Островський А.Л., Мороз О.І., Тарнавський В.Л. Геодезія, частина II

Подождите немного. Документ загружается.

(наприклад = ЮІ'ЗвЧб" + 104°]2ЧЗ" - 180° = 25°5Г29") і, дійшовши

До

кінцевого дирекційного кута а

(а

4(М

, = 329°36'29"), повинні тримати точно

кінцевий дирекційний кут а

, тому, що кутова нев'язка вже врахована.

У графу 4 виписують виміряні лінії. Графа 5 поки що пропускається

А далі виконуються обчислення наближених приростів координат

за

виміряними лініями 8 та дирекційними кутами, що подані в графі 3.

Обчислені значення Ах та Ду записуються в графах б та 7

Обраховуються нев'язки /, та /

і записують їх унизу відомості. Викорис-

товують, як звичайно, формули:

і і

Далі, графи 8 і 9 та 10 і 11 поки що не заповнюються.

Заповнюють далі графу 12, в якій обчислюються наближені абсциси

X'. Абсциса X' початкової точки = 0. Абсциса наступної точки Х'

дорівнює довжині лінії = 423,678 м, округленій до цілих метрів: +424.

Для точки № 99 Х& = 5

+ 5

9М9

2 +790 і так далі. Для кінцевої точки

№

40 = +2060. Далі знаходять абсцису центра ваги ходу Х

[£Г

1І1356

= +1262

и + 1

У графі 13 обчислюють абсциси точок ходу відносно центра ваги:

Сі -Х'І'ХЦ

•

У графі 14 обчислюють квадрати цих абсцис та їх суму [сї]-

Далі в допоміжній графі 15 обчислюють:

1) Поздовжній і поперечний зсуви і і и. Необхідні формули виписані

в цій графі;

2) Поправки в лінії. Робоча формула:

ОІ

(

--Е -8^ де Е-~ (Е

І*

визначається з точністю до сьомого знака після коми). Поправки

лінії

мм виписані в графі 4 над виміряними лініями.

Для отримання зрівноважених довжин 8 поправки алге-

браїчно додаються до виміряних ліній. Зрівноважені лінії подані в

графі 5;

» "

3) Поправки в кути, Робоча формула: у"- со"-^,, де

а>"

- р ^

•

Значення а" також обчислюється з точністю до сьомого знака

після коми. Поправки у" записані під виміряними кутами в графі

2. Контроль поправок в кути: 0. Кути округляються до 1";

272

Таблиця II.8.3.

Обчислення координат витягнутого плігонометричного

ходу строгим методом

Кути

по-

вороту

(ліві)

Дирекційні

кути

Виміряні

довжини

5,(м)

Зрівнова

-жені

довжини

5„. (м)

Прирости коорди-

нат

(наближені)

Зрівноважені

прирости

координат

0 » м

о і н

Виміряні

довжини

5,(м)

Зрівнова

-жені

довжини

5„. (м)

Дх = 5

соз а

Ду = 5

8Іп а

со8

а.

5Іп

а.

