Пеллинен Л.П. Высшая геодезия (Теоретическая геодезия)

Подождите немного. Документ загружается.

в различных частях Земли, дает лучшую аппроксимацию фигуры

Земли, но все же и в этом случае оказывается охваченной измере-

ниями только небольшая часть ее поверхности, так что полу-

чаемый вывод по-преяшему мало представительствует за всю

Землю.

Замечательной особенностью метода дуг является, то, что он,

несмотря на применение данных, полученных несовершенным

методом развертывания, принципиально строг.

В конце XIX века стали появляться сначала в Европе, а за-

тем и в других районах Земли полигональные и сплошные астро-

номо-геодезические построения, открывшие возможности для вы-

числений по методу площадей, который представляет собой обоб-

щение метода дуг. Теория метода площадей была разработана

известным немецким геодезистом Ф. Гельмертом как составная

часть предложенного им метода полигонального /уравнивания

астрономо-геодезической сети. Однако, как уже отмечалось в

главе V, метод Гельмерта не нашел практического применения.

Во всех известных выводах размеров Земли методом площадей

полагали, что в результате обработки АГС методом развертывания

уже получены геодезические координаты ее пунктов В

, L

и ази-

муты Лапласа Л°. Они соответствуют некоторым начальным ис-

ходным геодезическим датам Bl, Lj, A

и референц-эллипсоиду

с параметрами а

, а

. Тогда, исходя из формул для составляющих

астрономо-геодезических уклонений отвеса (§2) и уравнения

Лапласа (§ 7), имеем следующие уравнения для

текущей точки К

по ходовой линии, отмеченной пунктиром на рис. 54, от исходного

пункта сети О:

v)ktg4>k-=(a

-A

)-dA

где

dlk = dLk — dL

Далее, пользуясь известными в сфероидической геодезии диф-

ференциальными формулами первого и второго рода, выражают

поправки dB

, dl

и dA

как линейные функции поправок пара-

метров начального референц-эллипсоида Да, Аа и исходных

геодезических дат

§ 45. УРАВНЕНИЯ ГРАДУСНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

ДЛЯ МЕТОДА РАЗВЕРТЫВАНИЯ. МЕТОД ПЛОЩАДЕЙ

lk = (<Pk-Bl)~dB

;

sec щ = (X

— L°

)

—dl

- dL

;

(VII.ll)

(VII.12)

Например, '

«+^

+1г

«-

(

VIU3

Коэффициенты дифференциальных формул чаще всего находят

в предположении, что передача координат произведена по геоде-

зической линии, соединяющей Текущий

пункт К с исходным О. Используя

(VII.

12) и заменяя

(Я

-^)-т!

8есф

(VII.14)

получим из

(VI

1.11) уравнения градусных

измерений для метода развертывания,

в которых gfc и y\

представлены как

линейные функции £

, т]

, Да и Да. По-

следнее из уравнений (VII.И) является

прямым следствием второго (долготного)

уравнения в соответствии с уравнением

азимута Лапласа, и им никогда не поль-

зовались при наличии на пункте наблюдений астрономической

долготы. Лишь когда информация по долготным уравнениям была

недостаточной, этим уравнением пользовались с пониженным

весом из-за возможных значительных, в том числе и системати-

ческих погрешностей геодезических азимутов. Обычно уравнения

градусных измерений решали под условием минимума суммы

квадратов £

и щ,

то, как уже отмечалось в § 44, соответствует

подбору наиболее подходящего референц-эллипсоида к геоиду

на исследуемой территории.

В отличие от метода дуг метод площадей не столь безупречен

в отношении возможного влияния искажений, вносимых методом

развертывания. В некоторой мере эти влияние могут быть ослаб-

лены, если при вычислении коэффициентов уравнений градусных

измерений учитывать, по каким ходовым линиям передавались

координаты. Для этого в конечной точке каждого звена IK по

выбранной ходовой линии (см. рис. 54) получали зависимости

поправок dA

, dB

и dl

вида

(VII.

