Пташкина-Гирина О.С.; Щирый В.Д. Гидравлика. Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

4.3. Уравнение Д.Бернулли для элементарной струйки

идеальной жидкости. График уравнения Д.Бернулли

Это уравнение является основным в гидродинамике. Оно ус-

танавливает связь между давлением, скоростью и положением

жидкости в пространстве и может быть получено аналитически

только для случая движения идеальной жидкости, т.е. жидкости,

лишенной всех свойств реальной жидкости (абсолютно несжи-

маема и нерасширяема, а главное, абсолютно подвижна, т.е. ли-

шена вязкости). Такой жидкости в природе не существует. Близок

к ней жидкий гелий при температуре 2

К.

Представим себе элементарную струйку переменного сече-

ния (рис.4.8).

Рис.4.8

Двумя сечениями 1-1 и 2-2 с живыми сечениями d

и d

выделим отсек жидкости 1-1-2-2. Допустим, что за бесконечно

малое время dt этот отсек сдвинулся и занял новое положение 1'-

1'-2'-2'. Живые сечения при этом переместились соответственно

на расстояния ds

и ds

Из рисунка 4.8 видно, что никакого изменения в пространст-

ве не получил отсек жидкости 1'-1'-2-2, при движении он не со-

вершил никакой работы, т.е. отсек жидкости 1-1-1'-1' с высоты Z

как бы переместился до высоты Z

и занял положение 2-2-2'-2' (на

рисунке они заштрихованы).

На основании уравнения неразрывности делаем вывод, что

массы жидкости в этих отсеках равны между собой, а скорость в

сечении 2-2 по сравнению с сечением 1-1 возросла, т.е. произош-

ло изменение кинетической энергии.

Для вывода этого уравнения используем известную из меха-

ники теорему об изменении кинетической энергии. Напомним,

что эта теорема читается так:

Изменение кинетической энергии













рассматриваемого

тела на некотором его перемещении равно сумме работ от внеш-

них сил, приложенных к данному телу на том же перемещении.

Какие же силы действуют в нашем случае?

Это силы тяжести и силы давления. Согласно упомянутой

выше теореме можно записать:

dT=A

(4.3)

где dT – изменение кинетической энергии; A

- работа от сил

тяжести; A

- работа от сил давления.

Изменение кинетической энергии

dT=













−

=−

Работа от сил тяжести

(

)

zzdWzdSdzdSdA

−

Работа от сил давления

)pp(dWdSdpdSdpA

212211p

−

⋅

Сделаем подстановку составляющих в выражение (4.3):

)pp(dW)zz(dw

2121

−+−γ=













−

Разделим каждое слагаемое на

и сгруппируем:

+=+

. (4.4)

Выражение (4.4) является расчетной формой уравнения Бер-

нулли при решении различных задач.

idem

. (4.5)

Выражение (4.5) является общей формой уравнения.

Каждый из членов этого уравнения имеет линейную размер-

ность и называется «напор», т.е. это удельная энергия, а удельная

энергия – это энергия единицы веса жидкости, т.е. одного ньюто-

на.

В формуле (4.5):

z– геометрический напор, или удельная потенциальная энер-

гия положения;

- пьезометрический напор, или удельная потенциальная

энергия давления;

- скоростной напор, или удельная кинетическая энергия.

Сумма всех напоров составляет гидродинамический напор:

г.д

= z+

Физический смысл уравнения Бернулли заключается в том,

что оно является уравнением закона сохранения энергии для

движущейся жидкости.

Для лучшего понимания смысла полученного уравнения

(4.4) представим его графически (рис.4.9).

Рис.4.9

4.4. Уравнение Д.Бернулли для элементарной струйки

реальной жидкости. График уравнения Д.Бернулли

В отличие от идеальной жидкости, в которой работа внеш-

них сил, действующих на жидкость, полностью идет на измене-

ние ее кинетической энергии, благодаря чему происходит преоб-

разование кинетической энергии в потенциальную или наоборот,

в реальной жидкости, обладающей вязкостью, часть работы сил,

действующих на жидкость, затрачивается на преобразование ме-

ханической энергии в тепловую.

Если преобразование одной формы механической энергии в

другую форму механической энергии является процессом обра-

тимым, то преобразование механической энергии в тепловую,

происходящее вследствие сил трения, является процессом необ-

ратимым.

Это явление, называемое диссипацией энергии, в гидравлике

рассматривается как гидравлическое сопротивление, а величина

диссипируемой энергии называется гидравлическими потерями.

Расчетная форма уравнения баланса энергии имеет вид

= z

, (4.6)

где h

– гидравлические потери.

Уравнение (4.6) представим графически (рис.4.10).

Рис.4.10

4.5. Уравнение Д.Бернулли для потока реальной жидкости

Так как поток представлен совокупностью элементарных

струек, то его энергия должна быть равна сумме энергий этих

струек.

Удельная энергия элементарной струйки

е =z+

, м.

Допустим, что через живое сечение струйки протекает весо-

вой расход

Н/с, тогда мощность ее, т.е. энергия в еди-

ницу времени будет иметь вид

гUdщ

z dN













++=

⋅

Мощность потока

ωγ+ωγ













+=ωγ













∫∫∫

ωωω

zUd

Мощность потока от потенциальной энергии можно опреде-

лить только для плавноизменяющихся потоков, для которых в

каждом живом сечении z+

= idem, т.е. подчиняется закону гид-

ростатики. В этом случае

∫∫

ωω













+=ωγ













−=ωγ













+ Q

zud

Мощность потока от кинетической энергии можно опреде-

лить, если известен закон распределения скоростей по живому

сечению потока, что является сложной задачей, поэтому эту

мощность определяют по средней скорости – одинаковой по все-

му сечению:

∫

=ωγ Q

Действительная мощность от кинетической энергии не-

сколько больше, чем вычисленная по средней скорости, поэтому

для компенсации этого неравенства введен коэффициент Корио-

лиса α. Численное значение этого коэффициента зависит от ре-

жима движения жидкости. Для ламинарного режима α = 2, для

турбулентного α=1,05…1,1~1,0.

Тогда расчетная форма уравнения Д.Бернулли для потока

реальной жидкости, написанная для единицы веса жидкости, бу-

дет иметь вид

222

111

z +

. (4.7)

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПОТЕРЬ

5.1. Классификация потерь напора

При движении реальной жидкости неизбежно происходят

потери ее энергии, именуемые гидравлическими потерями.

Они вызываются сопротивлениями двух видов:

- сопротивлениями по длине, обусловленными силами трения;

- местными сопротивлениями, обусловленными изменениями

скорости потока по величине и направлению (повороты, регули-

рующая арматура, фильтры и т.п.)

Таким образом, гидравлические потери бывают двух видов:

линейные и местные. Формулы для их определения носят эмпи-

рический характер.

Определение гидравлических потерь является одним из важ-

нейших вопросов почти любого гидравлического расчета. Без

знания величины гидравлических потерь нельзя определить один

из важнейший параметров насоса – напор (давление), следова-

тельно, и мощность энергетического оборудования.

5.2. Основное уравнение равномерного движения

Равномерным движением называется установившееся дви-

жение, при котором скорости частиц жидкости не изменяются

вдоль траекторий. При равномерном движении жидкости в водо-

проводах, а также в открытых руслах живые сечения, средние

скорости течения и глубины по длине потока остаются постоян-

ными.

Выведем основное уравнение равномерного движения, на

основании которого выявим факторы, влияющие на величину

гидравлических потерь по длине трубопровода.

Рассмотрим поток жидкости произвольной формы площа-

дью

, имеющий по длине постоянное живое сечение и накло-

ненный к горизонту под углом

(рис. 5.1). Выделим в потоке се-

чениями 1-1 и 2-2 отсек длиной l. Действие отброшенной жидко-

сти слева и справа заменим давлениями р

и р

, которые создают

внешние силы, приводящие жидкость в движение:

⋅

рР

;

⋅

. К ним относятся и сила тяжести отсека жидкости:

гщ

Рис.5.1

На жидкость действуют также силы сопротивления движе-

нию. Эти силы приложены вдоль поверхности стенок. Обозначим

через

удельную силу трения, через

– длину смоченного пе-

риметра. Тогда сила трения

χτ

Составим уравнение равновесия сил, действующих на выде-

ленный отсек.

По условию равномерного движения, внешние силы, приво-

дящие жидкость в движение, должны быть равны силам сопро-

тивления, т.е. если спроектировать все силы на ось потока, полу-

чим

Gsin

−

где

sin

−

=α

Тогда получим

0фч

гщщpщp

=−

−

+− l

Разделим все слагаемые на

γω

и сгруппируем

γω

τχ

. (5.1)

Сравним выражение (5.1) с уравнением Бернулли для потока

реальной жидкости:

222

111

Так как V

= V

, то

γω

τχ

. (5.2)

Так как

- гидравлический радиус, то выражение (5.2)

представим в виде

гR

. (5.3)

Разделим левую и правую часть выражения (5.3) на l:

или

. (5.4)

Выражения (5.2), (5.3) и (5.4) являются уравнениями равно-

мерного движения.

5.3. Формулы для определения гидравлических потерь

Линейные потери. Основной формулой линейных потерь,

наиболее полно вскрывающей их суть, является формула Дарси –

Вейсбаха:

лh

пл

⋅=

, (5.5)

где

- коэффициент гидравлического трения, он зависит от ре-

жима движения жидкости и относительной шероховатости, т.е.

)

(Re,

;

- соответственно длина и диаметр трубопровода;

- скорость движения жидкости.

Формула (5.5) является универсальной. По ней можно под-

считать линейные потери в трубопроводах любого назначения, но

в настоящее время этой формулой пользуются при расчете объ-

емного гидравлического привода.

При расчете водопроводных систем широко используются

табличные методы. Так линейные потери можно определить по

формуле

пл

, (5.6)

где

- гидравлический уклон, т.е. потери, приходящиеся на еди-

ницу длины трубопровода, берется из таблиц в зависимости от

материала трубопровода, его диаметра и расхода; l - длина рас-

четного участка трубопровода.

Линейные потери водопроводных систем определяются так

же по зависимости

.пл

, (5.7)

где l - длина расчетного участка; Q - расход по участку; К - рас-

ходная характеристика, берется из таблиц в зависимости от мате-

риала трубопровода и его диаметра.

Рассмотрим особенности расчета безнапорных систем, како-

выми являются каналы, лотки и т.п. устройства.

Рис.5.2

При равномерном движении жидкости в подобных системах

уравнение Бернулли для потока реальной жидкости, составлен-

ное для сечений 1-1 и 2-2 (рис.5.2) имеет вид

т.е. разница геометрических напоров затрачивается на преодоле-

ние линейных потерь. Таким образомт движение жидкости обес-

печивается наличием гидравлического уклона i, который в дан-

ном случае равен геометрическому:

.п.л

−

Поэтому при проектировании каналов большой протяженно-

сти используют естественный уклон местности и в этом случае

определяют пропускную способность канала и его размеры по

формуле Шези:

iRCQ

⋅ω=

, (5.8)

где

- живое сечение канала; R - гидравлический радиус; С - ко-

эффициент Шези, который зависит от гидравлического радиуса и

коэффициента шероховатости.

Коэффициент Шези берется из таблиц или определяется по

формулам, например, по формуле Маннинга

При необходимости решаются и другие задачи.

Местные потери. Для их определения пользуются единст-

венной формулой

пм

, (5.9)

где

- коэффициент местного сопротивления, берется из таблиц

и графиков, вычисляется по специальным формулам в зависимо-

сти от вида местного сопротивления; V - скорость движения

жидкости в трубопроводе, где установлено местное сопротивле-

ние.

5.4. Режимы движения жидкости. Критерий Рейнольдса

Гидравлические потери существенным образом зависят от

того, как организовано движение жидкости в потоке, т.е. от ре-

жима движения жидкости. Из физики известно, что существует