3 4 5

101 38 46

-2

104 12 45

+6,5 +6,5 -2,8

-2

25 51 29

423,678

423,6752 +381,258

+184,784

+381,249

+184,795

98 181 32 13

+4,3 +10,8 -2.5

-2

27 23 40

366,123 366,1205

+325,066

+168,458 +325,055

+168,474

174 18 00

+2,4 +13,2 -2.8

-2 21 41 38

412,725 412,7222

+383,493

+152,563 +383,481

+152,586

100

188 17 49

+0,3

+13,5

-1,7

-2 29 59 25

248,645

248,6433

+215,354

+124,286

+215,344

+124,299

101

173 28 42

-1,0

+ 12,5 -1,4

-2

23 28 05

207,548 207,5466 +190,380 +82,653

+190,374

+82,664

102

180 02 40

-2.0

+10,5

-1,1

-2

23 30 43

156,267 156,2659 +143,293

+62,341

+143,289 +62,348

103 184 15 11

-м

+7,7

-1.0

-3

27 45 52

138,117 138,1160 +122,216

+64,478

+122,213 +64,482

104

178 42 31

+4,1

-0,7

-3

26 28 20

107,485 107,4843 +96,215

+47,913

+96,213 +47,915

123 08 12

0,0

329 36 29

1—іі

1=1487

58 03 [8]=

2060,58

+20

Дх,у=

+1857

? +887,476

^и» 24

ІіУ

= +0,057 -0,087

=+0,104

, 1

20000

Продовження таблиці Л.8, з

Кінцеві (точні)

координата

Формули допоміжного обчислення

X, 1 V,

Формули допоміжного обчислення

10 1 11 1 І2_

. лМ+ЛМ лМ-л'и

, и

—

.... /. Г

0 057 • 1857 + 0 087 • 887

+212,4 21 +7835,15

0 -126

2 159264

2061

-0,087 1857- 0,057 -887

и -» —

— - - 01029

+593,67 0 +8109.945

+42'

-83 8 70224

1 2061

Контроль обчислення і та и.

-1

+ и

/"„=0 1038

+908,72

5 +8188,423

+790

-46І

219024

Поправки в лінії

—

= е =0,0000068;

а>,

= -е

•

Поправки в лінії записані в колонці 4

Контроль поправок виконується за

формулами:

Поправки в кути

Поправки в лінії

—

= е =0,0000068;

а>,

= -е

•

Поправки в лінії записані в колонці 4

Контроль поправок виконується за

формулами:

Поправки в кути

+1302,20Є

+8341,099

+1203

-59

3481

Поправки в лінії

—

= е =0,0000068;

а>,

= -е

•

Поправки в лінії записані в колонці 4

Контроль поправок виконується за

формулами:

Поправки в кути

Поправки в лінії

—

= е =0,0000068;

а>,

= -е

•

Поправки в лінії записані в колонці 4

Контроль поправок виконується за

формулами:

Поправки в кути

Поправки в лінії

—

= е =0,0000068;

а>,

= -е

•

Поправки в лінії записані в колонці 4

Контроль поправок виконується за

формулами:

Поправки в кути

+1517,550

+8465,308

+1451

+189

35721

Поправки в лінії

—

= е =0,0000068;

а>,

= -е

•

Поправки в лінії записані в колонці 4

Контроль поправок виконується за

формулами:

Поправки в кути

Поправки в лінії

—

= е =0,0000068;

а>,

= -е

•

Поправки в лінії записані в колонці 4

Контроль поправок виконується за

формулами:

Поправки в кути

Поправки в лінії

—

= е =0,0000068;

а>,

= -е

•

Поправки в лінії записані в колонці 4

Контроль поправок виконується за

формулами:

Поправки в кути

+1707,924 +8547,972 +1659

+397

157609

Позначимо

а>"

= р"~;

со"

=0,0051360

]

= Контроль:

[V*]

= 0

Поправки в дирекційні КУТИ

ч=І>/-

<онтроль: кінцевий дирекцій ний кут

іе повинен отримати поправок.

Позначимо

а>"

= р"~;

со"

=0,0051360

]

= Контроль:

[V*]

= 0

Поправки в дирекційні КУТИ

ч=І>/-

<онтроль: кінцевий дирекцій ний кут

іе повинен отримати поправок.

Позначимо

а>"

= р"~;

со"

=0,0051360

]

= Контроль:

[V*]

= 0

Поправки в дирекційні КУТИ

ч=І>/-

<онтроль: кінцевий дирекцій ний кут

іе повинен отримати поправок.

+1851,213 +8610,320 +1815

+553

305809

Позначимо

а>"

= р"~;

со"

=0,0051360

]

= Контроль:

[V*]

= 0

Поправки в дирекційні КУТИ

ч=І>/-

<онтроль: кінцевий дирекцій ний кут

іе повинен отримати поправок.

