Пеллинен Л.П. Высшая геодезия (Теоретическая геодезия)

Подождите немного. Документ загружается.

т.

е.

применяют косвенную интерполяцию аномалий

Фая

между

гравиметрическими пунктами через неполные топографические

аномалии.

При

вычислении-влияния зоны радиуса

48,6 км от-

дельно учитывают влияние аномалий

Ag" по

гравиметрическим

картам,

влияние рельефа, входящее

как в

основной член фор-

мулы

(IV.3),

так и в

обычно пренебрега-

емую поправку

(IV.5),

— по

топогра-

фическим

гипсометрическим картам.

Тот

же

порядок вычислений используют

при образовании средних аномалий

Фая

по трапециям

(5' X 7,5').

Априорная средняя квадратическая

погрешность определения составляющих

гравиметрических уклонений отвеса

по

данным равномерной гравиметрической

съемки (случай наиболее типичный)

мо-

жет быть получена

по

формуле

М.

С.

Молоденского

[69]

±0,15"m

, (IV.8)

где

—

средняя квадратическая погрешность используемых

аномалий

Фая Ag\

включая погрешности измерений силы тяже-

сти,

также редукций

при

получении

Ag ' в

гравиметрических

пунктах

ошибки интерполяции

между гравиметрическими

пунктами.

Если полагать,

что

влияние топографических масс

на

гравимет-

рические уклонения отвеса всегда можно учесть

любой необ-

ходимой точностью,

то

величина

будет равна полной ошибке

интерполяции неполных топографических аномалий

Ag",

входя-

щих

формулу (IV; 7).

Как уже

отмечалось

в § 16, для

большей

части территории СССР

мгал. Таким образом, имеем

т-

0,45".

Во

многих районах СССР

< 2

мгал

и,

значит,

<0,3". В то же

время

горах трудно достигнуть точности

определения составляющих гравиметрических уклонений отвеса

выше

1".

Как видно

из § 19,

астрономо-геодезические уклонения отвеса

в астропунктах определяются

более низкой точностью.

Это

поз-

воляет контролировать астрономо-геодезические уклонения

от-

веса, выявлять

исключать грубые промахи

астрономических

определениях.

результате интерполированные

по

формулам

(IV.6)

составляющие астрономо-геодезических уклонений отвеса

будут обычно определяться

со

средними квадратическими погреш-

ностями

не

более ±0,5—0,7",

что

достаточно

для

большинства

приложений уклонений отвеса.

В перспективе

развитием гиротеодолитных

других работ

может оказаться необходимым составление карт составляющих

уклонений отвеса.

этом случае желательно вообще избежать

вычислений вручную и, задавшись некоторой требуемой точ-

ностью карт, полностью автоматизировать процесс вычислений.

Погрешность вычисления составляющих гравиметрических укло-

нений отвеса по аномалиям Фая, осредненным в пределах трапе-

ций размером 5X5, км, будет близка к

= ±0,15"£

, (IV.9)

где E

— полная ошибка представительства аномалий Фая [77]

для трапеции размером (s X s), км.

Указанная точность будет характеризовать карту составля-

ющих уклонений отвеса, если интервалы между точками их вычис-

ления будут составлять также s, км. -

В равнинных районах СССР в среднем имеем в мгал E

0,2s

при s <30 км [69]. Таким образом,

т\

=±0

03Хм.

Для трапеций размером (5 X 7,5') имеем s 20 км и т- ^

^ 0,6".

§ 21. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТОПОГРАФИЧЕСКИХ ДАННЫХ

ДЛЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ АСТРОНОМО-

ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ УКЛОНЕНИЙ ОТВЕСА

В предыдущем разделе мы отмечали полезность раздельного

учета влияния аномалий силы тяжести в неполной топографиче-

ской редукции и влияния топографических масс на гравиметри-

ческие уклонения отвеса. Лишь в равнинных районах влияние

топографических масс имеет второстепенное значение по сравне-

нию с влиянием аномалий Буге. В холмистых районах оба эти

влияния сопоставимы, а в горах, даже сравнительно небольших

по высоте, влияние топографических масс на изменения уклоне-

ний отвеса является доминирующим.

В подобных условиях при составлении карт составляющих

уклонений отвеса решающее значение при определении размеров

трапеций, по которым осредняются аномалии Фая, имеют вариа-

ции редукции Буге kh. Эту редукцию в приближенных расчетах

можно положить равной в мгал 110/&

кМ

, а поэтому расчетную

формулу

(IV.

9) можно записать в виде

5>А

= ±16'£

, (IV.10)

где ^—ошибка представительства высот (в км) трапеций размером

(« X

Оценки величин

и E

по данным В. В. Мальковой для

района Альп приведены в табл. 4.

Как видно, в высокогорных участках погрешности определения

уклонений отвеса оказываются значительными уже при сторожах

трапеций порядка 1 км и более.

Таблица

Сторона

траьеиип

s, км

Всхолмленные участки

Высокогорные участки

км

0,25

0,50

0,040

0,058

0,084

0,113

0,126

0,135

0,136

0,6"

0,9

1,3

1.8

2,0

2,2

0,077

0,115

0,173

0,258

0,311

0,368

0,432

1,8

2,8

4,1

5,0

5,9

6,9

1,2"

Поскольку влияние топографических масс является главной

причиной изменения уклонений отвеса

горах, достаточно удовле-

творительный

для

таких трудных районов результат может быть

иногда получен, есЛи,

при

интерполировании составляющих

уклонений отвеса между астропунктами ограничиться лишь

учетом влияния

и r\

топографических масс

на эти

составля-

ющие

црименить вместо

(IV.

6) формулы

% —

(VT

—

Л)интерп-

I . "

Величины

^ и ^

лучше всего определять

по

формуле (IV.3)

для составляющих гравиметрических уклонений отвеса, если

ней

вместо аномалии

Фая Ag*

поставить редукцию Буге&й.

В соответствии

(IV.

8) возникающая из-за этого погрешность

будет равна ошибке интерполяции влияния неполных топогра-

фических аномалий

Ag" на

составляющие уклонения отвеса.

Исследования указанного влияния

ряде горных районов

(Крым, Кавказ, Альпы) показали,

что

точность интерполирования

с помощью формул (IV.11) ненамного грубее точности линейной

интерполяции уклонений отвеса

равнинных районах

(см.

оценки

Следует заметить,

что

влияние топографических масс доста-

точно учесть

радиусе

не

более

20ff

км, так как

учет влияния

более далеких

зон

почти всегда приводит

ухудшению согласия

астрономо-геодезических

топографических уклонений отвеса.

Такой результат связан

явлением изостазии, которое

было открыто

середине прошлого века

при

сопоставлении топо-

графических

астрономо-геодезических уклонений отвеса

Индии

по

мере приближения

Гималаям

Тибету

удаления

от Индийского океана. Расчеты английского геодезиста Пратта,

который учел притяжение избыточных масс

горах

на

севере

недостаток топографических масс

Индийском океане

на юге,

показали,

что

ожидаемое расхождение составляющей

g в

пункте

Калиана вблизи Гималаев

Дамаргида

центре Индии должно

§ 19).

было составить 21", в то время как по. фактическим наблюде-

ниям оно получилось равным 1,4". Пратт и независимо от него

английский астроном Эри объяснили полученный результат

наличием компенсирующего недостатка масс под Гималаями и

Тибетом и избытка масс под Индийским океаном.

Рис.

Теории обоих авторов' исходили из ^основного положения, что

отдельные части земной коры как бы плавают на подстилающей

их более пластичной массе, повинуясь законам гидростатики.

Геофизически более оправданной оказалась гипотеза Эри, который

полагал, что земная кора везде имеет одинаковую плотность,

меньшую, чем плотность подстилающего слоя. Под горами гра-

ница земной коры и подстилающего слоя располагается более

глубоко, т. е. горы как бы имеют «корни». В то же время под

океаном земная кора должна быть самая тонкая (рис. 27). В даль-

нейшем сейсмические данные подтвердили наличие «корней»

у большинства гор, а та^же и то, что под океанами земная кора

тоньше, чем под континентами.

В геодезии большее распространение получила физически

менее оправданная, но более удобная для вычислений гипотеза

Пратта, который полагал, что граница земной коры и подстила-

ющего слоя лежит на одной и той же глубине Т во всех точках

земной поверхности и совпадает с так называемой «поверхностью

изостазии» (рис. 28). Плотность б предполагается постоянной

в каждом вертикальном столбе земной коры, но в то же время

меняющейся при переходе от столба к столбу, так чтобы соблю-

далось условие:

«н (Т + Н) = б

(Т - Р) + 1,03Р = б

Г =

const,

(IV.12)

где Н — высота суши, б.

— плотность земной коры под сушей,

Р — глубина моря, 1,03 г/см

— плотность морской воды, бр —

плотность земной коры под морем, б

— плотность земной коры

под точкой, в которой Н = Р = 0 (см. рис. 28).

Условие

(IV.

12) соответствует принципу равенства масс во

всех вертикальных столбах равного сечения между физической

поверхностью Земли и поверхностью изостазии. При проведении

практических расчетов в США

Хейфорд (см. § 46 в главе VII)

полагал плотность земной коры выше уровня моря, постоянной

и равной б

.= 2,67 г/см

и записал условие изостатического

равновесия

(IV.

12) для суши в виде

8Г + 6

# =

(IV.13)

или

-8)Т = 8

Н.

Им была разработана круговая палетка для учета влияния

топографических и компенсирующих изостатических масс на

составляющие уклонений отвеса (детали этих предложений

можно найти в [46, 119]). Для введенных им кольцевых зон сна-

чала определяли влияние топографических масс, а затем путем

умножения на коэффициент F (всегда меньший единицы), завися-

щий от радиуса зоны и глубины поверхности компенсации, полу-

чали суммарный эффект топографических и компенсирующих

масс.

Оказалось, что для наиболее вероятных значений глубины

компенсации коэффициент F больше 0,8 для всех зон внутри ра-

диуса 27 км и меньше 0,2 для зон вне радиуса 162 км. Реальный

механизм изостатической компенсации таков, что она носит ре-

гиональный характер. Компенсируются как одно целое блоки

земной коры размером порядка 100 X 100 км, а не элементарные

вертикальные столбы. При переходе к гипотезам региональной

компенсации значения F увеличиваются в кольцевых зонах вне

радиуса 27 км, но по-прёжнему остаются малыми вне радиуса

162 км. Приближенно можно считать, что в пределах некоторого

радиуса (порядка 200 км) коэффициент F равен единице, а вне

его нулю. Этому соответствует учет влияния одних топографиче-

ских масс в указанном радиусе.

Топографо-изостатические редукции уклонений отвеса были

успешно применены при интерполировании уклонений отвеса

в Швейцарии [114]. Среднее квадратическое отклонение интер-

полирования составляющих уклонений на расстояние порядка

100 км получилась равной

1—1,5",

а да расстояние 160 км ±2",

что лучше, чем обеспечил в тех же.условиях метод передачи соста-

вляющих уклонений отвеса с помощью тригонометрического ниве-

лирования.

В заключение отметим, что учет влияния одних топографиче-

ских данных достаточен при вычислении уклонений отвеса, необ-

ходимых для обработки местных геодезических сетей в горах

(см.

§ И в гл. II). Если протяженность таких сетей не превышает

10—15 км, то погрешность из-за неучета влияния неполных топо-

графических аномалий силы тяжести на уклонения отвеса не пре-

высит 2—3". Напротив, влияние топографических масс должно

учитываться в горах даже в самых небольших высокоточных гео-

дезических построениях. Таким образом, требуемые при этом

уклонения отвеса мы можем получить, не имея не только астроно-

мических определений, что уже было показано в § 11, но и гра-

виметрической съемки.

22.

АСТРОНОМИЧЕСКОЕ НИВЕЛИРОВАНИЕ

Метод астрономического нивелирования позволяет путем инте-

грирования составляющей астрономо-геодезических уклонений

отвеса вдоль избранной трассы нивелирования определять при-

ращения высот квазигеоида вдоль этой трассы. Строгую диффе-

ренциальную формулу астрономического нивелирования можно

получить

из

формулы обобщенного астрономического нивелиро-

вания

(1.36) в § 3

главы

если представить приращение геодези-

ческой высоты

dH как

сумму приращений нормальной высоты

и высоты квазигеоида

dt,.

Будем иметь

= -

^rds^(dH

^dh).

Член

скобках представляет собой поправку

за

переход

от

приращения измеренной высоты

приращению нормальной

высоты, взятую

обратным знаком. Используя дифференциаль-

ную формулу

(II

1.19) для

приращения

нормальной высоты,

получим

= - Д- ds +

- -ф- dh.

