Пеллинен Л.П. Высшая геодезия (Теоретическая геодезия)

Подождите немного. Документ загружается.

точности, призванных явиться каркасом

для

последующих передач

высот квазигеода

на все

базисные сети

в АГС. По

этим линиям

определялись астрономические пункты через

70—100 км,

вокруг

которых

радиусе "порядка

50 км

выполнялись

по

специальной

программе гравиметрические съемки сгущения сначала

помощью

упругих маятников,

затем

—

гравиметров.

зависимости

от

характера рельефа

сложности гравитационного поля съемки

сгущения выполнялись

различной детальностью

обеспечивали

возможность вычисления составляющих гравиметрических укло-

нений отвеса

со

средними квадратическими погрешностями

по-

рядка

0,4—0,5".

К концу пятидесятых годов

на

территории СССР получили

широкое развитие детальные гравиметрические съемки

целью

поиска полезных ископаемых.

Как уже

отмечалось

в § 20, эти

съемки обеспечивали точность вычисления уклонений отвеса

0,45", а во

многих районах выше0,3", благодаря чему оказалось

возможным

большинстве случаев создавать линии

АГН

доста-

точной точности чисто камеральным путем

на

основе астрономи-

ческих определений нормальной плотности через

100 км

(макси-

мум через

200 км) [92].

Проекты

АГН

составлялись таким

об-

разом, чтобы линии проходили

по

возможности через гравиметри-

чески хорошо изученные районы

чтобы дополнительные работы

сводились

определению ограниченного числа новых астропунк-

тов

и в

редких случаях

— к

проведению

небольшом радиусе

гравиметрических съемок сгущения.

Результаты последующих работ

по АГН

изложены

в 194].

С развитием работ

по

гравитационной геофизической разведке

камеральным путем были созданы многочисленные новые линии

АГН. Почти

все

полигоны нивелирования превратились

замк-

нутые

периметрами

от 1000 до 4000 км. При

проектировании

линий

АГН

добивались априорной погрешности нивелирования

на

1 км

хода

fx^ в 3 см на

"|/"s

Найденные значения

\I£ для

отдельных линий лежат

пределах

от 1,5 до 4,8 см на ]/s

Уравнивание превышений

полигонах

АГН

проводилось

по

тем

же

схемам,

что и

уравнивание полигонов геометрического

нивелирования. Превышению

по

стороне

приписывался

вес

Была проведена оценка точности высот квазигеоида

раз-

личных точках сети полигонов

АГН

относительно исходного

пункта Пулково

учетом

как

погрешностей собственно нивели-

рования,

так и

косвенного влияния погрешностей плановых

геодезических координат

(см.

главу

V). Для

большей части тер-

ритории СССР полученные погрешности

не

превышают

2 м и

лишь

в самых отдаленных районах

они

достигают

6 м, в

основном

из-за косвенного влияния погрешностей плановых координат.

Внутри каждого полигона АГН высоты квазигеоида £ интер-

полировали с использованием гравиметрических высот £, вы-

численных в радиусе 1000 или

2000

км, применяя формулу

+ (С-5™п. (IV.49)

Величины £> получали с помощью ЭВМ с использованием

средних аномалий Фая по трапециям (1 X 1°) в равнинных и (10 X

X 15') в горных районах. Погрешности, вносимые этими допол-

нительными вычислениями, не превышали 1,5 м. Таким образом,

в целом была достирунта высокая и однородная точность опреде-

ления высот квазигеоида, достаточная для редуцирования изме-

рений в астрономо-геодезической сети СССР.

ГЛАВА V

ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ И УРАВНИВАНИЕ

ОБШИРНЫХ АСТРОНОМО-ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ

§ 26. ОСОБЕННОСТИ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ

И УРАВНИВАНИЯ ОБШИРНЫХ АСТРОНОМО-

ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ

Вопросы теории математической обработки геодезических

измерений занимают значительное место в подготовке инженеров

астрономов-геодезистов [4], а также находят отражение в других

разделах курса высшей геодезии. Это избавляет нас от необхо-

димости излагать общие сведения, касающиеся вопросов уравни-

вания и оценки точности геодезических измерений, и позволяет

ограничиться рассмотрением специфических их особенностей,

которые проявляются при обработке обширных астрономо-гео-

дезических сетей масштаба нашей страны и целых континентов.

Прежде всего следует отметить, что обширные сети нельзя

трактовать лишь как «двухмерные» геодезические построения

на поверхности выбранного референц-эллипсоида, как обычно

поступают при анализе ограниченных по Площади сетей.

Чтобы наглядно показать это, рассмотрим простейшее геоде-

зическое построение в виде ряда по дуге большого круга (рис. 34).

Допустим, что в пределах первого звена ряда возникла радиаль-

ная погрешость ВВ' = Ah

в положении конечной точки этого

звена. Если все последующие звенья безошибочны и их вычисле-

ние выполнено со всей строгостью теории метода проектирования,

то за счет погрешности Ah

второе и последующие звенья ряда

переместятся параллельно самим себе в том же направлении, что

и конечная точка В первого звена. Только при этом условии

останутся неизменными длины и направления векторов, замыка-

ющих эти звенья. Легко видеть из рис. 34, что результатом этого

будут не только радиальные, но и плановые погрешности пунктов

ряда, причем в пункте Г, расположенном в 90° по дуге большого

круга от пункта В, следствием радиального сдвига Ah

окажется

лишь продольный сдвиг пункта

ТТ'. В рамках двухмерной теории

такие эффекты предсказать нельзя.

Спецификой больших астро-

номо-геодезических сетей является

также то, что при передаче ко-

ординат на большие расстояния

имеют существенное значение по-

грешности не только и не столько

угловых измерений, сколько ли-

нейных и азимутальных измере-

ний, причем эти погрешности не

поддаются упрощенному модели-

рованию на основании закона

Гаусса и данных о внутренней

сходимости измерений. Необходимо специальное исследование

различных источников погрешностей указанных измерений, без

чего путем, формального уравнивания по методу наименьших

квадратов в лучшем случае можно добиться удовлетворительной

сходимости передач координат и направлений по разным ходовым

линиям в сетях, но вряд ли будет получена реальная оценка их

точности. Наконец, имеются трудности и при уравнивании обшир-

ных астрономо-геодезических сетей, связанные с о^ень большим

числом пунктов в таких сетях.

В последующем изложении мы в основном коснемся вопросов

уравнивания полигопальных астрономо-геодезических построений.

На их примере легче всего могут быть показаны специфические

особенности оценки точности и уравнивания обширных сетей.

Кроме того, полигональный метод явился в нашей стране ос-

новным средством передачи координат на большие расстояния.

Сначала мы рассмотрим точность передачи координат по изоли-

рованному ряду триангуляции, что дает ориентировочную оценку

точности координат пунТГтов АГС до ее общего уравнивания.

Ради простоты и наглядности ограничимся расчетами точности

для вытянутого ряда, совпадающего с дугой большого круга.

Оценим как" «прямые» погрешности плановых координат в двух-

мерном приближении, так и косвенные эффекты, проявляющиеся

во влиянии погрешностей плановых координат на радиальные

и, наоборот, при условии использования метода проектирования.

В последующих параграфах главы будут рассмотрены методы

полигонального уравнивания астрономо-геодезических сетей и по-

лученные результаты для АГС СССР, обращено внимание на

трудности, возникающие при полигональном уравнивании, кратко

освещены возможности пространственного уравнивания геоде-

зических сетей и перспективы дальнейшего развития методов

общего уравнивания обширных сплошных астрономо-геодезиче-

ских сетей, каковой ныне становится астрономо-геодезическая

сеть СССР.

§ 27. ТОЧНОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ПЛАНОВЫХ КООРДИНАТ

ВДОЛЬ ВЫТЯНУТОГО РЯДА ТРИАНГУЛЯЦИИ

(БЕЗ УЧЕТА КОСВЕННЫХ ВЛИЯНИЙ)

Изложение в этом параграфе ведется в основном с использо-

ванием работ [87, 98, 102, 103].

Точность передачи координат в пределах одного звена.