Позначимо

а>"

= р"~;

со"

=0,0051360

]

= Контроль:

[V*]

= 0

Поправки в дирекційні КУТИ

ч=І>/-

<онтроль: кінцевий дирекцій ний кут

іе повинен отримати поправок.

Позначимо

а>"

= р"~;

со"

=0,0051360

]

= Контроль:

[V*]

= 0

Поправки в дирекційні КУТИ

ч=І>/-

<онтроль: кінцевий дирекцій ний кут

іе повинен отримати поправок.

+1973,426

+8674,802

+1953 +691

477481

Позначимо

а>"

= р"~;

со"

=0,0051360

]

= Контроль:

[V*]

= 0

Поправки в дирекційні КУТИ

ч=І>/-

<онтроль: кінцевий дирекцій ний кут

іе повинен отримати поправок.

Позначимо

а>"

= р"~;

со"

=0,0051360

]

= Контроль:

[V*]

= 0

Поправки в дирекційні КУТИ

ч=І>/-

<онтроль: кінцевий дирекцій ний кут

іе повинен отримати поправок.

Позначимо

а>"

= р"~;

со"

=0,0051360

]

= Контроль:

[V*]

= 0

Поправки в дирекційні КУТИ

ч=І>/-

<онтроль: кінцевий дирекцій ний кут

іе повинен отримати поправок.

+2069,639 +8722,717

+2060

+799

638401

Позначимо

а>"

= р"~;

со"

=0,0051360

]

= Контроль:

[V*]

= 0

Поправки в дирекційні КУТИ

ч=І>/-

<онтроль: кінцевий дирекцій ний кут

іе повинен отримати поправок.

Позначимо

а>"

= р"~;

со"

=0,0051360

]

= Контроль:

[V*]

= 0

Поправки в дирекційні КУТИ

ч=І>/-

<онтроль: кінцевий дирекцій ний кут

іе повинен отримати поправок.

Позначимо

а>"

= р"~;

со"

=0,0051360

]

= Контроль:

[V*]

= 0

Поправки в дирекційні КУТИ

ч=І>/-

<онтроль: кінцевий дирекцій ний кут

іе повинен отримати поправок.

Позначимо

а>"

= р"~;

со"

=0,0051360

]

= Контроль:

[V*]

= 0

Поправки в дирекційні КУТИ

ч=І>/-

<онтроль: кінцевий дирекцій ний кут

іе повинен отримати поправок.

1= +11356 +2

1262

[й

]- 4132414

4) Поправки в дирекційні кути і/ = . Ці поправки виписані над

приблизними дирекційними кутами в графі 3.

Щоб знайти зрівноважені дирекційні кути ці поправки алгебраїчно

додаються до наближених значень дирекційних кутів. Зрівноважені дирек-

ційні кути у відомості не записані. За бажанням їх можна записати в графу З

під наближеними дирекційними кутами, взявши їх в дужки. Обчислення

закінчуються заповненням граф 8 і 9 та 10 і 11. У графах 8 і 9 записуються

274

ув'язані прирости координат, обчислені за зрівноваженими днрекційними

кутами та довжинами ліній 8.

Головним контролем правильності виконаного зрівноваження є

рівності:

£ах

зр

. = Х

-Х

;^у

]р

. = 1-ї

і і

Інакше кажучи, оскільки прирости координат зрівноважені, то їх

суми повинні бути рівні різницям координат кінцевої та початкової заданих

точок (не повинно бути нев'язок).

У графах 10 і 11 обчислюють кінцеві (точні) координати пунктів Х

Оцінка точності кутів та ліній за результатами зрівноважень може

бути виконана на основі знайдених поправок.

