Пеллинен Л.П. Высшая геодезия (Теоретическая геодезия)

Подождите немного. Документ загружается.

Гельмерта (Пранис-Праневича). Существенным элементом этого

уравнивания является использование высокоточных светодально-

мерных полигонометрических ходов, которые образуют сеть зам-

кнутых полигонов на территории США, а также точных определе-

ний пространственных координат с помощью ИСЗ.

В перспективе должны быть разработаны методы пространст-

венного уравнивания сплошных геодезических сетей с подыска-

нием поправок не только к геодезическим измерениям, но и к

астрономическим определениям. Первые предложения по этому

поводу принадлежат А. Дюфуру, Франция [113]. Обстоятельные

исследования проведены М. М. Машимовым [57, гл.

VIII].

В буду-

щем должна быть предусмотрена возможность включения в обра-

ботку не только^ астрономо-геодезических данных, но и результа-

тов,

получаемых гравиметрическим и космическим методами.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

ОБЩИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ФИГУРЫ

И ВНЕШНЕГО ГРАВИТАЦИОННОГО

ПОЛЯ ЗЕМЛИ

ГЛАВА

НОРМАЛЬНАЯ ЗЕМЛЯ. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ.

ОБЩЕЗЕМНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

34.

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ

Начиная

этой главы будут рассматриваться вопросы общих

исследований фигуры Земли

и ее

внешнего гравитационного

поля

единой геоцентрической общеземной системе координат.

Основное внимание будет уделено определению фундаментальных

геодезических постоянных, большинство

из

которых являются

параметрами Нормальной Земли

образуемого

ей

нормального

гравитационного поля. Известно

(§ 1,2), что они

представляют

собой удобную

для

различных приложений математическую

ап-

проксимацию реальной Земли

и ее

гравитационного поля.

Рассмотрим принципы установления общеземной системы коор-

динат

учетом того обстоятельства,

что

движение полюсов весьма

заметно отражается

на

положении

оси

вращения Земли

и на

опре-

делении системы долгот

по

астрономическим наблюдениям,

так-

же вопросы определения элементов ориентирования референц-

ы х

систем координат,

Вч

которых ведется уравнивание астро-

номо-геодезических построений, относительно общеземной системы

Большое внимание уделим методу градусных измерений,,

с развитием которого связана

вся

история геодезии, начиная

с античных времен. Изложим принципиальные вопросы класси-

ческой теории градусных измерений

обратим внимание

на вы-

воды, которые либо имеют существенный методический интерес,

либю сохранили свое значение

до

настоящего времени

как

основа

некоторых референцных. систем координат. Дадим сведения

об

эллипсоиде Красовского, который является отсчетной поверх-

ностью

системах координат, принятых

СССР

и в

ряде других

социалистических стран. Читателя, который интересуется совре-

менной постановкой вопросов решения уравнений градусных

измерений,

мы

отсылаем

разделам главы

VIГ,

начиная

с § 48.

них

метод градусных измерений трактуется

как

определение

геометрических параметров Нормальной Земли,

именно разме-

ров

формы общеземного эллипсоида,

абсолютных

131

элементов ориентирования референцных систем координат с ис-

пользованием астрономо-геодезических данных, обработанных ме-

тодом проектирования, а также гравиметрических и спутниковых

данных. Обобщим метод градусных измерений на случай исполь-

зования одних спутниковых данных.

В дальнейшем рассмотрим вопросы определения экваториаль-

ной силы тяжести, геоцентрической гравитационной постоянной

и потенциала силы тяжести на поверхности геоида. Эти вопросы

выходят за рамки традиционных курсов высшей геодезии, но нам

представилось желательным отразить их, поскольку в данном

курсе мы стремимся дать синтез различных методов изучения

основных особенностей фигуры и внешнего гравитационного поля

Земли. В результате совместного использования различных фак-

тических данных и методов.их обработки определяет системы

фундаментальных геодезических постоянных. Мы рассмотрим кон-

кретные рекомендации таких систем, в том числе официально

принятую Геодезическую референц-систему 1967 г.

Основные отличия реальной фигуры Земли и ее гравитацион-

ного поля от Нормальной Земли характеризуют коэффициенты

разложения гравитационного потенциала Земли по сферическим

функциям (так называемые гармонические коэффи-

циенты геопотенциала) и высоты квазигеоида над

общеземным эллипсоидом. Мы изложим принципы и результаты

их определения по гравиметрическим и спутниковым данным в от-

дельности и путем комбинации этих данных.

С повышением точности геодезических измерений открыва-

ются перспективы изучения геодинамических явле-

ний, приводящих к изменениям координат и элементов внеш-

него гравитационного поля Земли во времени. Указанные явления

и геодезические методы их исследования мы кратко рассмотрим

в конце курса. Исследование геодйнамических явлений планетар-

ного масштаба со временем станет основной задачей общих иссле-

дований фигуры и гравитационного поля Земли. Образно говоря,

нас вряд ли в будущем будет сильно интересовать само по себе

определение размеров Земли с точностью выше одного метра,

но мы будем заинтересованы в изучении самых малых, даже

миллиметровых изменений размеров Земли во времени, поскольку

это дает ценную информацию о развитии Земли и всей Вселенной.

§ 35. НОРМАЛЬНАЯ ЗЕМЛЯ

Понятие Нормальная Земля и связанное с ней понятие нор-

мального гравитационного поля в значительной мере являются

условными, зависящими от решаемых с их использованием задач

гбодезии, геофизики, астрономии и других отраслей знания.

В геодезии получило наибольшее распространение представление

Нормальной Земли в виде тела, внешней поверхностью которого

является общеземной эллипсоид — уровенный эллипсоид

вращения, являющийся эквипотенциальной поверхностью нор-

мального поля силы тяжести.

В последующем изложении мы ограничимся рассмотрением

лишь указанного представления Нормальной Земли. Однако,

чтобы подчеркнуть условность этого понятия, приведем два при-

мера.

При интегрировании уравнений движения ИСЗ и других

небесных тел в близкой к Земле части космического пространства

оказалось выгодным представить поле тяготения Земли притяже-

нием двух комплексных масс, расположенных на оси вращения

Земли в двух неподвижных центрах, расстояния которых от цен-

тра масс Земли также выражены комплексными числами [21;

Такое физически невероятное представление притягивающих

масс Земли оказалось удобным, поскольку решения соответству-

ющих ему уравнений движения небесных тел выражаются в квад-

ратурах.

2„ В течение долгого времени в геодезии использовали понятие

земного сфероида — фигуры, которую имела бы Земля, если бы

она находилась в гидростатическом равновесии. Эта аппроксима-

ция не потеряла своего значения и по настоящее время, поскольку

для геофизиков актуален вопрос выбора Нормальной Земли,

обладающей некоторыми идеальными физическими свойствами.

Нормальная Земля и ее гравитационное поле имеют прежде

всего значение как удобная аппроксимация, замена реальной

фигуры Земли и ее гравитационного поля. Такая аппроксимация

достаточна для многих потребителей — метрологов, геофизиков

(кроме непосредственно занимающихся проблемами изучения

и использования гравитационного поля), картографов и т. д. В

большинстве случаев она достаточна при негеодезическом исполь-

зовании искусственных спутников Земли, расчете элементов

орбит космических аппаратов, удаленных от Земли, построении

теории движения Луны, однако в этих случаях требуется тщатель-

ный подбор параметров Нормальной Земли.

Когда аппроксимация реальной фигуры Земли и ее поля Нор~

мальной Землей и ее полем становится недостаточной, последние

сохраняют свое значение как удобная система отсчета

при решении краевых задач, возникающих в геодезии, геофизике

и астрономии. Из элементов реальной фигуры-Земли и ее грави-

тационного поля выделяют нормальную часть, для которой соз-

дана совершенно строгая теория решения указанных задач.

После этого «аходят поправки к решениям, соответствующим

Нормальной Земле. При удачном подборе ее параметров возможно

линеаризировать решение, а именно представить иско-

мые поправки как линейные функции остаточных аномалий наблю-

денных элементов фигуры£3емли и ее гравитационного поля после

исключения Нормальной части.

При использовании Нормальной Земли как системы отсчета

допустимо подобрать ее параметры сравнительно приближенно,

лишь бы не было затруднений при линеаризации краевых задач.

