Пеллинен Л.П. Высшая геодезия (Теоретическая геодезия)
Подождите немного. Документ загружается.
Ее значение принято равным 35 X 10"* №*<г
2
[133]. В Гео-
дезической референц-системе 1967 г. принято отношение
=
0,888
х1(Г
в
.
Ему и другим принятым параметрам атмосферы соответствуют
поправки приведенные в табл. 8.
Таблица 8
Высота над
уровнем
моря,
км
мгал
мгал
Высота над
уровнем,
моря,
км
мгал
Л
6А>
мгал
0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
. 4,0
5
6
0
0,05
0,10
0,14
0,19
0,23
0,27
0,30
0,34
0,40
0,46
0,87
0,82
0,77
' 0,73
0,68
0,64
0,60
0,57
0,53
0,47
0,41
7~'
8
9
10
11
12
14
16
18
20
25
30
0,51
0,56 '
0,60
0,64
0,67
0,70
.0,75
0,78
0,80
0,81
0,84
0,85
0,36
0,31
0,27
0,23
0,20
0,17
0,12
0,09
0,06
0,05
0,02
0,01 .
После решения поставленных краевых задач в найденные вели-
чины должны быть введены поправки за восстановление масс
Нормальной атмосферы на прежнем месте. Однако выполненные
расчеты показывают, что соответствующие поправки равны нулю
при определении уклонений отвеса и очень малы при определении
высот квазигеоида (составляют лишь 5 мм на уровне моря и 2,5 мм
на высоте 5 км), так что ими всегда можно пренебречь.
§ 37. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ
НОРМАЛЬНОЙ ЗЕМЛИ
Чтобы определить все параметры Нормальной Земли, доста-
точно задать угловую скорость вращения Земли со, два параметра
нулевого порядка и один порядка сжатия (кроме т и т). В замк-
нутом виде эта задача решена М. С. Молоденским [69] для слу-
чая/
когда заданы постоянные со, fM, а
е
и а (или е
а
), с исполь-
зованием подходящей эллипсоидальной системы координат. Мы
используем эти результаты , а также работы [24, 25, 118, 121]
и рассмотрим вывод параметров Нормальной Земли, когда за-
даны постоянные со, fM, а
е
= а и /
2
. Этот выбор исходных посто-
янных соответствует современным рекомендациям Международной
ассоциации геодезии и удобен при космических исследованиях.
Гармонические коэффициенты
нормального потенциала притяжения
В замкнутом виде нормальный потенциал притяжения может
быть записан
в
системе эллипсоидальных координат
<?, w, L,
где
для
текущей точки
М
(рис.
.44) d = М
ь
О —
малая полуось
эллипсоида,, софокусного
с
уровенным
и
проходящего через
Л/,
и
—
приведенная геодезическая широта
М
относительно указан-
ного эллипсоида
с
полуосью
d
(согласно определению приведен-
ной широты,
и
равно геоцентрической широте точки
М\ на
рис.
44 для
которой
г = ОМ
э
,
М'МЦМ/)),
L —
геодезическая
долгота, определение которой ничем
не
отличается
от
общеприня-
того
(в
дальнейшем
нам эта
координата
не
понадобится). Поверх-
ности
d = const (или г
г
+ г
2
= const)
образуют семейство софо-
кусных эллипсоидов., общей характеристикой которых является
линейный; эксцентриситет
с —
расстояние фокуса
от центра эллипсоида.
Как
известно
из
геометрии эллипсоида,
c
= OF
x
= OF
2
=
ае
=
be'.
(VI.IO)
*
Поверхности
| и \ = const (или | г
г
— r
2
| = const)
являются
двухполосными гиперболоидами вращения
с
теми
же
фокусами,
что
и
уровенный эллипсоид. Приведем
без
вывода формулу
для
нормального потенциала притяжения, которую запишем*в виде,
принятом
в
[121]:
V
0
= Ж[
аге
*£+^£*
в
(в1пи)], (VI.11)
* Здесь
и
далее
в § 37 мы для
краткостп
не
отмечаем чертой пелтачи-
пы,
относящиеся
к
общеземному эллипсоиду.
где
?
4[(H-3£)arc.
g
±-3f|,
<VU2>
q
0
—
значение
q для
уровенного эллипсоида.
В этом случае имеем
d = OP = 6, так что в
соответствии
с
0
(VI.
10) получим
'?o
=
y[(
1+
^)
arCtge
'—Г]-
(
VL13
)
Чтобы получить искомые формулы, запишем потенциал притя-
жения
V
0
для
точки
M
Q
,
находящейся
на оси
вращения уровен-
ного эллипсоида.
Эта
точка удобна
тем, что в ней
совпадают гео-
центрические координаты, используемые
в
разложении потен-
циала притяжения
в ряд
шаровых функций (VI.4)
в § 35, и
введен-
ные выше эллипсоидальные координаты. Имеем
и=:ф
= Ж; d = r.
Используя формулы (VI.4)
и
(VI.
11), получаем
два
варианта
записи нормального потенциала притяжения
в
точке
М
0
Ff^^l-J^'VSnj,
(VI.14)
V«*
=
Щ_
(arctgf
+ .
(VI-15)
Представим
(VI.
15)
в
виде разложения
по
степеням
у. Для
этого используем известное разложение
оо
.
С С СЗ .
С
5 ( —1)
П
/с\2П+1
"
?г=о
и, учитывая,
что в М
0
а = г,
разложим
в ряд
функцию д
ц
=9
0
°
_
9
Г 1 сЗ ' 2
С
5 , 3 с?
П
_
оо
Z
Л(2»
+
1)(2»
+ 3)\r j •
i
vi
-
A
';
n=0
Подставим
в
(VI.
15) ряды
(VI.
16)
и
(VI.
17)
и,
приняв
во
вни-
мание,
что а = а
с
, с = ае,
приведем преобразуемую формулу
к виду
yf-
-
Щ-
[*+2-й£
(*Г
е
"
С
1
- •
<
VU8
>
Сравнивая (VI.14) и (VI.18), получаем замкнутую формулу
^-(-««••й-О-ё-тйт)-
<
VIW
>
удобную для использования, если в качестве исходного параметра
задан первый эксцентриситет е, а т получено по формуле (VI.7)
в § 35. Тогда, найдя е' = .
е
и получив величину q
0
,
У
1
—
е%
которую лучше всего вычислять, подставив в
(VI.
17) г = Ъ и за-
менив с = be'', получим
оо
и будем иметь все необходимое для расчетов.
В нашем случае, когда задан параметр J\ = J
2
, выполним
обращение формулы, вытекающей из
(VI.
19):
Подставив вместо q
0
ряд (VI.20), в первом приближении на
ходим
е' = е\ е
2
= 3/
2
+ т.
В следующем - приближении
е' = е +
Т
,
е>
= 3/
2
+ т - -g- Щ _ *- т> + . . . (VI.22)
Теперь можно вернуться к формуле
(VI.
19), в которой, исходя
из (VI.21), удобно заменить
2 те
г
15/
2
=
5-
3 9о # •
Будем иметь
•Я*
= <- ^
(2п+У£
+
3)
[5П/2
~
<
Я
~ *>
В
'Ь
О"
1
'
23
)
где е
2
определяется из (VI.22). В частности,
Коэффициенты /§
л
имеют порядок (/
2
)
л
или Ю
-3
", так что
быстро убывают с возрастанием степени гармоники. На практике
приходится учитывать обычно /
3
и J\ и очень редко /JJ.
Нормальный потенциал силы тяжести
на
уроненном эллипсоид
Нормальный потенциал силы тяжести
на
поверхности
уро-
венного эллипсоида равен
U
0
= V
0
+
Q--=
const,
где
Q
получают
по
формуле
(VI.2),
a V
0
по
(VI.4).
Как видно, достаточно найти
U
0
в
одной подходящей точке
на поверхности уровенного эллипсоида. Удобна
для
этого точка
т
э
(см. рис. 44) на
экваторе
с
координатами
г = а = а
е
и Ф = 0°.
С учетом (VI.6)
и
известных формул
для
полиномов Лежандра
при
sin Ф° = 0
будем иметь
со
L
n=i.
-^['+4+4-т*-+-4 <*•*>
Приближенно, подставив
/J из
(VI.24)
и
учитывая,
что J\
=?=
=
У
2
» Шо = fM,
находим
п
Ш
(л
•
m
. 1
т
.
27
r2
, 9 —
т
9
—
2
. \
(VI.26)
Экваториальная сила тяжести
Поскольку
на
экваторе уровенного эллипсоида направление
нормали
к
нему совпадает
с
геоцентрическим направлением, можно
принять
Ге
\ дг
)г=а
е
•
ф=0°
Используя выражения (VI.2), (VI.4)
и
(VI.7), имеем
v
_ Wo
•
е о
оо
1-2(2л
+
1)/5»Р
3п
(0)
71=1
-ста,
=
i^i.
(i -Й+4
/ j
- ^- /:+...). (vi.27)
Подставляя
/J из
(VI.24), приближенно
при /М
0
= fM и =
=
/
2
находим
V
e
=
^-(l-m
+ |/
2
+ |-^ +
^-^/
2
-^-«
2
+
-.-).
(VI-28)
144
Гравиметрическое сжатие
Чтобы найти гравиметрическое сжатие В = ^ ~ У
с
, надо
сначала получить значение у в нолюсе Р уровенного эллипсоида
Ф=9
0°
L w--=l J
В итоге простых, но громоздких выкладок приближенно
найдем
,~ 3
9
Г
2 75 — ,
117
—
в
(VI.30)
Геометрическое сжатие
Обратив известную формулу е
2
= а (2 — а), так что
и применив (VI.22), находим формулу геометрического сжатия
— -^-^/з — -gg- m
2
+. . . . (VI.31)
Коэффициент Pi
Пользуясь известной формулой
Р^-Х + ТГ'
^.'32)
получают коэффициент R i нормальной формулы силы тяжести
(VI.5):
Параметры Нормальной Земли, принятые
в Геодезической референц-системе 1967 г.
Для иллюстрации величин параметров Нормальной Земли
приведем их значения для Геодезической референц-системы 1967 г.
[118]. Исторические сведения о возникновении этой системы
нами будут даны позднее, в § 56 главы
VIII.
Исходными пара-
метрами являются:
fM
= 398 603 км
8
с"
а
;
а, = 6 378 160 м;
/
2
= 10 827 х Ю-';
со
= 7,2921151467 х Ю"
5
радиан/с.
Этому соответствуют геометрические постоянные
Ь
= 6 356 774 5151 м;
с
= 512 864,6732 м;
е
а
= 0,006 694 605 32856;
е'
2
= 0,006 739 725 12832;
а
=
0,003
352 923 71299;
1
: а = 298,247 167 247
и физические постоянные
Jl
•= -0,000 002 371 26440;
/2 = 0,000 000 006 08516;
/Ц
= 0,000 000 000 01428;
у
е
= 978 031,845 58
мгал;
у
р
= 983 217,727 92
мгал;
р
= 0,005 302 365 52330;
U_
0
= 6 263 703,0523'
кгал
х м;
т
=
0,003
461 450 2263.
Дифференциальные зависимости между
фундаментальными геодезическими постоянными
Из полученных результатов вытекают важные дифференциаль-
ные зависимости, вывод которых проиллюстрируем, исходя
из
формулы (VI.28),
для у
е
.
Прологарифмировав
и
затем продиффе-
ренцировав
ее,
имеем
lnV
e
=
ln(/M)-21na
e
+ln(l-m
+ -|/
2
+ . . .) ,
Аа
е
_ i_( А/А/
а
е
~ 2 I /А/
Из (VI.7) вытекает,
что
*===(»-^-Х+*4)- <
VL35
>
Как будет показано далее, относительная точность определе-
ния
fM, у
е
и а
е
в
настоящее время несколько выше
10~
6
.
Угловая
скорость вращения Земли подвержена вариациям, которые
и
огра-
ничивают точность этого параметра
(см. § 62).
Имеем Дсо/со
<*
<3-10"
8
в
течение года. Наконец, абсолютная погрешность опре-
деления параметра
/
2
составляет
~10~
8
. С
учетом того,
что т ^
0,003, а /
2
~
0,001,
можно знаменатель последнего члена
в
скобках формулы (VI.34) принять равным единице. Кроме того,
если принять наиболее точные современные выводы параметров
Уе
3
Т
Д/
2-
1 — 771
+-7г/
2
+ •
(VI.34)
За исходные, то вообще можно пренебречь членом с Д/
2
и Am.
Таким образом, с достаточней точностью получим
Аа
е
_ 1 А/М 1 AYe
/VT
оа\
~^Г~^2~ТМ
2"~у7'
. (VI,db)
Аналогичным образом из выражения (VI.26) с учетом (VI.36)
имеем
А^о
_ * ММ , 1 Ay* ,
VT
о
7
ч
Из (VI.31) и (VI.35) находим, пренебрегая Дсо/со,
A„
= |
4
/,
+
«.A™
= 4^ +
S(4^-i^).
(VI.38)
Все члены в (VI.38) имеют один порядок точности.
Найденные дифференциальные зависимости могут быть ис-
пользованы при уравнивании независимых выводов фундаменталь-
ных геодезических постоянных.
§
38.
ОБЩЕЗЕМНАЯ
СИСТЕМА КООРДИНАТ
Понятие общеземной системы координат было введено нами
в § 2 главы I. Рассмотрим прямоугольные координаты X, У, Z
в этой системе. Их начало совпадает с центром общеземного эллип-
соида, ось Z совпадает с осью вращения этого эллипсоида, а ось X
лежит в плоскости выбранного на нем начального меридиана.
В свою очередь положение общеземного эллипсоида в теле Земли
в первом приближении было зафиксировано нами в § 35, когда
мы рассматривали условия выбора параметров Нормальной
Земли. Центр этого эллипсоида должен совпадать с центром масс
Земли, а ось вращения, она же главная ось инерции Нормальной
Земли — с осью вращения Земли.
Вернемся вновь к вопросу установления общеземной системы
координат, принимая во внимание различные геодинамические
эффекты. При решении задач геодезии нас наилучшим образом
устроила бы такая система координат, в которой положения пунк-
тов земной поверхности испытывали бы минимальные изменения
во времени.
С этой точки зрения нас удовлетворяет выбор центра масс
Земли как начала общеземной системы координат. На положение
центра масс Земли в ее теле, по-видимому, заметнее всего влияют
сезонные перемещения атмосферных масс. Однако и этот эффект
лежит в пределах нескольких миллиметров, что пренебрегаемо
при современной точности измерений.
Сложнее обстоит дело с установлением направления оси Z.
Выбор в качестве ее оси вращения Земли связан с тем, что наблю-
дения внеземных объектов позволяют реализовать в любом
пункте Земли направление оси Мира, параллельное мгновенной
оси вращения Земли и определяемое из суточного движения этих
объектов. Сказанное относится не только к классическим астроно-
мическим наблюдениям, но и к наблюдениям ИСЗ и другим новей-
шим космическим методам. Однако возникают затруднения, выз-
ванные тем, что ось вращения Земли не занимает неизменного
положения как относительно звезд из-за явлений прецессии
и нутации, так и относительно тела Земли. При выборе положения
оси Z для нас важны лишь перемещения оси вращения в теле
Земли, которые обычно интерпретируют как движение полюсов
на поверхности Земли.
Возможность таких перемещений была впервые теоретически
показана Эйлером в 1758 г. Он указал, что при несовпадении
оси вращения полярной оси инерции абсолютно твердой Земли
должно наблюдаться движение полюса по окружности вокруг
точки, лежащей на полярной оси инерции Земли, с периодом
около 305 суток. В дальнейшем американский ученый Чандлер
из анализа вариаций широт обсерваторий за период более 200 лет
установил наличие члена с периодом 428 суток, что на 40% пре-
восходит период, предсказанный Эйлером. Различие Эйлерова
и эмпирического Чандлерова движений объясняется упругостью
Земли и подвижностью вод морей и океанов. Амплитуда Чандле-
рова движения переменна — за период от 1846 до 1971 г. она
составляла от 0,1" до 0,3" [16].
