Островський А.Л., Мороз О.І., Тарнавський В.Л. Геодезія, частина II

Подождите немного. Документ загружается.

Відповідно:

(ІІ.6.68)

Обчислення за формулою (11.6.68) дають: для 2СМ2 т

= 3,9 мм

р '

Для СТ-5 = 2 мм. Ця похибка систематична і не залежить від 5, за-

лежить від кількості ліній п, посередньо залежить від довжини ходу Ь.

8) Похибка вихідних даних. Ця похибка, по-суті, не є похибкою с/в,

проте впливає на нев'язки ходів.

Похибка прийнята, як середня із семи інших. Для 2СМ2 - 2,76 мм;

для СТ-5 - 1,79 мм.

11.6.13. Розрахунок точності ходів світловіддалемірної

полігонометрії

У попередньому параграфі вісім похибок світловіддалемірних вимі-

рювань поділені на:

• систематичні та випадкові;

• залежні та незалежні від довжини ліній 5;

• залежні від інших факторів (кількості сторін, рельєфу).

Такий поділ дозволяє розв'язати питання розрахунку точності ходів.

Що стосується рельєфу, тоді для розрахунків прийняті умови горбистої місце-

вості, з максимальними кутами нахилу

- 6°. Всі інші похибки беруться рів-

ними розрахованим за формулами. Для наочності всі похибки зведені в таб-

лицю (П.6.3), в якій вказані вищеназвані характеристики, а також очікувані

значення цих похибок в мм, якщо виконується вимірювання однієї лінії. Для

похибок, залежних від довжини, прийнято 8 = 500 м. їх вплив на 5 = 1 км

подвоїться.

У відповідності з теорією похибок можемо записати для одночасної

дії випадкових похибок:

+ т

+ +т

* (11.6.69)

Для дії систематичних похибок, залежних від 5:

(11.6.70)

Для дії систематичної похибки, залежної від кількості сторін:

(11.6.71)

Поздовжній зсув і кінцевої точки полігонометричного ходу виразить-

ся формулою:

=р

-п + ^Ь

+ £-п

. (II.6.72)

Інструкція [5] допускає окремі ходи полігонометрії 4 класу до 14 км.

Для середньої довжини сторін 8^ = 500 м, кількість сторін в ході буде

п = 28. Обчислимо числові значення кожної з трьох складових формули

(ІІ.6.72). Отримаємо:

242

= (9,8)

+ (2,24)

+ (і,о)

+ (2,0)

;

- 110,058; ц = 10,49 м

;

/і

•

>/й = 55,51мм ;

% = (З,О)

+ (З,о)

; Я? = 18; Я, = 4,24; Я,

•

І = 59,40 мм;

% ={2У =4; Я, = 2мм; Я,•

= 56,00мм .

Таблиця ІІ.6.3

№

Позначення

похибок

Джерела похибок

Числові Г

шачення, мм

Властивості

похибок

№

Позначення

похибок

2СМ-2

:т-5

Властивості

похибок

т<.

Вимірювання різниці

фаз

А<р

19,7 9,8

Випадкові,

незалежні від 5

Приведення ліній до

горизонту

2,24

Випадкові, 1

незалежні від 5

Циклічна похибка

фазометра

3,00 1,00

Випадкові,

незалежні від 5

Центрування світло-

віддалеміра, редукція

рефлектора

2,00 2,00

Випадкові,

незалежні від 5

5 Дрейф частоти ГВЧ

1,50 1,50

Систематичні,

залежні від 5

Не точне значення

інтегрального показ-

ника заломлення п

1,50

Систематичні,

залежні від 5

*к

Похибки визначення

постійної К світло-

віддалеміра

3,90 2,00

Систематичні,

незалежні від 5,

залежні від п

кількості ліній

$ вих

Похибки координат

вихідних пунктів

2,00 2,00

Випадкові,

незалежні від 5

Як бачимо, три складові вносять майже однакові похибки в поздовж-

ній зсув І. Знайдемо: І

= 9745,72; Г = 98,72 мм. Такий зсув слід очікувати

під час вимірювання ліній світловіддалеміром СТ-5 або іншими віддалемі-

рами такого ж класу. Проте, як вже зазначалося, прийнято під час оцінки

точності світловідцалемірних вимірювань використовувати не строгу

формулу теорії похибок (11.6.72), а рівняння прямої регресії. Для окремої

лінії це рівняння запишеться так:

= /і + Я10^-5

ки

(мм). (11.6.73)

Рівняння регресії розрізняє тільки випадкові похибки, незалежні від

5, та систематичні. Всі систематичні вважаються залежними від 5. Насправ-

ді, як це показано вище, /Ц = /(п). Проте, зі збільшенням кількості сторін п

зростає і довжина ходу. Тому можна записати

243

(II.6.74)

А числове значення:

=18 + 4 = 22мм; Д = 4,69.

