢɪɚɡɢ ɜɧɟɫɬɢ ɜ ɿɧɲɿ ɤɨɦɿɪɤɢ ɫɬɨɜɩɱɢɤɚ ȱ;

–

ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ɇ17:ɇ18 ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɢɦ ɫɩɨɫɨɛɨɦ ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ

ɪɟɝɪɟɫɿʀ b

ɿ b

ɪɟɝɪɟɫɿɣɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ

+ b

·Y;

–

ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ D21 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɜɢɪɚɡɭ

=F14/ɄɈɊȿɇɖ(G14*H14) ɚɛɨ =ɉɂɊɋɈɇ(B3:B13;C3:C13), ɨɬɪɢɦɚɬɢ r

§ 0,76;

–

ɩɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɝɪɚɮɿɤɢ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ (ɪɢɫ. 2.64).

11,522,533,54

=0,67+0,42Y

Y= 0,82+1,37X

Ɋɢɫ. 2.64. Ƚɪɚɮɿɤɢ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɪɟɝɪɟɫɿʀ