Пеллинен Л.П. Высшая геодезия (Теоретическая геодезия)

Подождите немного. Документ загружается.

Введем прямоугольную систему координат-

х, у с

началом

в средней точке

линии

АВ

(см. рис. 30). За

единицу длины при-

мем величину

IAB = s/2, а за

направление

оси х —

направление

стороны

АВ.

В принятой системе координат имеем:

при вычислении

£А и Од

dZ = l

dxdy;

2 = l*

'l = l*

[(*+l)

];

cos

= —-—;

при вычислении

[

и дв

= z%

[(^-i)

+ i/

];

x-i

cos

a = —

;

—.

В результате формула

для

поправки

Д£з

получает

вид

(IV.25)

Обозначив член

фигурной скобке через

Ads,

имеем компакт-

ную запись формулы (IV.24)

1в - U = - -jr (*'а + *в

-AOz). (IV.26)

Принятая запись гравиметрической поправки (IV.25) удобна

тем,

что

подынтегральная функция

не

зависит

от

расстояния

между астропунктами. Поэтому оказывается возможным лишь

однажды рассчитать путем численного интегрирования коэффи-

циенты палетки, которую накладывают

на

гравиметрическую

карту

при

вычислении

Дфц. При

практических вычислениях

пользуются набором палеток, полученных простым уменьшением

вычерченной

больших размерах исходной палетки, добидаясь,

чтобы всегда нашлась палетка,

на

которой

масштабе гравиметри-

ческой карты расстояние между фокусами совпадало

бы с

точ-

ностью

5% с

расстоянием между астропунктами

А и

В.

Рядом авторов предложены различные варианты бифокальных

палеток

(об

этом

см.,

например,

в [7]), из

которых получила

наибольшее распространение эллиптическая палетка

М. С. Мо-

лоденского.

С появлением электронно-вычислительных машин стали

не-

существенными трудности раздельного вычисления величин

£А>

£в,

ft А иФв,

входящих

гравиметрическую поправку

Д£

- При

заготовленной заранее информации о средних аномалиях Фая

по стандартным трапециям оказывается возможным рассчитать

с помощью ЭВМ с пренебрегаемыми погрешностями вычисления

влияние отдаленных участков области интегрирования на ука-

занные величины. Тем самым отпал главный мотив для применения

бифокальных палеток в вычисле-

ниях, вообще говоря, менее удобных,

чем круговые палетки.

Применение круговых

палеток (теория)

Как уже отмечалось в § 20, при

получении гравиметрических уклс£

нений отвеса организационно выгодно

вести вычисления в пределах «сколь-

зящей» области интегрирования 2

в виде круга постоянного радиуса Щ

Рис. 31

с центром в точке вычисления. То же

относится и к гравиметрическим высотам квазигеоида. Уже

давно делались попытки использовать найденные таким образом

величины £ и ф при астрономо-гравиметрическом нивелировании^

однако очень скоро убедились, что это приводит к систематическим

погрешностям вычислений.

Покажем, что они возникают при скользящей области интег-

рирования 2- Пусть (рис. 31) А и А' — достаточно близкие

точки по линии АГН, расстояние между которыми равно As 0.

Вокруг каждой из этих точек описаны "области постоянного ра-

диуса R%. При переходе из А в А' из прежней области интегри-

рования 2 исключается серповидный участок 2i»

но

прибавляется

той же формы и площади участок 2

- Таким образом, область

интегрирования в А' равна (2 — 2

+ 2г)-

Если бы область интегрирования в А и А' была одной и той

же,

то в пределе мы бы имели

*(2)=-р« lim k'^-kC)

»i

V>27>

Именно поэтому мы были вправе применить соотношение

(IV.22) при выводе основной формулы АГН. При «скользящей»

области интегрирования имеем

JL=

LIM

^№"Д1

Д1)-СА(Д)

Ит

'(2>-£

<2)

As-vo

* ' As-Vo

+ lim

EA'(2*)-^(SI)

(IV>28>

Ass-o

Д5

Выявился второй член, который

является источником сис-

тематических погрешностей

АГН при

пользовании круговыми

палетками.

Чтобы раскрыть

его

смысл, запишем, пользуясь формулой

Стокса,

+Я/2

-Я/2

tfo-A\|)j

Здесь

под а

понимаем угол, отсчитанный

по

часовой стрелке

от направления линии нивелирования. Из-за узости серповидного

участка

2г

можно

во

всех

его

точках принять

(я|))

sin

г|)

= S

(г|)

)

sin %

и считать,

что

аномалии

Ag'

равны

их

значениям

на

границе

области

2» т. е. что они

являются функциями 1|>

и а.

