Презентация - Калинин А.В., Лушкин И.А. Гидравлика
Подождите немного. Документ загружается.
5. Сила давления на криволинейную поверхность.
Сила
Сила
давления
давления
на
на
плоские
плоские
и
и
криволинейные
криволинейные
поверхности
поверхности
θ
n
r
j
r
p
2
p
1
dS
Δ
Каждый
Каждый
элемент
элемент
поверхности
поверхности
площадью
площадью
ds
ds
испытывает
испытывает
воздействие
воздействие
силы
силы
давления
давления
с
с
внешней
внешней
стороны
стороны
11
d
f
pdsn=
u
ur r
где
где
–
–
единичный
единичный
вектор
вектор
,
,
направленный
направленный
по
по
нормали
нормали
к
к
ds
ds
,
,
ориентированный
ориентированный
в
в
сторону
сторону
внешней
внешней
жидкости
жидкости
.
.
n
r
Равнодействующая
Равнодействующая
от
от
суммы
суммы
всех
всех
элементарных
элементарных
сил
сил
,
,
действующих
действующих
на
на
поверхность
поверхность
изнутри
изнутри
1
1
P
df=
∑
u
ruur
11
.
S
Р pdsn=
∫
u
urr
Проекция
Проекция
силы
силы
1
P
ur
,
,
по
по
направлению
направлению
единичного
единичного
вектора
вектора
j
r
будет
будет
11
S
Р
jpnjds=
∫
u
urr rr
5. Сила давления на криволинейную поверхность (продолжение).
Сила
Сила
давления
давления
на
на
плоские
плоские
и
и
криволинейные
криволинейные
поверхности
поверхности
Если
Если
θ
θ
–
–
угол
угол
между
между
направлением
направлением
Δ
Δ
и
и
нормалью
нормалью
к
к
поверхности
поверхности
ds
ds
,
,
то
то
cosnj=θ
rr
,
,
тогда
тогда
11
cos
S
Р jpds
=
×θ
∫
u
urr
В
В
то
то
же
же
время
время
sdds
′
=
θ
×
cos
,
,
тогда
тогда
∫
=
S
dspjР '
11
,
,
или
или '
11
dSpjР =
где
где
d
d
S
S
'
'
–
–
проекция
проекция
поверхности
поверхности
S
S
на
на
поверхность
поверхность
,
,
перпендикулярную
перпендикулярную
выбранному
выбранному
направлению
направлению
Δ
Δ
.
.
Таким
Таким
образом
образом
,
,
можно
можно
записать
записать
11
РjР =
,
,
как
как
произведение
произведение
двух
двух
векторов
векторов
и
и
'
11
dSpР
=
Такой
Такой
же
же
результат
результат
мы
мы
получим
получим
для
для
равнодействующей
равнодействующей
силы
силы
P
P
2
2
'
22
dSpР
=
Сила
Сила
давления
давления
на
на
плоские
плоские
и
и
криволинейные
криволинейные
поверхности
поверхности
6. Сила давления на цилиндрическую поверхность.
R
1
R
2
l
Δ
Равнодействующая
Равнодействующая
сил
сил
внутреннего
внутреннего
давления
давления
'
11
dSpР
=
где
где
S
S
'
'
–
–
проекция
проекция
поверхности
поверхности
S
S
на
на
плоскость
плоскость
,
,
перпендикулярную
перпендикулярную
направлению
направлению
Δ
Δ
.
.
Поверхность
Поверхность
S
S
'
'
является
является
прямоугольником
прямоугольником
,
,
площадь
площадь
которого
которого
2
2
R
R
1
1
l
l
,
,
тогда
тогда
lRpР
111
2=
Аналогичный
Аналогичный
результат
результат
можно
можно
получить
получить
для
для
силы
силы
внешнего
внешнего
давления
давления
lRpР
222
2=
Для
Для
второй
второй
части
части
трубы
трубы
мы
мы
получим
получим
тот
тот
же
же
результат
результат
.
.
Величина
Величина
,
,
характеризующая
характеризующая
способность
способность
материала
материала
сопротивляться
сопротивляться
его
его
разрыву
разрыву
обозначается
обозначается
σ
σ
.
.
Сила
Сила
сопротивления
сопротивления
материала
материала
сопр
SF
σ
=
где
где
S
S
сопр
сопр
.
.
–
–
площадь
площадь
сопротивления
сопротивления
.
