Пеллинен Л.П. Высшая геодезия (Теоретическая геодезия)

Подождите немного. Документ загружается.

где

АС

пт

= С

пт

—

Спт

и S

суть гармонические коэффициенты

возмущающего потенциала.

Выгодно представить

Т как

оо

где

= 2

(

АС

«"'

cos

™

sin

)

sinф

(VIII.2)

771*0

есть

п-я

гармоника

разложении потенциала

Т на

поверхности

сферы радиуса

по

сферическим функциям.

Запишем аналогичным рядом смешанные аномалии силы

тя-

жести, которые.в сферическом приближении равны

Представим

оо

п=2

где

£«

= S Km cos +

fc„

sin

mL)

rtm

(sin

Ф)

(VITI.5)

7/1=0

есть

п-я

гармоника

разложении

Ag на

поверхности сферы

ра-

диуса

по

сферическим функциям.

Полученные соотношения справедливы, если

вне

этой сферы

нет притягивающих масс.

Это

практически будет, если атмосфер-

ные массы переместить внутрь Земли

ввести соответствующие

поправки

измерения силы тяжести

(см. § 36).

Из уравнений

(VII

1.1) и

(VII

1.3) в

модифицированном виде

получим известную формулу Стокса, которая будет являться

основой

для

последующих выводов,

(VIII.6)

Выполненные исследования показывают,

что при

небольших

степенях

п с

удовлетворительной точностью можно считать,

что

пт

и Ъ

пт

суть коэффициенты разложения аномалий

Фая Ag'

на физической поверхности Земли

формальный

ряд

сферических

функций геодезических широты

В и

долготы

L [85]. При

таком

предположении основная погрешность формулы (VIП.6) будет

вызвана пренебрежением эллиптичностью Земли и в относитель-

ной мере иметь порядок па, где а — сжатие Земли. При совре-

менной точности такой погрешностью можно пренебречь. В необ-

ходимых случаях можно ввести поправки за эллиптичность

Земли, полученные О. М. Остачем {82, 83]. В принятом прибли-

жении можно также заменить

-Отметим, что вычисления по приведенным формулам будут

соответствовать нормальной формуле силы тяжести, согласован-

ной с принятой нами Нормальной Землей.

Метод определения у

Предположим, что по спутниковым данным определены гармо-

нические коэффициенты геопотенциала до некоторой степени п.

Пользуясь формулами (VIП.5) и

(VII

1.6), рассчитаем спутнико-

вые аномалии силы тяжести в точках физической поверхности

Земли

71=2

где 8gc — влияние погрешностей спутниковых данных.

Вычисленные аномалии отражают лишь глобальные особенности

гравитационного поля Земли и соответствуют нормальной фор-

муле силы тяжести, которая наилучшим образом соответствует

Нормальной Земле. Можно считать, что коэффициенты р и р

этой формулы достаточно точно известны, так как они согласованы

с выводом по наблюдениям ИСЗ коэффициента С

. Остается

подобрать лишь значение у

Примем некоторое приближенное значение экваториальной

силы тяжести y

, указанные выше значения р и р

и, используя

полученную таким образом нормальную формулу, вычислим по

измерениям силы тяжести на физической поверхности Земли

(после введения поправок за атмосферу) аномалии Фай Ag

Представим

Д?г = я

о+ 2 Л*,. +

Л*в.р

+ в*

(VIII.8)

П=2

где а

—- нулевая гармоника в разложении аномалий Ag

по

сферическим функциям, которую можно считать равной искомой

поправке в у*,

— влияние высоких гармоник геопотенциала

на Ag

, 8g

— влияние погрешности определения Ag

(VIII.7)

Вычитая уравнение (VIП.7)

из

(VIП.8), получим

- Ag

= a

+Ag

+8g

-8g

(VI11.9)

При осреднении

по

достаточно большой области влияния трех

последних членов ослабляется,

так что

можно принять

По расчетам

в [85]

осредненное влияние

будет прене-

брегаемым, если сферический радиус области осреднения больше

1807я.

настоящее время

из

наблюдений

ИСЗ

уверенно опреде-

лены гармонические коэффициенты геопотенциала

до 8-й

степени,

так

что

указанный радиус может составлять около

20°.

Наиболь-

шее беспокойство вызывают систематические погрешности анома-

лий

особенно заметные

горах,

где

также имеют значение

принципиальные неточности теории, связанные

использованием

аномалий

Фая.

Поэтому лучше пользоваться

при

получении

аномалиями

Фая в

равнинных районах.

перспективе, когда

бу-

дут сведены

минимуму систематические инструментальные

погрешности гравиметрической съемки

на

море, будет выгодно

использовать

и ее

результаты.

При современной гравиметрической изученности можно

по-

добрать участки радиусом

в 20° для

определения

ожидая,

что

в среднем

по

нескольким таким участкам этот параметр будет

определен

точностью

не

ниже

0,5—1,0

мгал.

§ 53.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ

ГРАВИТАЦИОННОЙ ПОСТОЯННОЙ

ПО

НАБЛЮДЕНИЯМ

ДАЛЕКИХ КОСМИЧЕСКИХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ

Принципы определения

Из всех фундаментальных геодезических постоянных нулевого

порядка

геоцентрической гравитационной постоянной

предъявляют наиболее высокие требования

при

расчете траекто-

рий небесных

тел в

околоземном космическом пространстве.

Это

в первую очередь относится

космическим летательным аппаратам

(КЛА),

направляемым

Земли

сторону Луны,

также Марса,

Венеры

других планет. Поскольку траектории

КЛА

очень

чувствительны

принятым значениям

fM,

имеется возможность

определить этот параметр

высокой точностью, включив

его в

чис-

ло неизвестных, уточняемых

при

анализе наблюдений

КЛА.

Поясним

эти

возможности

на

следующем примере. Запишем

уравнение движения

КЛА

r+fMJL-

= F,

(VIII.10)

где

г —

геоцентрический радиус-вектор

КЛА (его

модуль

pa-

's +

вен

г), г —

вектор ускорения

КЛА, F —

возмущающее ускорение,

вызванное нецентральностью поля тяготения Земли и другими

возмущающими факторами.

~ ->

При анализе движения КЛА будем полагать, что влияние F

невелико и достаточно хорошо учитывается по другим данным, так

что возникает задача лишь уточнения параметра fM. Поэтому

член F в формуле (VIИ. 10)

не будем принимать во вни-

мание. В этом случае реше-

нием уравнения

(VII

1.10)

будет интеграл энергии

2fM

•л,

(VIII.11)

24 36

время после запуска

где V — орбитальная ско-

рость KJIA, h — постоянная

энергии, которая для дале-

ких KJIA будет положи-

тельна (случай гиперболиче-

ской орбиты).

Достаточно зафиксиро-

вать в двух точках КЛА его

орбитальную скорость V и геоцентрическое расстояние г, чтобы

из разностей выражений (VIII.И) для таких точек (допустим,

1 и 2) получить fM,

Рис.

ДМ —

(VIII.12)

Изменения V и г по мере удаления от Земли показаны на

примере полета американского КЛА «Маринер-9» на рис. 58

[115]. При запуске аппарат получил радиальную скорость, пре-

вышающую вторую космическую. Через 2 ч при г

= 4 X 10

км

эта скорость уменьшилась под действием притяжения Земли до

= 5,3 км/с, а через 24 ч (г

^ 3 X 10

км) до V

= 3,3 км/с.

Продифференцировав уравнение

(VIII.

12) и подставив указанные

значения расстояний и скоростей, после возведения в квадрат

получим

Г1

где ту выражено в км/с, а т

— в км. Влияние погрешности г

пренебрегаемо. Относительная точность вычисления fM порядка

1 X 10"

достижима при m

порядка 1,0 мм/с, а т

— порядка

25 м. Эти. величины соответствуют реальным возможностям

наблюдений КЛА.

V2 7 Закав 830

193

Уравнения наблюдений

КЛА

Непосредственно

из

наблюдений

КЛА

получают

их

дальности

и радиальные скорости

относительно станции слежения,

ко-

торая сама движется вместе

Землей вокруг

ее оси

вращения.

Возможности геодезического использования измерения

р и р

вйтекают

из рис. 59, на

котором через

обозначена станция

Рис.

наблюдений, через

N — КЛА и

через

С —

центр масс Земли,

CP—

мгновенная полярная

ось, Г —

начало счета долгот.

Из

треугольника

CMN

имеем

+ #

—2ri?cosi|>.

(VIII.13)

Из

рис. 60, на

котором показаны проекции

на

единичную

сферу, описанную вокруг

С,

направлений

на

полюс

Р,

станцию

слежения

и КЛА,

имеем

cos i|) = sin Ф sin 6 + cos Ф cos б cos I, .

(VIII.14)

где

/ —

местный часовой угол, равный разности геоцентрических

долгот

— L

космического летательного аппарата

станции

слежения.

Иначе можно записать

= a —S

—L,

(VIII.15)

где

а —

прямое восхождение

КЛА. S —

Гринвичское звездное

время.

Учитывая,

что R <g г,

представим

= r {I __

osi|) +

-^-j

194

откуда после разложения

в ряд

Тейлора находим

Д2

= г

—

R cos

i|)

sin

г|?

(VIII.16)

Последний

из

записанных членов

(VIII.

16)

члены более

высокого порядка малы

и их

можно заранее определить, исходя

из известных приближенных геоцентрических

координат станции

R, Ф, L и КЛА г, а, б и

зна-

чения

S. Так как

согласно

рис. 59

геоцентри-

ческие цилиндрические координаты станции

равны

= R cos Ф;

= J?sinO,

то

из

(VIII.16)

(VIII.14)

получим уравнение

наблюдений

для

дальности *

p=*r

—

Zsin6

—

fl<pCos6cosZ+ . . ..

(VIII.17)

Чтобы получить соответствующее уравнение

для радиальной скорости, продифференцируем

(VIII.17)

по

времени. Пренебрегая изменениями

в течение наблюдений

КЛА

координат

Д, Ф, L и

учитывая

(VII

1.14),

находим

Рис.

—

R<&

со

cos

sin

—

(Z cos

—

sin

cos

/) б -f-

Л©

со

cos

sin / + .". .,

(VIII48)

где

(0 = 5 —

угловая скорость вращения Земли.

Координаты

КЛА а, б

сравнительно медленно меняются

во

времени, поскольку

его

траектория обычно близка

геоцентри-

ческому направлению,

поэтому члены саиб являются второ-

степенными.

Из решения уравнений наблюдений

(VIII.17)

(VIII.18)

по ме-

тоду наименьших квадратов можно найти координаты станции

i?<s,

Z и L, а

также величины

г и г.

Координаты

КЛА а и б и их

производные

по

времени более выгодно получать

по

снимкам

КЛА

на

фоне звезд. Орбитальная скорость

КЛА

равна

V=(r

+ г

cos

ба

)

«.

(VHI.19)

Таким образом, имеем

все

данные

для

расчета траектории

КЛА

уточнения геоцентрической гравитационной постоянной.

Из координат станции наиболее точно определяется

ее

рас-

стояние

Rф до оси

вращения Земли, входящее

амплитуды чле-

нов

cos б cos I и Лф(о cos б sin /,

имеющих,

как

следует

из

формулы

(VIII.

15), суточный период.

При

этом требования

точ-

ности

невелики,

так как

величины

б при

полетах

КЛА

обычно

195

малы.

По

данным обработки наблюдений

КЛА в США

величину

получают

точностью около

1 м. С

меньшей линейной точно-

стью

по

фазам указанных периодических членов определяют

долготы станций, однако очень хорошо определяются разности

их долгот. Члены, включающие

малы

и их не

используют

для уточнения этой координаты.

На практике применяют дифференциальное уточнение орбиты

КЛА

находят поправки

к fM и

координатам станций совместно

с параметрами движения КЛА. Результат

fM = 398 600,37

км

-2

получен

СССР

Э. Л.

Акимом

другими

[1] по

наблюдениям

КЛА «Венера-4», «Венера-5», «Венера-6», «Венера-7». Максималь-

но возможная погрешность этого значения оценивается

в 1

км

с~

Обработка более поздних наблюдений американских

К|ЛА «Ма-

ринер-9»

«Маринер-10», запущенных соответственно

в 1971

1973 гг.,

дала значение

[133] fM = 398 600,68 ± 0,15

км

с"

которое после перехода

новому значению скорости света равно

= 398 600,51

км

с-2.

Особенностью проведения наблюдений далеких

КЛА

является

то,

что

геодезические выводы получают попутно

решением дру-

гих задач полета таких объектов. Поэтому каждый новый запуск

КЛА выгодно использовать

для

уточнения геодезических пара-

метров.

§ 54.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ

ГРАВИТАЦИОННОЙ ПОСТОЯННОЙ

ПО

НАБЛЮДЕНИЯМ

СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ

Наиболее наглядно возможности использования наблюдений

спутников Земли, движущихся

по

эллиптическим орбитам,

для

уточнения геоцентрической гравитационной постоянной можно

показать

из

соотношения, которое вытекает

из

третьего" закона

Кеплера

f(M

+ m)=

а* (1

Р)

(VIII.20)

где

т —

масса спутника,

а —

большая полуось

его

орбиты,

— его

среднее движение^

р —

поправочный член

за

влияние

возмущающих

сил,

связанных

нецентральностью гравитацион-

ного поля Земли, притяжением Луны

Солнца, световым давле-

нием, сопротивлением атмосферы

и др.

В случае использования наблюдений

ИСЗ

можно принять

= 0. При

этом поправочный член

будет весьма сложной функ-

цией многочисленных трудно учитываемых' возмущений. Поэтому

результаты определения

fM из

обработки наблюдений

ИСЗ

полу-

чались более грубыми,

Чем по

наблюдениям далеких

КЛА.

Однако

в перспективе можно ожидать повышения точности спутниковых

выводов.

Это

связано

использованием специальных высоких

ИСЗ,

имеющих устойчивую орбиту (цельнометаллических

для

лазерных наблюдений,

компенсацией влияния негравитацион-

ных сил), развитием методов слежения ИСЗ, повышением точности

гравитационных моделей.

До появления

ИСЗ для

определения

fM с

помощью формулы

(VIII.20)

использовались наблюдения Луны. Среднее движение

Луны

(в

соответствии

теорией Хилла-Брауна

его

принимали

равным

2,661699489 с

-1

) и

поправочный член

р,

который

в ос-

новном вызван возмущающим влиянием Солнца

принимался

равным

0,00907681,

известны

очень высокой точностью.

удовлет-

ворительной точностью известно

по

другим данным отношение масс

Земли

Луны

(в

частности,

оно

хорошо определяется

из

анализа

наблюдений

КЛА).

Таким образом,

для

вывода

было необ-

ходимо определить большую полуось средней

(так

называемой

вариационной) орбиты Луны. Первоначально

для

этого использо-

вались угловые засечки точек

на

Луне

концов известных

баз

на земной поверхности.

дальнейшем использовались радиоло-

кационные измерения расстояний

до

поверхности Луны

центре

ее видимого диска

[107, с.

109—124].

Основным источником

погрешностей этого вывода было неуверенное определение рас-

стояния

от

области измерения

до

центра масс Луны, которое

находили

по

размерам

ее

видимого диска

предположении,

что

Луна имеет форму сферы.

Метод определения

fM по

наблюдениям Луны возродился

на

качественно новой основе после проведения работ

по

измерению

расстояний методом светолокации

до

отражателей, установленных

на поверхности Луны

(§ 64).

Обработка этих измерений

и ре-

зультаты других исследований Луны позволили существенно

улучшить теорию

ее

движения,

в том

числе уточнить отношение

масс Земли

Луны,

надежно определить селеноцентрические

координаты отражателей.

результате обработки данных свето-

локации отражателей

на

Луне

обсерватории Макдональд

в США

было определено новое значение

fM,

равное после перехода

к но-

вому значению скорости света

398 600,48

км

-2

Полученное значение почти совпадает

выводом

по

наблюде-

ниям

КЛА

«Маринер-9»

«Маринер-10»

(см. § 53) и

было исполь-

зовано

рекомендации XVI Генеральной ассамблеи Международ-

ной ассоциации геодезии

в 1975 г.

(Гренобль, Франция):

fM =

398 600,5 ± 0,3

км

с-2.

Оценка точности дана

известной осторожностью, поскольку

возможны неучтенные систематические погрешности выводов.

Они, например, проявились

первоначальных американских

определениях

fM по

наблюдениям

КЛА. Из

совокупности таких

выводов

на 1969 г. с

внутренней сходимостью

пределах двух-

трех единиц седьмого знака было получено значение

fM =

398 601,3

км

с"

, которое существенно отклоняется

от

совре-

менных определений.

§ 55. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

НА ГЕОИДЕ И ГРАВИТАЦИОННОГО МАСШТАБНОГО

МНОЖИТЕЛЯ

Использование наземных данных

Как уже отмечалось в § 35, введение экваториального радиуса

Земли а

в число основных фундаментальных геодезических по-

стоянных, определяющих Нормальную Землю, не вполне оправ-

дано и с повышением точности выводов в качестве основной по-

стоянной лучше определять значение потенциала силы тяжести

на поверхности геоида. При подборе Нормальной Земли дол-

жно выполняться условие U

= W

В строгой теории решения граничной задачи геодезии (задачи

Молоденского), а именно определения фигуры и внешнего гравита-

ционного поля Земли по измерениям, выполненным на ее поверх-

ности, установлена следующая связь между астрономо-геоде-

зическими высотами квазигеоида составляющими уклонения

отвеса т) и соответствующими величинами, определяемыми

по гравиметрическим данным:

(VIII.21*)

Указанные уравнения даны в монографии М. С. Молоденского'

В.

Ф. Еремеева и М. И. Юркиной [69] и являются обобщенными

уравнениями градусных измерений (см. § 43). В уточненном виде

их вывод изложен в учебниках «Теории фигуры Земли» [7, 108].

В записи уравнения

(VIII.21)

приняты введенные нами в главе

* Уравнения градусных измерений, изложенные в § 48 и 55, эквива-

лентны. Покажем это в сферическом приближении. Вычитая уравнение (VI.36)

из (VI.37), получим

AUQ

___

Wo-Uo

Uof Aa

_i_ Ау

, _Я

У У У \

е Уе )

йе

\ у Ye-

В то же время

W I

<*-v)S

Wdo>

-^г j (g-У)d<* ~ £ —^ AY,.

Ct)

Подставляя полученные выражения в уравнение для высот квазигеоида

(VIII.21),

приводим его в принятом приближении к виду, подобному первому

из уравнений (VII.29).

zcosj?cosL

+ ycosBsinL +

zsinB

—

x sin В cos L

-}-

у sin В sin L — z cos В —

x sin L — у cos L =

H) (ц — т)).

VII

обозначения. Напомним,

что

через

обозначена составля-

ющая астрономо-геодезического уклонения отвеса

физическом

определении

(§ 2). В

формулы вошла также величина которую

непосредственно определяют

по

гравиметрическим данным.

сток-

совом приближении

она

имеет

вид

t'=-ik

jte-vm(t|>)-i]dco.

(О

Наиболее строгое изложение теории решения уравнений гра-

дусных измерений

определением

— С/

дано

В. Ф.

Еремеевым

М. И.

Юркиной

[36].

Использование спутниковых данных

Теория вывода

по

спутниковым данным разработана чехо-

словацким геодезистом

М.

Буршей

[13, § 28 и 112].

Пусть дина-

мическим спутниковым методом

(или из

комбинации спутниковых

и гравиметрических данных) определены потенциал притяжения

Земли

виде ряда

(VI.1),

ограниченного некоторой степенью

п,

координаты станций слежения

наблюдаемых спутников

в общеземной системе. Положение станции

(или

спутника) пока-

зано

на рис. 61

точкой

М. Для

определения

необходимо

знать высоту

точки

М над

поверхностью геоида.

В случае когда точка

является станцией слежения

ИСЗ,

за высоту

принимают известную

по

данным нивелирования нор-

мальную высоту станции

и тем

самым пренебрегают различием

геоида

квазигеоида.

По

известным координатам

В, L

станции

определяют направление нормали

общеземному эллипсоиду

в точке

М и по

этому направлению откладывают высоту

Полу-

чают точку

которую

достаточной точностью можно считать

лежащей

на

поверхности геоида. Пользуясь формулами аналити-

ческой геометрии, нетрудно получить

по

известному геоцентри-

ческому положению станции,

также

по

длине

направлению

вектора

ММ

координаты точки

общеземной системе. Далее

рассчитывают

по

формулам

(VI.

(VI.2) значения потенциалов

притяжения

V и

центробежной силы

Q в

этой точке

находят

искомый потенциал силы тяжести

на

геоиде

(VIII.22)

Это значение содержит принципиальную погрешность из-за

невозможности аналитического продолжения потенциала

V с по-

мощью ряда

(VI.

1) внутри масс земной коры, однако

при

опре-

делении

такая погрешность

настоящее время несущественна.

Более важно учитывать погрешности: гармонических коэффи-

циентов геопотенциала

до

степени

п,

входящих

используемый

ограниченный

ряд

(VI.1);

из-за ограничения ряда

(VI.

1) этой

степенью; координат точки

М в

общеземной системе

высоты

и особенно погрешности принятого значения геоцентрической

гравитационной постоянной

fM.

199