11.8.9. Суть параметричного методу зрівноваження геодезичних

мереж

Суть такого зрівноваження роз-

глянемо на прикладі багаторазової лі-

нійної засічки (рис. II.8.6). Нехай 1, 2, З

та 4 - вихідні пункти, тобто, пункти з

відомими координатами Х

Ці

пункти не отримають поправок в

результаті зрівноваження. Для визна-

чення координат точки Р виміряні дов-

жини ліній <1

, сі

, <і

г>

сі^. Відомі та-

кож середні квадратичні похибки ви-

мірів цих ліній т

(і = 1, 2, 3, 4). Кін-

цеве завдання - визначити найімовір-

ніші значення координат пункту Р(Х

, У

Під час параметричного зрівноваження параметрами, зазвичай, прий-

мають саме координати пунктів, які потрібно визначити. Отже, в нашому

випадку це Х

та У

. Проте, для визначення координат пункту Р достатньо

виміряти дві віддалі, наприклад с1

та сі

Таким чином, в нашому прикладі

два надлишкових виміри

СІ

та

С1

Зв'язок виміряних віддалей з координатами пункту Р можна записати

в такому вигляді:

<і

=[(Х

-Х,)

+ (Г,-Гг)Т- (II.8.69)

Таких рівнянь у відповідності з рис. ІІ.8.6, можна записати чотири.

Оскільки невідомих величин тільки дві - Х

та У

, то задача має шість

Рис. ІІ.8.6. До пояснення суті зрів-

новаження лінійної засічки пара-

метричним методом.

275

розв'язків. Дійсно, можливі шість комбінацій по дві лінії. Тому отримаємо

по шість значень Х

та

У,,.

Потім достатньо визначити середнє вагове з них. Проте зрівно-

важення виконується іншим способом: за двома довільними лініями нахо-

дять наближене значення координат Х

та У

, а потім визначають найімо-

вірніші поправки до наближених координат. Розглянемо цей метод більш

детально.

У загальному вигляді (під час зрівноваження деякої кількості і

параметрів) вираз (И.8.69) запишеться так:

і^ГДЛ

Л=Л(7;,Г, тл

2 2 1 2

"Ч. (И.8.70)

де Т, - зрівноважені значення шуканих параметрів (координат); З

зрівноважені значення виміряних величин (у нашому випадку ліній).

Рівняння системи (ІІ.8.70) називають параметричними рівняннями

зв'язку.

Замінивши зрівноважені значення сі

на виміряні сі

з шуканими

поправками V,, матимемо:

сІ, (И.8.71)

Далі, з системи (ІІ.8.70) та (11.8.71) знайдемо формули для визначення

поправок V,:

П (11.8.72)

Рівняння (ІІ.8.72) називають рівняннями поправок в загальному виг-

ляді.

Задача зрівноваження складається із знаходження поправок V,. (/' = 1,

2,..., и)

та

параметрів Т

)

(/ = 1,2,.., і).

Для розв'язку системи (11.8.72) приведемо функції /*) до лінійного

вигляду шляхом розкладу їх в ряд Тейлора, обмежившись, при цьому

першими членами розкладу. Це можливо, якщо попередньо відомі набли-

жені значення параметрів 7*°. В нашому прикладі, як уже відзначалося, за

наближені значення параметрів Х

°, У

° можна прийняти значення коорди-

нат, визначені за однією парою виміряних віддалей.

Тоді:

276

Позначимо часткові похідні

др,

>-- - ^-Л. . ЗР, .

•р ®

і »

''''

дТ,

ЗТ,. (Н.8.73)

аг, "

дт

дТ,

Тоді отримаємо систему (II.8.72)

лінійному вигляді:

у, =аЖ

ЬД

г+

..Лі

8Г

+ Р

{Т?,Т

\...,Т?)-<І

. (ІІ.8.74)

Оскільки відомі значення виміряних величин сі

, та наближені зна-

чення параметрів Т°, тобто, відомі функції ^(Г

,Г

°,...,Г,

); то останні два

члени рівняння (II.8.74) приймемо як вільні члени:

(II.8.75)

Підставивши вирази (II.8.74) та (II.8.75) в (II.8.72), отримаємо пара-

метричні рівняння поправок

лінійному вигляді:

V, = а,<57, +

8Г

+...