Однако во многих случаях удобно находить частные решения,

соответствующие выбору параметров Нормальной Земли, наиболее

подходящих к реальной Земле. Таким образом, сохраняется инте-

рес к определению по возможности точных значений этих пара-

метров.

Требования к выбору Нормальной Земли сильно возрастают

с развитием геодинамических исследований. Это связано не только

с повышением точности измерений, используемых в этих исследо-

ваниях, но и с принципиальными затруднениями, вызванными

тем, что обобщенные параметры Земли, характеризующие ее иде-

альную модель, нельзя считать неизменными во времени. При

изучении геодинамических процессов необходимо выбрать не толь-

ко геометрические и гравитационные параметры Нормальной

Земли, но и определить некоторые ее физические свойстве. Напри-

мер,

изменения во времени Нормальной Земли и ее гравитацион-

ного поля будут разными, если ее считать абсолютно твердой или

идеально упругой.

Выбор параметров Нормальной Земли

Изложим условия выбора параметров Нормальной Земли

применительно к их использованию прежде всего при решении

задач, связанных с космическими исследованиями, поскольку

эти задачи предъявляют наиболее высокие требования к определе-

нию основных особенностей фигуры и внешнего гравитационного

поля Земли.

Будем пренебрегать пока такими геодинамическими явлениями

как неравномерность вращения Земли и.перемещения ее оси вра-

щения и центра масс внутри ее тела. При указанных ограничениях

могут быть сформулированы первые два условия подбора некото-

рого уровенного эллипсоида вращения как Нормальной Земли:

1) центр уровенного эллипсоида вращения должен совпадать

с центром масс Земли, а его главная ось инерции, являющаяся

осью его вращения, — с осью вращения Земли;

2) угловые скорости со вращения уровенного эллипсоида и ре-

альной Земли должны быть одинаковыми.

Последующие условия подбора параметров Нормальной Земли

тесно связаны с решением задач небесной механики, в которых

наиболее распространено представление, потенциала притяжения

масс Земли (включая ее атмосферу) в виде разложения в ряд

шаровых функций геоцентрических координат г, Ф и L (см. рис. 2

в главе I),

[

ОО 71 -I

1 + 22

(^)

(

«-

cos mL

nmsin

mL) P

(sin Ф) ,

71=2

m=o

(VI.l)

где

fM —

геоцентрическая гравитационная постоянная, произве-

дение универсальной гравитационной постоянной

/ на

массу

Земли

М,

включая

ее

атмосферу;

пт1

—

гармонические

коэффициенты геопотенциала, характеризующие отличие реаль-

ного гравитационного поля Земли

от

центрального;

—

линей-

ный параметр, который вводят, чтобы коэффициенты

пт

и S

были безразмерными.

По всеобщей договоренности величину

считают равной боль-

шой полуоси

или

экваториальному радиусу

общеземного эллип-

соида

—

уровенного эллипсоида вращения, являющегося поверх-

ностью Нормальной Земли.

Через

пт

(sin Ф)

обозначен присоединенный полином

Лежандра

w-й

степени

и m-го

порядка. Произведения

пт

(sin Ф) cos mL и Р

пт

(sin Ф) sin mL

представляют собой соот-

ветствующие сферические функции,

частные

от

деления послед-

них

на r

n+1

представляют собой шаровые функции геоцентриче-

ских координат.

Как известно, потенциал силы тяжести

равен сумме потен-

циала притяжения

V и

потенциала центробежной силы

(?,

кото-

рый

принятых обозначениях равен

<?=^со8

Ф. (VI.2)

В связи

с тем что

начало координат совпадает

центром масс

Земли,

(VI.1) отсутствуют гармонические коэффициенты первой

степени. Сферические функции нулевого порядка

Пу

(sin

Ф),

не зависящие

от

долготы, получили название зональных. Зональ-

ный гармонический коэффициент

2 0

является самым большим

по абсолютной величине гармоническим коэффициентом геопо-

тенциала.

По

современным данным

он

равен

—0,00108263, то

есть

имеет порядок

10"

. Все

остальные гармонические коэффициенты

геопотенциала имеют порядок

10~

меньше. Часто применяют

обозначение зональных гармонических коэффициентов

= —C

n 0

так

что

[

оо

-2(т-)

«..о(-пФ)

71=2

ОО

+22

(т")

(

Спт cos

Snm

sin

)

Pnm

(

sin ф

)

71=2.

771=1

В такой записи самый большой гармонический коэффициент

имеет знак плюс.

Из-за симметричности Нормальной Земли относительно

ее оси

вращения

плоскости экватора

представлении нормального

потенциала притяжения

рядом шаровых функций будут

(VI.3)

отсутствовать все незональные члены и [нечетные зональные

члены. Таким образом, будем иметь

Fo=-^[l-|(^r/^

(sinO)j.

(VI.4)

Исходя из этой записи, возникают еще два условия подбора

Нормальной Земли:

3) Массы Нормальной Земли и реальной Земли долйшы быть

равны, т. е.

= fM.

4) Зональные гармонические коэффициенты геопотенциала

второй степени для Нормальной Земли и реальной вемли должны

совпадать, т. е.

—

Еще одно условие подбора Нормальной Земли может быть

записано так:

5) нормальный потенциал силы тяжести на поверхности Нор-

мальной Земли U

должен быть равен реальному" потенциалу

силы тяжести W

на геоиде.

Чтобы полностью описать форму Нормальной Земли и созда*

ваемое ей внешнее поле тяготения (или внешнее поле силы тяже-

сти),

необходимо и достаточно знать постоянные /М

, С/

, и со.

Практически, исходя как из традиции, так и из представления

(VI.

1) потенциала притяжения рядом шаровых функций, пред-

почитают вместо C/Q включать в число исходных постоянных,

описывающих Нормальную Землю, ее экваториальный радиус а

В связи с этим условие 5) формулируют так:

5') экваториальный радиус Нормальной Земли должен быть

подобран таким образом, чтобы ее объем равнялся объему, охва-

тываемому геоидом.

При реализации условия 5') пренебрегают несущественным

в целом по Земле различием геоида и квазигеоида, а также зави-

симостью фигуры квазигеоида от выбранной системы нормальных

высот и используют в выводах а

вместо геоида квазигеоид.

В перспективе, когда эти обстоятельства станут существенными,

придется пользоваться более безупречным условием 5).

Классификация параметров Нормальной Земли

Для удобства последующего изложения применим следующую

классификацию параметров Нормальной Земли.

А. Параметры нулевого порядка

К ним будем относить все параметры, которые существовали бы,

даже если бы Нормальная Земля была невращающейся сферой,

а ее поле притяжения центральным:

1) геоцентрическую гравитационную постоянную fM\

2) нормальный потенциал силы тяжести на поверхности Нор-

мальной Земли U

;

3) гравитационный масштабный множитель R

= 77^;

4) среднее значение рилы тяжести на поверхности общезем-

ного эллипсоида у

и т. д.

Вместо 3) и 4) чаще используют величины, относящиеся к пло-

скости экватора общеземного эллипсоида:

5) экваториальный радиус Земли а

6) экваториальную силу тяжести у

Б.

Параметры порядка сжатия

К ним будем относить параметры, имеющие порядок, близкий

к сжатию Земли, например:

1) зональный гармонический коэффициент геопотенциала вто-

рой степени /

2) геометрическое сжатие Земли а (см. § 2); вместо а часто

используют квадраты первого е

и второго е'

эксцентриситетов

общеземного эллипсоида;

3) «гравиметрическое сжатие» Земли, а именно коэффициент

Уе

где у

— нормальная сила тяжести в полюсе уровенного (обще-

земного) эллипсоида. Коэффициент р является параметром нор-

мальной формулы силы тяжести при записи ее в виде

= ТЛ

+ Р

sin

В - р

sin

2В); ~

(VI

.5)

4) малые параметры, являющиеся функцией угловой скорости

вращения Земли со и параметров нулевого порядка, а именно:

, (VI.6)

используемый в классической теории фигуры Земли;

_ соЧ

=-щ-'

. -

(

)

удобный при современных расчетах параметров Нормальной

Земли.

В.

Параметры высших порядков

К ним относятся гармонические коэффициенты нормального

потенциала притяжения /£, /е--» коэффициент р

в нормальной

формуле силы тяжести (IV.5) и т. д. Общим для этих параметров

является то, что все они однозначно определяются при задании

параметров нулевого порядка и порядка сжатия. При современ-

ной точности последних параметры высших порядков получаются

настолько уверенно, что при любых новых выводах параметров

Нормальной Земли их можно считать уже известными.

Фундаментальные геодезические постоянные

Из-за своей важности для геодезии и других отраслей знания

многие параметры Нормальной Земли нулевого порядка и неко-

торые из параметров порядка сжатия (обычно J

и а) получили

название фундаментальных геодезических по-

стоянных. В их число также включают; угловую скорость

вращения Земли со, а в последнее время — скорость света в ваку-

уме с, геоцентрическую гравитационную постоянную для атмос-

феры

JMA

(СМ.

§ 36) и универсальную гравитационную постоян-

ную / (иначе называемую ньютонианской или кавендишевской)

[133]. Включение скорости света в число постоянных связано

с тем, что все современные точные методы линейных измерений

в космосе основаны на определении времени распространений

электромагнитных волн и поэтому любые формулы для расчета

расстояний включают в себя параметр с. Фактически принятое

значение скорости света в вакууме определяет в конечном счете

линейный масштаб глобальных и любых других достаточно про-

тяженных геодезических построений. Универсальная гравита-

ционная постоянная / необходима сама по себе независимо от

геоцентрической гравитационной постоянной при вычислении

влияния различных и прежде всего топографических масс на эле-

менты гравитационного поля Земли. Это прежде всего относится

к вычислению коэффициента, входящего в редукцию Буге»

к = 2я/б.

§ 36. НОРМАЛЬНАЯ АТМОСФЕРА И УЧЕТ ЕЕ ВЛИЯНИЯ

Нет необходимости фиксировать отдельно параметры атмос-

феры при обработке наблюдений ИСЗ и построении теории их дви-

жения в гравитационном поле Земли. Однако при обработке точ-

ных наблюдений (особенно силы тяжести) на ее поверхности

или в пределах атмосферы следует учитывать, что на них в зависи-

мости от высоты пункта измерений по-разному влияет притяжение

масс атмосферы. Поэтому дополнительно к параметрам Нормаль-

ной Земли на XV Генеральной Ассамблее Международного Гео-

дезического и Геофизического Союза в Москве в 1971 г. были реко-

Мекдобаны параметры Нормальной атмосферы [118].

Предполагается,

что

поверхности равных плотностей

Нормаль-

ной атмосфере совпадают

уровенными поверхностями нормаль-

ного потенциала силы тяжести. Практически влиянием эллиптич-

ности слоев атмосферы можно пренебречь

считать

их

сфериче-

сними. Выгодно предпола-

Фи3аческая поверх

гать,

что

нормальная атмо-

H0CWb

Земли

сфера занимает"

не

только

объем реальной атмосферы,

но

«пронизывает» топогра-

фические массы.

этом слу-

чае

на

измерении силы

тя-

жести

некоторой точке

отражается влияние располо-

женных ниже

ее

сферических

слоев атмосферы, которое

в соответствии

известными

формулами, теории потен-

циала равно

(рис. 43)

R+h

A*k

= -^ J

6АФ,

(VI.8)

где

R —

средний радиус Подерхности

Нормаль-

Земли,

он же

внутренний

нш атмосферы

дл

const

радиус самого нижнего слоя

атмосферы;

—

плотность

. Рис.*43

атмосферы

на

текущем рас-

стоянии

р от

центра масс Земли; г••—

R -\- h—

геоцентриче-

ский радиус-вектор точки

М.

При строгом решении краевых задач теории фигуры Земли

не

должно быть притягивающих масс

вне

физической поверхности

Земли. Поэтому влияние атмосферы должно быть исключено

из

наблюденных значений силы тяжести. Чтобы суммарная масса

Земли

и ее

атмосферы осталась неизменной, удаленную массу

Нормальной атмосферы после этого конденсируют

центре масс

Земли. Поправка

силу тяжести равна

щ fM

2 Щ ~

fM '

Учитывая

эту

поправку

и Ag'

найдем окончательную редук-

цию силы тяжести

за

атмосферу

=-^y-AgA. (VI.9)

Геоцентрическая гравитационная постоянная

для

атмосферй

включенав число фундаментальных геодезических постоянных.