Островський А.Л., Мороз О.І., Тарнавський В.Л. Геодезія, частина II

Подождите немного. Документ загружается.

10000 (р

А тому <р"= 20000", або

<р°=

5,6°. Залишається знайти необхідну

довжину базису Ь. У відповідності з (11.7,2):

<р_ ер

або

= (11.7.25)

Тоді для 5 = 1000 м, <р° = 5,6°, р° = 57,3° матимемо:

, 1000мм-5,6"

1ПП

6 = — » 100м

57,3°

Таким чином, для довжини мірного дроту 1

= 24 м достатньо буде

відкласти 4 мірних дроти. Під час вимірювання ліній довжиною 1000 м в

траверсній полігонометрії необхідно буде відкласти в створі більше 40

дротів. Звідси зрозуміло, яке значне скорочення в затратах часу, якщо

використовувати паралактичні ланки навіть при тому, що ще потрібно в

кожній ланці точно вимірювати кути.

Як очевидно з розрахунків, точність полігонометричної ланки

В.Я.Струве залежить від величини кута <р. Проте, для збільшення кута (р

необхідно збільшувати довжину базису. У зв'язку з цим професор Моторний

А.Д. запропонував [17] ланку полігонометрії, у якій базис розташовано не

перпендикулярно до лінії, а вздовж лінії, тобто базис є частиною лінії, що

визначається. Для однакових довжин базисів, але довших перпендикулярів

(які не вимірюються), така ланка дає можливість збільшити кути (р і отри-

мати значно вищу точність визначення 5. Для однакових за довжиною ба-

зисів та величин кутів (р, навпаки, точність ланки Струве дещо вища.

11.7.5.

Суть віддалемірно-базисної полігонометрії

Віддалемірно-базисна полігонометрія - це поєднання віддалемірних

визначень базисів з паралактичними ланками. Такий метод дуже еластичний

і може застосовуватись в найбільш важких топографічних умовах. Як видно

з рис. ІІ.7.7, базис Ь може бути виміряний мірним дротом, якщо лінії ходу

5,, 8

, 5

- довгі, більше 1 км, або частіше, методом короткобазисної полі-

гонометрії

(Ь

= 2-3 м), якщо лінії - короткі (50-100 м). Знайшовши з пара-

лактичної ланки довжину ВИ = сі, далі, розв'язуючи трикутники АИВ,

ВЬІС,

визначають довжини сторін ходу 5,, 8

тощо.

252

5, В 3

С 8

Рис. ІІ.7.7. Ланка віддалемірно-базисної полігонометрії.

Виникає питанім про найбільш вигідне співвідношення між

Ь, сі

та

Теоретичними дослідженнями доведено, що найбільш вигідними, тобто

найбільш точними будуть ланки, коли виконується рівність:

і = (П.7.26)

При цьому повинні бути наближено однакові кути

<р

{

«<р

II.

7.6.

Типи паралактичних і віддалемірно-базисних ланок

Паралактичні ланки поділяються на прості та складні. Подамо деякі

типи ланок, що можуть бути застосовані у випадку відсутності у виконавця

робіт світловіддалемірів.

Прості типи паралактичних ланок

...А

Ь/2

•Ь

Рис. Тип І-б.

Рт---.

І""

Рис. Тип 1-а.

5 = </,+</,=-

<Р\ ФІ

і і)

Рис.

Тип І' в.

5 = _> 2. (лінія 5 вимірюється незалежно два рази)

253

11.8. Строге зрівноваження полігонометричних ходів

11.8.1. Недоліки спрощених методів зрівноваження

Згадаємо, як ми виконували обчислення координат теодолітного хо-

ду, прокладеного між точками з відомими координатами, а також відомими

початковим і кінцевим дирекційними кутами.

Аналогічно можна виконувати обчислення координат полігономет-

ричного ходу. У теодолітному ході ми спочатку знаходили кутову нев'язку

за формулою

и+1 и+1

1 1

и+1 ^Ц

де і 2_,Рт ~ відповідно практична і теоретична сума кутів ходу,

і і

Потім вводили поправки у виміряні кути. Сума поправок у кути [с^ ] повин-

на дорівнювати нев'язці з оберненим знаком:

К)=-Л. (И.8.2)

Це перша умова, яку має задовольняти виправлення кутів.

Потім за виправленими (зрівноваженими) кутами ми знаходили ди-

рекційні кути а,, а, маючи ще і виміряні довжини 5

(

, знаходили прирости

координат

Лх, = 5,

•

соз а,; Ду, = 5,

• &іп

. (11.8.3)

Далі окремо (незалежно від кутів) зрівноважували прирости коорди-

нат. Спочатку знаходили нев'язки за відомими формулами:

Л=2>-к-*„); (и*-

)

Л = (И-

)

Нев'язки розподіляли в прирости координат, виконуючи ще дві умо-

ви: суми поправок у прирости абсцис та ординат та [с/Ду,] повинні

дорівнювати нев'язкам /

і / з оберненим знаком:

(ІІ.8.6)

[<%]=-/,- (и.8.7)

За виправленими (ув'язаними) приростами знаходили координати

вершин ходу X, і У

. Здається, ніби три геометричні умови, що виникають у

такому ході, виконані введенням поправок <ір

в кути та с/Дх

(

, <і&у

- в

прирости координат. Ось ці три умови записані у вигляді рівнянь:

255

умова дирекційних кутів а

= а

+ ^ Д,

у,.

-180(п +1);

умова абсцис Х

= Х„ + Ах

ув

;

умова ординат

+ ^ Ау^

(II.8.8)

У формулах (11.8.8) прийняті позначення: р

лув

- ліві (по відношенню

до напрямку ходу), ув'язані кути повороту; Ах

ув

, Ау - ув'язані прирости

координат; а

, а

- задані початковий і кінцевий дирекційні кути; Х

задані координати початкової

точки

ходу; Х

- координати кінцевої

точки.

Але ці три умови (рівняння) розв'язувалися окремо.

Спочатку виконана умова [с/Д ] = , а потім, тільки після обчислен-

ня приростів координат, виконано умови: [с/Ах,] = ~/

, [(іАу^ = ~/

. Ці три

геометричні умови залежні між собою. Дійсно, зміна Д. кутів ходу викличе

зміну довжин сторін ходу 5,. А це не враховано. Три рівняння потрібно

розв'язувати разом. Тому, фактично, три геометричних умови, що вини-

кають у ході, не задовольняються. Щоб впевнитися в цьому, будемо за

вирахованими нами координатами, розв'язувати обернені геодезичні задачі,

тобто, знаходити довжини ліній 5"', а також дирекційні кути а,', а потім

кути повороту Д'. Тоді виявиться, що а• * а

, Д * Д ; * , тобто, ні

ув'язані кути /З

іуі

не будуть такими, як виправлені поправками (с/Д.) - кути

Р\; ні обчислені за координатами довжини ліній 8[ не будуть такими, як

виміряні . Це означає, що знайдені координати не є такими, що задоволь-

няють геометричні умови ходу, не є найімовірнішими.

У цьому і є недоліки спрощених методів зрівноваження. Вказані

недоліки присутні через те, що ми не враховували існуючих залежностей

між лініями та кутами. Потрібно поправки в кути та лінії шукати з

одночасного розв'язку трьох геометричних умов, що виникають в ході.

Такі зрівноваження, коли знаходяться поправки в кути та лінії з

одночасного розв'язку умовних рівнянь, називаються строгими (точними),

Накладається додаткова умова: сума квадратів поправок в кути та лінії

повинна дорівнювати мінімуму [УУ] = тіп. До того ж обґрунтовано виби-

раються ваги вимірів кутів та ліній.

Існує два методи строгого зрівноваження (вирівнювання) геодезич-

них ходів та мереж: корелатний та параметричний. Ці методи детально

розглядаються в теорії ймовірностей. Практичне застосування названих ме-

тодів в геодезії, перш за все в полігонометрії, буде викладено в подальших

параграфах.

256

11.8.2.

Кількість вимірів та невідомих в полігонометричному ході.

Необхідні та надлишкові виміри

Нехай маємо полігонометричний хід, прокладений між "твердими"

(відомими) пунктами, показаний на рис. 11.8.1.

