Пеллинен Л.П. Высшая геодезия (Теоретическая геодезия)

Подождите немного. Документ загружается.

воздухе, полученные для N = 410 равновеликих трапеций, рав-

ных трапеции 10 X 10° вблизи экватора (будем называть их

далее десятиградусными трапециями). Как видно из рис. 62, на

котором показана разбивка на трапеции в Северном полушарии,

путем соответствующего подбора широт граничных параллелей

И. Д. Жонголовичу удалось образовать десятиградусные трапе-

ции, практически равновеликие, почти всегда близкие по форме

к квадрату и располагающиеся в широтных поясах.

Методика И. Д. Жонголовича обеспечивает достаточную про-

стоту и однородность вычислений на всех их стадиях в любой

части поверхности Земли. Формула

(IX.

14) принимает вид

( а

пт

) 1 чЬ _ (

пт(ыъ В) cos mL

1 Ъ

пт

{ Р„

(sin В) sin mL J,

Чертой обозначено осреднение по стандартной трапеции.

Тщательно выполненная и хорошо изложенная работа

И. Д. Жонголовича оказала большое влияние на развитие иссле-

дований по гармоническому анализу силы тяжести как в нашей

стране (например, [8]), так и за рубежом. Начиная с исследований

У. Каулы [15, 128], принципы И. Д. Жонголовича используются

для представления гравиметрических данных при гармоническом

анализе геопотенциала; так, в США принята стандартная раз-

бивка земной поверхности на 1654 приблизительно равновеликих

трапеций размером около 300 X 300 миль, что соответствует

трапеции 5x5° вблизи экватора.

Подготовка гравиметрических данных

для гармонического анализа

Кратко рассмотрим основные этапы гармонического анализа

силы тяжести. Первичным материалом обычно являются средние

аномалии в свободном воздухе (или Фая) и высоты (глубины) по

трапециям, сравнительно близким к трапеции 1x1° вблизи

экватора. По соображениям удобства чаще всего используют

разбивку по трапециям 1x1° географической сетки. Лишь

в высоких широтах соединяют несколько таких трапеций по дол-

готе,

чтобы получить трапеции, близкие к одноградусной трапе-

ции вблизи экватора.

Первым этапом вычислений является образование средних

аномалий Ag' (или Ag) по стандартным десятиградусным или

другим трапециям. Задача это не простая, так как гравиметри-

ческая изученность Земли по одноградусным трапециям недоста-

точная (в исследованиях И. Д. Жонголовича составила 11%,

в настоящее время в исследованиях Раппа в США [141] — 69%)

и к тому же измерения силы тяжести неравномерно распределены

по высоте или глубине.

Нашли применение

два

пути вычисления

Ag'. В

первом

из

них величину

Ag'

вычисляют

использованием средних аномалий

Фая

Agi

лишь

для

изученных одноградусных трапеций

в пределах стандартной трапеции. Типовая формула имеет

вид

5е'=

Pibgi

tgk,

(ix.16)

изуч

Pi —

весовые коэффициенты,

—

поправка

за

неравномер-

ное распределение измерений силы тяжести

по

высоте.

Поправку

чаще всего представляют

виде

где

h —

средняя высота

или

глубина стандартной трапеции;

изуч

— та же

характеристика, вычисленная только

по

данным

для изученных одноградусных трапеций;

к —

коэффициент зави-

симости одноградусных аномалий

от

высоты

или

глубины,

для

получения которого предложены различные способы

[18, 25, 85].

Весовые коэффициенты

чаще всего полагают пропорциональ-

ными площадям одноградусных трапеций.

последние годы

нашел применение более строгий способ получения этих коэффи-

циентов, предложенный

Моритцем [121].

дальнейшем этот

метод

был

обобщен

на

разнообразные вычисления

геодезии

и по-

лучил название метод коллокации [132]. Сущность

его

данном случае состоит

следующем.

С учетом возможной погрешности

определения

Ag' по

фор-

муле (IX. 16) представим

ее (без

члена

) в

виде

2лА*;-А*'

1>-

(IX.17)

Подберем весовые коэффициенты

под

условием минимума

среднего квадрата

погрешности

и, для

чего возведем

(IX.

17)

в квадрат

перейдем

математическим ожиданиям полученных

произведений:

= D

(Ag')

+ 2 PIC

(AgJ, Ag,')

- 2 £ Pfi

(A?, Aft')

/=1 i=l

22 2 PtpfiWt,

A*/),

где

D (Ag') —

дисперсия аномалии

; С (Ag, Ag\) —

коварна-

ция (математическое ожидание среднего произведения) этой ано-

малии

одноградусной аномалии

Agl; С (AgU Ag]) —

ковариация

одноградусных аномалий

Agl и Ag}.

Под условием д (т

)/др; = 0 находим уравнение

входящее в систему нормальных уравнений для определения

коэффициентов р

(

. Решение этой системы в матричной записи

имеет вид

Р = С7/С„ (IX.18)*

где Р — вектор весовых коэффициентов р

(

, С

(

— вектор свобод-

ных членов этих уравнений, в который входят ковариации

определяемой величины Ag' и используемых «наблюдений» Ag'

Сц — обращенная матрица дг-го порядка ковариации «наблю-

дений» С (Ag'

Ag}).

Значения ковариации находят из статистических исследований

аномалий силы тяжести..

Другой путь вычислений Ag

состоит в тбм, что сначала тем

или иным способом «предсказывают» средние аномалии Ag\ для

неизученных одноградусных трапеций, а затем ведут вычисление

по формуле (IX.16), полагая все одноградусные трапеции в пре-

делах стандартной трапеции изученными (в этом случае член

будет отсутствовать)! При «предсказании» аномалий либо

используют статистические методы (определяют эмпирические за-

висимости аномалий в соседних одноградусных трапециях с уче-

том их высот и глубин, а затем с помощью этих зависимостей

шаг за шагом заполняют «белые пятна» в пределах стандартной

трапеции [128]), либо их вычисляют в предположении равенства

нулю изостатических аномалий. В последнем случае иногда вводят

дополнительные поправки, используя сейсмические данные о тол-

щине земной коры и принимая во внимание особенности геоло-

гического строения ее верхних слоев.

Второй этап вычислений возникает, если имеются полностью

неизученные стандартные трапеции. Так, в работе И. Д. Жонго-

ловича [25] они составляли 50%, а в работе Раппа [141], который

провел разложение силы тяжести по сферическим функциям

до 52-й степени, пользуясь вычисленными методом коллокации

средними аномалиями для трапеций 300 X 300 миль, — 9%. Опре-

деляют гравиметрические характеристики неизученных трапеций,

либо применяя те же

приемы вычислений, что и при предсказании

одноградусных аномалий, либо используя предварительное раз-

* Уравнение

(IX.

18) в общем виде известно в теории случайных функций

под назвайием уравнение Винера — Колмогорова.

В обобщенном виде методом коллокации по формулам (IX.22), (IX.16) без bg

(IX.

18) вместо Ag' может быть определена любая другая функция наблю-

денных аномалий силы тяжести (высота квазигеоида, составляющие укло-

нений отвеса и т. д.). Могут быть также использованы другие виды «наблю-

дений» кроме аномалий силы тящести,

ложение силы тяжести по методу наименьших квадратов на ос-

нове данных для изученных трапеций [25], либо определяя ано-

малии по спутниковым данным.

Остается последний этап вычислений — непосредственный гар-

монический анализ силы тяжести одним из методов, изложенных

выше, и оценка точности полученных результатов.

Дадим сначала априорную оценку точности вывода норми-

рованных гармонических коэффициентов силы тяжести и гео-

потенциала по гравиметрическим данным, будем исходить из

формулы

(IX.

15). Примем сначала, что погрешности средних

аномалий всех стандартных трапеций независимы и имеют одно

и то же среднее квадратическое значение m

. Дифференцируя

и возведя в квадрат формулу

(IX.

15), найдем

Поскольку среднее квадратическое значение нормированной

сферической функции равно единице, а после осреднения в пре-

делах обычно применяемых стандартных трапеций очень близко

к единице, то приходим к результату: средняя квадратическая

погрешность вывода коэффициентов а

пт

и Ъ

пт

мало зависит как

от степени, так и от порядка гармоники и приблизительно равна

Учитывая (VIП.6) в § 52, получим формулу для априорной

оценки точности вывода нормированных гармонических коэффи-

циентов геопотенциала по гравиметрическим данным

Как видно, погрешности этих коэффициентов убывают с воз-

растанием степени гармоники обратно пропорционально (п — 1).

Более тщательный анализ показывает, что неодинаковая точ-

ность средних аномалий различных стандартных трапеций слабо

влияет на средние квадратические погрешности коэффициентов

пт

и Ь

пт

. Зато существенным оказывается влияние свойственных

соседним стандартным трапециям систематических погрешностей:

из-за заполнения обширных массивов «белых пятен», опорных

гравиметрических сетей, связанных с учетом зависимости анома-

лий от высоты (неточность гипсометрических карт, неучет попра-

вок за рельеф), гравиметрической съемки на море (в особен-

ности свойственных старым работам) и т. д. Можно заранее ожи-

дать,

что эти погрешности будут сильнее всего отражаться на а

Оценка точности

пт

(sin В) cos mL

пт

(sin В) sin mL

(IX.20)

и других коэффициентах низких степеней, так как соответству-

ющие им сферические функции сохраняют одинаковый знак в со-

седних стандартных трапециях. Поэтому погрешности т Г_

пт

\Ь

т)

должны несколько убывать с возрастанием степени гармоники.

