Пеллинен Л.П. Высшая геодезия (Теоретическая геодезия)

Подождите немного. Документ загружается.

вычислениях были использованы материалы общей гравиметриче-

ской маятниковой съемки СССР и работы советских астрономов

по определению точных положений звезд и изучению движения

полюса, а также результаты деятельности служб времени.

Строгое применение метода проектирования сделало метод

уравнивания, предложенный Красовским, более безупречным

в отношении искажений, вносимых приведением измерений к по-

верхности референц-эллипсоида, чем метод Гельмерта. Успешное

проведение второго уравнивания в сравнительно короткие сроки

было обеспечено многими предложениями крупного советского

геодезиста Д. А. Ларина, известного своими работами в области

уравнительных вычислений и непосредственно руководившего

работами по второму уравниванию АГС СССР. Им были предло-

жены весьма удобные схемы и методы вычислений, главным обра-

зом основанные на использовании величин, редуцированных

на плоскость в проекции Гаусса — Крюгера. В частности, после

перехода на плоскость сильно упростилось составление условных

уравнений координат (некоторые детали этих предложений см.

в [28]).

Будучи обеспокоенным возможными деформациями астрономо-

гёодезической сети из-за существенных погрешностей азимутов

Лапласа, Красовский внес некоторые изменения в порядок вычис-

лений по своему методу по сравнению с первым общим уравнива-

нием АГС СССР [45]. При уравнивании звеньев на первом этапе

по его предложению не использовали азимутальное условие.

Были введены перед полигональным уравниванием два дополни-

тельных этапа вычислений. В первом из них совместно^ решались

все азимутальные условия, вычисленные с использованием пред-

варительно уравненных углов в первом этапе, и определялись

поправки в астрономические азимуты и долготы. Тем самым Кра-

совский надеялся сгладить влияние искажений, вносимых астро-

номическими определениями а и Я. После этого вторично уравни-

вались звенья триангуляции с использованием теперь кроме

условий фигур, полюсных и базисных, уточненных азимутальных

условий, и лишь затем переходили к полигональному уравнива-

нию.

Опыт уравнивания показал, что надежды Ф. Н. Красов-

ского на заметное ослабление таким образом азимутальных по-

грешностей не оправдались, но в то же время возникли обоснован-

ные опасения, что принятая процедура уравнивания уменьшит

эффективность азимутов Лапласа при локализации погрешностей

угловых измерений в пределах отдельных звеньев.

Последующие работы по полигональному уравниванию

в СССР

Исследования по полигональному методу уравнивания про-

должались в СССР и после завершения второго общего уравнива-

ния астрономо-гёодезической сети на его территории. Главное

внимание было обращено на вопросы использования азимутов

Лапласа. Обстоятельные сведения об этом содержатся в моногра-

фии С. Г. Судакова [101], которую мы использовали в последу-

ющем изложении.

Еще в ходе второго общего уравнивания АГС СССР высказы-

вались мнения о нецелесообразности вычислять поправки в ази-

муты Лапласа та же, как их не вводят в базисные измерения.

В дальнейшем Б. Н. Рабинович [97] после убедительных модель-

ных расчетов показал, что введение поправок в азимуты Лапласа

не повышает точности передачи координат в полигональной астро-

номо-гёодезической сети и лишь усложняет процедуру ее обра-

ботки.

* Обнаруженное существенное влияние погрешностей азимутов

Лапласа на передачу координат в АГС (см. § 28) привело к ожи-

влению дискуссии о введении поправок в азимутальные определе-

ния, в ходе которой высказывались два предложения:

— о сглаживании погрешностей азимутов Лапласа путем ис-

пользования азимутальных передач по треугольникам геодезиче-

ской сети от соседних пунктов Лапласа;

— о специальном уравнивании азимутов Лапласа с включе-

нием в решение их значений, определенных в сплошной сети три-

ангуляции 2 класса, число которых намного превышает число

азимутальных определений в первоклассных звеньях.

Второе предложение подобно идее Красовского о подыскании

поправок к азимутам Лапласа путем специальной их обработки,

однако оно отличается тем, что, во-первых, предполагается ис-

пользовать дополнительную информацию, не содержа-

щуюся в полигонах 1 класса, а, во-вторых, процедуру улучшения

азимутов Лапласа предлагается проводить до уравнивания поли-

гонов без включения азимутальных условий в совместное решение

с координатными условиями.