13) от Да и Да, а также от

поправок dB

и dA

в начальной точке звена, а затем, пользуясь

аналогичными уравнениями, составленными для йредыдущих

звеньев, путем последовательного исключения представляли dB

и dAk

ак функции dB

, dA

, Да и Да. Подобный порядок

вычислений коэффициентов уравнений градусных измерений при-

менялся для территории СССР при выводе параметров эллипсоида

Красовского (§ 47).

46. ЭЛЛИПСОИД ХЕЙФОРДА

Как уже отмечалось в § 21 главы IV, основной причиной ло-

кальных изменений уклонений отвеса в горных и предгорных

районах является влияние видимых топографических и глубинных

компенсирующих масс.

Во

многих крупных регионах исключение

влияния топографо-изостатических масс (£/+,-, соответству-

ющих той или иной гипотезе изостазии,

из

составляющих астрономо-

геодезических уклонений отвеса

g, ц

приводило

весьма замет-

ному

их

уменьшению

сглаживанию. Поэтому при решении урав-

нений градусных измерений представлялось выгодным записать

входящие

в них

величины

g и т) в

виде

Б,

6Б;

и, перенеся

У\

свободные члены этих уравнений,

решать

их под

условием

Ожидали,

что

благодаря этому найденные значения

а и а

будут ближе

параметрам общеземного эллипсоида,

чем без

учета

топографо-изостатических' редукций.

Одним

из

районов Земли,

котором учет топографо-изоста-

тических редукций приводил

уменьшению

£ и ц,

была терри-

тория США. Используя материалы градусных измерений

на

этой

территории, американский геодезист Хейфорд выполнил

в 1909—

1910

гг.

убедительное исследование, благодаря которому гипо-

теза изостазии стала научной теорией, получившей широкое при-

знание

[119, 120].

Одним

из

результатов исследования явился

новый вывод параметров общеземного эллипсоида,

котором

нашел применение метод площадей

были использованы укло-

нения отвеса, освобожденные

от

влияния топографических

и изо-

статических масс. Расчеты были проведены согласно гипотезе

Пратта

—

Хейфорда

(см. § 21) при

глубинах компенсации

Г,

равных

113,7, 120,9 и 162,2 км. Для

сравнения были сделаны

выводы

учетом влияния лишь одних топографических масс

по

всей поверхности Земли,

что

можно считать соответствующим

Т —•

сю, и без

введения топографо-изостатических редукций,

что равносильно

Т — 0.

Результаты всех решений приведены

в табл.

10.

Таблица

(VII.15)

Глубина

компенса-

ции

Т, км

а,

м 1

2 (6£Н

611

секунда

оо

162,2

120,9

113,7

+19,65"

-0,98

+0,18

-0,15

-0,20

—15,63"

+0,73

—1,46

—0,86

-0,74

6 383 042

6 378 062

378,493

6 378 388

6 378 370

255,1

298,2

296,3

297,0

297,1

107 235

18 880

10 297

10 063

10 077

Результат

при Т —

<*> получился абсурдным,

что

подтверждает

наличие изостазии. Учет влияния изостатических масс суще-

ственно уменьшает остаточные уклонения отвеса, однако измене-

ние глубины компенсации сравнительно мало вдияет

на их ве-

личины. Хейфорд принял предпоследнее решение

как

наилучшее,

положив

= 6 378 388 ± 35 м,

а = 297,0

±0,5,

-122,2 ±10 км.

Эти результаты,

так же как и

последующие доказательства

в пользу теории изостазии, оказались настолько впечатляющими,

что

на II

Генеральной Ассамблее Международной Ассоциации

Геодезии

Мадриде

в 1924 г.

эллипсоид Хейфорда, рассчитанный

лишь

по

материалам градусных измерений

на

территории

США,

был рекомендован

как

Международный эллипсоид. Только

1967 г. он был

заменен новым эллипсоидом, параметры которого

входят

Геодезическую референц-систему

1967 г. (см. § 37 и 56).