Зі

* ' ; у

р,

Рис. II.8.1. Полігонометричний хід, прокладений між відомими пунктами та

дирекційними кутами.

У ході виміряно п ліній та

(и + 1)

кутів. Кутів в ході завжди на один

більше, ніж ліній, якщо виміряні також і кути Д та /?

лИ

, що межують з

лініями тріангуляції. Отже, всього вимірів:

(п

+ \) +

2п +

\. Невідомими є

координати пунктів ходу, показаних кружками. їх у ході завжди на одиницю

менше, ніж ліній. Невідомих абсцис Х

(я

-1). Невідомих ординат

- (п -1). Всього невідомих (л -1)

+ (л

-1) =

2п

- 2.

Знайдемо число надлишкових вимірів:

{2и

+ і}-(2я-2) = 3. Отже в

полігонометричному ході, який прокладений між відомими пунктами,

завжди є три надлишкових виміри. Вони не є "непотрібними". Саме

надлишкові виміри приводять до того, що в ході виникають геометричні

умови, про які йшла мова вище. Завжди в ході або мережі кількість умов

дорівнює кількості надлишкових вимірів.

Знайдемо, в приведеному ході "надлишкові" виміри, тобто такі

виміри, які можна було б не робити, а всі невідомі координати пунктів

знайти. Якщо обчислювати координати точок від початкової точки Т

, тоді

знайдемо координати всіх точок, включаючи Х

, У

точки Р

без вимірів

кутів Д,, Д,

та лінії 8

. Якщо, навпаки, обчислювати координати точок від

кінцевої точки Т

кіи

, тоді знайдемо координати всіх точок, включаючи Х

точки Р

без вимірів кутів /?,, /?

та ліній

На кінець, можливо частину точок обчислити від початку ходу, а

частину - від кінця ходу. Тоді надлишковими будуть, наприклад, два кути й

одна лінія, позначених нарис. 11,8.1 хрестиками.

Надлишкові виміри спонукають до контролю вимірів і можливості

зрівноваження ходів або мереж. За відсутності "надлишкових" вимірів хід

перетворюється в "висячий" (опирається тільки на один відомий пункт),

зникає можливість контролю вимірів та зрівноваження ходів. Зрозуміло, що

зникають і геометричні умови, що виникають

ході чи мережі.

Тому надлишкові виміри є дуже важливими.

257

11.8.3.

Виведення

формул,

що зв'язують поздовжній та поперечний

зсуви ходу з нев'язками по осях координат

На рис. И.8.2 показано витягнутий полігонометричний хід, прокла-

дений між відомими точками А та В.

X X

Рис. И.8.2. До виводу залежності між зсувами / і и та нев'язками по осях

координат /

та /

Але координати всіх точок ходу, включаючи і точку В, обчислю-

вались не за зрівноваженими, а за виміряними лініями і кутами, починаючи

від точки А. У результаті кінцева точка ходу зайняла положення В'. Отже,

відрізок В'В -/л це лінійна нев'язка ходу. З'єднаємо точки А та В' прямою

(замикаючою) і дещо продовжимо її. Дирекційний кут замикаючої а. Ди-

рекційний кут нев'язки є. Довжина замикаючої АВ' = Ь. Спроектуємо точку

В на координатні осі ^та

і на замикаючу. Отримаємо точки В і, В

, В

Як видно з рисунка, відрізки: В'В

]

= ВВ

= /

; В'В

= ВВ

= /

. Ці

відрізки рівні нев'язкам /

та /

. Відрізок В'В

- і - поздовжній зсув; а

ВВ

= и ~ поперечний зсув. Проектуючи хід на осі X та У, отримаємо суми

приростів координат [Ах] та [Ду].

258

то

зіпа =

:и

кІ

ь "

и=^

/Гдх]-Л[Ау]

(II.8.9)

(Н.8.10)

Безпосередньо з рисунка, маємо:

З рисунка також можемо записати:

( = /,со$(в-ос))

и = /

$т(є-а)]'

Розкладаючи соз^-а) та «іп^- а), отримаємо:

І- /

со5£соза + /,$іп£-5Іпа; (11,8.11)

и= 8ІП Е

•

С08О

—

С08 Е •

зіп

(П.8.12)

Враховуючи формулу (II.8.10), маємо:

= /,со8а + /

8Іпа; (11.8.13)

и = /

СОЇ

а - /

8Іп

а . (И-8.14)

Оскільки з цього ж рисунка

С08а =

І^]

;

(ІІ.8.15)

Іи

(ІІ.8.16)

/д

л[А

(П817)

ь ь

(ІІ.8.18)

Формули (ІІ.8.17), (II.8.18) пов'язують зсуви ходу /, и з нев'язками по

осях координат /

, .

11.8.4. Виведення умовних рівнянь, що виникають в

полігонометричному ході, прокладеному між відомими пунктами

Скористаємось розглянутими в ІІ.8.1 відомими вимогами рівності

суми поправок в кути та в прирости координат відповідним нев'язкам, взя-

тим з оберненим знаком.

Ці рівності запишемо так:

259

';[. (ІІ.8.20)

Припустимо, що ми нев'язку /р порівну розподілили в усі виміряні

кути.

Нехай виникла необхідність у виправлені кути ввести ще якісь

вторинні поправки. Тоді сума цих поправок має бути рівною нулеві. У

протилежному випадку в ході з'явиться нова нев'язка. Але, якщо ми змінили

виміряні кути Д первинними поправками, то зміняться і дирекційні кути, а

отже, зміняться нев'язки /,' та /'

. Одночасно виникне необхідність змінити

поправки в прирости абсцис і ординат.

У зв'язку з цим рівняння (ІІ.8.20) змінюються і їх запишемо так:

[с/Д]

= 0;

[</Дх]

= -/,;[• (И.8.21)

[<%] =

-/,.

Як відомо, прирости абсцис і ординат знаходяться за формулами:

Ах = .УсоБа;]

Ч. (ІІ.8.22)

Продиференціюємо ці формули:

*/Дх = сох оиі8 - 5 зіп а ;

сІАу = зіаасі8 + 8со5а—.

Значення сі&х та сІАу із рівнянь (ІІ.8.23) підставимо в початкові

рівняння (И.8.21), враховуючи (ІІ.8.22).

Отримаємо:

(ІІ.8.23)

[со8айК]--[А^а]+ /

= 0;

[зіп ОЙК]+-[Дх<Л*]+ / =0

(И.8.24)

Перейдемо від поправок в дирекційні кути і/а, до поправок у вимі-

ряні кути Щ. Для цього скористаємося залежністю між дирекційними ку-

тами та кутами повороту. Припустимо, вимірялись ліві по ходу кути. Тоді

можемо записати:

260

а,=«і+ХА-180(і + 1). (Н.8.25)

Диференціюючи формулу (ІІ.8.25) за змінними кутами, отримаємо:

(11.8.26)

Підставимо значення <іа

з (11.8.26) в рівняння (II.8.24). Отримаємо:

[соз «/$]- —

[8Іпскй]+

—

+ Л=0;

Позначимо

ДуІ V

Ах&Р

А= Ауіар

Ах^сір

Запишемо суму А в розгорнутому вигляді:

(ІІ.8.27)

(11.8.28)

А =

Ау^ар

= Ду^Л + Ду

(ЛД + <%)+Ау^Ру + йР

+ й^л

+ + + + +...+<//?„)

Згрупуємо члени з Щ, сір

, сір

,сір

А = гір

{Ау

+Ау

+ Ау

+... + Ау„)+сір

{Ау

+ Ау

}

...

+ Ау

+ сір

(Ау

+ Ду

..-

Ду„)+... +

<іР

Ау

Замінимо суми приростів ординат різницями координат відповідних

точок:

А = ар

я+1

Уі

)+ар

{

Уп+]

-у

)+ар

(У

П+1

Уі

)+...+сір

(у

^ - у

В останній сумі відсутній кут Д,

і поправка <1р^

. Введемо цю

поправку, скориставшись виразом, що дорівнює нулеві: сіР

^[у

+\ -у„+і)-

Цей вираз додамо до А. Тоді останній вираз можемо записати скорочено:

Л = (ІІ.8.29)

Введемо в рівняння (ІІ.8.29) ординату центру ваги ходу:

Гц

~'п + \

(ІІ.8.30)

261