V.14)

\т \т

Второй член правой части, являющийся поправкой

за

наклон

уровенных поверхностей нормального поля силы тяжести, выгод-

но

соответствии

формулами

(1.31) и

(III.3)

записать

A-dy

= JU>BdB.

Ут

При вычислении поправки

SB в

данном случае

достаточной

точностью используется измеренная высота

вместо геодезиче-

ской высоты

Н.

Учитывая,

что dB cos А,

приводим формулу (IV.14)

к виду

—!•(<>

- 65 cos A) ds

—£=3L

dh.

Ут

Но член

скобках

этой формуле есть

не что

иное,

как

соста-

вляющая

О'

уклонения отвеса вдоль трассы нивелирования

в физическом определении

(см.

формулу

1.34).

Поэтому окончательно имеем дифференциальную формулу астро-

номического нивелирования

= -

ds-J^Ldh. (IV.15)

Ут

достаточной точностью порядка

H/R

можно здесь

далее заме-

нить

dl на ds.

Последний член формулы

(IV.

15)

был уже

оценен

в § 15. Он

существенен лишь

горах,

но

невелик

по

сравнению

погрешно-

стями астрономического нивелирования,

так что им

обычно пре-

небрегают. Проинтегрировав

учетом этого формулу

(IV.

15),

имеем

для

линии между соседними астропунктами

А и В

Рис.

(IV.

16),

по

формуле трапеций

Св

-jr

1*'

SAB

, (iv.16)

АВ

где

ft'm —

среднее интегральное значение

О' по

линии А

В.

Зная астрономо-геодезические уклонения

отвеса лишь

астрономических пунктах,

мы

вынуждены применять линейное интерполирова-

ние составляющей

О'

между пунктами

А и В

(рис.

29) и

вычислять интеграл, входящий

ZB-IA

Р"

(IV.17)

Эту формулу приводят обычно

виду, удобному

для

вычисле-

ний, путем следующих замен:

•д*

= I

cos А +

г)

sin А;

COS

А = М АВ i? ДЯ;

sin Л = -/V cos

AL^R

cos 5

AL,

где

АВ--Вв —

ДА?

—

LA«

Выразив

АВ и AL в

минутах дуги, находим

1в -U = - ~2^г [(& +

Vb)

+ (Ц

Лв)

cos

)

Если выразить превышение квазиге

ида в

метрах,

то

множи-

тель Д/2р'р" будет равен

0,00449.

Чтобы наглядно представить

погрешность формул астрономического нивелирования

(IV.

17)

и (IV.18), запишем (IV.16)

ъиде

»А

»Ь

. ,/*A

»i

ЪА — 9^

AB + \

2р"

»АВ

.(IV.19)

Второй член является погрешностью

(IV.

17). Расчеты, выпол-

ненные

по 137

сторонам нивелирования длиной

от 20 до 160 км

в равнинных

всхолмленных районах, позволили получить

эмпирическую формулу

m(6fl)

0,17''lA

KMJ

(IV.20)

где

т (6£) —

средняя квадратическая погрешность превышения

квазигеоида

по

стороне длиной

s, т (8ф) —

среднее квадрата-

ческое значение члена

( ^ От).

Средняя квадратическая погрешность нивелирования

по

линии

длиной

равна

метрах

£н

т(6£)

Y±- =

Jii^Lld'V'wf^r. (IV,21)

Длят типичного

в АГС

СССР расстояния

s = 100 км

имеем

(6ф) =

±1,7",

Щ = ±5,2 м при L = 4000 км. Как

видно,

погрешности нивелирования оказываются слишком большими.

Существенный эффект дает сгущение астропунктов.

Так,

если

s = 36 км, то т

(&&)

= 1,0", = 1,9 м при L = 4000 км.

Линии астрономического нивелирования

указанной

даже

большей частотой астропунктов созданы во'многих странах Европы

странах Индостанского полуострова,

США,

Канаде, Австралии.

Однако да>^е такие трудоемкие построения оказываются слишком

грубыми

горных районах.

Результаты астрономического нивелирования могут быть

су-

щественно улучшены

без

постановки дополнительных астроно-

мических работ, если использовать

не

только наблюденные астро-

номо-геодезические уклонения отвеса,

но и

интерполированные

через топографические

или

топографо-изостатические уклонения

отвеса

(§ 21).

