Пеллинен Л.П. Высшая геодезия (Теоретическая геодезия)

Подождите немного. Документ загружается.

'м

w--w

(геоид)

На современном уровне точности приближенно (с погрешностью

не более 0,5 м) можно считать, что на геоиде будет лежать точка

М'о

(см. рис. 61), полученная путем откладывания высоты h от

точки М по направлению к центру масс Земли. Координаты Ф,

этой точки будут те же, что и в точке М, а ее геоцентрический

радиус-вектор будет равен

=r — h.

Затем находят W

по формуле

(VI

П. 22), используя значения

потенциалов V и (), найденные

для точки М'

Случай когда точка М соответ-

ствует положению ИСЗ, приоб-

рел интерес с развитием метода

спутниковой высотометрии. За k

в этом случае принимают изме-

ренную спутниковым радиовы-

сотомером высоту ИСЗ над по-

верхностью моря. При этом

пренебрегают различием геоида

и топографической поверхности

морей и океанов (см. § 1). В перспективе это различие сможет

быть учтено по дополнительным данным. Высоту h откладывают

по направлению вектора ММ

, которое в данном случае совпа-

дает с направлением отвесной линии в М. По оценкам М..Бурши

полученная точка М

с точностью выше 0,05 мм будет лежать

на геоиде (если пренебречь отличием от него поверхности моря).

М. Буршей получены формулы для вычисления направляющих

косинусов отвесной линии по гармоническим коэффициентам

геопотенциала. В дальнейшем указанным выше путем находят

координаты точки М

в общеземной системе и значение W

Уже отмечалось, что на W

сильно влияет принятое значение

геоцентрической гравитационной постоянной fM. В этом отно-

шении более независимым оказывается гравитацион-

ный масштабный множитель R

Этот параметр был впервые предложен И. Д. Жонголовичем

[27] и широко используется М. Буршей. Полагая W

= U

имеем с учетом формул (VI.26) и (VI.35) в § 37

АДо А/Л/

До

04-=)+

AfM

2 fM

— А со

—

тп

со

-5- А/,.

(VIII.23)

По оценкам

в § 37

влияние всех' членов, включающих

иг,

меньше

10~

оказывается пренебрегаемым. Таким образом,

вывод параметра

вполне эквивалентен выводу

, но

принци-

пиально более строг.

Выводы

выполнены первым

из

рассмотренных спут-

никовых методов

по

координатам станций слежения

ИСЗ.

Напри-

мер,

М.

Бурша

[136, с. 133—159] по 102

станциям, координаты

которых входят

систему параметров Стандартная Земля

III

Смитсоновской обсерватории

в США,

получил

Л о

= 6 363 672,9 ± 1,4 м,

= 62 636 987,5 ± 13,4 м

с"

При хорошей внутренней сходимости такие выводы оказались

весьма чувствительным индикатором систематических погреш-

ностей, свойственных различным определениям координат

обще-

земной системе

моделям гравитационного поля Земли. Расхожде-

ния величин

соответствующих различным таким выводам,

достигают

относительной мере

1,4 X 10"

. Это

намного превы-

шает величины, ожидаемые

по

внутренней сходимости выводов.

На

XVI

Генеральной Ассамблее

МАГ в

Гренобле

в 1975 Р.

рекомендованы значения

= 6 363 676 ± 5 м,

= (6 263 683 ± 5)10

сЛ

56.

СОВРЕМЕННЫЕ МОДЕЛИ НОРМАЛЬНОЙ ЗЕМЛИ

Этот раздел посвящен определению согласованных систем фун-

даментальных геодезических постоянных. Принципиально наибо-

лее строго можно определить такую систему путем совместного

уравнивания независимо найденных величин

по

методу наимень-

ших квадратов

предварительным назначением весов «измерений»

использованием дифференциальных зависимостей, рассмот-

ренных

в § 37.

Начиная

Джеффриса

[18],

многие исследователи

проводили подобные выводы

использованием разнородных

наземных

космических данных

(см.