У відповідності з нашими розрахунками, рівняння (II.6.73) для світло-

віддалемірів СТ-5 набуває числового вигляду:

= 10,49 + 4,69

•

10~

•

£ . (ІІ.6.75)

Формула (II.6.75) добре узгоджується з формулою, запропонованою

фірмою-виробником:

= 10,0 + 5*1•

*5*.

У діючій інструкції [5] прийнято для поздовжнього зсуву ходу

1 = т

-4п. (II.6.76)

Для 5 = 500 м = 0,5 км, т

= 12,84 мм. Тоді, у відповідності з

(ІІ.6.76), для ходу з п = 28 отримаємо І = 67,94 мм. Цю похибку інструкція

рекомендує вважати середньою квадратичною. Гранична похибка прий-

мається у два рази більшою і = 135,88 мм. Як бачимо, інструкція дозволяє

досить вільний допуск, майже на 38% більший від отриманого за строгими

формулами.

Поперечний зсув ходу світловіддалемірної полігонометрії визнача-

ється за тією ж формулою, що й траверсної полігонометрії. Для висячого

ходу поперечний зсув кінцевої точки ходу визначається за формулою:

„^«^«Н5

(ІІ677)

Р з

Для ходу, прокладеного між точками з відомими координатами, мати-

мемо максимальний поперечний зсув в середині ходу, який визначається за

формулою:

+ З

(П678)

р"

Загальна похибка М в положенні кінцевої точки висячого ходу

визначається для світловіддалемірної полігонометрії за строгою формулою:

=р

+ + (11.6.79)

244

11.7. Оптично-віддалемірна полігонометрія

II. 7.1. Принцип роботи та класифікація оптичних віддалемірів

Вимірювання

довжин оптичними від-

далемірами обґрунтова-

но на розв'язанні дуже

витягнутого, так званого

паралактичного трикут-

ника, за кутом <р та ба-

зисом Ь (рис. ІІ.7.1),

перпендикулярним до

лінії.

В>Ь

Із трикутника Рис. ІІ.7.1. Паралактичний трикутник ААШ для

АВМ маємо:

5 =

визначення довжини АВ = 3.

_ 2

(П.7.1)

Оскільки кут (р малий, то

Тому

2 2

5 =

•

<Р

(ІІ.7.2)

5 1

У цій формулі кут (р в радіанах. Відношення — =

—

- коефіцієнт

Ь (р

віддалеміра. Оскільки ср~— і р' = 3438', то для ер' = 34,38' (кутових

мінут), к= 100.

Таким чином

5=100 Ь. (ІІ.7.3)

Оптичні віддалеміри, в залежності від положення базису Ь, поді-

ляються на:

1) віддалеміри з базисом, відокремленим від кутомірного приладу;

2) віддалеміри з базисами, поєднаними з кутомірним приладом (від-

далеміри внутрішньо-базисні).

Останні віддалеміри використовуються для вимірювання віддалей до

недоступних та важкодоступних предметів.

За способом визначення елементів паралактичного трикутника оп-

тичні віддалеміри можна класифікувати так:

245

• віддалеміри одинарного зображення;

• віддалеміри подвійного зображення.

Конструктивно оптичні віддалеміри поділяються на:

1) віддалеміри з постійним (відомим) базисом Ь та змінним кутом <р,

що вимірюється;

2) віддалеміри зі змінним базисом Ь, що вимірюється та постійним

(відомим) кутом <р.

Віддалеміри одноразового зображення з постійним кутом <р та

змінним базисом Ь - це, вже відомі з першого курсу, ниткові віддалеміри.

Відносні похибки вимірювання ліній нитковими віддалемірами наближено

1/300-1/400. Така точність недостатня для полігонометрії навіть 2-го

розряду.

Більш високу точність мають відцалеміри одноразового зображення з

постійним базисом Ь та точно виміряним змінним кутом (р, а також відцале-

міри подвійного зображення, які і будуть розглянуті в наступних підрозді-

лах.

II. 7.2. Віддалемір із постійним базисом та змінним кутом

У комплект

такого віддалеміра

входить точний, або

високоточний, оп-

тичний теодоліт та

горизонтальна рейка

(базис), яка встанов-

люється на штативі.

Рейка без поділок, з

марками на кінцях.

Довжина рейки 2-

3 м. •

Для такого

віддалеміра справед-

лива формула (II.7.2). Розрахуємо точність такого віддалеміра. Для цього

спочатку прологарифмуємо формулу (II.7.2):

1п£ = 1пй-1пр. (II.7.4)

Тепер диференціюючи (ІІ.7.4) по обох параметрах, матимемо:

с18 _ сіЬ сіср

8 Ь <р

Перейдемо від диференціалів до середніх квадратичних похибок:

\2 , \1 ... ^

Рис. II.7.2. До пояснення принципу роботи

віддалеміра з постійним базисом.