Установлены также годичные перемещения как оси вращения,
так и полярной оси инерции Земли с амплитудой порядка 0,1" —
их причиной являются прежде'всего сезонные перемещения масс
атмосферы. Наблюдаемое движение полюса является в основном
суммой двух рассмотренных эффектов. Его-амплитуда достигает
0,4* или в линейной мере 12 м. Если бы мы приняли за ось Z
направление на мгновенный полюс, то соответствующие вариации
вошли бы в координаты пунктов земной поверхности, что совер-
шенно неприемлемо для геодезистов. Поэтому отказались от столь
простого определения положения полярной оси общеземной сис-
темы координат и используют следующие два принципа устано-
вления этого положения:
а) принять за ось Z в каждую эпоху наблюдений направление
на средний полюс, полученный после исключения перио-
дических членов в движении полюса путем скользящего осредне-
ния (обычно в пределах интервала в 6 лет);
б) принять за ось Z направление на «Международное
условное начало (МУН)» движения полюса путем зада-
ния в порядке международной договоренности начальных широт
избранных обсерваторий так, чтобы указанным широтам соот-
ветствовало выбранное положение МУН.
,Цля практического использования любого из принципов необ-
ходимо иметь постоянно работающую службу движения полюса,
148
которая определяет его мгноЬеШШё координаты (§ 39). Поль-
зуясь ими, определяют поправки в астрономические координаты
за переход либо к среднему полюсу эпохи наблюдения, либо к сис-
теме МУН. После этого указанные наблюдения обычным образом
используют при построении астрономо-геодезических сетей. Ана-
логичным .образом исправляют результаты обработки наблюде-
ний ИСЗ.
Первый принцип по предложению советского ученого астро-
нома А. Я. Орлова длительное время применялся в деятельности
как отечественных астрономических учреждений, так и в работе
Международного бюро времени. В основе указанного' принципа
лежит обоснованное предположение, что положение среднего
полюса на каждую эпоху будет близким к среднему положению
полярной оси инерции на ту же эпоху. Можно ожидать, что после
исключения влияния сезонных вариаций эта ось занимает очень
устойчивое положение в теле Земли.
Второй принцип нашел всеобщее применение JB настоящее
время. Он позволяет без каких-либо гипотез полностью исключить
вариации координат из-за движения полюса, однако при условии,
что все компоненты этого движения, в том числе ж вековые, на-
дежно определены. В; этом отношении переход к среднему полюсу
эпохи наблюдений предъявляет много меньшие требования к дея-
тельности службы движения полюса. Оказывается достаточным
определять лишь периодические вариации этого движения по ин-
тервалам в несколько лет.
Положение оси X (начала счета долгот) в общеземной системе
координат ныне определяют по международной договоренности,
фиксируя астрономические долготы некоторых обсерваторий,
которые они должны иметь после учета поправок за движение
полюса. Более подробно этот вопрос рассмотрен в § 40.
Остается задать масштаб общеземной системы координат, кото-
рый, как уже отмечалось в § 35, наиболее удобно определить,
введя в число фундаментальных геодезических постоянных значе-
ние скорости света в вакууме. На XVI Генеральной Ассамблее
Международного геодезического и геофизического союза в Гре-
нобле (Франция) в 1975 г. было рекомендовано в соответствии
с решением XV Генеральной конференции по вопросам мер и ве-
сов в том же году значение с = 299 792 458 ±1,2 м/с.
§ 39. СЛУЖБЫ ДВИЖЕНИЯ ПОЛЮСОВ
Регулярные определения координат полюса были начаты
с 1897 г. Международной службой широты (МСШ). В рамках этой
службы ведут наблюдения широты по согласованной программе
с использованием одних и тех же звезд пять станций, расположен-
ные на одной й той же параллели
39
а
08'
и сравнительно равно-
мерно распределенных по долготе: Карл офорте (Италия), Китаб
(СССР), заменившая из-за изменения русла Амударьи ранее