например,

[107, с. 68—

108]). Однако формальная строгость выводов была неоправданной

из-за трудностей анализа реальной точности определения отдель-

ных параметров, поскольку обычно важнейшими оказывались

не погрешности, отражающиеся

на

внутренней сходимости

вы-

водов этих параметров,

скрытые систематические погрешности.

Поэтому компромиссные выводы, принятые

во

время дискуссий

в международных организациях, обычно соответствуют

не

фор-

мально строгому,

некоторому приближенному согласованию

имеющихся результатов.

При

этом универсальные физические

параметры (скорость света

вакууме, универсальная постоянная

тяготения) принимают

соответствии

решениями физиков

и метрологов, а другим основным параметрам приписывают

округленные значения с учетом их реальной точности.

Как уже упоминалось, Международной ассоциацией геодезии

официально принята система параметров Нормальной Земли,

получившая название «Геодезическая референц-система 1967 г.»

Исходные параметры fM, а

и /

были установлены в полном

согласии с системой астрономических постоянных, принятой

XII

Генеральной ассамблеей Международного астрономического

союза в Гамбурге в 1964 г. взамен Системы 1896 г. Предварительно

на специальном симпозиуме по фундаментальным постоянным

астрономии (Париж, 1963 г.) была проведена дискуссия по сис-

теме 1964 г. Материалы симпозиума с обоснованием рекомен-

дуемых постоянных опубликованы в монографии [107].

Принятые значения а

и fM ближе всего соответствуют выво-

дам

1961—1963

гг. параметров «Всемирной геодезической сис-

темы» американским геодезистом и геофизиком У. Каулой [107,

с.

56—67].

Значение а

* было найдено как один из результатов

его совместного вывода гармонических коэффициентов геопо-

тенциала, параметров общеземного эллипсоида и абсолютных

элементов ориентирования некоторых референцных систем коор-

динат из комбинации астрономо-геодезических, гравиметрических

и спутниковых данных, имевшихся на 1961 г. [129]. Параметр

был получен из обработки наблюдений ИСЗ (в основном фото-

графических) со станций, взаимное положение которых было

определено из наземных геодезических построений. Тем самым

масштаб линейных элементов орбит ИСЗ был задан указанными

построениями. Значение /

соответствовало среднему из лучших

спутниковых выводов на 1963 г. Козаи (Япония) и Кинг-Хили

(Англия).

При определении Геодезической референц-системы 1967 г.

понадобилось дополнительно задать значение угловой скорости

вращения Земли со. Это было сделано в полном соответствии с сис-

темой астрономических постоянных 1964 г. с использованием

формулы [118] (приводим ее без вывода):

„_ 2я s + 86

4000-^1/1500

/VTTT

9А\

"86400"

S •

(Vlll.-tfy

где p, =

pcose

—

12,473"

sin

— поправка за прецессию, е — наклон эклиптики к экватору на

эпоху 1900 г., равный 23° 27'

08,26",

р — общая прецессия по

долготе за тропическое столетие на ту же эпоху, равная

5025,64",

s = 31 556

925,9747

— число, эфемеридных секунд в тропическом

году на 1900 г.

Основные параметры системы 1967 г., а также ориентировка

осей общеземной системы координат (см. главу VI) были уста-

новлены на XVI Генеральной Ассамблее Международной Ассо-

циации Геодезии в Люцерне (Швейцария) в 1967 г. При общей

координации Генерального секретаря МАГ Ж. Леваллуа (Фран-

ция) несколькими независимыми группами ученых были проведены

вычисления всех геометрических и физических параметров Нор-

мальной Земли, которая соответствовала Геодезической Референц-

системе 1967 г. При этом были также уточнены параметры Нор-

мальной атмосферы (см. § 36). Результаты всей проведенной ра-

боты были представлены в виде официальной монографии МАГ

Генеральной Ассамблее в Москве в 1971 г. [118]. Принятые

параметры Системы 1967 г. приведены нами в § 37.

Развитие методов космических исследований привело в послед-

нее десятилетие к значительному повышению точности опреде-

ления фундаментальных достоянных астрономии и геодезии.

Вновь становится актуальной постановка вопроса о ревизии этих

постоянных. В связи с этим перед XVI Генеральной Ассамблеей

МАГ (Гренобль, 1975 г.) была создана под председательством

австрийского геодезиста X. Моритца специальная исследователь-

ская группа, которая подготовила к этой ассамблее рекомендации

значений фундаментальных геодезических постоянных, наиболее

представительные на настоящее время, с «реалистической» оценкой

их точности [133]. Без проведения строгого совместного уравни-

вания была рекомендована система постоянных, которая приве-

дена в табл. 13. Для сравнения в последней графе таблицы даны

разности новых значений и значений, соответствующих Рефе-

ренц-системе 1967 г.

Методы вывода параметров fM, а

, у

, W

и R

уже рассматри-

вались нами в предыдущих разделах курса. В согласии с пред-

ложениями физиков приняты значения скорости света с и уни-

версальной гравитационной постоянной / (или G). Наконец,

параметры /

— Л» характеризующие реальное гравитационное

поле Земли, были получены как округленные средние из наиболее

надежных определений зональных гармонических коэффициентов

геопотенциала. Сжатие Земли а (или /) рассчитано на основании

других параметров.

Как видно из табл. 13, все параметры за исключением у

изменились по сравнению с Системой 1967 г. больше, чем вели-

чины средних квадратических «реалистических» погрешностей,

приписанных новым результатам, что подтверждает значимость

полученных поправок. Наиболее заметно изменился весьма важ-

ный параметр fM.

Значения параметров с, /, fM, а

и /

, рекомендованные МАГ

в 1975 г. [131], вошли в число исходных постоянных «Системы

астрономических постоянных MAC (1976)», которая была принята

на Генеральной Ассамблее Международного астрономического

союза в Гренобле в 1976 г. взамен Системы 1964 г.

С развитием геодинамических исследований появляется потреб-

ность создания модели Нормальной Земли, обладающей неко-

торыми идеальными физическими свойствами. В прошлом часто

Таблица 13

Постоянная

Единицы

измерения

Рекомендуемое

значение 1975 г.

Разности

1975 —

1967 гг.

Скорость света в вакууме с

Ньютоновская гравита-

ционная постоянная/ (G)

Угловая скорость враще-

ния Земли со

Геоцентрическая гравита-

ционная постоянная

(GM)

Геоцентрическая грави-

тационная постоянная

атмосферы fM

(GM

)

Зональные гармонические

коэффициенты:

Экваториальный радиус

Земли а

(а)

Экваториальная сила тя-

жести у

Сжатие 1 :« (1 : /)

Потенциал силы тяжести

на геоиде W

Геопотенциальный мас-

штабный коэффициент i?o

МС"

10-

мЗс-акг

10"

рад с

-1

108 м

С"

10? М

С"

10-8

10"

м с~

Ю-з

10 м

с"

299 792 458 ± 1,2

6 672 ± 4,1

7 292 115

3 986 005 ± 3

35 ± 0,3

108 263 ± 1

254 ± 1

161 ± 1

23 ± 1

54 ± 1

6 378 140 ± 5

978 032 ± 1

298 257 ± 1,5

6 263 683 ± 5

6 363 676 ± 5

-42

-25

-7

-^•20

+0,15 "

+9,8

-20

-19

Примечание. В скобках даны обозначения, принятые МАГ.

принимали за такую модель тело, близкое к фигуре Земли, вра-

щающееся с той же средней угловой скоростью и находящееся

в гидростатическом равновесии. Однако, как уже отмечалось

в § 35, таким телом не может быть уровенный эллипсоид враще-

ния. Даже если пренебречь этим обстоятельством и попытаться

подобрать к гидростатической Земле подходящий эллипсоид

вращения, все равно его сжатие будет значительно отклоняться

от сжатия общеземного эллипсоида, как его определяют в на-

стоящее время. По оценкам геофизиков (см. [3, раздел 11.1;

108, 127] современной скорости вращения Земли соответствует

сжатие гидростатического эллипсоида в 1 :

299,67,

что значи-

тельно меньше наблюденного сжатия. Таким образом, возможно,

что решение задач изучения строения Земли потребует разработки

моделей Земли, в принципе отличных от тех, которые удобны

геодезистам, астрономам и специалистам, изучающим космическое

пространство.

