Пеллинен Л.П. Высшая геодезия (Теоретическая геодезия)

Подождите немного. Документ загружается.

Icp

Л ср ~* средние из соответствующих составляющих дЛй

всех астропунктов АГС. Таким образом, например, были полу-

чены исходные геодезические даты в Австралии.

При надлежащем подборе £

и т)

выбор исходной высоты

квазигеоида £

равной нулю будет удовлетворительным. Именно

так поступили при установлении исходной высоты квазигеоида

в СССР и при обработке многих зарубежных геодезических сетей.

В настоящее время возможно с весьма удовлетворительной

точностью определять абсолютные элементы ориентирования ре-

ференцных систем координат. Тем самым в принципе открывается

возможность установления таких систем, которые практически

совпадают с общеземной. Однако с точки зрения национальных

потребностей такое решение не всегда окажется оптимальным.

Например, при переходе к общеземной системе координат средние

высоты квазигеоида в пределах Северной Америки составляют

около —30 м, а в Индии —75 м. В Австралии высоты квазигеоида

меняются от +25 до —75 м! В то же время нетрудно добиться

надлежащим подбором исходных геодезических дат, чтобы исчезла

систематическая часть в высотах квазигеоида и уменьшился их

разброс.

Таким образом, многие референцные системы координат рас-

пространены не только из-за их традиционности, но и потому, что

могут оказаться лучшими, чем общеземная система, при предста-

влении реальной фигуры Земли в пределах ограниченных терри-

торий. Это имеет определенные удобства при практической обра-

ботке массовых геодезических изменений (прежде всего линейных)

в пределах отдельных стран.

ГЛАВА VII .

ГРАДУСНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

§ 43. НЕКОТОРЫЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

В данной главе мы будем пользоваться термином «градусные

измерения» в классической геометрической трактовке как обозна-

чение работ по определению параметров эллипсоида, либо наи-

более подходящего к квазигеоиду в пределах ограниченной терри-

тории, либо общеземного — аппроксимирующего фигуру

квазигеоида в целом по всей Земле *. В число этих параметров

входят величины, характеризующие размеры и форму эллип-

* Отметим, что с развитием гравиметрического метода изучения фигуры

Земли Н. К. Мигалем [60] и М. С. Молоденским [69] было дано еще одно

обобщение термина «градусные измерения» как определение параметров,

недостающих в гравиметрическом методе для определения внешнего грави-

тационного поля и фигуры Земли в некоторой единой системе координат.

соида (например, а и а) и элементы ориентирования связанной

с эллипсоидом геодезической системы координат.

В своем первоначальном смысле термин «градусные измере-

ния» соответствовал операции по определению радиуса R кри-

визны Земли (точнее, квазигеоида) вдоль некоторой дуги (напри-

мер,

АВ на рис. 50) путем изме-

рения длины этой дуги s гео-

дезическими методами и на-

хождения из астрономических

наблюдений угла Аф между

направлениями на зениты (от-

весными линиями) на концах

дуги. Эти направления пола-

гали совпадающими с норма-

лями к определяемой фигуре

Земли (на рис. 50 — к эллип-

соиду), так что

AqT*

(VII.1)

Рис.

причем, если Землю принимать за сферу, то условие

(VI

1.1) дает

радиус Земли. В дальнейшем стали учитывать уклонения отвес-

ных линий от нормалей к определяемой поверхности, более того,

стали пользоваться выводами не только по дугам, но и по пло-

щадям, однако архаический термин «градусные измерения» (бук-

вально — измерение длины одного градуса дуги) сохранился.

Первое исторически достоверное определение^размеров Земли

принадлежит Эратосфену, ученому из Александрии, столицы

эллинистического Египта (III век до нашей эры). Он оценил длину

дуги меридиана между Александрией и Ассуаном по вре-

мени и скорости движения караванов и определил угол Дф между

зенитами в Александрии и в Ассуане, зная, что в день летнего

солнцестояния Солнце в Ассуане в полдень стоит точно в зените,

а в Александрии отклоняется от зенита на

долю окружности.

Отношение

(VII.

1) позволило ему вывести в греческих мерах

(стадиях) радиус Земли. Как отмечено в [31], полученный резуль-

тат может быть представлен в метрических мерах как R= 6311 км,

что близко подходит к современным определениям среднего ра-

диуса Земли. Результаты Эратосфена были в дальнейшем с точ-

ностью 5% подтверждены аналогичными градусными измере-

ниями греческого ученого Посидония. Таким образом, ученые

античного мира не только имели представление о шарообразности

Земли, но и довольно верно оценивали масштаб окружающего

мира. Более чем через тысячу лет после Эратосфена, арабами

в 827 г. было произведено измерение длины* дуги меридиана в 1°

в Месопотамии. Ему соответствует R т

6400

км. Понадобилось

еще семь веков, чтобы метод градусных измерений возродился

в Европе. В 1528 г. французский врач Фернель выполнил

6 Заказ 830

161

измерение дуги

от

Парижа

до

Амьена

1°22'55", используя

для

определения длины

счет оборотов колеса повозки,

а для

определе-

ния Дф

—

наблюденные высоты Солнца

при

прохождении его через

меридиан. Получено

современных мерах

R = 6340 км. В

даль-

нейшем

та же

дуга была измерена

более высокой точностью

1669—1670 гг.

французским ученым Пикаром

использованием

метода триангуляции, разработанного

начале

XVII

века гол-

ландцем Снеллиусом.

Его

результат почти совпадает

современ-

ными определениями длины дуги

один градус

на

широте

Па-

рижа.

Новая эпоха

развитии исследований

по

определению фигуры

Земли началась после открытия Ньютоном закона всемирного

тяготения. Ньютон теоретически установил сплюснутость Земли

дал

первую качественно правильную оценку сжатия . Земли

: 230 в

предположении,

что

Земля однородна

находится

гид-

ростатическом равновесии.

Метод градусных измерений наряду

измерениями силы тяже-

сти оказался средством экспериментальной проверки различных

теоретических" соображений

фигуре Земли.

Для

этого Француз-

ская Академия наук организовала

в 1735—1742 гг.

градусные изме-

рения вблизи экватора

Перу

под

руководством Буге

и в 1736—

1777 гг. на

севере Скандинавии

под

руководством Мопертюи.

Сравнение таких измерений могло дать суждение

существовании

сжатия Земли,

так как при

перемещении

от

экватора

полюсу

увеличивается меридиональный радиус кривизны эллипсоида

и соответственно возрастает длина дуги

один градус.

Это на-

глядно показано

на рис. 50, на

котором даны

.для

различных

ши-

рот дуги

$р, s и s

замыкающие один

и тот же

угол

Аф

(буквой

с соответствующими индексами обозначены центры

их

кривизны).

Результаты проведенных измерений

Перу

Скандинавии

сов-"

местно

дугой

во

Франции качественно подтвердили правоту

Ньютона, хотя

и не

смогли

еще

уверенно установить значецие

сжатия Земли.

Первый сравнительно уверенный вывод

как

экваториального

радиуса,,

так и

сжатия эллипсоида, представляющего Землю

(а

= 6 375 653 м, а = 1 : 334), был

получен

в 1800 г. под

руко-

водством Деламбра

во

Франции

по

данным измерений дуги мери-

диана

в 9° 40' от

Дюнкерка

до

Барселоны, которую обработали

совместно

градусным измерением

Перу. Этот результат послу-

жил основой

для

установления длины метра

как 1 : 10 000 000

дуги, равной четверти земного меридиана.

Начало

XIX

века ознаменовалось развитием

во

многих стра-

нах регулярных астрономо-геодезических работ. Многие резуль-

таты геодезических измерений, исполненных

в XIX

веке,

до сих

пор включены

геодезические построения ряда зарубежных

стран,

что

необходимо учитывать

при

комбинировании наземных

построений

другими методами определения координат.

Это

в особенности относится

Западной Европе.

Хотя развивающиеся астрономо-геодезические работы имели

практической целью обоснование топографических съемок и со-

ставление точных карт, руководители этих работ, а ими были

крупные ученые XIX века Гаусс, Бессель, Струве, Эри, Кларк

и другие, стремились использовать получаемые результаты как

градусные измерения, которые могли бы дать новые данные о пара-

метрах земного эллипсоида. С этой целью осуществлялись не

только национальные работы, но и составлялись международные

проекты по созданию меридиональных и долготных дуг большой

протяженности.

В течение XIX века метод градусных измерений получил наи-

большее распространение в форме, известной под названием «ме-

тода дуг», принципы которого были еще использованы Эратосфе-

ном. Теория метода дуг изложена в § 44. Созданные дуги градус-

ных измерений представляли собой ряды триангуляции значи-

тельного протяжения, состоявшие из «частных дуг», звеньев

длиной сначала в 200 км, а затем 100 и иногда 50 км, на стыках

которых располагались астрономические пункты. Менее часто

в этих рядах измерялись базисы.

Отметим некоторые работы, сохранившие свое значение по

настоящее время и использованные в известных выводах размеров

Земли, и прежде всего меридиональную дугу Струве, соз-

данную русскими геодезистами в

1816—1852

гг. под руководством

директора Пулковской обсерватории В. Струве и простиравшуюся

от Фугленеса (Норвегия) через Финляндию, Прибалтику,

Белоруссию и Украину до п. Некрасовка на берегу Дуная [100].

В течение всего XIX века дуга Струве общей длиной 25° 20' остава-

лась одним из самых больших градусных измерений на земном шаре.

Дуга Деламбра явилась основой другой весьма протяженнрй

меридиональной дуги градусных измерений — западноевропей-

ской. При ее создании были использованы работы, выполненные

в Великобритании и завершившиеся соединением с французской

дугой в Дюнкерке в 1862 г., повторные измерения по дуге Делам-

бра во Франции, ряд на территории Испании и, наконец, француз-

ские работы в Алжире. К 1880 г. протяженность дуги составила

22°,

а к 1910 г. — 27°. С направлением дуги в настоящее время

частично совпадает одна из наиболее точных линий астрономиче-

ского нивелирования в Западной Европе.

Большое значение во многих определениях размеров Земли

сыграла дуга, измеренная по. 52° параллели, общей протяжен-

ностью по долготе 69°, от Ирландии через Англию, Бельгию,

Германию и далее через Россию до Орши. Работы по дуге были

завершены в 1870 г. и отличались для своего времени хорошим

качеством. При выводе эллипсоида Красовского данные по этой

дуге в сочетании с новыми геодезическими построениями на тер-

ритории СССР от Орши до Хабаровска позволили образовать бес-

прецедентную дугу протяжением по долготе 150°. В некоторых

работах использовалась еще одна долготная дуга вдоль 47—48°

163

параллели

по

линии Брест (Франция)—Вена—Ростов-на-Дону—

Астрахань.

Четыре протяженные дуги,

две по

меридиану длиной

в 22°

20° и две по

параллели длиной

10° и 24°,

были проложены

XIX

веке англичанами

Индии. Результаты этих работ отлича-

лись хорошей точностью, однако крупные волны геоида

Индии

привели

тому,

что

индийские дуги оказались малопредставитель-

ными. Поэтому

во

многих работах

по

определению параметров

общеземного эллипсоида, например при выводе эллипсоида Красов-

ского,

их

старались

не

использовать.

В то же

время, после осна-

щения индийских

дуг

новыми астрономическими наблюдениями,

веке

по ним с

хорошей точностью было проведено астрономи-

ческое нивелирование,

что

позволило построить детальную карту

высот геоида

на

территорию Индии, Пакистана, Бангладеш

Бирмы.

Градусные измерения, проведенные

на

других континентах,

почти

не

использовались

при

выводах размеров Земли

в XIX

веке,

однако

они

имели существенное значение

последующих выводах.

К таким дугам прежде всего относятся градусные измерения,

выполненные

на

территории США,

в том

числе трансконтиненталь-

ная дуга, измеренная

по 39°

параллели протяженностью

48° 46'.

1883 г.

англичанами были начаты работы

по

созданию африкан-

ской дуги вдоль

30°

меридиана.

К 1909 г.

была завершена дуга

в Южной Африке протяженностью

в 25°, а к 1936 г.

закончены

работы

на

всех участках дуги, кроме Судана. Полностью работы

были завершены

уже

после второй мировой войны Военно-карто-

графической службой

США и

привели

созданию дуги

от

Египта

до Южной Африки общей протяженностью

в 64°.

Примерно

к этому

же

времени были завершены работы

по

протяженной дуге

вдоль тихоокеанского побережья Северной

Южной Америки.

В табл.

приведены результаты некоторых определений

земного эллипсоида

в XIX

веке. Вывод Эвереста,

котором была

использована лишь одна меридиональная дуга

Индии,

до сих

пор применяется

при

геодезических

картографических работах

в страна Индостанского полуострова.

Таблица

Автор

Год

Эверест

Бессель

Жданов

Кларк

1830

1841

1863

1866

1880

6 377 276

6 377 397

6 377 717

6 378 206

6 378 249

300,83

299,15

299,7

294,98

293,47

Широкую известность получил эллипсоид Бесселя,

до

недав-

него времени применявшийся

как

референц-эллипсоид

во

многих

странах, в том числе до 1942 г. в нашей стране. Вывод Бесселя

был сделан по 10 дугам общей протяженностью 50,6°, причем

семь из них имели длину не более 3°. В него еще не успели пол-

ностью войти большие градусные измерения XIX столетия. Полу-

ченный результат сильно (более чем на 700 м) отличается от луч-

ших современных выводов. Тем не менее геодезисты в сравнитель-

но небольших по площади странах мирились с этим. Однако при

работах на обширной территории СССР выявились неудобства

использования эллипсоида Бесселя, заставившие от него отка-

заться.

Из отечественных в табл. 9 включен вывод Жданова, который

использовал дуги по двум долготным градусным измерениям

в пределах европейской части России и перемычки по широте

между ними. Результат по сравнению с другими выводами в XIX

веке оказался удовлетворительным.

Наиболее полно материалы градусных измерений XIX века

были использованы английским ученым Кларком. Им были полу-

чены довольно близкие к современным выводам значения эквато-

риального радиуса Земли, однако найденное им сжатие оказалось

сильно преувеличенным, что, по-видимому, связано с использова-

нием индийских дуг. Эллипсоид Кларка 1866 г. до сих пор при-

меняется как поверхность относимости в Североамериканской

системе координат, в которой обработаны геодезические сети

США, Канады и Мексики. Эллипсоид 1880 г. применяется во Фран-

ции и в ряде стран Африки.

§ 44. УРАВНЕНИЯ ГРАДУСНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

ДЛЯ МЕТОДА РАЗВЕРТЫВАНИЯ. МЕТОД ДУГ

Наиболее строго теория метода дуг может быть развита для

случаев, когда замыкающие отдельных «частных дуг» (звеньев)

ряда триангуляции, являющегося градусным измерением, совпа-

дают с направлением некоторого меридиана или параллели.

Выберем некоторый начальный референд-эллипсоид с большой

полуосью а

и квадратом первого эксцентриситета el и перенесем

на него методом развертывания геодезические измерения в преде-

лах частной дуги АВ, на концах которой исполнены астрономиче-

ские определения широты (в случае меридиональной дуги) или

долготы (в случае дуги по параллели), а также измерены базисы

и азимуты (рис. 51). Эта операция в соответствии с принятым по-

рядком обработки измерений может быть интерпретирована

следующим образом. Начальный референц-эллипсоид путем па-

раллельного сдвига располагают относительно каждой частной

дуги так, чтобы нормаль к нему в начальной точке дуги А про-

ходила через точку а, которая лежит на поверхности эллипсоида

и имеет геодезические координаты 5°, L

, приписанные или пред-

варительно полученные для точки Л. После этого эллипсоид

передвигают, по высоте таким образом, чтобы точка а сохранила

свои геодезические координаты, а высота ее а'а относительно

геоида была бы равна и противоположна цо знаку соответству-

ющей высоте Ъ'Ъ точки Ь, являющейся проекцией на эллипсоид

конечной точки дуги В.

При таком положении эллипсоида относительно геоида и част-

ной дуги (см. рис. 51) при редукции базисов достаточно учесть

их высоты лишь над поверхностью геоида (квазигеоида). Неучет

высот геоида над эллипсоидом приведет к одинаковым по величине

и противоположным по знаку относительным погрешностям АЬ/Ь

редуцированных длин базисов на концах звена, что в соответствии

с расчетами в § 27 никак не отразится на длине проекции S замы-

кающей звена на эллипсоид. Для вычисления величины S исполь-

зуют кроме длин редуцированных базисов уравненные углы

в звене, редукции которых обычно пренебрегаемы, а если бы и

понадобились, то могли бы быть рассчитаны по уклонениям отвеса,

полученным исходя из весьма приближенных геодезических коор-

динат.

Для получения длины дуги S обычно применяли полярный

метод, сущность которого показана на рис. 52. Путем вычисления

по редуцированным на эллипсоид углам и известной начальной

стороне al последовательно получают углы и длины сторон сфе-

роидических треугольников а12, а23, а34.\ ... вплоть до треуголь-

ника, включающего искомую замыкающую ab. Аналогичным обра-

зом поступают при вычислении длины замыкающей, вычисляемой

исходя из длины базиса, измеренного на другом конце звена. Из

двух вычисленных значений' берут среднее.

При решении треугольников пользуются теоремой Лежандра,

так что параметры выбранного начального референц-эллипсоида

влияют на длину замыкающей S только через величины приня-

тых сферических избытков треугольников, входящих в вычисле-

ния. Нетрудно рассчитать, что при длине звена порядка 200 км

Рис.

изменение среднего радиуса кривизны эллипсоида даже на 3 км

(это погрешность размеров эллипсоида Деламбра) приведет к пре-

небрегаемому изменению порядка нескольких тысячных долей

секунды дуги в сферическом избытке самого большого треуголь-

ника alb, который можно образовать по результатам вычисления

звена. Поэтому с достаточным основанием можно считать, что

длина замыкающей инвариантна по отно-

шению к изменениям параметров приня-

того референц-эллипсоида.

Указанное, положение лежит в основе теории метода дуг.

Имеем следующие две очевидные формулы:

для дуги по меридиану

Bb-B

=-ih;

(

VIL2

)

для дуги по параллели с широтой В

°=idni;>

(

VI1

)

где М

— средний радиус кривизны дуги по меридиану, N —

радиус кривизны эллипсоида в первом вертикале вдоль дуги ab.

Дифференцируя формулу

(VII.2)

и учитывая при этом, что S

не зависит от выбора эллипсоида, будем иметь

АВ

—

АВ

Bl-B* " Ml '

где АВ

, AB

АМ

— дифференциальные поправки.

Индексом 0, как и раньше, отмечены величины, относящиеся

к начальному эллипсоиду. Отсюда

= bB

-{Bl-Bl)ffi.

(VII.4)

Используя формулу

(1.1),

имеем

= а [1 -е

(-f +

cos

2В

») +

•••]'

(VIL5)

откуда

ДМ,

^ = ^-Д

(±

±сов2Я

т +

...).