Благодаря работам в основйом Д. А. Ларина и А. 3. Сазонова

сложилась следующая трактовка трех этапов полигонального

уравнивания.

Определение длины и азимута (дирекционного угла) замы-

кающей звена из обработки имеющихся в нем измерений — роль

угловых измерений в этом случае сводится к передаче масштаба

и ориентировки с измеренных выходных или базисных сторон

и азимутов на замыкающую.

2. Уравнивание полигонов, которые рассматриваются как

построения, состоящие из замыкающих звеньев с известными

длинами сторон и азимутами. В уравнивании используются

лишь координатные условия. В общем случае элементы соседних

замыкающих можно рассматривать как зависимые случай-

ные величины и применять в решении обобщенный метод наимень-

ших квадратов (см. далее). Результатом этапа 2 являются поправ-

ки в предварительные координаты узлов полигонов.

3. Вставка звеньев между узлами полигонов.

Все вычисления рекомендовалось проводить в прямоугольной

системе координат в проекции Гаусса — Крюгера.

По предложению Д. А. Ларина [51] полигональные условия

записываются в простейшем виде:

2»z + /x = 0

2*г + /г = 0, <V.31)

где v

, v

— поправки приращений координат по звеньям, f

и /у — координатные невязки полигона.

При использовании записи (V.31) условные уравнения распа-

даются на две системы, различающиеся только свободными чле-

нами. Приходим к выражениям, имеющим внешнее сходство с урав-

нениями в методе Боуи, однако в (V.31) простота записи достиг-

нута благодаря переходу к прямоугольной системе координат и ис-

пользованию выгод принятой схемы построения АГС, а не путем

слабо мотивированных упрощений.

Экспериментальные вычисления показали, что результат полу-

чается достаточно удовлетворительным, если v

и v

рассматри-

вать как поправки «измеренных» величин и уравнивание полиго-

нов вести под условием

2 РхЛ + 2

PYVY

= min,

а если учесть, что практически в АГС СССР колебания весов

звеньев невелики, то под условием

2^+2*4

^rain.

А. 3. Сазоновым было показано*, что при учете корреляции

погрешностей соседних звеньев с использованием результатов

статистических исследований погрешностей АГС, описанных

в § 28, погрешности уравненных величин уменьшаются на 17%

по сравнению с обычным уравниванием.

Чтобы пояснить смысл уравнивания по обобщенному методу

наименьших квадратов, запишем условие минимума при классиче-

ском решении в матричном виде [53] '

FTPF

= min, (V.32)

где V — вектор поправок п измерений, представляющий собой

в матричной записи столбец вида

Транспонированная матрица F

представляет собой строку

той же длины, Р — весовая диагональная матрица вида

Р =

~Pi

Ра

- . Pn

каждый член которой равен

Ц.2

где m

— средняя квадратическая погрешность измеренного эле-

мента, а ц, — погрешность единицы веса.

Учитывая, что матрица весов диагональна, можно записать

(V.33)

где Q — корреляционная матрица погрешностей, имеющая в дан-

ном случае вид

7711

В общем случае с помощью матрицы Q возможно учесть не

только средние квадратические погрешности уравниваемых эле-

ментов, но и их зависимости

9ii 9i2

921 922

ЧппЛ

L?nl

?п2 • •

где

Qik

= Чы =

mim

iky

— коэффициент корреляции погрешности измерений эле-

ментов i и к/

Используя (V.33), возможно записать условие минимума

(V.32) как

VTQ-W

= шт.

(V.34)

123

Эта запись имеет один

и тот же вид для

случая уравнивания

по обычному

и по

обобщенному методам наименьших квадратов.

С учетом внесенных изменений полигональным методом была

обработана часть астрономо-геодезической сети СССР,

которую

вошло

277

полигонов.

частности, была составлена

обращена

соответствующая матрица нормальных уравнений,

что в

дальней-

шем позволило оценить взаимное положение любой пары пунктов

в уравненной сети.

По

результатам оценки взаимное положение

пунктов, удаленных друг

от

друга

на 4000—5000 км,

определяется

после уравнивания

со

средней квадратической погрешностью

2,0—2,5

м в

каждой

из

координат,

что

соответствует точности

определения расстояний между этими пунктами

1 : 2 000 000

и азимута

0,1" [98J.

Реальные погрешности сети будут несколько большими из-за

систематических погрешностей, которые слабо отражаются

на

каких-либо невязках

сети. Выполненные

ЦНИИГАиК исследо-

вания

(см. [33])

показали,

что

подобные погрешности возникают

в сети

по

ряду причин:

— систематическое укорочение длины платинитового жезла

во ВНИИМ (Ленинград), обнаруженное

Б. А.