Сравнение

более современными данными указывает

на

недо-

статочную оправданность такого решения даже

для

уровня зпаний

начала

века. Например,

Ф.

Гельмерт

в 1907 г.

указал, исходя

из анализа имевшихся

в его

распоряжении выводов,

как

наиболее

подходящие значения

а = 6 378 200 м и 1 : а = 298,3. Эти

зна-

чения ближе подходят

современным результатам. Интересно,

что

по

результатам самого Хейфорда ближе всего подходит

совре-

менным данным вывод

(Т = 0) без

введения топографо-изостати-

ческих редукций. Таким образом, учет топографо-изостатических

масс

не

только

не

приблизил местный вывод

для

территории

США

к общеземному,

но

даже отдалил

от

него.

какой-то мере

это

оказалось правомерным результатом. Сравнение фигуры «изоста-

тического» геоида, рассчитанного

предположении полной

изо-

статической компенсации,

реального геоида показывает,

что

реальные высоты геоида относительно общеземного эллипсоида

значительно больше изостатических.

Нет

никакой корреляции

между основными особенностями обоих геоидов.

Так,

наибольшему

максимуму высот изостатического геоида

Центральной Азии

соответствует область крупного минимума реального геоида.

Следовательно, учет топографо-изостатических редукций приво-

дит

уменьшению остаточных уклонений отвеса

за

счет выглажи-

вания лишь местных,

а не

общих особенностей геоида

и не

улуч-

шает представительности выводов параметров общеземного

эл-

липсоида

по

ограниченным материалам.

47.

ЭЛЛИПСОИД КРАСОВСКОГО

Как

уже

отмечалось

в § 43,

принятый

до

революции

России,

а затем

и в

СССР референц-эллипсоид Бесселя имеет

по

сравнению

с лучшими современными выводами намного заниженное значение

большой полуоси. До 1942 г. исходные даты в нашей стране

были заданы астрономическими координатами центра круглого

зала Главной Астрономической обсерватории АН СССР в Пул-

ково,

что при выборе эллипсоида Бесселя оказалось неблагоприят-

ным решением (см. § 5).

Указанное обстоятельство было выяснено Ф. Н. Красовским

в начале тридцатых годов. Возникла настоятельная задача под-

бора более подходящего референц-эллипсоида для обработки

астрономо-геодезических построений в нашей стране и после-

дующего ее картографирования. Однако Ф. Н. Красовский по-

дошел, к этой задаче не как к поиску частного, решения, удовлет-

воряющего нужды нашей страны, а как к определению размеров

и формы эллипсоида, представляющего наилучшим образом

Землю в целом. Работы по выводу нового референц-эллипсоида

велись около 10 лет в ЦНИИГАиК под руководством Ф. Н. Кра-

совского и при активном непосредственном участии в них А. А. Изо-

това [31]. Основой выводов были результаты ,астрономо-геодези-

ческих построений на территории СССР, созданных по схеме,

предложенной Красовским, на середину 1938 г. Исполненная

сеть охватывала примерно половину территории нашей страны,

и в том числе включала долготную дугу протяженностью около

105° от Орши до Хабаровска. Общая протяженность использо--

ванных рядов триангуляции составила около 40 тыс. км. Они

были оснащены 449 астрономическими пунктами, почти все из

которых являлись полными пунктами Лапласа с наблюденными

астрономическими азимутами, широтами и долготами^ Материалы

градусных измерений на территории СССР были дополнены мень-

шими по объему данными на Западную Европу по Западноевро-

пейской меридиональной дуге и по долготной дуге вдоль 52°

параллели (см. § 43) и на территории США по материалам Хей-

форда (см. § 47).

При постановке исследований был не только учтен вбсь миро-

вой опыт определений размеров Земли, но и реализован ряд цен-

ных новых предложений. Впервые была применена самая совер-

шенная модификация метода площадей с последовательным со-

ставлением уравнений градусных измерений по частным дугам

вдоль ходовых линий, идущих от Пулкова, о чем мы уже упоминали

в § 45.

Для исключения местных возмущающих влияний впервые

были использованы гравиметрические данные, а именно для боль-

шинства пунктов на территории СССР были вычислены гравиметри-

ческие уклонения отвеса с учетом зоны радиусом

600—1000

км по

материалам общей гравиметрической съемки СССР, работы по

которой широко развернулись в тридцатые годы. Найденные

составляющие гравиметрических уклонений вычитались при ре-

шении уравнений градусных измерений из соответствующих астро-

номо-геодезйГческих составляющих. Все остальные использованные

данные как на территорию СССР, так и на зарубежные территории

были исправлены топографо-изостатическими редукциями сог-

ласно гипотезе Пратта

—

Хейфорда.

Чтобы

какой-то мере учесть общие волны геоида, фигуру

Земли сначала аппроксимировали трехосным эллипсоидом. Пара-

метры, характеризующие эллиптичность

его

экватора

—-

сжатие

экваториального эллипса

1 : 30

ООО

долгота наибольшего мери-

диана

+ 15°

восточной долготы, оказались хорошо согласованными

с другими выводами, подтверждающими трехосность Земли

по

астрономо-геодезическим"

гравиметрическим данным, имевши-

мися

в то

время

и так же, как и

вывод эллипсоида Красовского,

в основном характеризовавшими особенности фигуры Земли

в ее

Северном полушарии.

К найденному трехосному эллипсоиду наилучшим образом

подходит эллипсоид вращения

параметрами:

большая полуось

а = 6 378 245 м,

полярное сжатие

а = 1 : 298,3.

Эти параметры были утверждены Постановлением 'Совета

Министров СССР

от 7

апреля

1946 г.

Референц-эллипсоиду было

присвоено

имя

Красовского.

Ожидаемая средняя квадратическая погрешность определения

параметров эллипсоида Красовского

по

исследованиям

его

авто-

ров составляла

для

большой полуоси

±60 м, а для

знаменателя

сжатия 0ыло

не

более одной единицы. Сравнение

лучшими

современными данными показывает,

что

большая полуось эллип-

соида Красовского больше,

чем у

общеземного, примерно

на сто

метров,

сжатие практически совпадает

наилучшими современ-

ными результатами. Учитывая ограниченность данных, исполь-

зованных

при

выводе эллипсоида Красовского, полученный

результат

можно считать вполне удовлетворительным.

В дальнейшем была проведена работа

по

установлению

ис-

ходных геодезических

дат с

использованием материалов градусных

измерений лишь

на

территории СССР [30].

Под

условием минимума

суммы квадратов разностей астрономо-геодезических

вычислен-

ных гравиметрических составляющих уклонений отвеса были

подобраны наиболее подходящие значения составляющих

и г|

в Пулково.

соответствии

выбранным значением

т]

был

уста-

новлен исходный геодезический азимут

Исходные геодезические даты

для

системы координат

СССР

получили название «Система

1942

года».

48.

УРАВНЕНИЯ ГРАДУСНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

ДЛЯ МЕТОДА ПРОЕКТИРОВАНИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЕМ

ВНУТРЕННИХ ЭЛЕМЕНТОВ ОРИЕНТИРОВАНИЯ

В настоящее время

связи

широким развитием работ

по

астрономическому

астрономо-гравиметрическому нивелированию

получил распространение строгий метод проектирования

при

обработке астрономо-геодезических сетей. Одним

из

результатов

такой обработки являются «чистые» астрономо-гёодезические ук-

лонения отвеса и соответствующие высоты квазигеоида (см. § 10).

Применительно к этим величинам различными авторами получены

уравнения градусных измерений для метода проектирования,

которые в настоящее время почти исключительно используются

в выводах параметров обще-

земного эллипсоида.

