Островський А.Л., Мороз О.І., Тарнавський В.Л. Геодезія, частина II

Подождите немного. Документ загружается.

Це можна зробити, враховуючи, що [^Д]= 0. Отже, (II.8.29) можна

записати так:

Позначивши в (ІІ.8.31) різниці

Уг-У^Пі, (ІІ.8.32)

де >], - ординати точок ходу відносно центра ваги ходу. Матимемо:

= -[пМІ (П-8-33)

Позначивши

х,-Х

=^, (ІІ.8.34)

де £ - абсциси точок ходу відносно центра ваги, можемо за аналогією напи-

сати:

В = -[£№]• (И.8.35)

Таким чином, умовні рівняння набувають вигляду:

[со8оив]+-[т^]+Л = 0;

(11.836)

Оскільки в рівняннях (ІІ.8.36) поправки в кути <1$ та в лінії сІ8 запи-

сані двома літерами, доцільно ввести позначення: <10 = V, с18 = а>, тобто,

позначити однією літерою поправки в кути V, а поправки в лінії о. Тоді

записи формул (ІІ.8.36) спростяться:

И-0;

[со8ю»]+—[т}У]+/

=0;

(И.8.37)

Це і є умовні рівняння

кінцевому вигляді.

Слід зауважити, що, як це буде очевидно з подальшого тексту, вве-

дення центральних координат спрощує процес обчислень під час зрівно-

важення ходу.

262

У.»

Рис. ІІ.8.3. Геометрична інтерпретація координат центру вагиХ, У та

координат відносно центру ваги

та

Необхідно, однак, для більш повного розуміння суті справи, подати

геометричну інтерпретацію координат центру ваги ходу Х

, У

та коор-

динат точок ходу відносно центру ваги т]

, £.

Для простоти скористаємось витягнутим рівностороннім полігоно-

метричним ходом із шести точок, п'яти сторін, показаного на рис. ІІ.8.3:

у у_М

Хщ

~~Т'

ц=

6 •

= Уі - =

Уі ~

Уц'г

•£г~Хі'Хц\

-Пі = Уз-

= УА-У

\ =

гі

=у

-У

; -

Ш=о- ЙІ-о.

З рисунку, наприклад, очевидно, що в ході три ординати щ, г)

, г/

точок 1, 2, 3 від'ємні, а три , щ, % точок 4, 5, 6 - додатні. До того ж

зрозуміло, що сума [77,] = 0. Аналогічно, сума [£] = 0.

263

11.8.5.

Строге

зрівноваження

довільного полігонометричного ходу

корепатним методом

Розглянемо послідовність і суть методу. Нехай для довільного ходу

маємо систему умовних рівнянь:

[со$аа>]+—\Г]У\+

=0;

[8ІПСю]--[^]+/ =0.

(І)

(II)

(III)

(11.8.37)

Будемо одночасно розв'язувати ці рівняння під додатковою умовою:

]+[/>/]= шіп. (ІІ.8.38)

Тут Р

ваги

вимірювання ліній, /д - ваги вимірювання кутів.

Як відомо, ваги вимірювання - величини, обернено пропорційні

квадратам квадратичних похибок. Тому запишемо:

с с

Р. =

№

Р«=-

У цих виразах /и - коефіцієнт випадкового впливу лінійних вимірів;

тр - похибка виміру кута, с - довільний коефіцієнт пропорційності.

Користуючись довільністю с, приймемо: с = /А Тоді отримаємо:

Р -І- Р Р

Р Р

Таким чином, ваги виміру ліній - змінні величини й обернено про-

порційні довжині ліній, а кути мають однакові ваги, оскільки вимірюються

приладами однієї точності і за однаковою програмою вимірів.

Як відомо зі способу найменших квадратів, розв'язання (ІІ.8.37) лід

додатковою умовою (ІІ.8.38) приводить до нормальних рівнянь корелат,

яких буде стільки, скільки умовних рівнянь. У загальному вигляді нормальні

рівняння корелат записуються так:

тИТ

~ 1*3=0; (/)

аЬ_

ас

І +

ку+ -

сс

= 0; (//)

=0. (III)

(ІІ.8.39)

264

У цих рівняннях , к

, А

- корелати - проміжні невідомі, знайшов-

ши які в подальшому, можна буде обчислити шукані поправки в кути V, і в

ліній щ.

Літерами а

, , с, позначені коефіцієнти при невідомих поправках у

кути та лінії відповідно в умовних рівняннях І, II, III системи (П.8.37).

Складемо таблицю коефіцієнтів у відповідності з рівняннями (11.8.37)

окремо для поправок в кути та в лінії.

Таблиця ІІ.8.1.

Коефіцієнта умовних рівнянь

№№

Рівнянь

Для поправок у кути Для поправок у лінії

а. = а

=... = а„

= 1

= а

=...= а„=0

Ь^-Пі (/ =1,2,..., л+1)

= соха,, (і = 1,2,3,,., я)

III

с,=—Сі (і = 1. 2, ...,

и+1)

с, = 8Іпа. (і = 1,2,3,.., п)

Розглянемо, як змінюються нормальні рівняння корелат, якщо замість

коефіцієнтів а

с. підставити їх фактичні значення:

для кутів: для ліній:

аЬ

ас

~Р

РрР

У = 0

аЬ

ас

= 0

Отже, нормальні рівняння набудуть скороченого вигляду:

(І)

аа

к. =

'Ьс

Ьс сс

—-

Сума

аа

кі + /

=0; (II)

*,+/,=0. (III)

ф 0. Тому в рівнянні (І) системи = 0.

(П.8.40)

Таким чином, завдяки тому, що

[?/, ]

= 0 та ] = 0, в системі (11.8.40)

залишається тільки два рівняння, які необхідно розв'язувати одночасно.

ЬЬ Ьс сс

Позначимо — =

А;

— = В\ — =С, тоді рівняння II та III системи

(ІІ.8.4І)

'ЬЬ

'Ьс' сс

—.

А;

— —

(11.8.40) набудуть вигляду:

Ак

+Вк

= 0;

Вк

+Ск

-= 0.

Розв'яжемо ці два рівняння:

/х

" АС-

-В

А/

кг

~ АС- В

(ІІ.8.42)

(И.8.43)

Загальна формула переходу від корелат до шуканих поправок при

трьох умовних рівняннях має вигляд:

Враховуючи, що к

= 0, будемо мати:

Поправки

кути знайдуться за формулою:

Відповідно поправки в лінії знайдуться, аналогічно:

ю,

і, =—(со$а,£

+ 5Іпа,£

(ТІ.8.44)

(11.8.45)

(11.8.46)

(11.8.47)

Оскільки Р

=—,то — = 5,,тому оз

{

=(5,со5а

{

8Іпа

а, = Ах,к

+ Ау

. (11.8.48)

Виправивши виміряні кути вторинними поправками V, та лінії по-

правками

(У, ,

задовольнимо усі геометричні умови, що виникають в поліго-

нометричному ході і знайдемо ймовірніші координати пунктів ходу.

11.8.6. Строге зрівноваження

витягнутого полігонометричного

ходу

корелатним методом

Нехай маємо витягнутий полігонометричний хід, координати точок

якого обчислені за виміряними кутами та лініями і, в результаті, кінцева

266

точка ходу В' не співпала з фактичною кінцевою точкою ходу В, коорди-

нати якої відомі. Тоді відрізок

В'В

€

лінійна нев'язка ходу (рис. 11.8.4).

Ві.

Н,

ви

Рис. ІІ.8.4. До зрівноваження витягнутого полігонометричного ходу.

Повернемо координатну вісь X існуючої системи координат і спря-

муємо її вздовж замикаючої ходу. Новий напрямок осі абсцис позначимо

X', а вісь ординат ¥'. Спроектуємо точку В на вісь X'. Як видно з

рисунка, після повороту координатної системи нев'язка /

стане рівною

поздовжньому зсуву І, а нев'язка /

- поперечному зсуву и. Враховуючи це,

запишемо скорочені нормальні рівняння:

0 (І)

ьь

Ьс

і.

_Р

'Ьс'

сс

Р р

}

+1 = 0 (II)

+и=0 (III)

(11.8.49)

Оскільки дирекційний кут замикаючої а = 0°(со$а = 1; зіпа = 0; ц

~ 0), то рівняння (ІІ.8.37) набудуть вигляду:

И-о

[со]+і = 0

--[<у]+и = 0

(ІІ.8.50)

267

Складемо

на основі (11.8.50) таблицю коефіцієнтів нормальних рів-

нянь.

Таблиця ІІ.8.2,

Коефіцієнти нормальних рівнянь для витягнутого

плігонометричного ходу

№

рівнянь

Для поправок в кути

Для поправок в лінії

°2

= =

я, = а

= а, = ...= а

А, =0; (і = 1,2,..., и+1)

Ь, = 1; (/ = 1, 2 п)\

III

с, =--£;(» = 1,2,..., и+1)

с,. = 0 (/ = 1,2,.., и);

Надамо нормальним рівнянням відповідного вигляду, враховуючи

значення коефіцієнтів таблиці ІІ.8.2 і те, що ~ = , а [5, ]=Ь:

Мз+« = °

Розв'яжемо систему (ІІ.8.51) відносно невідомих корелат:

к і-

(ІІ.8.51)

(11.8.52)

(11.8.53)

Залишається знайти шукані поправки в кути V, та в лінії со

. Скорис-

таємося

вже

відомою формулою (ІІ.8.45):

У^иь^+чк з). (ІІ.8.45)

"і

Значення коефіцієнтів 2>

(

і с

(

візьмемо з таблиці И.8.2. Отримаємо:

• для ліній:

^И

(ІІ.8.54)

для кутів:

У, =

т^

Рр р

Виправивши лінії та кути відповідними поправками, знайдемо ймо-

вірніші координати пунктів ходу. Приклад зрівноваження витягнутого полі-

гонометричного ходу буде подано

параграфі Н.8.8.

11.8.7. Строге зрівноваження витягнутого

рівностороннього

полігонометричного ходу

Обчислення поправок

лінії виконується за простою формулою:

Ші=-|5.. (ІІ.8.56)

Оскільки

—

= с - постійна величина для

даного ходу, а лінії рівні, тоді поправки в лінії

будуть однаковими:

ю^-сЗ.. (II.8.57)

Проте, для обчислення поправок У

в кути

необхідно знати абсциси точок ходу відносно центру

ваги ходу та суму їх квадратів ].

Розглянемо, як зміниться формула (ІІ.8.55) у

випадку рівностороннього ходу. Візьмемо для

Л простоти хід із парним числом сторін и. Це буде

справедливим і для непарного числа сторін. Напра-

вимо вісь X уздовж ходу і за початок координат

приймемо першу точку (рис. ІІ.8.5).

Тоді: Х

= 0; Х

= Х

= 23. Таким чи-

уз ном, для будь-якої

точки

і маємо:

*,=(/-1)-5. (ІІ.8.58)

Р2

При цьому центральна абсциса знайдеться за

формулою:

(П.8.59)

А (Р,) У

Визначимо абсцису точок ходу відносно цен-

Рис. ІІ.8.5. До зрівно- -гра

ваги;

важення витягнутого £-Х -Х~ (II860)

рівностороннього / і »»

ходу полігонометрії. - - /. .„ „ И„ „[. и

або: = =

(Н.8.61)

269

Розглянемо далі,

як

(1І.8.61) значення всіх

£.

Маємо:

зміниться Спочатку знайдемо на

0сН()в

<Аг

Л"'* ^

-і

(И.8.62)

Такими

ж по

абсолютній величині будуть абсциси для другої половини

точок ходу, тільки

зі

знаком "плюс". Тому ] можна представити так:

( \

Ґ \

—

{2)

І2 )

ЧИ'—'

(П.8.63)

доі

У квадратних дужках сума квадратів натурального ряду чисел від -

Як

відомо,

для

такого ряду з п чисел справедлива формула:

_ и(и+і)(2л + і)

Г 6

Для і

^ маємо (помноживши і поділивши на 2 п):

(ІІ.8.64)

к}=21

Після

перетворень

О ,1

2- +

и ) 1 2 )

2 п

І п

Таким

чином

2І_

(П +

ІХП + 2)

12п

и\2п

М І

{п

!)(« + 2) І 2

(И.8.65)

(II.8.66)

Враховуючи,

що

5 „

= Ь

а також П03Н

ачивши:

(я + іХл

2Я 2

отримаємо для поправок в кути просту формулу:

У^р-Ь,. (ІІ.8.68)

Зауважимо, що Ь

є функцією

тільки

числа сторін ходу п та номера сто-

рони ходу і. Професором А.С.Чеботарьовим складені таблиці Ь = /(«,/). Під

час обчислення поправок

кути значення

Ь,

вибираються з

цих

таблиць.

Таким чином, зрівноваження витягнутого рівностороннього ходу

(майже рівностороннього) значно спрощується.

11.8.8.

Приклад зрівноваження витягнутого полігонометричного

ходу корепатним методом (способом найменших квадратів)

Для кращого розуміння процесу зрівноваження витягнутого поліго-

нометричного ходу, наведеного в параграфі ІІ.8.6, приведемо приклад такого

зрівноваження. Використовується відомість обчислення координат, в

останньому стовпчику якої подані робочі формули та виконані допоміжні

обчислення.

У вертикальній графі 1 виписані номери відомих та тільки що

закладених пунктів, координати яких слід визначити.

У графі 2 виписані виміряні кути, включаючи і прилеглі. Нев'язка в

ході виявилась рівною =20", за допустимої /р

доп

= ±24". Ця нев'язка

майже порівну розподілена у виміряні кути з оберненим знаком. Поправки

величиною 2", або 3" виписані зверху над виміряними кутами. Внизу, під

виміряними кутами, виписані вторинні поправки, поки що невідомі. Щоб

позбутися двох поправок на кожний кут можна в графу 2 записати кути, уже

виправлені первинними поправками, або доповнити відомість ще одною

вертикальною графою.

Далі, переходимо до обчислення дирекційних кутів, використовуючи

кути, виправлені первинними поправками. Дирекційні кути записуємо в гра-

фу 3. Початковий дирекційний кут а

= 101°38'46" і кінцевий а

329°36'29", ЯК задані, уже повинні бути записані у відомість (у графу 3). Так

само в графах 10 та 11 повинні бути записані координати початкової (№ 38)

та кінцевої (№ 40) точок:

ЛГ„ =212,421; У

=7835,154; Х

=2069,639; У

= 8722,717.

Контролем правильності обчислень дирекційних кутів є формула:

я+1

Тобто, послідовно обчислюючи дирекційні кути усіх ліній, викорис-

товуючи спочатку а

- початковий дирекційний кут а

= 101°38'46"