ГЛАВА IX

МЕТОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ ПЛАНЕТАРНЫХ

ИССЛЕДОВАНИЙ ФИГУРЫ КВАЗИГЕОИДА

§ 57. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЫСОТ КВАЗИГЕОИДА

РАЗЛОЖЕНИЕМ В РЯД СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Предметом данной главы является изучение общих (планетар-

ных) отличий реальных фигуры и внешнего гравитационного поля

Земли от Нормальной Земли и ее поля. Эти отличия в наиболее

ясной геометрической форме могут быть представлены высотами

квазигеоида £ над общеземным эллипсоидом. В аналитическом

виде их чаще всего представляют гармоническими коэффициен-

тами возмущающего потенциала. Мы увидим далее, что имеется

простая связь между этими двумя представлениями.

Как было показано в § 15 главы III, высоты квазигеоида над

некоторым уровенным эллипсоидом выражаются формулой

f=-f Ч--

^-. -•

(ix.i)

Пусть разложение этих высот в ряд сферических функций

имеет вид

оо

£ = £о + 2 2 (

пт cos mL + Р„

sin mL) Р

пт

(sin Ф). (IX.2)

При вычислениях высот над общеземным эллипсоидом в ука-

занных формулах U

= W

£>Q

= 0. С учетом этого подставим

в (IX.1) вместо Т ряд

(VIII.1)

в § 52 и сравним с

(IX.2).

В сфе-

рическом приближении (г = а

& R) получим

«лт

[

пт

Но в том же сферическом приближении имеем у = fM/R

Таким образом, получим

= R 2 2 (АС

пт

cos mL + S

sin mL) P

(sin Ф). (IX.3)

n=2

m=o

Как видно из сравнения с

(IX.2),

коэффициенты AC

, S

можно интерпретировать как коэффициенты разложения высот

квазигеоида по сферическим функциям, если за единицу длины

принять средний радиус Земли Л*.

* В более строгом определении гармонические коэффициенты геопотен-

циала являются стоксовыми постоянными, характеризу-

ющими распределение масс внутри Земли [7, 27, 108].

Формулу (IX.3) чаще всего используют при определении пла-

нетарного геоида — сглаженного квазигеоида, который

определяется, если ограничиться в разложениях формул (IX.2)

и (IX.3) членами некоторой сравнительно небольшой степени п.

Оценим, с какой точностью может быть представлен квазигеоид

такой обобщенной фигурой. При этом окажется выгодным исполь-

зовать разложение вида (IX.3) не по обычным, а по норми-

рованным сферическим функциям, а именно таким, среднее

квадратическое значение которых по поверхности сферы равно

единице. Будем отмечать нормированные сферические функции

и соответствующие им гармонические коэффициенты черточкой

сверху. Используем известные в теории сферических функций

формулы для среднего квадрата обычной сферической функции

, . ,

cos mL \

тЧ Р

пт

(*тФ) . =

sin mL

J .

-nm

где

(2д

1) х!

i^g}

прит^О,

и соотношение

- cos mL )

^ji>„

(smO)

n7nL

= l. (IX.4)

Найдем

лт

(sin ф) =

пт

(sin Ф) ;

J V2n

•

Записав уравнение (IX.3) в виде

(IX.5)

2 2 (AC

cos mL + S

sin mL) P

(sin Ф), (IX.6)

n=2

m=o

получим сначала формулу для среднего квадратического значе-

ния О (Q высоты квазигеоида по всей поверхности Земли. Для

этого надо уравнение (IX.6) возвести в квадрат и перейти к ма-

тематическим ожиданиям всех возникающих произведений. По-

скольку сферические функции ортогональны, то останутся лишь

члены, которые представляют собой произведения величин

№пт или R

на средние квадраты соответствующих им

сферических функций, равные согласно (IX.4) единице. В ре-

зультате получим

оо

(0 = 2 £1 (IX.7)

п-2

где

Величины вида получили название степенных дис-

персий. Каждое значение представляет собой

данном

случае средний квадрат гармоники

и-й

степени

разложении

по

сферическим функциям высоты квазигеоида

£.