Тогда будем

иметь

da.

+Я/2

Г "]

^'(^^^^(^sin^o

j Ag>(%, a) j <ty

-Я/2

MJQ-A^J

Из

рис. 31

вытекает,

что

—Aip

)

= i?

i|>

+ As

—

2i?i|)

As cos a

Пренебрегая величинами порядка R

Atyl

и As

получим

Ai|)

-ft-

2»

откуда

+Я/2

д'

(2*) = -4— S Ы sin

i|>

As J Ag» (ф

, a) cos a da.

(IV.29)

-Я/2

Аналогичным образом находим

для

участка

da;

J ' I

'о

(г|)

Дг^)

г|5

+ As

- 2R% As cos a

ЗЯ/2

Г-фо+Ляр!

Я/2

ijj

Aih

Б—

cos а

;

ЗЯ/2

L'(2

)

5(ijj

)sini|

Ag'(i|>

a) cos a da.

(IV.30)

Я/2

Подставляя выражения (IV.29) и (IV.30) в (IV.28) и учитывая

(IV.27),

найдем

-§—7-+ W<*'

a)cosada

(IV

31)

Такова строгая формула, дающая связь d£/ds и О в случае

«скользящей» области 2» однако для практических расчетов она

неудобна. О. М. Остач 181] поставил и решил обратную задачу:

он нашел такую функцию Д£ аномалий силы тяжести, которой

при скользящей области интегрирования соответствовало бы

соотношение

dAl _ Ъ

(IVe

ds р"

Функция Д£ имеет вид

2Я

<р

Ag'

[S (ф) - S (%)] sin ф cty da.

V.33)

Чтобы убедиться в этом, представим по аналогии с (IV.28)

lim

+ Цт

*k<*>

(IV<34)

As-* 0 "

As-*0

и далее проведем те же рассуждения, что и при выводе формулы

(IV.31).

При этом достаточно всюду функцию Стокса S (гр) заме-

нить функцией [S (i|>) — S (гро)]. Поскольку

dty dty

то первый член в (IV.34) равен —

07р".

Второй же член равен

нулю,

так как функция [S (яр) — S {%)] тождественно равна

нулю на границе области 2-

Таким образом, подтверждается формула (IV.32), исходя из

которой О. М. Остачем предложен метод астрономо-гравиметри-

ческого нивелирования с использованием круговых палеток.

Из (IV.32) вытекает, что

ДГв - AU = - уг §®ds. (IV.35)

АВ

Вычитая (IV.35) из

(IV.

16) и далее проводя те же преобра-

зования, что и при выводе формулы (IV.24), получим формулу

1в - 1А = АЁв - ЧА - ^0- ФА - Ъ

+ Ъ'

- *в), (IV.36)

которую

для

практических расчетов лучше представить

виде

- [(А5А

АЬ)АЯ+(ДлА

Алв)А^созД

Ь (IV.37)

где

= ?-f; .

Ац=ц—

г].

Рассматриваемый метод астрономо-гравиметрического нивели-

рования стал основным

СССР сразу после

его

появления.

Он

обеспечивает точность

не

ниже получаемой методами

примене-

нием бифокальных палеток,

но

обладает

по

сравнению

нийи

рядом бесспорных достоинств. Важнейшим

из них

является

то,

что

для АГН

достаточно

тех

вычислений, которые проводятся

с целью определения гравиметрических уклонений отвеса

высот

квазигеоида

для

других целей, причем заранее даже

не

нужно

определять, каковы будут стороны

АГН — это

может быть сде-

лано

уже

после анализа вычислений высот квазигеоида

укло-

нений отвеса.

Техника астрономо-гравиметрического нивелирования

При астрономо-гравиметрическом нивелировании

СССР

ра-

диус Ryp

принят БЯВНЫМ

305,4 км.

Порядок вычисления величин

и г] был

нами

уже

рассмотрен

в § 20.

Величины

Д£

получают

для кольцевой Зоны между радиусами

48,6 и 305,4 км с

помощью

ЭВМ

использованием

тех же

средних аномалий

Фая по

трапе-

циям

(5' X 7,5'), что и при

нахождении уклонений отвеса.

пре-

делах радиуса

48,6 км для

вычислений используются

те же

ано-

малии

Ag" и

высоты

снятые

карт

помощью круговых

па-

леток

В. Ф.