Уравнения градусных изме-

рений для метода проектиро-

вания выведены для определе-

ния как внешних элементов

ориентирования референцных

систем координат (Красовский

[46],

Грааф-Хентер [5],Венинг-

Мейнес

[1441),

так и для внут-

ренних (Молоденский [69],

Изотов [31]), которые полу-

чили более широкое распро-

странение. Обстоятельное изло-

жение теории уравнений гра-

дусных измерений дано Жон-

головичем в [26].

В наиболее строгом виде уравнения градусных измерений могут

быть записаны, если известны не только астрономо-гёодезические

высоты к

вазигеоида £ и составляющие уклонений отвеса

но и их абсолютные значения £, £ и ц в общеземной системе коор-

динат.

Рассмотрим сначала частный случай, когда соответствующие

оси прямоугольных общеземной (X, У, Z) и некоторой референц-

ной (X, У, Z) систем координат параллельны. Из определения

геодезической высоты и составляющих уклонений отвеса при

сделанном ограничении вытекает, что

АС = С-С = (^ + С)-(Я^+0 = Я-Я;

А|

|_|^(

-5_б5)-(ф-Я-б5)--(5-5);

Дт) = ц — г) = (Я — Z —

L)cosВ=

—(L — L) cos В.

Таким образом, мы можем считать известными разности соот-

ветствующих эллипсоидальных координат В, L, Н в общеземной

и референцной системах.

Пусть для некоторой точки астрономо-гёодезической сети М

известны координаты В, L, Я в общеземной и В, £, Н в рефе-

ренцной системах (рис. 55). Отложим из М по нормалям к обще-

земному и геодезическому эллипсоидам отрезки MN

и MN

равные соответственно N -f Н и N + Н, где А

и N — радиусы

кривизны в первом вертикале для соответствующих эллипсоидов.

(VII.16)

Как известно из сфероидической геодезии (см. § 2), концы этих

отрезков N

и N

будут находиться на полярных осях этих эл-

липсоидов в расстояниях

O = Ne* sin В J

от их центров С и О.

Запишем уравнение равенства вектора N

M и суммы векторов,

образующих ломаную

CON

При этом вектор СО может быть

представлен как сумма векторов х, у и z, равных по модулю

координатам точки О в общеземной системе и направленных по

соответствующим осям:

ЛГ7М = Л^М^ (VII.18)

Спроектируем обе части уравнения (VII.18) на направление

M, принимая во внимание, что направляющие косинусы этого

направления в системе координат X, У, Z равны [см.

(1.6)1

cos В cos L

cosfisinL

sin В

и что векторы N

C и N

0 параллельны оси Z. Из рис. 55 с учетом

формул

(VII.

17) получим

Н = х cos В cos L + у cos

sin L

+ 2

sin 5 +

(iV

+ Я) cos

Дя|)

sin5(iVe"

sin5-iVe

sin5).

(VII.19)

Обозначив величины порядка е

^ 1 : 150 через б, преобразуем

это строгое уравнение. Будем удерживать в нем лишь члены

порядка

iV8

Отметим, что даже при неудачном выборе рефе-

ренцной системы координат величины Дг|э, (В — В) и (L — L)

cos5

имеют порядок б

, т. е. в угловой мере составляют ~10", а вели-

чины х. у, 2, (N — N) и N (е

— е

) имеют порядок

JV6

т. е.

составляют

—300

м (практически лишь для некоторых референц-

ных систем координат будем иметь величины в два-три раза боль-

шие).

Положив с принятой точностью cos Ai|) — 1, получаем из

(VII.19)

Н — Н=-х cos В cos L + у cos В sin L + z sin В — (N — N) +

sinB(Ne~

smB-Ne

sinB).

<VIL20)

177

С принятой точностью находим из (1.2) в § 2

ЛГ

= Да (l

sin

+ ^1 а

sin

В (l + А е

sin

я). +

ае

sin В cos 5 {В-В);

sin

J5—7Ve

sinB

= Д

ае

sin S + а Де

sin В (1 -f е

sin

В) +

cosB(B — B),

где Да — разность экваториальных радиусов общеземного и гео-

дезического эллипсоидов, Де

— разность квадратов их первых

эксцентриситетов.