Порядок степенных

дисперсий дает эмпирическая формула Каула

[39, гл. 5],

полу-

ченная

им по

определениям гармонических коэффициентов гео-

потенциала

из

наблюдений

ИСЗ,

0(AC

) = 10-*n\

(IX.9)

Последующие независимые расчеты

по

данным статистического

анализа аномалий силы тяжести (например,

[89])

подтвердили,

что

эта

формула справедлива

пределах достаточно высоких

степеней и-порядка

100—200. Из

(IX.8)

(IX.9}

имеем

О(^) = 10-10Д2^1+1

(1Х

.Ю)

Средний квадрат погрешности из-за ограничения ряда (IX.6)

членами некоторой степени

может быть записан

как

Используя

(IX.

10), получим

ОО

ОО 00

«4-1

п п

Отсюда следует

м. (IX.11)

Имеем

при

п Я-(£),м

10 ±6,4

20 [3,2

40 1,6

Используя (IX.И)

фактические определения гармонических

коэффициентов геопотенциала низкой степени, можно оценить

по формуле (IX.7) среднее квадратическое значение высоты

квазигеоида

на

земной поверхности. Примерно получается

О (£) =

30 м.

Таким образом, планетарный геойд ирй удержании в разло-

жении в ряд

(IX.

6) членов примерно до

20—40

степени в среднем

по Земле удовлетворительно представляет общие особенности

фигуры квазигеоида. Поэтому при дальнейшем рассмотрении во-

просов их изучения мы будем обращать внимание главным обра-

зом на точность определения гармонических коэффициентов

геопотенциала, входящих в ряд

(IX.6).

§ 58. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

В § 52 нами была получена модифицированная формула

Стокса

(VIII.6),

которая позволяет определить гармонические

коэффициенты возмущающего потенциала по коэффициентам раз-

ложения аномалий Фая на физической поверхности Земли в ряд

сферических функций

А£'

Яоо+2

2 (a

cosmL + b

ntn

smmL)P

(sinB). (IX.12)

В данном параграфе мы рассмотрим вопросы получения коэф-

фициентов а

пт

и Ъ

пт

. Эту операцию обычно называют гармо-

ническим анализом силы тяжести.

Методы гармонического анализа силы тяжести

Нашли применение два путц гармонического анализа силы

тяжести. В одном из них, пользуясь рядом

(IX.

12), ограниченным

некоторой степенью п, следующим образом представляют средние

аномалии Фая по выбранным стандартным трапециям:

п п

Ag'

Яоо

- 2 2

°>птРпт

(sin В) cos mL +

n *

+ S 2

(sin B) sin mL. (IX.13)

Чертой отмечены средние значения по трапеции. Рассматривая

(IX.13) как уравнение погрешностей, находят величины а

пт

и Ъ

пт

по методу наименьших квадратов. Такой путь вычислений воз-

можен даже при неполной гравиметрической изученности и соот-

ветствует принципу: неизученная часть поля аномалий силы

тяжести представляется той же эмпирически найденной формулой

(IX.

12), что и изученная. Метод наименьших квадратов исполь-

зован Г. Джеффрисом при определении гармонических коэффи-

циентов силы тяжести до третьей степени при разбивке земной

поверхности на трапеции 30 X 30° [18, 126], В. Ф. Еремеевым

и М. И. Юркиной [21] и на одном из этапов вычислений И. Д. Жон-

головичем [25].

Более широко используется метод Гармонического анализа

силы тяжести с применением известной интегральной формулы

для коэффициентов разложения по сферическим функциям, кото-

рая для нормированных коэффициентов имеет вид

cos mL

sin mL

dco,

(IX.14)

где dco = cos

BdBdL.

Рис.

Для вычисления по этой формуле необходимо задать тем или

иным путем аномалии силы тяжести на всей поверхности Земли.

Могут быть использованы разнообразные методы численного

интегрирования*

Наибольшее распространение получил метод, впервые приме-

ненный советским астрономом и геодезистом И. Д. Жонголовичем

для разложения силы тяжести по сферическим функциям до 8-й

степени [25]. Он использовал средние аномалии в свободном