Еремеева,

что и при

получении

g и т].

Рабочая формула

для

учета влияния зоны радиусом

48,6 км

на

Д£

имеет

вид

£i£-ft2ASi*f/.

(

где

\хц —

средняя аномалия

Ag" или

средняя высота

h для от-

деления палетки

зависимости

от

того, влияние какого члена

формулы (IV.7) вычисляется,

к —

коэффициент, равный единице

при вычислении

по

карте аномалий силы тяжести

коэффициенту

редукции Буге

при

вычислении

по

топографическим

или

гипсо-

метрическим картам,

—

число отделений

в i-й

кольцевой зоне

палетки

(или

число точек

на

окружности заданного радиуса

при

интегрировании

по

формуле Гаусса),

/ —

номер отделения

зоне

(точки

на

окружности

при

интегрировании

по

формуле Гаусса),

которому соответствует азимут направления на центр отделения

(или на соответствующую точку), равный

— коэффициент, зависящий от номера зоны и от выбранного

радиуса Щ

Рис.

Образец палетки Еремеева для зон в пределах 48^6 км приве-

ден на рис. 32. Внутри круга с наименьшим радиусом иногда

выделяют дополнительные кольцевые зоны с таким же числом

отделений в зоне {n

= 16), как и в зонах, указанных на рис. 32.

Число зон зависит от масштаба используемой карты и сложности

поля аномалий или рельефа. Влияние центральной зоны учиты-

вают по величинам \хц на двух окружностях в пределах этой зоны

(по 8 точек на каждой окружности). В табл. 5 приведены значе-

ния D

для случая наиболее сложного поля аномалий и высот,

соответствующие R% =

305,4

км [76]. Приведены также

Таблица

Индексы

зон

Радиусы,

км

Ю-

м/мгал

0,001"/мгал

Вычисления

по

точкам:

Вычисления

по

отделени-

ям:

III

0,140

0,326

0,511

0,748

1,094

1,599

2,338

3,419

5,000

7,3

10,7

15,7

22,8

33,3

48,5

,16

44*

885

26,32

29,98

значения

С\,

которые используются при вычислении влияния топо-

графических масс

или

аномалий силы тяжести

на

составляющие

уклонения отвеса

по

формуле

sin (X;

(IV.39)

24.

ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ АСТРОНОМО-

ГРАВИМЕТРИЧЕСКОГО НИВЕЛИРОВАНИЯ

Рассмотрим точность передачи превышений квазигеоида

ме-

тодом астрономо-гравиметрического нивелирования

по

сторонам

некоторого полигона

вершинами

1, 2, 3, . . ., п + 1- В

расчетах

будем исходить

из

формулы (IV.37),

для

стороны

— 1,

£). За-

пишем

^-АЬ = —

cos

Л/,

А£л

AL cos B,

•

AT|*-I

I-I,

sin A

i-i. /Атц-и

RAL

™*»

= - ,

, sin 4

le ы

Таким образом, формула (IV.37) принимает

вид

(ДЕ1-1

cos

^4,_1,/

Arj/.i

sin A^

lt {

—Ag, cos A

—

Ay\

sin A

i% M

(IV.40)

Обозначим погрешности: через

6£j_

lt/

превышения

—

чер ез

£u i

и 6 —

в е личин

чер ез б g

/бт],

, б g,, и

г],

—

разностей составляющих астрономо-геодезических

гра-

виметрических уклонений^ отвеса

Agji,

[АП/.ц

иДт],.

Из

формулы (IV.40) получим

= С

—

elw —^g^- cos

i4|.

, +

бг],.!

sin

Nl>

—

coSil/

/-1

— sin A

,.!>. (IV.41)

Рассмотрим сначала случай замкнутого полигона

АГН (рис. 33).

Запишем последовательно соотношения (IV.41)

для

каждой

из

сторон

(1, 2), (2, 3), . . ., (i — 1, i), . . ., (п, п+ 1),

затем

их

просуммируем

приведем подобные члены,

и,

учитывая,

что

в данном случае совпадают индексы

0 и п, а

также

1 и п+ ^по-

лучим

Ч=

—

i"2^ '+1

C0S

008

/-i) —

2 "0" '+

1 sin

<«<

~ Ъ-

flin A

(IV.42)

Как видно,

на

невязку замкнутого полигона совершенно

не влияют погрешности величин

Д£.