Известно, что

(f-l,

тогда получим

^(%-B°

)-ta, |

АВ

= (щ-В°

)-1

. J

Подставляя

(VII.6)

(VII.5)

(VII.4),

находим уравнение гра-

дусных измерений

для

метода развертывания

Ъь

= 1а+

(В°ь

-Bl) [-^ - Ае

(i-

i-cos2В

. .

.)]

+ 4,

(VII.7)

где

&-(ф*-Я2)-(фв-ЯУ

—

свободный член этого уравнения.

Более подробная запись коэффициента-при

Ае

дана

в [461.

Учитывая,

что

ЛГ

= а (1

—в

sin

1/я

= л (l

+-f-sin

t\ = (X — L) cos5

аналогичным путем

из

уравнения

(VI

1.3)

найдем

для

дуги парал-

лели

на

широте

= Г)а+ (L

- La)

COS

В, + \^

(sin

...)]

+ «Ь,

(VII.8)

где

«ь

[(К - К) - (L°

- Ll)]

cos

При наличии

дуге градусных измерений нескольких частных

дуг

для

каждой

из них

составляют уравнения вида

(VI

1.7) или

(VII.8),

затем последовательно суммируют,

идя от

начального

пункта дуги. Если обозначить величины, относящиеся

нему,

нижним индексом

0, то

будем иметь

для £-го

пункта меридиональ-

ной дуги градусных измерений

6, =

-В

)-%--

Ае

^ Ф

<-i)

(т + Т

cos 2

М + •

(VII.9)

где

/ЫФ,-Я?)-(Ф,-Я&'.

Для дуги

по

параллели имеем

= т,

+ {L, -L

) cos5

(^i + ±

Ае»

sin

) + /?, '

(VII.

10)

где

Добавляя в первом случае тождество

а во втором случае тождество

уравнения

(VII.9)

и (VII.10) рассматривают как уравнения пог-

решностей и находят из них под условием [g \

= min или [г\*] =

min поправки Да/а, Де

величины £ о или т)

, позволя-

ющие уточнить исходные гео-

дезические даты. Эти вели-

чины обычно исключали из

числа неизвестных, вычитая

из всех уравнений простое

среднее из них.

В общем случае замыкающая

звена может не совпадать с ду- j

гой меридиана или параллели.

Тогда переходят в зависимости

от азимута замыкающей 4 к ее проекции либо на меридиан (см.

рис.

52)

= S cos А (1 + члены высших порядков),

либо на среднюю параллель звена (рис. 53)

'iS/ = S sin А (1 + члены высших порядков).

В дальнейшем уже величины S

или S

рассматривают как

инвариантные относительно параметров референц-эллипсоида, и

для них составляют уравнения градусных измерений вида

(VII.7)

или

(VII.8).

В решениях допускали возможные искажения А

до 5", что позволяет использовать для определения ориентирова-

ния звена астрономические азимуты без перехода к азимутам

Лапласа. Нетрудно убедиться, что при указанном допуске ошибка

проекции замыкающей на меридиан будет меньше 1 : 300 ООО

при А <С 8°. Такое же отклонение от А = 90° возможно при ре-

дукций замыкающей на среднюю параллель звена. С этой погреш-

ностью, имеющей случайный характер, мирились при выводах.

Далее уравнения градусных измерений для

TJ,

составленные для

частных дуг, умножали на отношения вида cos

/cos

где В

{

—

средняя широта частной дуги, а В

— средняя широта всей дуги

градусных измерений.

Обратим внимание на следующее важное обстоятельство. Ре-

шение уравнений градусных измерений под условием минимума

суммы квадратов составляющих уклонений отвеса g

или %

равносильно подбору параметров эллипсоида, наиболее подхо-

дящего к данной дуге градусных измерений, а не ко всей Земле

в целом. Совместное решение, выполненное по нескольким дугам