Лариным;

сис-

теме этого жезла проведены

все

измерения

в АГС

СССР

инвар-

ными проволоками;

— погрешности долготы ряда основных долготных пунктов

СССР;

— влияние погрешностей положений звезд

применяющихся

различных каталогах

принятых положений полюса;

— влияние погрешностей высот квазигеоида, применявшихся

при втором общем уравнивании

АГС;

— влияние систематических погрешностей базисных

астро-

номических измерений.

По имеющимся оценкам

эти

погрешности, большинство

из ко-

торых может быть исключено

из

результатов измерений, увеличи-

вают относительную погрешность передачи координат

на

большие

расстояния

до

величины порядка

1 : 1 000 000.

Однако после

их

исключения

надлежащей обработки

АГС

средние квадратические

погрешности передачи координат

на

самые большие расстояния

АГС

СССР

не

превысят,

по

оценкам

А. 3.

Сазонова,

4 м.

Таким

образом, астрономо-геодезическая сеть СССР, создававшаяся

в те-

чение почти полувека, является весьма надежным ностроением,

обеспечивающим решение задач картографирования нашей страны

и научных задач геодезии.

32.

УРАВНИВАНИЕ АСТРОНОМО-ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ СЕТИ

В ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КООРДИНАТАХ

§ 11 мы уже

отмечали трудности, которые могут возник-

нуть

при

вычислении обширных астрономо-геодезических сетей

из-за косвенных влияний, связанных

применением метода

про-

ектирования. Логическим выходом из затруднений представ-

ляется уравнивание АГС как пространственного построения

с определением из одного решения поправок к плановым координа-

там и к высотам квазигеоида. Исходя из формул М. С. Молоден-

ского для поправок за развертывание (§ 10), В. Ф. Еремеевым

иМ. И. Юркиной [23J и Я. Г. Муралевым [75] были разработаны

методы совместного уравнивания плановых сетей и астрономо-

гравиметрического нивелирования в системе эллипсоидальных

координат. Однако из-за криволинейности этой системы выяви-

лись некоторые трудности вычислений. Более удобным оказа-

лось вести вычисления в экваториальной прямоугольной системе

координат X, У, Z, к которой мы уже неоднократно обращались

в предыдущих разделах курса. Основное преимущество этой сис-

темы состоит в том, что при заданном направлении ее осей прира-

щения координат в пределах каждого звена независимы от выбора

исходного пункта сети, в котором вообще нет необходимости на

стадии уравнивания АГС. Исходный пункт может быть определен

уже после уравнивания, для чего должны быть заданы его

координаты (Х

, У

, Z

). Положения других пунктов тогда будут

получены путем простого суммирования приращений координат,

найденных из уравнивания, и прибавления полученных сумм

к соответствующим координатам исходного пункта.

Наиболее просто реализуется в пространственной системе

координат полигональный метод уравнивания, который будет

являться обобщением «двухмерного» метода, рассмотренного

в §§ 30 и 31 [88]. Как и раньше, будем иметь три основных этапа

уравнивания, которые могут быть сформулированы следующим

образом:

1) определение элементов пространственных векторов, замы-

кающих звенья по результатам плановых геодезических построе-

ний, а также астрономо-гравиметрического и геометрического

нивелирования вдоль звеньев;

2) уравнивание замкнутых векторных полигонов, образован-

ных замыкающими звеньев. Определение положений узлов поли-

гонов в единой пространственной системе координат;

3) вставка местных геодезических построений и отрезков линий

астрономо-гравиметрического нивелирования между узлами по-

лигонов.

Рассмотрим особенности каждого этапа.

На первом этапе проводят раздельно обработку и уравнива-

ние планового построения и астрономо-гравиметрического ниве-

лирования в пределах каждого звена. При этом в каждом звене

в принципе может быть использован свой референц-эллипсоид

и выбран свой исходный пункт. Однако обязательным условием,

которое реализует параллельность осей референцных систем

координат X, У, Z во всех звеньях, будет обработка всех астро-

номических наблюдений в АГС в единой системе астроно-

мических координат.

Приращения прямоугольных координат между концами звена

ik будут выражены следующими формулами, вытекающими из

(1.5) в § 2:

A A

= (N

) cos В

cos L

—

— (N

+ H

) cos Вi cos Li,

i7V

+ H

) cos sin Z

—

— (Ni + Я,) cos B

sin

L^;

AZ,

= (N

+ H

e*)

sin B

-(Ni +

Ht-N^sinBi.

(V.35)

На втором этапе решают условные полигональные уравнения,

которые в векторной форме имеют вид

2 о.

(V.36)

— - —»-

где /а — вектор неза'мыкания полигона,

— поправка вектора

замыкающей £-го звена в ft-м полигоне.

Спроектировав уравнения (V.36) на оси X, Y и Z, получим

%dX

+ f

= 0;

(V.37)

Так как погрешности поправок

ikJ

зависимы

друг от друга, то полученные нами полигональные условные

уравнения следует решать совместно, используя обобщенный

метод наименьших квадратов (§ 31). Для того чтобы определить

корреляционную матрицу Q неизвестных, выражают их погреш-

ности как функции продольного р, поперечного q и радиального

8£ сдвигов звеньев, статистические характеристики которых

для АГС

CCCl?

известны (см. § 27). Напомним, что величины р, q

и 6? представляют собой составляющие полной погрешности пере-

дачи координат As в звене, выраженные в горизонтальной системе

координат (р, g, h) для средней точки звена (§ 29). Нам же необ-

—>•

ходимы составляющие As в экваториальной системе. Пользуясь

формулами преобразований в § 2, можно эти погрешности запи-

сать для i-го звена в виде

-6Х,

Ml =ДЭ,Г; Pi ,

(V.38)

гдеД

&|Г

—матрица поворота от горизонтальной системы коор-

динат к экваториальной.

Эту матрицу можно получить по формуле

(1.19),

если вместо

Ф и X подставить геодезические координаты середины звена,

а вместо а — геодезический азимут его замыкающей. Указанные

величины достаточно знать с точностью в несколько минут, что

всегда обеспечивают предварительные вычисления. Чтобы полу-

чить требуемый элемент матрицы Q, необходимо:

а) получить по формуле (V.38) линейные зависимости погреш-

ностей 8Х, 6У и 8Z от р, q и 8£;

б) образовать требуемые произведения этих линейных зависи-

мостей; - ,

в) перейти к математическим ожиданиям этих произведений.

Как пример приведем выражение ковариации поправок dX

i+1

для двух соседних звеньев i и (i +1)

cov(dX„ dY

i+1

) - cov (p

, p

i+1

)cos(p

А)со8^р

/+1>

У) +

cov(g

)cos(ft,

X)cos(g

/+lJ

Y) +

cov(6£<, 6E,

)cos(fc„ X)cos(h

i+1

, Y). (V.39)

Математические ожидания остальных произведений, входящих

в (V.39), с достаточной точностью можно положить равными нулю.

После того как из уравнивания будут получены приращения

координат АХ, ДУ и AZ по всем звеньям, можно определить, как

указывалось выше, прямоугольные координаты узлов всех поли-

гонов. Выбрав далее некоторый референц-эллипсоид, можно найти

в его системе эллипсоидальные координаты В, L, Я этих узлов,

а зная нормальные высоты и астрономические координаты, полу-

чить в них высоты квазигеоида £, астрономо-геодезические укло-

нения отвеса и уточненные значения азимутов Лапласа. Останется

последний этап уравнивания, который будет вестись раздельно

для плановых построений и астрономо-гравиметрического нивели-

рования. Он ничем не будет отличаться от существующей прак-

тики вставки звеньев между узлами полигонов.

Рассмотренный метод решения практически еще ни разу не

применялся, и, возможно, будут найдены более эффективные

пути решения пространственной задачи. Основным его недостатком

является то, что не определяется каких-либо поправок в астроно-

мические наблюдениям тр время как иприполучении азимутов

Лапласа, так и при вычислении превышений квазигеоида их

погрешности , являются важнейшими. Предстоят поиски новых

решений, в которых будут искать поправки также в астрономиче-

ские определения без ущерба для их основного назначения — обеспе-

чивать переход к единой экваториальной системе координат.