+/, з

вагою Р

= А

Щ + Ь

8Г

+...+І

8Г, + /

З вагою Р

(11.8.76)

V = а Ж + ЬЖ +... + і Ж +1 з вагою Р„

п п і п і піп п,

Як відомо, істинна похибка вимірювання Д, характеризується тією ж

вагою, що й результат вимірювання, тільки поправка у

= -Д,, тому можна

вважати, що будь-яка поправка V, в системі рівнянь (11.8.76) має вагу, рівну

вазі відповідного виміру сі,, який знаходиться за формулою:

(11.8.77)

де ц - середня квадратична похибка одиниці ваги; т

- середня квадра-

тична похибка результатів вимірювання.

Проте, система (ІІ.8.76) має нескінченну множину розв'язків, оскіль-

ки маємо п рівнянь та (п+1) невідомих. Тому застосуємо принцип най-

менших квадратів і позначимо

Ф - [РУ

] = Ї^М +Ь,#Г

+..ЛІД, +/,)

. (ІІ.8.78)

(=і

Для визначення мінімуму функції Ф необхідно знайти похідні цієї

функції за всіма аргументами к,, тобто, за 8Г

}

та прирівняти їх до нуля.

Часткова похідна функції Ф за першим параметром 5Г

буде мати вигляд:

5Ф

= 2 + РлЬ

дТ

+... + Р^іД, + /»а,/

) = 0

(ІІ.8.79)

277

Звідси отримаємо

(2>д)<Я; +(Ї>А№ = 0

•

(П-8.80)

<=І М (=1 (=1

Далі знайдемо часткову похідну функції Ф за другим параметром

(н.8.81)

За аналогією знайдемо часткові похідні за всіма параметрами <5Г,

та,

ввівши позначення Гауса, запишемо:

[РаЩ +[РаЬ]8Т

+...+[РаіЩ +[РаІ] = 0"

ІРаЬЩ+[Ш]$Г

+...+[РЬіЩ +[РЬІ] = 0

(П 8 и

[РаЩ +[РЬ(Щ + [Л/] = 0

Система (11.8.82) є системою нормальних рівнянь розміром ш,

симетричною

відносно діагоналі Ой'. На цій діагоналі розташовані

квадратичні коефіцієнти, які завжди додатні. Неквадратичні коефіцієнти

розташовані симетрично відносно головної діагоналі.

Розв'язавши систему нормальних рівнянь (II.8.82), знайдемо по-

правки 5Г

)

до попередніх (наближених) значень шуканих параметрів та

отримаємо зрівноважені значення параметрів (координат). Потім, знайдені

значення 8Г

)

підставимо в систему рівнянь поправок (II.8.76). Знайдемо

поправки в виміряні величини сІ

і, на кінець, знайдемо зрівноважені зна-

чення довжин за формулою (ІІ.8.71).

11.9. Зрівноваження полігонометричних мереж

11.9.1.

Зрівноваження полігонометричної

мережі, що збігаються

одну вузлову точку

Найпростішою полігонометричною мережею є мережа із трьох ходів,

що сходяться в одну вузлову точку. Раніше була розглянута висотна мережа,

яка також складалася із трьох нівелірних ходів, що збігались в одну вузлову

точку. Проте, раніше ми визначали зрівноважене значення висоти вузлової

точки. У даному випадку ми повинні визначити зрівноважені значення

координат вузлової точки.

В основу такого зрівноваження, як у випадку визначення висот, так і

у випадку визначення координат вузлової точки чи дирекційних кутів ліній,

що виходять із цієї точки, покладені ваги ходів. Проте, зрівноваження

полігонометричних мереж мають свої особливості

ми детально розглянемо

зрівноваження таких мереж.

Рис. ІІ.9.1. Схема полігонометричної мережі із трьох ходів, що збігаються в

одну вузлову точку.

