Патудин В.М., Блем А.Г. Математическая экономика

Подождите немного. Документ загружается.

В настоящее время математические модели применяются для анализа,

прогнозирования и выбора оптимальных решений в различных областях эко-

номики. Это планирование и оперативное управление производством, управ-

ление трудовыми ресурсами, управление запасами, распределение ресурсов,

планировка и размещение объектов, руководство проектом, распределение ин-

вестиций и т.п.

1.2. Классификация математических моделей

Авторами предлагается классификация математических моделей, пред-

ставленная на рис.1.3.

По числу критериев эффективности математические модели делятся на

однокритериальные и многокритериальные. Многокритериальные математи-

ческие модели содержат два и более критерия.

По учету неизвестных факторов математические модели делятся на де-

терминированные, стохастические и модели с элементами неопределенности.

В стохастических моделях неизвестные факторы – это случайные ве-

личины, для которых известны функции распределения и различные статисти-

ческие характеристики (математическое ожидание, дисперсия, среднеквадра-

тическое отклонение и т. п.). Среди стохастических можно выделить:

− модели стохастического программирования, в которых либо в

целевую функцию (1.2.1), либо в ограничения (1.2.2) входят случайные вели-

чины;

− модели теории случайных процессов, предназначенные для изу-

чения процессов, состояние которых в каждый момент времени является слу-

чайной величиной;

− модели теории массового обслуживания, в которой изучаются

многоканальные системы, занятые обслуживанием требований. Также к сто-

хастическим моделям можно отнести модели теории полезности, поиска и

принятия решений.

Для моделирования ситуаций, зависящих от факторов, для которых не-

возможно собрать статистические данные и значения которых не определены,

используются модели с элементами неопределенности. В моделях теории

игр задача представляется в виде игры, в которой участвуют несколько игро-

ков, преследующих разные цели, например организацию предприятия в усло-

виях конкуренции.

В имитационных моделях реальный процесс разворачивается в ма-

шинном времени, и прослеживаются результаты случайных воздействий на

него, например организация производственного процесса.

Данное учебное пособие посвящено изучению, прежде всего детерми-

нированных моделей, а также знакомит студентов с примерами стохастиче-

ских моделей.

В детерминированных моделях неизвестные факторы не учитываются.

Несмотря на кажущуюся простоту этих моделей, к ним сводятся многие прак-

тические задачи, в том числе большинство экономических задач. По виду це-

левой функции и ограничений детерминированные модели делятся на линей-

ные, нелинейные, динамические и графические.

В линейных моделях целевая функция и ограничения линейны по

управляющим переменным. Построение и расчет линейных моделей являются

наиболее развитым разделом математического моделирования, поэтому часто

к ним стараются свести и другие задачи либо на этапе постановки, либо в про-

цессе решения.

Для линейных моделей любого вида и достаточно большой размерно-

сти известны стандартные методы решения, часть из которых будет освещена

в данном пособии.

Нелинейные модели – это модели, в которых либо целевая функция,

либо какое-нибудь из ограничений (либо все ограничения) нелинейны по

управляющим переменным. Для нелинейных моделей нет единого метода рас-

чета. В зависимости от вида нелинейности, свойств функции и ограничений

можно предложить различные способы решения. Однако может случиться и

так, что для поставленной нелинейной задачи вообще не существует метода

Однокритериальные

модели

Многокритериальные

модели

Математические

модели

Детерминированные

модели

Стохастические

модели

Модели с

элементами

неопределенности

Линейные

модели

Нелинейные

модели

Динамические

модели

Графические

модели

Модели

стохастического

программирования

Модели

теории случайных

процессов

Модели

теории массового

обслуживания

Модели

теории игр

Имитационные

модели

Рис. 1.3 Классификация математических моделей экономических процессов

расчета. В этом случае задачу следует упростить, либо сведя ее к известным

линейным моделям, либо просто линеаризовав модель.

В динамических моделях в отличие от статических линейных и нели-

нейных моделей учитывается фактор времени. Критерий оптимальности в ди-

намических моделях может быть самого общего вида (и даже вообще не быть

функцией), однако для него должны выполняться определенные свойства.

Расчет динамических моделей сложен, и для каждой конкретной задачи необ-

ходимо разрабатывать специальный алгоритм решения.

Графические модели используются тогда, когда задачу удобно пред-

ставить в виде графической структуры.

1.3. Примеры построения математических моделей экономических задач

Рассмотрим следующую задачу.

Предприятие располагает определенными производственными мощно-

стями для изготовления изделий и может выпускать изделия фиксированных

наименований для их последующей реализации. Требуется определить опти-

мальный состав производственного заказа и способы его изготовления.

Построение математической модели.

1. Цель:

− максимизация прибыли от реализации;

− минимизация себестоимости изготовления;

− минимизация времени обработки.

Выходные переменные модели Y: прибыль от реализации (Y

себестоимость изготовления (Y

), время обработки (Y

2. Параметры модели (постоянные параметры A):

−

– число единиц оборудования;

−

– число наименований изделий, которое может выпускать пред-

приятие;

−

– фонд времени работы i-й единицы оборудования

mi ,1=

;

−

– число различных способов изготовления изделия

-гo наиме-

нования, характеризующихся различным временем обработки на единице обо-

рудования

-го типа

,1=

;

−

– время обработки изделия

-го наименования, изготавливаемо-

го

-м способом на оборудовании

-го типа

nkllmi

,1,,1,,1 ===

;

−

– спрос на изделие

-го наименования

,1=

;

−

– размер склада, предусмотренного для хранения изделий, вы-

раженный в количествах изделий;

−

– себестоимость изготовления изделия

-го наименования

-м

способом

llnik ,1,, ==

;

−

– требуемая себестоимость изготовления изделия

-го наиме-

нования

,1=

;

−

– прибыль от реализации изделия

-го наименования

,1=

;

3. Управляющие переменные X:

– число изделий

-го наименования, выпускаемых l-м способом

llnk ,1,,1 ==

;

4. Определение области допустимых решений (

системы ограничений

)

∑∑

= =

≤

Ttx

1 1

, (1.3.1)

,1=

– ограничение по фонду работы оборудования;

∑∑

= =

≤

1 1

– ограничение по размеру склада; (1.3.2)

∑

=≥

nkx

,1,

– ограничение по спросу; (1.3.3)

nkC

,1,

=≤

⋅

∑

– ограничение по себестоимости изготовления;

(1.3.4.)

kkl

llnkx ,1,,1,0 ==≥

1.3.5.)

5. Выражение критерия эффективности через параметры и управляю-

щие переменные модели.

1) Максимизация прибыли.

- суммарная прибыль.

∑ ∑

= =

→=

klk

xПY

1 1

max

(1.3.6)

2) Минимизация себестоимости.

Является критерием при отсутствии ограничения (1.3.4).

∑∑

= =

→⋅=

klkl

xCY

1 1

min

(1.3.7)

3) Минимизация суммарного времени обработки Y

, выраженного, на-

пример, в станко-часах.

∑∑ ∑

= = =

→=

klkl

txY

1 1 1

min

(1.3.8)

Таким образом, построены три однокритериальные линейные модели:

(1.3.1) – (1.3.6) – формирование производственного заказа по критерию

максимизации прибыли;

(1.3.1) – (1.3.3), (1.3.5), (1.3.7) – организация производственного про-

цесса по критерию минимальной себестоимости изготовления;

(1.3.1) – (1.3.5), (1.3.8) - организация производственного процесса по

критерию минимального времени изготовления.

Если прибыль нелинейно зависит от числа выпускаемых изделий,

∑∑

= =

→=

xfП

1 1

max)(

, (1.3.10)

где

– некоторая нелинейная функция, то переходим к нелинейной

оптимизационной модели (1.3.1) – (1.3.5), (1.3.10).

Модель (1.3.1) – (1.3.5), (1.3.6), (1.3.8) является многокритериальной.

Решениями исходной задачи, получаемыми в результате расчета любой

из предложенных моделей, служат значения переменных

;

nk ,1=

;

ll ,1=

которые удовлетворяют ограничениям, сформулированным в пункте 4, и дос-

тавляют экстремум одному или нескольким выбранным критериям оптимиза-

ции.

После изучения раздела 1 следует выполнить контрольную работу № 1.

2. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Большое число экономических задач сводится к линейным математи-

ческим моделям. Традиционно оптимизационные линейные математические

модели называются моделями линейного программирования. Этот термин

появился в конце 30-х годов, когда программирование на компьютере еще не

было развито, и соответствует не очень удачному переводу английского "pro-

grammation". Под линейным программированием понимается линейное плани-

рование, т.е. получение оптимального плана-решения в задачах с линейной

структурой. В данной книге встречаются также термины «нелинейное про-

граммирование» и «динамическое программирование», которые аналогичным

образом подразумевают получение оптимального решения задач с соответст-

вующей структурой.