§ 33. УРАВНИВАНИЕ ОБШИРНЫХ СПЛОШНЫХ

АСТРОНОМО-ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ

Начиная с 1948 г. на территории нашей страны получили раз-

витие сплошные высокоточные астрономо-геодезические сети, при

создании которых использовали те же технические средства и,

по существу, все те же методы измерений, что и в полигональной

сети 1 класса [101]. Новые сети содержат большое количество

пунктов Лапласа. Это не только дает дополнительный азимуталь-

ный контроль, но и позволяет в перспективе перейти к сплошному

астрономо-гравиметрическому нивелированию. В сплошных сетях

измерены многочисленные базисы, а с развитием свето- и радио-

дальномерных измерений получил развитие метод полигономет-

рии. По параметрам точности измерений сплошные сети 2 класса

мало уступают сетям 1 класса, однако, учитывая геометрические

достоинства сплошных сетей, можно констатировать, что в насто-

ящее время на обширных территориях создана, по существу,

новая астрономо-геодезическая сеть, более точная, чем прежняя

п олигональная [96].

Ныне обработку сплошных построений ведут путем их вставки

в полигональную сеть 1 класса. Во многих случаях из-за недоста-

точной жесткости последней поправки в измерения в сплошных

сетях намного превышают погрешности измерений и те поправки,

которые получаются при уравнивании сплошных сетей как сво-

бодных.

Радикальным решением, которое удовлетворит всем требова-

ниям, может быть совместное уравнивание по крайней мере поли-

гонов 1 класса и сплошной сети 2 класса. Задачу общего уравнива-

ния сплошной астрономо-геодезической сети СССР как важней-

шую,

завершающую полувековой труд геодезистов СССР по соз-

данию астрономо-геодезической основы нашей страны, ставит

на ближайшую перспективу Главное управление геодезии и карто-

графии при Совете Министров СССР (см. Л. А. Кашин [40]).

Возникающие при этом трудности (§30) в настоящее время

уже преодолимы. Сильно возросли возможности электронных

вычислительных машин благодаря увеличению их быстродействия,

совершенствованию способов подготовки, хранения, оператив-

ного ввода большого объема информации и достижениям в теории

решения больших систем уравнений. С развитием статистиче-

ских методов анализа погрешностей геодезических измерений и

появлением новых возможностей их реализации на ЭВМ мы можем

лучше, чем раньше, строить модели погрешностей измерений.

Созданы алгоритмы уравнивания, позволяющие обрабатывать

ряды зависимых наблюдений.

Проблемой математической обработки обширных сплошных

астрономо-геодезических сетей в последние годы занимаются

геодезисты в нашей стране (см., например, [57, заключение])

и в ряде зарубежных стран. Из многочисленных предложений

Но решению этой проблемы мы остановимся на методе мноГогруп-

нового уравнивания, который был доведен до практического при-

менения в тридцатые и -сороковые годы советским геодезистом

И. Ю. Пранис-Праневичем [95] и получил в нашей стране его

имя. Так как идея подобного метода уравнивания в свое время

была высказана немецким ученым-геодезистом Ф. Гельмертом,

во многих странах этот метод пазьтвают

методом Гельмерта.

При использовании рассматриваемого

метода для обработки обширной астрономо-

гёодезической сети последнюю делят на уча-

стки, в пределах которых уравнивание АГС

может быть выполнено доступными вычи-

слительными средствами. Определяемые

неизвестные (например координаты пунктов

Рис 42

АГС) в каждом участке разбиваются на

две группы. В одну входят неизвестные,

которые относятся только к данному участку, а в другую —

так называемые связующие неизвестные, общие с другими

участками (например координаты пунктов на границах участков).

Соответственно система нормальных уравнений для участка,

например обозначенного на рис. 42 через /

}

может быть записана

в матричном вдде, как

C1XI

BIZ

=0;

}

где Xj — вектор неизвестных первой группы, свойственных только

участку /, Z — вектор связующих неизвестных, А

С\ — матрицы коэффициентов, Wxi и W

i — свободные члены.

Далее методом исключения систему (V.40) преобразуют в сис-

тему, в которую входят лишь связующие неизвестные

B[Z

+ W

= 0. < . (V.41)

Системы вида (V.41), полученные для различных участков,

(суммируют

+ Яи+. .

.)Z

+ {W'

i +

- 0 = 0 (V.42)

и из решения суммарной системы находят связующие неизвест-

ные Z. Остается подставить полученные значения в первую группу

уравнений (V.40) и найти для каждого участка неизвестные типа Х\.

Проблемы уравнивания обширных сплошных астрономо-гео-

дезических сетей возникают не только в СССР, но и в других

странах. Так, например, работы по уравниванию как одного

целого геодезической сети Северной Америки ныне ведутся в США.

Этим вопросам был посвящен специальный симпозиум в Кападе

в 1974 г. [138]. В решении предполагается использовать метод

(V.40)

5 Заказ 830

129