Романовский С.И. Седиментологические основы литологии

Подождите немного. Документ загружается.

окатаииости от выделенных классов (рис. 33). Можно видеть, что

эта

зависимость также носит экспоненциальный характер*.

Число подобных примеров можно было бы значительно увели-

чить. Соотношения вида

(94)—(96)

обобщают уравнения

линейной

регрессии, а случайные величины, связанные этими соотношени-

ями, имеют экспоненциальную функцию распределения. Кроме

того,

все рассмотренные нами примеры экспоненциальных зависи-

мостей

могут быть получены из общей аналитической модели.

Действительно, пусть у — случайная величина, которая является

функцией либо пространственной, либо временной координаты

(в

наших примерах случайная величина от времени не зависела),

т.

е. у = / (х). Случайная величина у всегда изменяется таким

образом,

что с ростом х значения у уменьшаются. Причем скорость

изхменения величины у определяется ее приращением при изме-

нении

х на величину Ах. Таким образом, с учетом сделанных

замечаний можно записать

Ay=—

ку Ах, (98)

где к — коэффициент пропорциональности. Поделив обе части

равенства

(98) на Ax и устремив Ax ->0, получим обыкновенное

дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными,

которое

после разделения переменных принимает вид

- к dx, (99)

Решением этого уравнения является функция

= с ехр

{

— кх}. (100)

Постоянная с находится из начального условия у = у

при х — 0.

Тогда

•

у =

Уоехр{

—

кх]. (101)

Это

и есть общий вид аналитической модели, обобщающий все

приведенные нами примеры экспоненциального изменения слу-

чайной величины.

ОЦЕНКА

ПАРАМЕТРОВ НАЙДЕННЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ГРАНУЛОМЕТРИЧЕСКИХ АНАЛИЗОВ

Рассмотрим

ряд вопросов, связанных с оценкой параметров

найденных распределений. Прежде всего необходимо сделать

следующее

общее замечание. Если результаты гранулометрических

анализов выполнены не в «числе

зерен»,

а «по

весу»,

то статисти-

ческие критерии согласия типа %

или

Колмогорова оказываются

неприменимыми в том смысле, что с их помощью нельзя проверить

нулевую гипотезу о типе распределения. Мояшо лишь среди

Материал для этого примера любезно предоставил автору Д. С. Капшк.

множества

альтернатив выбрать ту, для которой значения %

вычисленного по данным выборки, оказываются наименьшими.

Иными словами, можно лишь оценить степень близости к тому

или иному закону распределения в сравнении с другими, а не

статистическую непротиворечивость выборочных данных опре-

деленному вероятностному закону. Поэтому и утверяхдения,

изобилии встречающиеся в литературе, о том, что размеры частиц

чаще

всего имеют логарифмически-нормальное распределение,

оказываются

несостоятельными. Недаром просмотр большого

числа публикаций по вопросам гранулометрии показывает, что

пи в одной из них эти утверждения не подкреплялись реальными

статистическими расчетами.

Распределение Вейбулла. Наиболее строгие оценки параметров

и P в функции (85) моялю получить с помощью метода макси-

мального правдоподобия.

Пусть сделана выборка X

, . . .,

XJSR

из распределения Вейбулла

параметрами А и р. Функция правдоподобия для этого распре-

деления запишется в виде

, . . .,

= a*pw П XF~

exp - А 2 4 . (102)

/=1

\ L=I J

Дифференцируем (предварительно прологарифмированную) функ-

цию L по а и

и составляем уравнения правдоподобия для каячдого

параметра:

3InL

,V V? r

/=1

xf = 0; (103)

()

In L Л

*р

р-

1п:г

*-"

я?

Р|п:г

г=0

(104)

Из (103) сразу находим оценку для А:

L=I

Используя полученную оценку для а в виде

(105),

выпишем на

основании уравнения (104) выражение для оценки р*.

xf UiX

'-^

£=4-2

"'"

(106)

XF 1-Х

Правая часть (106) от

не зависит. Поэтому оценку P мояшо найти

любым из итерационных методов либо методом

«проб

ошибок»,

после чего оценка а определяется сразу по формуле

(105).

152

учетом специфики гранулометрических анализов, в которых

результаты

всегда сгруппированы по фракциям независимо от

формы их представления — «по

весу»

или «по

счету»,

выражения

(105)

и (106) несколько видоизменяются:

(107)

(108)

где п — число разрядов группировки (число фракций); X

— сере-

дина £-го разряда; p

— частость, соответствующая i-му разряду.

Следует

отметить, что оценка параметров распределения

Вей-

булла представляет нелегкую задачу. Ей посвящена обширная

специальная литература, в которой предлагаются как точные

методы

оценивания

[388—391,

414, 425, 4841, так и приближенные,

основанные на методе квантилей [392, 436] и построении номо-

грамм

[407].