Корреляция погрешностей соседних звеньев

Рассмотрим два типичных соседних звена триадгуляции 1 клас-

са в СССР, показанные на рис. 35. Будем полагать, что звенья

состоят из треугольников, близких по форме к равносторонним,

а на концах звеньев определены выходные или базисные стороны

и по два взаимных азимута Лапласа. Обычно выполняют совмест-

ное уравнивание таких азимутов (см. [46]) и далее при обработке

астрономо-гёодезической сети рассматривают в качестве измерен-

ных величин полученные уравненные значения азимутов Лапласа

по одному на стыке соседних звеньев. Погрешность передачи

координат по звену удобно вырдзить в виде двух взаимно перпен-

дикулярных составляющих — продольного сдвига р

вдоль замыкающей звена и поперечного сдвига q.

Запишем продольный и поперечный сдвиги звена ik в виде

Pik

Pbik-\-

Puiki

<lik

Qaik

Quik>

Pbik

— влияние погрешностей выходных (базисных) сторон

и b

на продольный сдвиг, равное

Рь*

т(%Г+%гУ.

— длина звена ik; q

ik — влияние погрешностей азимутов

Лапласа а

- и на поперечный сдвиг, равное

?а,* = ^(Да, + Да*); (V.3)

Puik

Qutk

— влияние погрешностей угловых измерений на про-

дольный и поперечный сдвиги после уравнивания звена за все

возникающие в нем условия.

В звене, составленном из равносторонних треугольников,

влияние р

uik

вызвано исключительно погрешностями связующих

(V.1)

углов (например

Aj и J3/, см. рис. 35), a

—

исключительно

погрешностями промежуточных углов (например

Су).

Таким

об-

разом,

целом продольный

поперечный сдвиги звена вызваны

независимыми погрешностями.

реальной триангуляции наблю-

дается некоторая корреляция продольных

поперечных сдвигов

Рис.

за счет погрешностей угловых измерений,

но

столь небольшая,

что

ею в

предварительных расчетах точности можно пренебречь.

Для звена

можно записать выражения продольных

попе-

речных сдвигов, аналогичные (V.1). Достаточно лишь заменить

в полученных формулах индексы

i и к

соответственно

на к и /.

Возьмем теперь произведение продольных сдвигов соседних звень-

ев.

Будем иметь

_ _ ЧкШ {Ab

PikPkl--4-{—)

члены, включающие произведения независимых погрешностей.

Таким

же

образом найдем

члены, включающие произведения независимых погрешностей.

Получим теперь ковариации (математические ожидания)

произведений

ptkPki

QikQki-

Учитывая,

что

математические ожи-

дания произведений независимых погрешностей равны нулю,

имеем

cov(g

/ftf

) = ^g-ml,

где

lb —

средняя квадратическая относительная погрешность

длины выходной стороны,

тп

—

средняя квадратическая погреш-

ность азимута Лапласа (точнее, погрешность среднего

из

непос-

редственно измеренных взаимных азимутов Лапласа

на

концах

звеньев).

Таким образом, обнаруживается корреляция продольных сдви-

гов соседних звеньев, вызванная погрешностями общих

для них

выходных сторон,

корреляция поперечных сдвигов соседних

(V.4)

звеньев, вызванная погрешностями общих

для них

азимутов

Лапласа.

Часто вместо ковариаций используют понятие коэффи-

циентов корреляции погрешностей соседних звеньев,

а именно:

c°v (Pik,

Pkl)

__cov(gik,

дм)

(V.5)

где

ът

—

полные средние квадратические соответственно

продольный

поперечный сдвиги звена.

Если обозначить через

среднее квадратическое влияние

погрешностей выходных сторон

на

продольный сдвиг, равное

согласно

(V.2)

тпь

(V.6)

где

s —

средняя длина звена, через

q(X

—

среднее квадратическое

влияние азимутов Лапласа

на

поперечный сдвиг, равное согласно

(V.3)

(V.7)

через

ри

и т

ди

—

соответствующие влияния погрешностей

уг-

ловых измерений,

то

будем иметь

2 2,2

7Пр

ТПри"Т

pb\

— Жди -f-

rtlqai

(V.8)

COV(p

/fe

) = —^

да

(V.9)

"да

2m\

(V.10)

Как видно, значения

всегда положительны

имеют

максимальные значения

+ 0,5 при ш

ри

тп

ди

= 0.

Продольный и поперечный сдвиги протяженного ряда

триангуляции. Продольная и поперечная

погрешности на 1 км ряда

Вычислим продольный и поперечный сдвиги ряда триангуля-

ции, проложенного (в сферическом приближении) по дуге боль-

шого круга и состоящего из п звеньев равной длины s (рис. 36).

i+1 1*2 п п+1

Рис. 36

Если пренебречь косвенными эффектами, связанными с методом

проектирования, то будем иметь:

продольный сдвиг

= ip,,

i (V-11)

4=1

поперечный сдвиг

Чтобы найти среднее квадратическое значение продольного

сдвига, возведем формулу (V.11) в квадрат

п п-1 п-2 '

..=

2 Pi, t+l + 2 2 Pi,

i+2

+ 2 2 P/V+iPt+2,/+3+• • •

i=l

i=l i=l

и перейдем к математическому ожиданию всех членов получен-

ного выражения. Поскольку возможна корреляция погрешностей

лишь соседних звеньев за счет общих выходных сторон (систе-

матическими эффектами разного рода мы пренебрегаем), то по-

лучим

nml+2(n

—

l)cov(p,,

l+1

1+1 м

)

откуда с учетом формулы (V.5) будем иметь

р=т* [л + 2(п—1)г

Совершенно аналогичную формулу (достаточно заменить ин-

декс р на q) получим для поперечного сдвига! При значительной

длине ряда можно пренебречь отличием п от (п — 1) и записать

m| =

«»(l'+2r,);-|

jnS =

i»Jn(l-h2r,).

106

Введем

для

удобства величины

»;

(i+2r,)

(V.13)

где

Ш \I

—

соответственно, продольный

поперечный сдвиги

на

1 км

ряда.

Учитывая,

что

длина ряда равна

= ws

получим

с до-

бавлением ранее выведенной формулы (IV.47) следующие

три

однотипные формулы

для

оценки «прямых» ошибок передачи

координат вдоль вытянутого ряда

(V.14)

По аналогии

с fx

и \I

величину

p,g

можно также называть

радиальным сдвигом

на 1 км

ряда.

Использование координатных, базисных

азимуталь-

ных невязок

полигонах триангуляции

класса

для оценки точности передачи плановых координат

Чтобы найти числовые значения рассмотренных выше

общем

виде характеристик точности рядов триангуляции

класса,

используют противоречия, выявляющиеся

астрономо-геодези-

ческих сетях из-за наличия избыточ-

ных измерений,

именно

—

координат-

ные,

базисные

азимутальные невязки

сети, полученные после уравнивания

звеньев

за

"условия фигур

полюсов.

Теория такого анализа разработана

А.

Сазоновым

[98], и мы

рассмотрим

некоторые наиболее простые

нагляд-

ные

его

результаты.

Исчерпывающий анализ точности

может быть проделан путем оценок

дисперсий (средних квадратов) коорди-

натных невязок

и их

ковариаций

раз-

личных сочетаниях полигонов, сходя-

щихся

одной узловой точке.

Для

наглядности ограничимся рас-

смотрением простейшего случая, когда полигоны имеют квадратную

форму,

образующие

их

звенья ориентированы

обычно приме-

няемой прямоугольной системе координат либо только

по

напра-

влению

оси X,

соответствующему направлению осевого меридиана,

либо в перпендикулярном направлении У. В соответствии с обозна-

чениями полигонов и звеньев на рис. 37 получим выражения

для координатных полигональных невязок

АХ

= р

— q

— р

+ q

;

AYi^gi

+ pa — ?з —

РА\

АХ

= р

— q

— р

+ g

; AY

= q

+ р

— q

— р

АХ

= р

1о

— q

— р

+ д

; АУ ш =

+ р

— g

— р

Отсюда дисперсии координатных невязок равны

= ml

= 2 (ml + m

). (V.15)

Вычисление различных ковариаций дает формулы

cov(AX

АХц) = соу(АУ

, АУ

) = — m£ +

2cov(^

cov (АУi, АУи) = cov (AX

, AX

) = — m\ + 2 cov (р

/Л

, p*,);

cov

(AAi,

AX in) = cov (АУ

АУ

) = — cov (p

, p

) —

— cov(q

, q

cov

(AXi,

) = cov(Ayi,

АХ

)==

—cov(p

, p

) +

cov(g

/ft

(V.16)

Практически значения дисперсий и ковариаций находят как

средние из достаточно большого числа произведений соответству)

ющих случайных величин (в данном случае координатных не-

вязок полигонов). Как видно, одних формул вида (V.16) доста-

точно, чтобы определить средние освадратическйе значения про-

дольных и поперечных сдвигов звеньев и их ковариаций между

соседними звеньями. Из расчетов, проведенных в предыдущих

разделах § 27, следует, что этого достаточно, чтобы получить

другие введенные нами характеристики точности.

Независимые достаточно уверенные оценки т

и ~ могут

быть получены из анализа азимутальных и базисных невязок.

Для звена ik (см. рис. 35) запишем их в виде

/л=(Аа

-Да

) + /г«;

ft==0

,43.10e(^-^L)

ift

(V.17)

Индексом и отмечено влияние погрешностей угловых измере-

ний в невязке. Запись базисной невязки соответствует ее пред-

ставлению в единицах шестого знака десятичных логарифмов.

Аналогичные формулы могут быть записаны для звена 1к путем

замены индекса i на индекс /. Если считать все величины в фор-

муле (V.17) случайными и независимыми, то, как нетрудно убе-

диться, математические ожидания произведений соответствующих

невязок соседних звеньев

(или

практически средние значения

из

большого числа таких произведений) равны

Таким образом,

мы

имеем

два

независимых пути определения

тЬ

величин

и — .

Приведем некоторые результаты анализа погрешностей астро-

номо-геодезической сети СССР, проведенного

А. 3.

Сазоновым

[98],

пользуясь

основном методикой, изложенной

в § 27.

Сред-

ние квадратические погрешности выходных сторон оказались

равными

1 : 325

ООО

из

оценки

по 1016

невязкам базисных усло-

вий

и 1 : 345

ООО

по

координатным невязкам

376 пар

полигонов,

сходящихся

в 188

узловых точках. Средние квадратические

погрешности азимутов Лапласа оказались равными

1,14" из

оценки

по 743

невязкам азимутальных условий

и 1,17" из

оценки

по

тем же, что и

выше,

376

парам полигонов. Погрешности линей-

ных

и в

особенности азимутальных измерений оказались большими

ожидавшихся

по

внутренней сходимости измерений (порядка

: 500

ООО

0,5"),

что

объясняется существованием некоторых

систематических погрешностей,

не

отражающихся

на

внутренней

сходимости (например,

при

определении азимутов Лапласа

—

погрешностей диаметров цапф астрономических универсалов).

Значения продольных

поперечных сдвигов звеньев, полу-

ченные

при

средней длине звена триангуляции

170 км в

пределах

значительной части астрономо-геодезической сети СССР, сведены

в табл.

6. В ней

приведены также оценки влияния погрешностей

угловых, линейных

азимутальных измерений

на

сдвиги

зна-

чения коэффициентов корреляции

и r

погрешностей соседних

звеньев.

fihflh

(V.18)

28.

ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ АСТРОНОМО-ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ

СЕТИ СССР

ПО

НЕВЯЗКАМ

ТРИАНГУЛЯЦИИ

КЛАССА

Таблица

Сдвиг

Харат?теристика

точности

звена

продольный

поперечный

Среднее квадратическое значение сдвига

±0,55

±0,96

Влияния погрешностей:

угловых измерений

выходных сторон

азимутов Лапласа

Коэффициенты корреляции погрешностей соседних

0,36

0,41

0,81

+0,35

0,52

+0,28

звеньев

)