.
Сила
Сила
давления
давления
на
на
плоские
плоские
и
и
криволинейные
криволинейные
поверхности
поверхности
6. Сила давления на цилиндрическую поверхность
(продолжение).
Таким образом, разрыв произойдет в случае, если
FРР ≥
−
21
, или
−lRp
11
2 ≥lRp
22
2
сопр
S
σ
, или
−lRp
11
2
сопр12
)(2 SleRp
σ
≥
+
, или
−lRp
11
2 elelplRp 222
212
σ
≥−
, или
−
11
Rp
ерeRp
212
+
σ
≥
,
откуда следует, что при
2
211
)(
p
ppR
e
+σ
−
≤
произойдет разрыв трубы.
Относительный
Относительный
покой
покой
жидкости
жидкости
Относительным
Относительным
покоем
покоем
жидкости
жидкости
называется
называется
такое
такое
ее
ее
состояние
состояние
,
,
при
при
котором
котором
каждая
каждая
ее
ее
частица
частица
сохраняет
сохраняет
свое
свое
положение
положение
относительно
относительно
твердой
твердой
стенки
стенки
движущегося
движущегося
резервуара
резервуара
,
,
в
в
котором
котором
находится
находится
жидкость
жидкость
ω
dF
r
dF
dF
g
z
0
z
z
M
Разложим
Разложим
массовую
массовую
силу
силу
dF
dF
на
на
две
две
составляющие
составляющие
:
:
горизонтальную
горизонтальную
rdmdF
r
2
ω=
и
и
вертикальную
вертикальную
dmgdF
g
−
=
Разделив
Разделив
действующие
действующие
силы
силы
на
на
dm
dm
,
,
получим
получим
дифференциальное
дифференциальное
уравнение
уравнение
поверхности
поверхности
уровня
уровня
0
22
=−ω+ω gdzydyxdx
0
2
=−ω gdzrdr
или
или
.
Проинтегрировав
Проинтегрировав
,
,
получаем
получаем
constgz
r
=−
ω
2
22
Вывод
Вывод
:
:
При
При
вращении
вращении
резервуара
резервуара
с
с
постоянной
постоянной
скоростью
скоростью
вокруг
вокруг
вертикальной
вертикальной
оси
оси
поверхностями
поверхностями
равного
равного
давления
давления
будет
будет
семейство
семейство
параболоидов
параболоидов
вращения
вращения
.
.
Относительный
Относительный
покой
покой
жидкости
жидкости
Для
Для
точки
точки
М
М
,
,
находящейся
находящейся
на
на
свободной
свободной
поверхности
поверхности
жидкости
жидкости
2
22
0
r
zz
ω
+=
Закон
Закон
распределения
распределения
давления
давления
найдем
найдем
из
из
дифференциального
дифференциального
уравнения
уравнения
гидростатики
гидростатики
,
,
которое
которое
в
в
данном
данном
случае
случае
примет
примет
вид
вид
)(
2
gdzrdrdp −ωρ=
С
С
учетом
учетом
граничных
граничных
условий
условий
),,0(
00
ppzzr
=
=
=
)(
2
0
22
0
zzg
r
pp −ρ+
ω
ρ+=
Если
Если
представить
представить
,
,
что
что
2
22
00
r
pp
i
ω
ρ+=
то
то
получим
получим
уравнение
уравнение
)(
00
zzgpp
i
−ρ+=
Вывод
Вывод
:
:
Распределение
Распределение
давления
давления
подчиняется
подчиняется
линейному
линейному
закону
закону
для
для
любой
любой
фиксированной
фиксированной
цилиндрической
цилиндрической
поверхности
поверхности
.
.
Закон
Закон
Архимеда
Архимеда
G
S
M
fd
r
ds
На
На
тело
тело
,
,
находящееся
находящееся
в
в
жидкости
жидкости
действуют
действуют
:
:
1)
1)
сила
сила
тяжести
тяжести
;
;
2)
2)
сила
сила
давления
давления
воды
воды
.
.
На
На
каждый
каждый
элемент
элемент
поверхности
поверхности
площадью
площадью
ds
ds
действует
действует
сила
сила
dsnpfd =
где
где
–
–
единичный
единичный
вектор
вектор
,
,
направленный
направленный
по
по
нормали
нормали
внутрь
внутрь
тела
тела
.
.
n
Давление
Давление
p
p
зависит
зависит
только
только
от
от
положения
положения
точки
точки
M
M
,
,
соответственно
соответственно
,
,
каждая
каждая
элементарная
элементарная
сила
сила
будет
будет
зависеть
зависеть
от
от
расположения
расположения
элемента
элемента
и
и
от
от
его
его
формы
формы
.
.
Таким
Таким
образом
образом
,
,
равнодействующая
равнодействующая
сил
сил
будет
будет
зависеть
зависеть
только
только
от
от
места
места
нахождения
нахождения
тела
тела
в
в
жидкости
жидкости
и
и
от
от
величины
величины
внешней
внешней
поверхности
поверхности
тела
тела
S
S
.
.
fd
fd
1.
1.
Равновесие
Равновесие
твердого
твердого
тела
тела
в
в
жидкости
жидкости
.
.
Закон
Закон
Архимеда
Архимеда
2.
2.
Равновесие
Равновесие
жидкости
жидкости
.
.
G′
Жидкость
Жидкость
,
,
находящаяся
находящаяся
внутри
внутри
этого
этого
контура
контура
находится
находится
в
в
равновесии
равновесии
под
под
действием
действием
:
:
1)
1)
собственного
собственного
веса
веса
G'
G'
.
.
2)
2)
результирующей
результирующей
силы
силы
внешнего
внешнего
давления
давления
воды
воды
P
P
.
.
Равновесие
Равновесие
жидкости
жидкости
,
,
находящейся
находящейся
внутри
внутри
контура
контура
S
S
можно
можно
записать
записать
в
в
следующем
следующем
виде
виде
:
:
G
'+
P
= 0 или
G
' = –
P
.
Для
Для
тела
тела
плавающего
плавающего
в
в
жидкости
жидкости
тж
' gVGP
A
ρ
=
=
где
где
–
–
сила
сила
,
,
действующая
действующая
на
на
погруженное
погруженное
в
в
жидкость
жидкость
тело
тело
;
;
–
–
плотность
плотность
жидкости
жидкости
;
;
–
–
объем
объем
тела
тела
.
.
A
P
ж
ρ
т
V
Закон
Закон
Архимеда
Архимеда
Закон
Закон
Архимеда
Архимеда
:
:
На
На
твердое
твердое
тело
тело
,
,
погруженное
погруженное
в
в
покоящуюся
покоящуюся
жидкость
жидкость
,
,
действует
действует
сила
сила
гидростатического
гидростатического
давления
давления
,
,
равная
равная
весу
весу
жидкости
жидкости
в
в
объеме
объеме
тела
тела
,
,
направленная
направленная
вертикально
вертикально
вверх
вверх
и
и
проходящая
проходящая
через
через
центр
центр
тяжести
тяжести
тела
тела
.
.
3.
3.
Условия
Условия
равновесия
равновесия
плавающих
плавающих
тел
тел
.
.
Т
Т
.
.
к
к
.
.
вес
вес
тела
тела
,
,
а
а
архимедова
архимедова
сила
сила
,
,
то
то
в
в
случае
случае
неравенства
неравенства
плотностей
плотностей
тела
тела
жидкости
жидкости
,
,
эти
эти
силы
силы
будут
будут
приложены
приложены
к
к
различным
различным
точкам
точкам
.
.
Для
Для
того
того
чтобы
чтобы
плавающее
плавающее
тело
тело
было
было
устойчивым
устойчивым
,
,
необходимо
необходимо
,
,
чтобы
чтобы
центр
центр
приложения
приложения
архимедовой
архимедовой
силы
силы
(
(
центр
центр
водоизмещения
водоизмещения
)
)
находился
находился
выше
выше
центра
центра
приложения
приложения
силы
силы
тяжести
тяжести
.
.
тт
gVG
ρ
=
тж
gVP
A
ρ
=
Основное
Основное
уравнение
уравнение
гидростатики
гидростатики
для
для
сжимаемой
сжимаемой
жидкости
жидкости
Дифференциальное
Дифференциальное
уравнение
уравнение
равновесия
равновесия
для
для
среды
среды
переменной
переменной
плотности
плотности
после
после
интегрирования
интегрирования
имеет
имеет
вид
вид
.constgz
dp
=+
ρ
∫
Для
Для
вычисления
вычисления
интеграла
интеграла
необходимо
необходимо
задать
задать
закон
закон
изменения
изменения
состояния
состояния
газа
газа
.
.