Большой обзор различных приемов оценивания

параметров

распределения Вейбулла опубликовал С. Д. Даби

[389].

Для случая сгруппированных данных оценки параметров а

и р можно получить и иным путем, используя, например, выраже-

ние для теоретического коэффициента вариации распределения

Вейбулла

[7].

Распределение Рэлея. Параметр о

распределения Рэлея вида

(75)

такяче можно оценить с помощью метода максимального

правдоподобия. Несмещенная оцепка а

при этом получается

виде

1=1

учетом результатов гранулометрических анализов оценку о

можно вычислять по формуле

Экспоненциальное распределение. Если экспоненциальное

рас-

пределение задается формулой (89), то максимально правдоподоб-

ной оценкой параметра 0 служит величина

1 __ -

——

х,

(111)

или

Таким

образом, по этим формулам можно оценить неизвестные

параметры

одной из трех функций распределения и сопоставить

значения теоретической кривой распределения с выборочными

данными (гистограммой, построенной по результатам грануло-

метрического анализа). Однако по названным выше причинам

такое

сравнение нельзя отождествлять с проверкой статистических

гипотез.

Часто

строгую статистическую проверку подменяют графиче-

скими приемами сравнения двух распределений с помощью по-

строений на вероятностной бумаге. Однако графические приемы

сравнения двух выборочных асимметричных распределений всегда

неэффективны, а в случае

«близких»

законов распределения могут

вообще

давать неверные результаты. Показателен в этом отноше-

нии пример сравнения распределений Парето и логарифмичесгш-

пормалыюго.

Известно

[511],

что при некотором подборе пара-

метров

этих функций экспериментальные точки вполне правдопо-

добно располагаются вдоль прямой

линии

как в системе координат,

соответствующей

закону Парето, так и в системе, соответ-

ствующей

логарифмически-нормальному распределению. При бо-

лее же строгой проверке гипотез о соответствии эмпирического

закона

одному из двух упомянутых теоретических может ока-

заться,

что обе эти гипотезы или одну из них приходится

отвергнуть.

Этот

факт лишний раз доказывает, что при проверке соответ-

ствия выборочных данных тому или иному закону распределения

на уровне «эмпирической непротиворечивости» невозмояшо оце-

нить достоверность той «содеря^ательной» информации, которую

геологи постоянно извлекают таким путем, искусственно

ассо-

циируя словесные построения с определенной функцией распре-

деления. Например, применительно к гранулометрическому со-

ставу

осадочных образований, как было показано

выше,

вполне

удовлетворительной моделью является распределение Вейбулла

и его частный случай — закон Рэлея, которые в отличие от лога-

рифмически-нормального распределения имеют по крайней мере

седиментологичесггое обоснование. По всей вероятности, при

другой трактовке процесса седиментации кластических частиц

можно получить и распределение Парето, также близкое в вероят-

ностном смысле логарифмически-нормальной функции.

Логарифмически-нормальному распределению близко и рас-

пределение Вейбулла, которое можно отличить лишь с помощью

специальных статистических критериев

[394].

Не исключено

поэтому,

что для многих видов осадков, размер частиц которых

считался распределенным по логарифмически-нормальному за-

копу, при более внимательном (а главное, корректном) статисти-

ческом анализе окажется, что это эмпирическое распределение

не противоречит закону Вейбулла. По

крайней

мере для резуль-

татов

гранулометрических анализов, выраженных в числе зерен,

это

соответствие может быть установлено строгими статистиче-

скими методами. Пока л^е такие анализы еще не выполняются,

потому и в данной работе мы не имеем возмоячности подкрепить

предложенные теоретические модели практическими расчетами *.

ГЛАВА

ОФОРМЛЕНИЕ

ФРАКЦИОННОЙ СТРУКТУРЫ ОСАДКА

СВЕТЕ

ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОЙ ДИФФУЗИИ

данной главе предпринята попытка использования различ-

ных модификаций уравнения турбулентной диффузии для решения

задач,

связанных с процессами формирования фракционной струк-

туры осадка. Обращение к уравнению диффузии, одному из клас-

сических уравнений математической физики, объясняется тем,

что,

с одной стороны, данное уравнение хорошо описывает физику

процесса

седиментации, а с другой — позволяет связать (для

ряда граничных условий) наблюдаемые эмпирические закономер-

ности поведения частиц разных размеров в пределах зоны акку-

муляции

с конкретными характеристиками процесса, управля-

ющего

переносом и осаяадением частиц. Причем эти характери-

стики устанавливаются аналитически и входят в решения соответ-

ствующих

задач.

На

базе теории турбулентной диффузии в

принципе

можно

решать

самые разнообразные задачи, варьируя видом исходного

уравнения и граничными условиями. Мы ограничимся рассмотре-

нием задач, связанных с установлением закономерностей измене-

ния концентраций частиц фиксированного интервала размеров

по мере удаления от источника сноса, а также задач, призванных

объяснить характер рассеяния частиц на подводном склоне под

воздействием

устойчивого волнения моря

[495].

Пока еще немного

работ,

в которых для решения седиментологических задач исполь-

зуется

уравнение диффузии. Одним из таких исследований яв-

ляется статья К. И. Хейсканена

[427],

посвященная описанию

процесса

осадкообразования с помощью диффузионной модели,

которой в качестве важнейшей переменной выступает фракцион-

ный состав осадка, увязывающийся с гидродинамикой турбулент-

ного потока.

Иногда в литературе попадаются ссылки на гранулометрические

анализы, выполненные «по

счету».

Однако все они являются результатом

пересчетов

«весовых

процентов» на число зерен с учетом плотности кварца.

Такие

пересчеты являются лишь грубым приближением и для тонких стати-

стических процедур, естественно, не подходят.

ЗАВИСИМОСТЬ

КОНЦЕНТРАЦИИ ЧАСТИЦ В

ОСАДКЕ

ОТ

РАССТОЯНИЯ ДО ИСТОЧНИКА СНОСА

Данная задача имеет широкую сферу приложений. В седи-

ментологии представляет интерес зависимость концентрации ча-

стиц определенного размера от длины транспортировки класти-

ческого материала водным потоком, который характеризуется

вполне определенными гидродинамическими параметрами. При

поиске россыпных месторождений важно установить максималь-

ные концентрации полезного компонента как функцию расстояния

от

коренного источника или смещение максимума концентраций

выявленном ореоле для прогноза местоположения источника

и т. п.

•

1 I

Рассмотрим

пространство, заполненное несжимаемой жидко-

стью,

перемещающейся со скоростью и. Направим ось х в сторону

движения яшдкости и, ограничиваясь плоским движением, ось z

вертикально вверх. Будем считать, что режим движения жидкости

турбулентный, с коэффициентом вертикального турбулентного

обмена

к. Источник сноса непрерывно (с интенсивностью Q) поста-

вляет

ь:ластические частицы, имеющие гидравлическую круп-

ность (о. Будем искать поток частиц Q

через

единицу

площади

горизонтальной поверхности, расположенной на некотором (во-

обще

говоря, произвольном) расстоянии под источником, и

рас-

пределение расстояний от источника, на которых концентрация

частиц q гидравлического радиуса со не превосходит заданную

При данной постановке задачи предполагается, что частицы,

находящиеся на плоскости z = О, являются слоеформирующими.

Поэтому

теоретически полученное распределение расстояний от

источника именно для этого класса частиц следует сравнивать

эмпирически наблюдаемыми распределениями. Кроме

того,

ясно, что в такой постановке задача мояхет решаться и на мине-

ралогическом уровне, сводясь к исследованию распределений

концентраций определенного минерала в современных осадках

и в древних осадочных толщах как функции расстояния от источ-

ника сноса. Возможно и определение расстояния от источника,

соответствующего

максимальной концентрации полезного компо-

нента на дне потока (например, пикроильменита — спутника

алмазов).

Данная задача, по нашему мнению, может иметь существенное

значение и в практике инженерно-геологических исследований,

связанных с проблемой заиления водохранилищ, а также при

палеоседиментологических реконструкциях, нацеленных на

вос-

становление гидродинамических характеристик палеопотоков, и

ряде других практически важных задач.

Итак, требуется найти величину

[251].

(ИЗ)

где q — концентрация частиц в потоке — есть решение уравнения

диффузии, которое применительно к данной задаче представляется

виде

dq dq 7 /4/1/4

u-j- со -^- = —^. (114)

с)х

dz oz

Задачу решаем при следующих граничных условиях:

(uq)

-o

= б (z -

h);

(115)

9U-OO=O,

(Н6)

где б (у) — дельта-функция Дирака; h — мощность потока. Реше-

ние уравнения (114) будем искать в виде

д =

(

)ехр{-(^+-^)4.

(117)

Подставив

(117) в

(114),

получим уравнение для определения ф (г):

/сф"-Оф"

+ (ц

и + ^)

= 0, (118)

откуда

(z) = ехр ( - •—^ A cos W + В

sin

\ ' (

119

)

где А и В — постоянные интегрирования, а

(Li

— некоторый

без-

размерный параметр. Если заменить ф (z) в (117) его выражением

(119),

то получим так называемое элементарное решение уравне-

ния

(114).

Для нахождения общего решения элементарное тре-

буется

проинтегрировать по и, в пределах от О до сю, считая при

этом

А и В функциями от р. Тогда

со

со / , ых \П

= ехр

со

^ж (

z +

"Sr)] \

ех

)

{

)

cos

щ +

В (р) sin sp) ф. ' (120)

Для нахождения функций А (\\) ж В (р) используем граничное

условие

(115).