Примем,

что все

погрешности

и 6г|

случайны

независимы

и что их

средние квадратические

значения одинаковы

равны

т#.

Тогда, если возвести

обе

части

уравнения (IV.42)

квадрат

перейти

математическим ожида-

ниям полученных величин,

при

сделанных допущениях будем

иметь

™\

= ™

(Dj)

= ^р~2

(*},

1+1

«1-1.

Л.

1+1

cos

(IV.43)

Принято

во

внимание,

что

косинус угла

между сторонами

(£,

* — 1) и (i, i+ 1)

равен

cos = cos

(А

и 1+1

— А и

i-i)

C0S

lt м

cos A

iy м

sini4,,

sin-4/,

заказ

830 • 97

по формуле (IV.43) получим оценку ожидаемой невязки полигона

АГН. Величина

т$

может быть либо задана априори,

как это

показано

в § 20,

либо оценена

по

колебаниям

Ag и Лг)

между

соседними астропунктами. Например, удовлетворительный"

ре-

зультат получается, если применить формулу оценки

по

двой-

ным измерениям

ко

вторичным

разностям

Ag и Аг\ [92]

[(А^-А^-1)2

(Ал£-Ал^-1)

]

(IV.44)

В приближенных расчетах

можно принять

все

стороны

АГН

одинаковыми

равными

Тогда

из

(1V.43)

получим

rn^sL

2р'

-(1-cosp),

(IV.45)

длина полигона,

cosP

-^2

cos

P/-

t-1

Рассмотрим несколько частных случаев.

а) Полигон

из

трех сторон

виде равностороннего треуголь-

ника. Имеем

Р,

60°,

4р"

б) Полигон

из

четырех сторон

виде квадрата

или

ромба.

Имеем

m^sL

cos

= 0, т|

2р"'

в) Полигон, образованный несколькими вытянутыми линиями,

в каждой

из

которых значительное число сторон

(см. рис. 33).

В этом случае

для

большинства астропунктов имеем

Р, 180°.

В пределе можно полагать,

что cos р =

—1,

тогда

m^sL

(IV.46)

Как видно, в полигонах с небольшим числом сторон наблю-

дается своеобразвая компенсация погрешностей нивелирования.

Без учета этого обстоятельства данные оценки точности АГН

по неболыпим-полигопам могут дать несколько улучшенное пред-

ставление о реальной точности передачи высот квазигеоида на

большие расстояния.

При достаточно большом L формулу (IV.46) приближенно

применяют и к вытянутому разомкнутому полигону. В возмож-

ности этого можно убедиться, если провести все преобразования,

исходя из формулы (IV.41). При этом погрешностями 6£

и 6£„

которые войдут в расчетную формулу и обычно составляют доли

метра, пренебрегают*.

Если выразить величины 5 и L в км, то, исходя из

{IV.46),

удобно записать

Щ=р

УЪ^ш (IV.47)

где — погрешность астрономо-гравиметрического нивелирова-

ния на 1 км хода.

Если выразить величину \I£ в см, то будем иметь

= -^г- т V*^*

(IV.

48)

В астрономо-геодезической сети СССР в среднем т$ = 0,6",

100 км, т. е.

(X;

= 3

CM/J/S

При такой точности требо-

вание = 3 м может быть удовлетворено даже при L =

10 ООО км. Более подробно о точности астрономо-гравиметри-

ческого нивелирования в СССР говорится в следующем параграфе,

§ 25. АСТРОНОМО-ГРАВИМЕТРИЧЕСКОЕ

НИВЕЛИРОВАНИЕ В СССР

Работы по астрономо-гравиметрическому нивелированию на

территории СССР были начаты в тридцатые годы, т. е. сразу

после того, как этот метод был предложен М. С. Молоденским

[71].

Полученные методом АГН высоты квазигеоида с исполь-

зованием общей маятниковой гравиметрической съемки СССР

[64] были применены при определении наиболее подходящих;

исходных геодезических дат для эллипсоида Красовского (см,

главу VII), а затем для редуцирования измерений в астрономо-

геодезической сети СССР при ее общем уравнивании (см. главу V),

Работы по астрономо-гравиметрическому нивелированию по-

лучили новое развитие после Великой Отечественной войны.

М. С. Молоденский [67] доказал необходимость повышения его

точности для удовлетворения требовании к высотам квазигеоида

над эллипсоидом Красовского, которые должны быть известны

со средней квадратической погрешностью не более ±3 м. По его

предложению началась прокладка ряда линий АГН повышенной