Реальную точность определения гармонических коэффициен-

тов силы тяжести и геопотенциала по гравиметрическим данным

лучше всего оценить путем сравнения этих выводов с наиболее

надежными спутниковыми выводами. Кроме того, эту точность

характеризуют найденные из формального разложения «запрет-

ные» коэффициенты а

, а

г1

ll9

2и

которые априори

должны быть равны нулю.

В качестве иллюстрации современных возможностей грави-

метрического метода приведем в табл. 14 некоторые оценки точ-

ности для вывода Раппа [141]. В графе «фактические» приведены

оценки, найденные путем сравнения со спутниковым выводом

GEM7, а в графе «априорные» — априорные оценки Раппа, сделан-

ные в предположении о независимости погрешностей средних ано-

малий для стандартных трапеций 300 X 300 миль.

Таблица 14

"r{fc}*

Uz}'

Mraji

фактические | априорные

±26,0

26,0

16,0

14,8

9,3

5,8

5,7

5,9

4,3

2,8

1,9

±19,1

9,6

6,4

4,8

3,8

3,2

2,7

2,4

2,1

1,9

1,7

±0,26

0,51

0,47

0,58

0,46

0,34

0,39

0,46

0,38

0,27

0,21

±0,19

0,19

Как видно из табл. 14, указанные тенденции подтверждаются.

Фактические погрешности больше априорных, в особенности при

малых значениях п.

§ 59. СПУТНИКОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ВЫВОДЫ

ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ГЕОПОТЕНЦИАЛА

Краткие сведения о методах выводов

Вопросы использования динамического метода спутниковой

геодезии для определения гармонических коэффициентов геопо-

тенциала рассматриваются при подготовке инженеров астроно-

мов-геодезистоа в специальном курсе космической геодезии [42].

Не будем поэтому останавливаться

на

теории динамического

спутникового метода

технических деталях применяемых реше-

ний,

сразу перейдем

изложению полученных результатов

и оценки

их

точности.

Обычно раздельно определяют четыре группы гармонических

коэффициентов геопотенциала:

а) четные зональные коэффициенты вида C

„

или J

до

2п

~ 22—40 — из

анализа вековых возмущений

орбитальных

элементов

ИСЗ;

б) нечетные зональные коэффициенты ВИДа

2/г+1,

^И J

2п+1

до

2п -f 1 ~ 23—39 из

анализа долгопериодических возмущений

орбитальных элементов

ЙСЗ;

в) резонансные незональные коэффициенты

— по

резонанс-

ным возмущениям орбит

ИСЗ,

вызванным соизмеримостью перио-

дов обращения

ИСЗ

вокруг Земли

суточного вращения Земли

(хотя

бы

неглубокий резонанс проявляется

орбитах любых

ИСЗ);

к таким коэффициентам относятся,

одной стороны, коэффи-

циенты

номерами (вторыми индексами)

т от 12 до 15 и от 26

до

28 при п от 12 до 29,

определяемые

из

возмущений сравнитель-

но низких

ИСЗ, а с

другой — ^коэффициенты

индексами

(2,2),

(3,1), (3,2),

(3,3) и

(4,4),

определяемые

по

возмущениям 24-часо-

вых (геостационарных)

12-часовых (типа «Молния») спутников;

г) остальные незональные коэффициенты

до п — 12—16,

кото-

рые находят совместно

геоцентрическими координатами станций

наблюдения

ИСЗ и

орбитальными элементами

из

обработки

динамическим методом первичных наблюдений спутников

пре-

делах

дуг

протяженностью

во

времени

до

одной-двух недель.

В результате динамических выводов определяют согласован-

ные «модели Земли», включающие

как

гармонические коэф-

фициенты геопотенциала,

так и

геоцентрические координаты

станций. Такие модели

не

обязательно являются оптимальными

с точки зрения приближения

истинным значениям параметров,

но обеспечивают

минимальными погрешностями прогнозирова-

ние орбит

ИСЗ,

включенных

решение.

большинстве случаев

последнее

является целью вывода параметров.

Оценка точности

по

внутренней сходимости обычно оказы-

вается сильно преувеличенной

(для

отдельных параметров

—

в десятки раз!).

Это

объясняется

тем, что

основными являются

не случайные погрешности наблюдений,

систематические,

не

отражающиеся

на

внутренней сходимости выводов. Поэтому

для

суждения

реальной точности выводов используют различные

внешние критерии:

а) сравнение систем коэффициентов, полученных

на

основе

наблюдений различного вида (фотографических, лазерных,

доп-

плеровских, гравиметрических);

б) сравнение аномалий силы тяжести, вычисленных

среднем

по большим площадям

по

коэффициентам анализируемой модели,

с полученными

на

основе детальных гравиметрических данных;

й) расчеты на осйойе исследуемых Моделей дЁйжёййя ИСЗ

по хорошо определенным эталонным орбитам, не участвовавшим

в выводах моделей, и сравнение получаемых остаточных уклоне-

ний с ожидаемыми из формальной оценки точности;

г) сравнение степенных дисперсий вида

(IX.8),

найденных

по коэффициентам анализируемой модели и независимо получен-

ных из статистического анализа силы тяжести.

Отметим, что в лучшвд современных выводах достигнута

очень хорошая сходимость полученных по ним стеЬенных диспер-

сий с найденными из статистического анализа силы тяжести.

Однако в прошлом этого не было, что послужило серьезным осно-

ванием для сомнений в качестве некоторых спутниковых выводов.

Ныне для количественной характеристики точности спутниковых

выводов используют первые три критерия.

Современные .определения гармонических

коэффициентов геопотенциала и их точность

Устойчивость лучших современных определений гармониче-

ских коэффициентов геопотенциала можно видеть из табл. 15

(зональные коэффициенты) и табл. 16 (незональные коэффициенты

до 8-й степени). Чисто спутниковым методом получены зональные

коэффициенты группой французских исследователей в 1971 г.

[37, с.

212—218],

японским ученым Козаи при определении

модели «Стандартная Земля III 1973» [147] Смитсоновского Астро-

физического института (САО), Вагнером из Годдардского центра

космических полетов, США [145]. Тем же центром из обработки

одних спутниковых данных получена модель GEM 7 [125],

включающая в себя как зональные, так'и незональные коэффи-

циенты. Вывод того же центра GEM 8 [125], а также выводы

САО IV.3 [117] и коллектива ученых Франции и ФРГ GRIM 2

[112] являются результатом комбинации гравиметрических и

спутниковых данных, однако последние при определении коэф-

фициентов низких степеней имели главное значение. На это пока-

зывает малое отличие выводов GEM 7 и GEM 8, в которых исполь-

зовались одни и те же спутниковые данные. Для сравнения дан

чисто гравиметрический вывод Раппа, 1977 г. [141]. Все коэф-

фициенты приведены в нормированном виде.

Точность спутниковых выводов зональных коэффициентов

характеризуют их средние квадратические колебания, приведен-

ные в последней графе табл. 15. Как видно, очень уверенно опре-

делены коэффициенты до 10-й степени (с погрешностью в несколь-

ко единиц девятого знака). Погрешности коэффициентов более

высоких степеней приближаются к двум единицам восьмого

знака. Судя по разбросу выводов, близкую к спутниковым опре-

делениям точность имеют коэффициенты выше 12-й степени, полу-

ченные по гравиметрическим данным.

Таблица

Нормированные зональные гармонические коэффициенты геопотенциала

в единицах девятого знака)

Франц

1971

Вагнер,

1972

САО

III,

1973

GEM

1975

GEM

1975

CRIM

1976

Гравимет-

рические,

Рапп

Средние

квадра-

тические

колебания

-10

-170

961

540

-154

-49

-16

-8

-16

-169

960

533

-147

-29

-31

—1

-8

-2

-170

960

539

-153

-65

-20

-19

-6

-16

-165

959

540

—151

-45

-22

-5

•

-165

959

540

-151

-44

-25

-3

—169

961

540

-153

-65

-19

—7

-12

416

490

809

152

—179

166

133

—101

-14

-6

-5

Йр имечание.

строке

для п=2

приведены

раэностя

С2»0—

-V—484

400).

Исследования, проведенные

в США [125, 130, 141],

показы-

зают,

что

определения незональных коэффициентов

модели

GEM

имеют точность порядка

1,5 X 10"

для

гармоник

до 8-й

угепени

более низкую

—

порядка двух-трех единиц восьмого

знака

для

гармоник

от 9-й до 16-й

степени. Судя

по

отклонениям

>т выводов

GEM 7 в

табл.

16,

модели

САО IV.

3 и

GRIM

имеют

оолее низкую точность.

Нет надежных оценок точности резонансных гармонических

коэффициентов. Можно лишь ожидать,

что их

погрешности

при

<18

будут меньшими,

чем у

остальных незональных коэф-

фициентов.

В целом сравнительная характеристика точности вывода раз-

личных коэффициентов

зависимости

от

степени

п при

опреде-

лении

их по

спутниковым (модель

GEM 7) и

гравиметрическим

Рапп,

1977)

данным представлена

на

рис.

63.

Данные

точности

гравиметрического вывода

при п ^ 12

взяты

из

табл.

12. Для

более высоких степеней принято

г[С

20x10-»

(1Х>21)

Таблица 1б

Нормированные незональные гармонические коэффициенты геопотенциала

СлтХ 10

SwnXlO

тп

со

1-1

см

»-н

Рн

Р,Ь

Рн

РА

со

о»

ftH*

Рн

РА

• 7

242

205

-58

100

- 9

- 8

-59

-29

- 7

- 4

-28

-15

-27

- 4

-17

-12

-18

249

196

-54

-10

- 1

-41

-24

- 5

- 2

- 6

-28

- 5

-22

-38

- 3

-12

- 5

- 9

-17

243

203

-53

-20

- 6

-46

-29

- 8

-11

-25

-28

-36

—2

- 3

-25

- 2

- 7

-13

243

203

-54

-20

- 6

-46

-28

- 7'

—10

-26

-27

- 1

-35

. 2

- 2

-23

- 2

- 6

-11

243

190

121

-44

-25

-19

-25

- 9

- 2

-19

-37

-20

-31

-3

-20

- 4

—И

-13

-142

- 68

149

- 47

- 19

- И

- 34

- 5

- 58

- 44

- 37

- 46

- 27

- 25

- 17

- 9

- 2

-136

- 55

156

- 47

- 16

- 1

- 41

- 9

- 60

- 34

- 45

- 57

- 24

- 4

- И

- 14

- 4

- 1

- И

-138

- 62

141

- 47

- 20

- 8

- 32

- 22

- 68

- 36

- 1

- 46

- 53

- 25

- 24

- И

-140

- 62

142

- 47

- 20

- 8

- 32

- 20

- 68

- 36

- 46

- 53

- 26

- 22

- 12

- 10

-138

- 5

- 49

156

- 38

- 41

- 25

- 20

- 12

- 54

- 35

- 7

- 40

- 53

- 22

- 18

- 16

- 1

- 9

Показаны также точками оценки порядка гармонических

коэффициентов геопотенциала различных степеней согласно эм-

пирической формуле Каулы

(IX.9).

Примерно до п = 10 спутниковые выводы гармонических

коэффициентов точнее, чем гравиметрические. При п > 12, на-

оборот, имеют большую точность гравиметрические определения,

исключая зональные

и,

по-видимому, некоторые резонансные

коэффициенты.

При п & 50

погрешности гравиметрических опре-

делений становятся соизмеримыми

порядком определяемых

коэффициентов.

Это

является пределом

для

порядка разложения

силы тяжести

по

сферическим функциям. Чисто спутниковые

m(C

nmi

)-W

-1

1—

В*

—

- -

• - -

. •

5 10 15, 20 25 30 35 ¥3 ^5 П

Рис.

63.

Характеристика точности вывода коэффициентов

1 — 0 (С^, S

) X Ю

по

формуле (IX.9);

2 —

спутниковый вывод

(незональные гармонические коэффициенты);

3 -—

спутниковый вывод

(зональные гармонические коэффициенты);

4 —

гравиметрический вывод

выводы гармонических коэффициентов геопотенциала

при

пол-

ном

их

наборе целесообразны

для

значений

п не

более

16.

60.

СОВМЕСТНОЕ УРАВНИВАНИЕ ГРАВИМЕТРИЧЕСКИХ

И СПУТНИКОВЫХ ДАННЫХ

Из предыдущего параграфа видно,

что

можно получить более

точные результаты путем совместного уравнивания гравиметри-

ческих

спутниковых данных.

наиболее общем виде уравнива-

ние можно провести методом, подобным методу Гельмерта

(Пра-

нис-Праневича), изложенному

в § 33. Из

совместного решения

найдем поправки (dC

, dS

)

некоторой начальной системе

коэффициентов

С'

пт

, S

поправку (da

)

предварительному

значению нулевой гармоники

разложении силы тяжести

по

сфе-

рическим функциям.

Для

этого, подставив

уравнение (IX.13)

вместо коэффициентов

пт

и Ъ

пт

их

значения, полученные^из

(VII

1.6) и

равные

пт

= у (п — 1)

АС

пт

= у (п — 1)

nmi