С той же точностью возможно заменить В и L на В и L в коэф-

фициентах при х, у, z и в множителе sin 5 при последнем члене

в уравнении

(VII.20).

Тргда с учетом (VII.16) окончательно

получим уравнение градусных измерений для высоты квазигеоида

Н — Н = А£ = х cos В cos L + у cos В sin L + z sin В —

Afls^l

_^L

sin

В (l

sin

5) . (VII.21)

Учитывая, что

Д| =

=^-p" ife-g = _p- ^ •

MdB '

ari-Ti

Ti- p

NcosBdL

- P

NcosB

dL'

получаем еще два уравнения градусных измерений для составля-

ющих уклонений отвеса в меридиане и первом вертикале

-^г А\ = х sin В cos L + y sin В sin L

—

z cos В —

_*±

sin

2B--^-a sin 2Я (1 + e

sin

5), (VII.22)

4-AT]==xsinL-y.cosL.

. (VH.23)

Без учета членов порядка е

впервые уравнения градусных

измерений для метода проектирования были получены в XIX веке

русским ученым Слудским [99].

Влияние непараллельности осей общеземной

и референцной систем координат

В общем случае необходимо учесть непараллельность осей

общеземной и референцной систем координат. Соответствующие

угловые элементы ориентирования е

, е

и e

имеют порядок б

(см.

§ 41). Один из эффектов непараллельности осей дгух рас-

сматриваемых систем координат связан

с тем, что в

векторном

уравнении

(VII.

18) вектор

NQO не

параллелен

оси Z (см. рис. 55)

и образует

вектором

угол

(90° — В — е

), где &

—

поп-

равка

широту

за

отклонение

оси Z в

референцной системе коор-

динат

от оси Z в

общеземной системе. Согласно формуле (VI.40)

§ 39 эта

поправка равна

г в — —е^

sin L+

г у

cos

(VI

1.24),

После проектирования

(VII.

18)

на

направление

уравнение

(VI

1.19) с

учетом поправки

получит

вид

+ Н = х cos

cos L + у cos

sin L

-f

z sin

В +

(N +

H)cosAty

+Ш

8т*В~—№*8тВзт(В

+ г

)- ,

(VII.25)

Если,

как и

раньше, провести последующие преобразования,

удерживая члены порядка

iV6

то

поправка

приведет

к до-

полнительному члену

— Щ- sin

J385,

который будет иметь

по-

рядок

iV8

поэтому окажется пренебрегаемым. Нетрудно убе-

диться путем дифференцирования этого члена

по

широте,

что

соответствующий член будет пренебрегаемым

и в

уравнении гра-

дусных измерений

для

меридиональных уклонений отвеса.

урав-

нении

для An

подобный член вообще будет отсутствовать.

Большее влияние оказывает другой эффект, возникающий

при

непараллельности осей астрономической системы координат,

в ко-

торой определяют

ф, Я, и

референцной системы,

которой опре-

деляют

В,

L. На

практике необходимо учитывать влияние этого

эффекта

случае, когда

астрономические координаты

уже

введены поправки

за

переход

международному условному

началу движения полюса

и к

началу счета долгот

системе

МБВ,

а геодезические координаты соответствуют ранее выполненной

обработке

АГС с

другими направлением полярной

оси и

началом

счета долгот.

таком случае формулы

для

составляющих астроно-

мо-геодезических уклонений отвеса

Ф-Д,

= (k

—

L) cos Б

неверны. Следует добиться параллельности осей геодезической

и астрономической систем координат,

для

чего

(см. § 38)

необ-

ходимо

геодезическую широту ввести поправку

(VII.24),

а в

гео-

дезическую долготу,

учетом (VI.41), поправку

tgB(E

cosL-\-e

smL)

— е

(VII.26)

Член

учитывает поворот вокруг

оси Z. В

результате будем

иметь

Ъ'

=Ц

—

ЬВ

—

(VII.27)

г\

= (к —L) cos В —г

cos В: