Романовский С.И. Седиментологические основы литологии

Подождите немного. Документ загружается.

диапазона размеров

(<0,05

мм). Реальные же смеси обычно

соответствуют

значительно более широкому спектру размер-

ностей, не укладывающихся в теоретическую кривую седимента-

ции, по Стоксу, и как следствие этого не удовлетворяющих нор-

мальному закону распределения размеров зерен.

Отметим,

что Дж. Бржезина [372] на основании других сообра-

жений (в качестве нормализующей функции для распределения

размеров

обломочных частиц им выбран логарифм скорости оса-

ждения зерен) пришел к аналогичному заключению, т. е. показал,

что только в случае отклонения седиментации частиц от закона

Стокса

может быть зафиксировано логарифмически-нормальное

распределение размеров зерен.

ГЛАВА

ВЫВОД

ИССЛЕДОВАНИЕ

ФУНКЦИЙ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ГРАНУЛОМЕТРИЧЕСКОГО

СОСТАВА

НЕКОТОРЫХ!

ГЕНЕТИЧЕСКИХ

ТИПОВ

ОСАДКОВ

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

РАЗМЕРОВ ЧАСТИЦ ДОННОЙ ПОПУЛЯЦИИ

ДВИЖУЩЕМСЯ ПОТОКЕ

Из существа вопросов, рассмотренных в гл. IV, должно быть

ясно одно своеобразное противоречие, имеющее место при седи-

ментологической интерпретации гранулометрии осадочных обра-

зований,

аппроксимируемой конкретной функцией распределения

частиц по размерам. Это противоречие заключается в следующем.

Предполагается (и не без оснований), что функция распределения

фракционного состава осадка отражает прежде всего динамику

седиментационных процессов, преобразующих исходное распре-

деление частиц, поступающих в бассейн, в то, которое и фикси-

руется в ископаемом осадке. Поэтому кажется естественным полу-

чение аппроксимационной функции распределения исходя из

анализа конкретных факторов седиментации с последующим

сравнением теоретически полученной и эмпирически наблюдаемой

функции; и седиментологические реконструкции, базирующиеся

на гранулометрии осадка, приобрели бы реальную основу, кон-

тролируемую исходными теоретическими предпосылками модели.

Однако на практике всегда реализуется лишь эмпирическая

согласуемость

выборочных распределений размеров частиц с той

или

иной

плотностью вероятностей, при этом ограничиваются

чаще

всего логарифмически-нормальным законом. При таком

подходе седиментологическая трактовка распределений частиц

по размерам, а тем более сравнение в плане седиментологической

эволюции [452] различных распределений, строго говоря, ста-

новятся незаконными.

этом плане сопредельные с седиментологией науки, такие

как

гидрология, океанология и др. решают аналогичные по смыс-

ловой нагрузке задачи

более

корректно. Так, Г. П. Калинин [132]

обосновал приложимость биномиального закона распределения

анализу кривых распределения стока,

исходя

из рассмотрения

процессов, формирующих сток рек. Н. Д. Шишов [335] теорети-

ческим путем

вывел

функцию распределения интенсивности вдоль-

берегового перемещения осадка на пологом подводном склоне.

Б.

С. Штейнман [340] на основе дискретной концепции мутности

аналитически получил нормальный закон распределения пуль-

сации расходов донных наносов.

А. Б. Вистелиус и О. В. Сарманов [61] уже в рамках литоло-

гии теоретически обосновали приложимость распределения Пуас-

сона (с так называемым пертурбационным множителем) к анализу

концентраций сульфата кальция

CaSO

в карбонатных отложениях

(см. гл. III). Ю. С. Фролов [310] доказал приложимость распре-

деления

Вейбулла к описанию зависимости

между

расстоянием

до ближайшего

соседа

в системе со случайным распределением

точек и плотностью точек в этой системе, что нашло применение

ряде географических задач. И, наконец, в этой

главе

рассматри-

ваются

седиментационные модели, на базе которых аналитическим

путем выводится как распределение Рэлея, так и

более

общее

распределение Вейбулла, с которыми в ряде случаев удовлетвори-

тельно согласуются выборочные распределения частиц по

раз-

мерам.

Рассмотрим в самых общих чертах механизм транспортировки

частиц водным потоком. Пусть задан турбулентный поток, пере-

мещающийся со скоростью и, в котором взвешены частицы

раз-

мером от r

min

до r

max

. Множество {г} определим как фракционный

набор взвешенного кластического материала, {г} характеризует

мутность потока. Известно [46], что максимальная мутность

фиксируется у дна.

потоке мощностью h всегда существует поверхность, име«

нуемая потолком взвешивания, на уровне которой вертикальная

проекция скорости возмущения равняется гидравлической круп-

ности частиц, взвешенных в потоке.

процессе движения потока у дна возникают так называемые

турбулизирующие локальные возмущения, которые устремляются

тело потока. Этот процесс повторяется многократно и, таким

образом, в каждом

сечении

потока можно фиксировать наличие

турбулизирующих возмущений.

Согласно гравитационной теории осаждения, каждая частица,

взвешенная

в потоке,

будет

опускаться на дно под действием избы

точного веса, проходя за время dt путь dh. При этом

скорос!Ь

опускания строго соответствует гидравлическому размеру

данной

частицы

о. За то же время dt частица благодаря поступательному

движению фиксированного сечения потока пройдет путь dx вдоль

продольной оси потока со скоростью, которую можно считать

равной скорости и в данной точке, т. е.

dh dx

(55)

Если описанную картину дополнить тем, что на каждую оседа-

ющую

частицу в движущемся потоке действуют силы турбулент-

ного перемешивания, которые статистически задерживают падение

взвешенного

материала, то возможно такое состояние статисти-

ческого равновесия, при котором число оседающих на дно частиц

среднем будет равно числу частиц, поднимаемых со дна вихре-

выми турбулентными возмущениями, подъемная сила которых

превосходит вес оседающих частиц. Такое статистическое равно-

весие соответствует случаю, когда твердый расход потока будет

равняться его транспортирующей способности [46]. Только в этом

случае, строго говоря, отсутствуют и накопление и размыв осадка.

Если твердый расход потока превышает его транспортирующую

способность,

то наступает седиментация частиц

{77}

С {

Ь При

обратном соотношении ранее отлояшвшийся осадок размывается.

Нельзя не учитывать и крупномасштабную пульсацию скоростей

придонном слое потока, благодаря которой коллоидные хлопья

тлинистых частиц, ранее уже осевших на дно, при однонаправлен-

ном движении потока не выходят из границ придонного слоя [69].

каждый фиксированный момент времени благодаря турбули-

зирующим вихревым возмущениям распределение частиц по

раз-

мерам E теле потока носит случайный характер,

подчиняясь

лишь

одной закономерности: концентрация частиц, максимальная ь при-

донной

часаи потока, постепенно сходит «на

нет»

по мере при-

ближения

к потолку взвешивания. Потолок взвешивания посто-

янен

для определенной несущей скорости потока и определенного

диапазона частиц. Но если учесть, что в турбулентном потоке

фиксируются пульсации как продольных (несущих) скоростей,

так и поперечных (взвешивающих), то станет ясным, что и потолок

взвешивания есть

функция

многих факторов. Далее, еслидопу- '

стить,

что в какой-то момент времени благодаря, например, изме-

нению

формы ложа потока транспортирующая способность потока

стала

меньше его твердого расхода и наступил режим осаждения

частиц, то опять же в условиях турбулентного режима одна часть

частиц, скорость которых превышает скорость потока, способную

поддерживать их во взвешенном состоянии, садится на дно,

в это же время со дна срываются частицы меньших размеров

и мощность ранее отложенного осадка может уменьшиться даже

при режиме осаждения частиц.

Следовательно, как в условиях режима осаждения частиц,

так и в условиях режима размыва нельзя говорить об устойчивом

во

времени

накоплении

или размыве осадка в чистом виде.

Ясно,

что за относительно продолжительный отрезок времени,

рав-

ный времени образования одного слоя, в условиях турбулентного

режима потока одновременно существует как осаждение частиц

{одного

интервала размеров), так и размыв частиц меньших разме-

ров,

осевших на дно в предшествующий отрезок времени, когда

режим скоростей (спектр турбулентности) был иным.

геологии все еще существует понятие о

«базисе

действия

волн»

[22], о «пространстве возможного накопления», находяще-

гося ниже этого базиса. Из изложенного выше становится ясным,

что эти

понятия

являются в значительной мере эфемерными,

поскольку каждая часть бассейна в фиксированный момент

вре-

мени может рассматриваться как «пространство возможного на-

копления» для частиц одного интервала размеров. В последующий

же отрезок времени часть ранее

отложенных частиц подхваты-

вается

потоком (течением) и дан-

ная зона бассейна становится

«пространством

возможного накоп-

ления» частиц другого интервала

размеров.

Все

эти замечания важны для

того,

чтобы глубже уяснить фи-

зическую сущность процессов, фор-

мирующих мощность

единичного

слоя на уровне фракционного со-

става

слагающих его частиц.

Рассмотрим произвольное се-

чение

потока, перемещающегося

со

скоростью и, и зафиксируем время t заданием системы коорди-

нат {xlu, hi

о}

(рис 29). Будем предполагать, что произвольная

частица, находящаяся в потоке, оседает на дно по дуге радиуса г.

Радиус-вектор г и угол а полностью задают положение частицы

теле потока, включая дно, в произвольный момент времени t.

Учитывая турбулентный режим потока, траектория

падения

ча-

стицы на дно может быть самой разнообразной: от дуги окруж-

ности

единичного

радиуса г = 2 sin а до кривой типа строфоиды

= 2 (sin а — cos а)/(2 — sin 2а), в которой центр вращения

отстоит

на

единичное

расстояние от начала координат. Кстати,

океанологии принята аппроксимация строфоидой траектории

частицы воды, которую она описывает во время сильного волнения

моря

[341].

Из дальнейшего будет ясно, что в рамках

принятой

нами кине-

матической схемы процесса седиментации точное геометрическое

описание траектории

падения

частицы не столь существенно.

Важно

одно, что произвольная частица оседает на дно по дуге

случайного радиуса г, бесконечно малый отрезок которой может

быть приближен дугой окружности или любой другой кривой

второго

порядка,

полярный

угол которой изменяется в пределах

О <а <: 2jt.

Рис. 29. Схема, поясняющая вы-

вод

функции

распределения

раз-

меров частиц донной

популяции

движущемся потоке.

Учитывая описанный выше механизм перемещения н седи-

ментации частиц из турбулентного потока, можно заключить,

что радиус-вектор г есть случайная величина, распределенная

по закону F (г). Функция F (г) и есть искомое распределение

частиц по размерам, причем не частиц, взвешенных в потоке,,

осевших на дно бассейна в произвольный момент времени t,

поскольку плотность вероятности / (г) не должна зависеть ота*

т.

е. частиц донной популяции.

Поясним, почему / (г) характеризует распределение частиц

по размерам. Представим, что удалось сфотографировать попереч-

ное сечение потока, в котором хорошо видны все частицы

раз-

мером от

min

до

тах

При заданной скорости потока и реяшме

турбулентности частицы разных размеров распределяются в тело

потока случайно и лишь в среднем более крупные частицы сосре-

доточиваются в

придонной

части потока, а более мелкие концен-

трируются вблизи потолка взвешивания. Если расположить

систему координат так, как показано на рис. 29, и каждую частицу

соединить радиусом-вектором с началом координат, то станет

ясным, что распределение радиусов-векторов и будет искомым

распределением частиц по размерам.

Рассмотрим далее кольцевой сектор, ограниченный дугами

радиусов г и г + dr и лучами, выходящими из начала координат

под углами а и а + da. Найдем вероятность того, что случайным

образом

выбранный радиус-вектор г попадет в заданный кольцевой

сектор.

= р (

* £ W) = р (г ^ г* ^ г + dr) р (a ^ a* ^ а + da). (56)

Оценим отдельно сомножители в формуле (56). По определению

вероятности попадания случайной величины в заданный интервал

имеем

(г ^ г* ^ r+dr) = f

(г)

dr.

другой стороны,

(a ^ a* ^ а + da) = -^-. (58)

учетом (57) и (58) запишем выражение для искомой вероятности

= ^-drda. (59)

Найдем ту же вероятность попадания случайного радиуса-век-

тора

г в выделенный кольцевой сектор W из других соображений.

Данная

задача

применительно

к расчету элементов ветровых волн

глубокого моря была впервые поставлена и решена IO. М. Крыловым ГШ,

162).

Предположим, что в пределах кольцевого сектора W выделена

единичная

площадка, вероятность попадания в которую случайной

величины г есть непрерывная дважды дифференцируемая функ-

ция ф (г

). Тогда искомая вероятность р может быть представлена

виде

5ф(Г»),

' "

;

. (60)

где S — площадь кольцевого сектора. Из элементарной геометрии

известно,

что площадь кольцевого сектора находят по формуле

= ^-[(r +

drf-r*}.

' ' ' • (

)

Упрощая

(61), получаем

= rdrda +

0[(dr)%

(62)

Подставив

найденное значение площади S в выражение (60),

найдем окончательно нужную нам вероятность ' *

•

- •

р —

гф (г

) dr da. •> (63)

Приравняем правые части формул (59) и (63) и найдем выраясение

для

функции

/ (г):

/ (г)

2л:гф

(г

(64)

Для определения

функции

ф (г

) введем следующие обозначения.

Пусть

hi о)

= A

, xlu = X

и пусть, наконец, случайные вели-

чины

и х

взаимно независимы. Тогда резонно предположить,

что функцию ф (г

) можно выбрать таким образом, что она будет

лредставима

в виде *

) =

<Pi

(

o) Ф

), (65)

Ф1

(^о)

Фг (

о) — непрерывные и

один

раз дифференцируемые

функции.

Логарифмируем ф (г

) в виде (65)

(г

) = In

) + In ф

). (66)

Полученное выражение дифференцируем по X

и A

, учитывая,

что в полярной системе координат г

—[xl + A

**о + К dh

) =

+ d*

. (6 /)

Так

как

—h

то после несложных преобразований

(67)

можно написать:

2ф

(г

)

_ 1 ф!№О) 2.

2 (*о) р ,рпч

(/*

) H

Ф1

(*о)

*о ' ф

(*о)

' *

Здесь P — некая положительная постоянная. Выражение (68)

есть

дифференциальное уравнение первого порядка относительно

неизвестной

функции

ф (г

)

2ф

(г

)

Рф(г

)

(69)

решая

которое, находим

(г

) = с ехр j- ^iJ. (70>

Подставив

затем функцию

<р

(г

) вида (70) в формулу (64), запишем

точностью до постоянной с выражение для искомой плотности

вероятностей распределения частиц по размерам

/ (г)

= 2пгс ехр

{— -£1}»

г > 0. (71)

Постоянную с находим из условия нормировки

функции

/ (г), т. е.

f(r)dr

= l/ (72)

Проведя необходимые вычисления, найдем

с = Х. (73).

учетом (73) искомая плотность запишется в виде

/(г) = рг ехр

{--¾

(74)

Пусть

р = 1/а

. Тогда

)

G3f

p(-"^")-

(

Получили классическое распределение Рэлея, которое является

частным случаем описанного выше распределения Вейбулла.

Действительно, в других обозначениях плотность распределения

Вейбулла

имеет вид

/хИ =

^Г^

1ех

р{-^}-

(76>

Если

в (76) положить р = 2, то получим плотность распределения

Рэлея вида (75). При P = I распределение Вейбулла трансформи-

руется в экспоненциальное.

График

функции

(75) при разных значениях о

показан на

рис.

30. Распределение Рэлея резко асимметричное, что особенно

заметно

при малых значениях о

. Поэтому квантильиые

оценки

параметра

, основанные на сравнении оценок среднего и дис-

персии для нормального распределения, с помощью, например,

графических построений на вероятностной бумаге [452] непри-

годны.

Предложенная нами модель, сводящаяся к рэлеевской, а сле-

довательно,

и к вейбулловской

функции

распределения

размеров

ча-

стиц, является по существу кинематической схемой седиментации,

соответствующей

самому общему характеру осаждения частиц

из водного потока. Для палеогеографических реконструкций,

частности для восстановления скоростных параметров палео-

потоков,

глубин иалеобассейнов и т. п., требуется разработка

динамических моделей осадконакопления, выходные характери-

стики которых могут сопоставляться с реально замеряемыми

ископаемом осадке признаками.

f(r)

Рис. 30. График плотности распределения Рэлея при разных

значениях параметра а

помощью распределения Рэлея описываются изменения

многих статистических характеристик природных объектов: это

ж крутизна песчаных волн, измеренная как вдоль, так и поперек

потока

[261],

и ряд параметров морских волн глубокого

моря

[161],

и модуль скорости морского течения [117] и т. д.

Все

это косвенным образом свидетельствует в пользу физической

обоснованности выбранной нами модели для описания распределе-

ния размеров частиц донной популяции с помощью закона Рэлея.

Необходимо пояснить, что донная популяция частиц и донные

осадки — понятия существенно различные. Донная популяция —

это совокупность частиц, которая при данной скорости потока и

перемещается волочением по дну либо находится в покое, т. е.,

иными словами, является функцией от гидродинамических пара-

метров

потока, при изменении которых, естественно, изменяется

и фракционный состав осадков донной популяции. Донные Яче

осадки — это совокупность частиц, уже окончательно закреплен-

пая на дне потока вне зависимости от изменений гидродинами-

ческих характеристик водной среды. Поэтому при сравнении

согласия результатов гранулометрических анализов с распре-

делением Рэлея необходимо быть уверенным в том, что анализи-

руемый осадок (вне зависимости от спектра размерности частиц)»

является представителем донной популяции.

Найденное нами распределение размеров частиц донной попу-

ляции

не соответствует высказывавшимся ранее гипотетическим

предположениям о логнормальном распределении фракционного

состава

осадков разных популяций (донной, сальтационной и сус-

пензионной), различные смеси которых якобы приводят к лога-

рифмически-нормальному закону, справедливому для осадков

чуть ли не всех генетических типов

[332].

Не исключено, что

удастся

построить модели и для других популяций осадков, также

не сводящиеся к логарифмически-нормальному закону. К тому

яге,

как будет далее показано, логарифмически-нормальная функ-

ция в статистическом смысле весьма близка закону Вейбулла,

который обобщает распределение Рэлея. Поэтому без аналити-

ческих моделей процессов седиментогенеза всякие утверждения

соответствии фракционного состава осадков логарифмически

нормальной функции лишены каких бы то ни было доказательных

основ.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

РАЗМЕРОВ ЧАСТИЦ

ПРИ ФРАКЦИОНИРОВАНИИ ПОЛИДИСПЕРСНЫХ

СМЕСЕЙ

данном разделе рассматривается седиментологическая мо-

дель, трактующая седиментацию частиц под влиянием главным

образом

силы тяжести, когда подвижные факторы среды осадко-

накопления (течения, волнение и т. д.) не оказывают существен-

ного влияния на распределение по фракциям осаждающихся

частиц. Иными словами, предполагается, что осаждение частиц

происходит как бы из единой порции поступившего в зону акку-

муляции осадка. Такая ситуация реальна при формировании

фракционного состава турбидитов, образующихся, как известно,

при фракционировании суспензионных (мутьевых) потоков, в мень-

шей

мере при накоплении озерных ленточных глин и т. д. Седи-

ментация в данной схеме реализуется по закону

я|>

(г) = аг0, (77)

где и — скорость седиментации. Ясно, что при (J = 2 формула

(77)

с точностью до а соответствует закону Стокса.

любой произвольный момент времени t количество осевших

на дно бассейна частиц и число частиц, взвешенных в суспензии,

связаны

соотношением

(г)+

(г) = 100%, (78)

где Q (г) — содержание частиц со значениями радиусов г ^

(частицы, осевшие на дно) и q (г) — соответственно содержание

частиц, у которых г < г

; г

— произвольный фиксированный

размер

частицы. Нас интересует распределение частиц по

раз-

мерам

(скоростям осаждения), которое, разумеется, в первую

очередь зависит от фракционного состава поступившею в бассейн

обломочного материала. Поэтому в других терминах q (г) — это

интегральная функция распределения, которая должна полу-

чаться

путем усечения некоей функции / О), характеризующей

исходное (до седиментации) распределение частиц по размерам.

рамках нашей модели конкретный вид функции / (г) не задается.

Так

как q (г) — интегральная функция распределения, то диффе-

ренцируя равенство (78) по г, получим

где ф (г) — дифференциальная функция распределения частиц

по эквивалентным радиусам

[305].

Если

q (г) — характеристика исходного материала, то q [«ф (г)]

также

характеризует

исходный материал, т. е. означает относи

тельное содержание частиц в суспензии со скоростью осаждения

меньшей,

чемгь (г), а значит, q рф (г)] также является интеграль-

ной функцией распределения. Поэтому справедливо тождество

Ag№(r)]

g-№(r)]At|j(r).

. (80)

Количество частиц в осадке, седиментация которых контроли-

руется только силой тяжести, есть прежде всего функция от

скорости седиментации, которая, в свою очередь, зависит от

размеров

частиц. В процессе седиментации количество частиц

во

взвеси уменьшается, а число частиц, выпавших в осадок, растет.

Поэтому

можно записать *

Д(Г№(г)]

-г

№(г)]Ая|)(г).

• (81)

Левую

и правую части равенства (81) делим на Дф (/) и переходим

к пределу при А-ф (г) -э-0. Тогда

g № =

№

(

ГгЬ

(г)]

• /

о)

Дф(г)-*о

Aif (г) «Зф(г)

Решая

уравнение (82) относительно q' [<ф (г)], получаем

в*№И]

свхр{—ф(г)},

• (83)

где с — произвольная постоянная. С учетом равенства (79) найдем

(г) = -

[

(Г)1

= *У (г) ехр

{(г)}.

, (84)

Подставив

г|; (г) вида (77) в формулу (84), получим

ф (г) =

cafir®-

ехр

(—аг$).

(85)