Подставив в него выражение для q в виде

(120),

получим

со

(uq)

x=0

= б

- h) = и ехр ( -

-g-)

ПЛ (р)

cosj/"^-

zp +

В (р) sin |/~

р| dp,

или

со

ехр

(тйг)

(Viz~

)

= l

Mо*)сова*+

Б (ц) sin |ц}

<и,°

(121)

157

где •

1 =

уг.

Представляя левую часть (121) интегралом Фурье

OO OO

/00=4"

\ f(?)cosx(t— %)dx, (122)

-оо

найдем выражения для

функций

А (р) и В (р):

= Т J 4

ех

Р (w)

{Yin-h)cos

d4 (123)

—OO

—со

Формулы

(123) значительно упростятся, если использовать основ-

ное свойство дельта-функций, т. е.

f f(x)8{t-x)dx = f(t). (124)

•OO

Тогда

(123) преобразуются к виду

Подставив (125) в

(120),

найдем интересующую нас концентрацию

частиц в движущемся водном потоке применительно к граничным

условиям решаемой задачи

со

«-«^[-i(«+-s-)]iTFk(-*"+¾-)*

cos Y% (

)P(

126

)

Или, если воспользоваться известным соотношением

со

ТО

J exp(-^

)cosg^^^l j/y схр ( - р>0, (127)

i7=«p[-^(^-v)

Полученное

виде (128) решение уравнения (114) аналогично

сингулярному решению уравнения теплопроводности. Для оты-

скания требуемого

задаче

«потока

частиц» через плоскость

— Ов виде

функции

от

(длины транспортировки кластического

материала)

подставим (128)

(ИЗ). Тогда

«•«-.йг

(4+*•)«*[-£(4-=-)']•

129

Для исследования

функции

(х) приводим

ее к

безразмерному

виду, принимая следующие обозначения:

Тогда

функция

(129) путем тождественных преобразований будет

иметь удобный для анализа вид:

»-*й-Ч-*г(1+*)]-

'<«')

Здесь

имеет смысл параметра

масштаба,

ар

— параметра сдвига.

Полученная

функция

(131)

интересующей нас области

>0,

как легко показать, имеет

один

максимум. Функция непрерывна

и положительна

интервале (0, сю) и обращается в нуль на концах

интервала. Поэтому

при

условии нормирования

на

единицу

функция

у = f

(х) будет удовлетворять всем требованиям

плот-

ности вероятности случайной

величины

х.

Так

как:

— это расстояние

от

источника сноса, на котором

фиьхируется концентрация частиц

имеющих гидравлическую

крупность со, то функция/

(х) имеем смысл

функции

распределе-

ния расстояний от источника, на которых осаждаются из водного

потока

частицы заданной размерности при фиксированных гидро-

динамических характеристиках потока

(и и к).

Иными словами,

при таком подходе реализуется так называемая обратная задача

литологии

[269],

т. е.

восстанавливается как бы «история

сноса»

частиц фиксированного интервала размеров.

Найдем интересующую нас плотность вероятностей

(х).

f(x)

= c

(PZ

где

4-i-w)^-

133)

(132)

Если в I

положить

exp

(-i)

?=i4

то

CXD

= ф(?)

ех

Р (~ 4

)

(

) dx №4)

есть

преобразование Лапласа

функции

ф (х). С использованием

«Справочника

по операционному исчислению» [100] сразу находим

]/-ехр(-4).

(135)

Для вычисления I

положим ф (х) =

—\=r

exp (— } . Тогда

ух \ Лссх J

согласно «Справочнику...»

[100]:

У2ясф

exp

(

4")

(136)

Подставив (135) и (136) в формулу

(132),

запишем

•

' со

/(я)й;г =

2с

/2ясфехр

^ i-^ = 1. ^37^

Откуда

с=

_ехр

(1/а)

У2лаР

(138)

Таким образом, окончательно интересующая нас плотность

вероятностей / (х) запишется в виде

'«-^••^-[--=-(1+1)]-

ш)

с»

Заметим,

что J Q

(х) dx = 1, когда Q

(#) представляется

виде

(129).

В этом легко убедиться непосредственным вычисле-

нием с использованием выражений для преобразований Лапласа

соответствующих

функций. Поэтому при известных параметрах и,

к, h и со эмпирически наблюдаемые кривые можно сравнивать

теоретически полученной плотностью вида

(129).

Если же эти

параметры неизвестны, то сравнение осуществляется с

функцией

(139)

и по найденным значениям параметров аир восстанавли-

ваются

неизвестные характеристики палеопотоков (скорость, глу-

бина и коэффициент турбулентности).

График

функции

(139) показан, на рис. 34. На рис. 35 приведено

сопоставление / (х) при а = р = 1 с логарифмически-нормальной