До того ж, зауважимо, що на виробництві зрівноважують полігоно-

метричні мережі окремо (окремо кути, окремо прирости координат), тобто,

використовують наближені методи. Тільки для зрівноваження окремих ходів

застосовують строгі методи. В якійсь мірі це вірно, оскільки координати

вузлових точок визначають як середні вагові, тобто,

як

зрівноважені.

Нехай маємо полігонометричну мережу, зображену на рис. 11.9.1.

Формули для визначення ваг дирекційних кугів та приростів координат

279

записані на рисунку. Зрівноваження будемо виконувати в такій послі-

довності:

1) Спочатку визначимо середнє вагове значення дирекційного кута

однієї з ліній, що виходить із вузлової точки М. Візьмемо лінію Ш

і визначатимемо її дирекційний кут . Ваги дирекцій них кутів

/д обернено пропорційні кількості кутів (в ході). Врахуємо, що в

ходах вимірювались ліві кути, і крім того, для ходу 1 кількість кутів

дорівнює

Л,

( й,

- кількість ліній цього ходу); межуючий кут цього

ходу Д. Для ходу 2 визначається не а^'^, а (обернений ди-

рекційний кут); під час визначення аостаннім використовується

кут Д, для ходу 2 кількість кутів дорівнює кількості ліній п

цього

ходу. Для ходу 3 межуючим є сумарний кут, що дорівнює Д + Д. Та-

ким чином, середнє вагове значення дирекційного кута

визначимо за формулою:

2) Знайдемо кутові нев'язки ходів

/д =«Г ""-а"

(II.9.2)

3) Виміряні кути Д виправляються поправками. Суми поправок у кути

будь-якого ходу повинні дорівнювати нев'язці цього ходу, взятій з

оберненим знаком:

4) Переходимо до зрівноваження координат. Розглянемо зрівноваження

тільки абсцис. Зрівноваження ординат виконується аналогічно. Знай-

демо середнє вагове значення абсциси точки М. Ваги ходів обернено

пропорційні довжині ходів.

х -

р>

{Х

-[ЬХ\)Р

{Х

С+

[АХІУ

Рг

Ш93)

5) Після визначення Х

та ¥

вузлової точки мережа розділяється на

три незалежних ходи, які врівноважуються окремо строгим або спро-

щеним методом.

11.9.2.

Зрівноваження полігонометричної мережі способом

послідовних наближень

Розглянемо такий спосіб на конкретному прикладі. Припустимо, ми

маємо мережу з п'яти ходів, що створюють дві вузлові точки М та N (див.

280

рис. ІІ.9.2). Необхідно знайти ймовірні координати точок Мта N способом

послідовних наближень. Для стислості будемо виконувати визначення

тільки Х

та Х

. Ординати У

та знаходяться аналогічно. Припустимо,

що Х

та Хц вже знайдені. Тоді, для кожного ходу можна скласти рівнян-

ня похибок. Цим рівнянням припишемо ваги як величини обернені до дов-

жини ходів.

С(Х

,Ус)

В(х

,у

)

0(ХоЛ)

Рис. ІІ.9.2. Полігонометрична мережа з п'яти ходів,

що

створюють дві

вузлові точки.

~{Х

в +

[м\)=У

. (119.4)

Як відомо, коли ці рівняння розв'язувати при додатковій умові

[РУУ] = шіп, то це приведе до нормальних рівнянь, які в скороченому

вигляді при двох невідомих (Х

та А^) запишуться так:

[Раа]Х

м+

[Раі]=0}

[рьь]х„+[рьі]=аі'

У рівняннях (ІІ.9.5) а, - коефіцієнти при першому невідомому (при

); в рівняннях похибок (ІІ.9.4), тобто а, = 1;

свою чергу

Ь,

- коефіцієнт

при другому невідомому (при Х

У, в цих самих рівняннях похибок (11.9.4)

(11.9.5)