Классическим примером такой работы явилось

астрономическое нивелирование

Швейцарии

по

Сен-Готтард-

скому меридиану, проведенное

под

руководством Нитгаммера

[135]

обстоятельно описанное

Ф. Н.

Красовским

[46].

Еще болйё эффективный результат может быть получен

при

интерполировании астрономо-геодезических уклонений отвеса

помощью гравиметрических данных. Такое предложение было

впервые высказано

Ф. Н.

Красовским

в 1934 г. [46,

§841

получило

развитие

и.

строгое обоснование

исследованиях

М. С.

Моло-

денского

[62, 64]. Как

пример использования уклонений отвеса

интерполированных

помощью гравиметрических данных, можно

указать „работу

И.

Фдшер

и др. [116] по

вычислению превы-

шеяий квазигеоида

по

некоторым линиям астрономического

ни-

велирования

в США.

Использование интерполированных уклонений отвеса умень-

шает влияние нелинейности изменения уклонений отвеса,

но

в принципе

не

исключает

его

полностью. Требуется провести

значительный объем вычислений

точках, промежуточных между

астропунктами, чтобы добиться существенного ослабления этого

влияния.

этом отношении метод астрономо-гравиметрического

нивелирования, излагаемый

в § 23,

дает более радикальное

решение задачи.

23.

АСТРОНОМО-ГРАВИМЕТРИЧЕСКОЕ

НИВЕЛИРОВАНИЕ

Основная формула астрономо-гравиметрического

нивелирования

Метод астрономо-гравиметрического нивелирования

(АГН) был

предложен

М. С.

Молоденским

в 1937 г. [62].

Чтобы изложить

основные принципы этого метода, вернемся

формуле

(IV.

16).

Аналогичную формулу можно также записать

для

гравиметри-

ческих высот квазигеоида

£ и

составляющих уклонений отвеса

О,

при вычислении которых используется ограниченная область

интегрирования

2 (рис. 30).

1В-1А

--^Г

\Ъй8.

(IV.22)

АВ

Вычитая выражение (IV.22)

из

(IV.

16), получим

1в-и=Хв-и--£г]

(IV.23)

А В

Как

уже

отмечалось

в § 20,

посвященном использованию

гравиметрических данных

для

интерполирования астрономо-гео-

дезических уклонений отвеса, изменение

О' — О

можно считать

линейным, если радиус

области

будет

в 3—4

раза больше

радиуса области

о, в

пределах которой производится интерполи-

рование.

данном случае можно положить,

что р

должно быть

1,5—2

раза больше расстояния

. При

выполнении этого

условия можно записать

АВ

Тогда, подставив это в формулу (1V.23), будем иметь

£>В

—

£>А

SAB

(IV.24)

2р"

1 1

2р"

Это и есть основная формула астрономо-гравиметрическога

нивелирования. Последний член в ней, который можно вычислить

по одним гравиметрическим дан-

ным, получил название грави-

метрической поправки

в астрономическое нивелирование

(будем обозначать его A£s). Сравни-

вая уравнение (IV.24) с (IV.19),

убеждаемся, что эта поправка равна

°АВ

р"

Таким образом, с помощью гра-

виметрических данных мы учитываем

нелинейность в изменении астроно-

мо-геодезических уклонений отвеса

между соседними астропунктами.

Рис.

Применение бифокальных палеток

Каждый из членов, входящих в А^, в принципе можно вы-

числить отдельно, пользуясь формулами Стркса и Веиинг-Мей-

неса. Однако такое вычисление в прошлом при использовании

палеток для ручного счета оказалось нецелесообразным. Дело

в том, что влияние отдаленных от точек А ж В участков области

интегрирования в отдельности на

t>A

£в и s

(ОА+

)12р" много

больше, чем (суммарное их влияние на А£

. Поэтому более изящ-

ными и точными оказались способы непосредственного вычисления

гравиметрической поправки по гравиметрическим картам (или

также топографическим в случае применения метода косвенной

интерполяции аномалий Фая) с помощью бифокальных

(двухфокусных) палеток.

С достаточной точностью при нахождении Д£я можно поль-

зоваться формулами Стокса и Венинг-Мейнеса, записанными для

плоской отсчетной поверхности:

где а — угол между направлением линии АГН и радиусом-

вектором г элементарной площадки d2 относительно исследуемой

точки.