2.1. Постановка задачи линейного программирования

В общем виде задача линейного программирования ставится следую-

щим образом.

Максимизировать (минимизировать) функцию

∑

xcf

(2.1.1)

при ограничениях

;

),,1(,

),1(,

);,1(,











+=≤

=≤

∑

mmibxa

mibxa

(2.1.2) (2.1.3) (2.1.4)

где

njx

,1, =

– управляющие переменные или решения задачи (2.1) –

(2.4),

njmiab

ijj

,1,,1,, ==

- параметры,

– целевая функция или критерий эффективности задачи.

Функция (2.1.1) – линейная, ограничения (2.1.2) – (2.1.4) – линейные.

Задача содержит

переменных и

ограничений.

Решить задачу линейного программирования – это значит найти значе-

ния управляющих переменных

njx

,1, =

, удовлетворяющих ограничениям

(2.1.2) – (2.1.4), при которых целевая функция (2.1.1) принимает минимальное

или максимальное значение.

В зависимости от вида целевой функции (2.1.1) и ограничений (2.1.2) –

(2.1.4) можно выделить несколько типов задач линейного программирования

или линейных моделей: общая линейная задача, транспортная задача, задача о

назначениях.

В этой главе рассматривается общая линейная задача.

Приведем пример экономической задачи, сводящейся к линейной мо-

дели.

Пример 2.1.1.

Предприятие производит изделия трех видов, поставляет их заказчикам

и реализует на рынке. Заказчикам требуется 1000 изделий первого вида, 2000

изделий второго вида и 2500 изделий третьего вида.

Условия спроса на рынке ограничивают число изделий первого вида

2000 единицами, второго – 3000 и третьего – 5000 единицами.

Для изготовления изделий используется 4 типа ресурсов. Количество

ресурсов, потребляемых для производства одного изделия, общее количество

ресурсов и прибыль от реализации каждого вида изделия заданы в табл. 2.1.1.

Как организовать производство, чтобы:

1) обеспечить заказчиков;

2) не допустить затоваривания;

3) получить максимальную прибыль?

Таблица 2.1.1

Вид изделий Тип ресур-

сов

Всего ресур-

сов

500

100

150

100

300

200

300

200

1000

100

200

400

25000000

30000000

20000000

40000000

Прибыль 20 40 50

Построение математической модели.

Выполним последовательно этапы построения математической модели,

сформулированные в пункте 1.2.

1) Цель – получение максимальной прибыли.

2) Параметрами являются все числовые данные, приведенные в усло-

вии задачи.

3) Управляющие переменные:

– число изделий первого вида;

– число изделий второго вида;

– число изделий третьего вида;

4) Ограничения: обеспечить заказчиков, не превысить запас ресур-

сов, не допустить затоваривания рынка.

В соответствии с этими ограничениями выпишем область допустимых

решений задачи:











≤++

≤

≥

40000000400200100

,20000000200300150

,30000000100200100

,250000001000300500

;5000

,3000

,2000

,2500

,2000

,1000

321

xxx

(2.1.5)

Первые три неравенства в системе (2.1.5) соответствуют спросу заказ-

чиков. Неравенства с четвертое по шестое формализуют спрос на рынке. По-

следние четыре неравенства соответствуют ограничениям по ресурсам.

5) Целевая функция или критерий эффективности задачи имеет вид

max504020

321

→++= xxxP

(2.1.6)

В формуле буквой

обозначена прибыль. Ее надо максимизировать.

Каждое слагаемое определяет прибыль от производства изделий каждого вида

соответственно в количествах

(2.1.5) – (2.1.6) – математическая модель поставленной задачи. Огра-

ничения и целевая функция линейны по управляющим переменным, следова-

тельно, данная модель является линейной. (При составлении модели предпо-

лагалось, что прибыль линейно зависит от числа реализуемых изделий).

2.2. Линейное программирование в экономике

Приведем примеры некоторых типичных экономических и производ-

ственных задач, оптимальное решение которых может быть найдено с помо-

щью построения и расчета соответствующих линейных математических мо-

делей.

Планирование производства

Для изготовления различных видов изделий используются разные ре-

сурсы. Общие запасы каждого ресурса, количество ресурса каждого типа, за-

трачиваемого на изготовление одного изделия каждого вида, и прибыль, по-

лучаемая от реализации одного изделия каждого вида, заданы. Нужно соста-

вить план производства изделий, обеспечивающий максимальную суммарную

прибыль от реализации изделий.

Построение математической модели

Математическую модель строим по этапам, сформулированным в

пункте 1.2.

1) Целью является максимизация прибыли.

2) Задача решается в общем виде, поэтому для определения парамет-

ров введем условные обозначения:

– число различных видов изделий;

– число различных типов ресурсов;

– запас ресурса

-го типа,

mi ,1=

;

– количество ресурсов

-ro типа для изготовления одного изделия

-го вида,

mi ,1=

;

nj ,1=

;

– прибыль от реализации одного изделия

-го вида.

3) Управляющие переменные

njx

,1, =

число изделий

-го

вида.

4) Ограничения задачи – это ограничения по ресурсам и условия неот-

рицательности управляющих переменных.

Таким образом, можно построить математическую модель.

max

→=

∑

xPP

(2.2.1)











=≥

≤+++

njx

bxaxaxa

mnmnmm

,1,0

;...

........................................

;...

2211

22222121

11212111

(2.2.2)

(2.2.1), (2.2.2) – линейная математическая модель поставленной задачи.

В результате ее расчета определяют оптимальный план производства, т.е. ко-

личество изделий каждого вида, которые надо изготовить так, чтобы при этом

была максимальна прибыль (2.2.1) и не был превышен запас ресурсов (2.2.2).

После изучения данного раздела целесообразно решить задачи 1-3

контрольной работы № 2, а также вернуться к решению задачи 7(если ее не

удалось решить) из контрольной работы № 1

Формирование минимальной потребительской продовольственной

корзины

Задан ассортимент продуктов, имеющихся в продаже. Каждый продукт

содержит определенное количество разных питательных веществ (витаминов

и калорий). Известен требуемый человеку минимум питательных веществ ка-

ждого вида. Необходимо определить требуемую потребительскую продоволь-

ственную корзину, имеющую минимальную стоимость.

Составление математической модели.

1) Целью является минимизация стоимости потребительской корзины.

2) Параметры задачи:

– число различных продуктов, имеющихся в продаже;

– число различных питательных веществ, необходимых человеку;

– содержание

-го питательного вещества в

-м продукте,

mi ,1=

;

nj ,1=

;

– количество

-го питательного вещества, необходимое человеку,

mi ,1=

;

– стоимость единицы

-го продукта,

nj ,1=

3) Управляющие переменные

– это количество

-го продукта, вхо-

дящего в потребительскую корзину,

nj ,1=

4) Область допустимых решений определяется следующей системой

неравенств, содержащей условия по необходимому уровню потребления каж-

дого питательного вещества во всех продуктах и условия неотрицательности

управляющих переменных:











=≥

≥+++

njx

bxaxaxa

mnmnmm

,1,0

;...

...............................................

;...

2211

22222121

11212111

(2.2.4)

5) Критерий оптимальности

имеет вид

∑

→=

xcС

min

(2.2.5)

(2.2.4), (2.2.5) – линейная математическая модель. После ее расчета оп-

ределяют значения

, удовлетворяющие ограничениям (2.2.4) и доставляющие

минимум функции (2.2.5), т.е. рассчитывается состав минимальной потреби-

тельской продовольственной корзины.

После изучения данного раздела целесообразно решить задачи 4,5

контрольной работы № 2, а также вернуться к решению задачи 9(если ее не

удалось решить) из контрольной работы № 1

Расчет оптимальной загрузки оборудования

Предприятию необходимо выполнить производственный заказ на

имеющемся оборудовании. Для каждой единицы оборудования заданы: фонд

рабочего времени, себестоимость на изготовление единицы продукции каждого

вида и производительность, т.е. число единиц продукции каждого вида, кото-

рое можно произвести в единицу времени. Нужно распределить изготовление

продукции между оборудованием таким образом, чтобы себестоимость всей

продукции была минимальна.

Составление математической модели.

1) Целью является минимизация себестоимости.

2) Параметры:

– номенклатура, т.е. число различных видов продукции в производ-

ственном заказе;