(ІІ.7.5)

ГПс

(ІІ.7.6)

246

Довжина базису Ь може бути визначена як завгодно точно тому,

приймаючи т

= 0. На основі (II.7.6) матимемо:

Визначимо

<р

з формули (ІІ.7.2):

а-—.

Підставляючи в (11.7.7) значення

<р

з (ІІ.7.8), отримаємо:

т„

(11-7.7)

(И.7.8)

(ІІ.7.9)

Переходячи від т^ в радіанній мірі до кутової міри т* (в секундах)

остаточно маємо:

р"Ь

(ІІ.7.10)

Як бачимо, похибка такого віддалеміра прямо пропорційна квадрату

вимірюваної довжини та похибці вимірювання кута т' і обернено пропор-

ційна довжині базису Ь. Це означає, що для підвищення точності роботи

віддалеміра необхідно:

1) вимірювати кут

<р

з мінімально можливою похибкою;

2) застосовувати, по можливості, більш довгі базиси Ь;

3) основне: виконувати вимірювання ліній короткими відрізками,

встановлюючи від далемір та рейку в створі лінії, яка підлягає виз-

наченню (див. рис. ІІ.7.3).

Рис. ІІ.7.3. Принцип створної короткобазисної полігонометрії.

Такий метод вимірювання ліній називають методом створної корот-

кобазисної полігонометрії.

Нехай таким віддалеміром вимірюється лінія довжиною 5 = 200 м.

Розрахуємо відносну похибку вимірювання цієї лінії, якщо довжина базису

Ь = 2 м, а похибка вимірювання кута т* = 1" (це практично мінімальна по-

хибка вимірювання кутів точним теодолітом).

Запишемо формулу (11.7.10) у вигляді:

_ 5 т

(11.7.11)

247

Розрахунки дають:

200 Г 1

5 206265' 2 2000

Як бачимо, такими відрізками (по 200 м) можна виконувати вимірю-

вання ліній в теодолітному ході, а не в полігонометрії. У полігонометрії най-

нижчої точності (2 розряд) допустима відносна похибка, як відомо, рівна:

(II.7.12)

5 5000

Розрахуємо допустиму довжину відрізка, якщо точність вимірювання

цього відрізка має бути 1/5000. На основі (ІІ.7.11) та (ІІ.7.12) запишемо:

= (II.7.13)

5000 р" -Ь

Розв'язуючи (ІІ.7.13) відносно 5, маємо:

Р Ь

. (II.7.14)

т" -5000

Для тих самих значень Ь \ т

, отримуємо:

206265

=80М.

Г-5000

Якщо кути (р будуть вимірюватися з абсолютною похибкою = 2",

що більш ймовірно, тоді, відповідно:

5 = 40 м.

Таким чином, можливості використання в полігонометрії віддалеміра

одноразового зображення з постійним базисом досить обмежені. Але, все ж

таки, точність такого віддалеміра майже на порядок вища, ніж ниткового

віддалеміра, і ним можна прокладати полігонометрію 2 розряду.

11.7.3. Віддалеміри подвійного зображення

а)

б)

Рис. II.7.4. а) оптичний клин;

б) оптичний клин перекриває половину об'єктива

зорової труби.

Оптичні від-

далеміри подвійного

зображення більш

поширені у вироб-

ництві, ніж віддале-

міри одноразового

зображення. У таких

віддалемірах, винай-

дених в кінці XIX

століття, промені

світла, що йдуть че-

рез об'єктив зорової труби, розділяються на два пучки. Це досягається

завдяки тому, що перед об'єктивом ставлять оптичний клин, який перекри-

ває половину поля зору труби (рис. ІІ.7.4).

248

Вертикальний розріз зорової труби з оптичним клином, встановленим

на об'єктив, показано на рис. И.7.5.

На цьому рисунку: 1-окуляр, 2-фокусуюча лінза, 3-об'єктив, 4-

оптичний клин. Горизонтальна вісь обертання труби проходить через точку

О. Точка Р - так звана аналатична (вимірювальна) точка. Якраз в цій точці

відбувається розділення (заломлення тієї частини променів світла, що

проходить через об'єктив і клин). Та частина променів, яка проходить тільки

через об'єктив, не заломлюється. У результаті, в полі зору труби видно дві

рейки, зміщені по вертикалі одна відносно другої, тобто видно подвійне

зображення рейки. Інакше кажучи, точка Р проектується на рейку подвійно:

у точці М та в точці N.

Рис. ІІ.7.5. Вертикальний розріз зорової труби з оптичним клином та

принцип роботи від далеміра подвійного зображення.

Якщо на рейці між точками М та N знаходиться « поділок рейки, а

одна поділка шириною а, тоді відрізок МУ = ап.

Розглядаючи трикутник РАШ, запишемо:

8-к = 8

= па-

сІ%(р,

(ІІ.7.15)

або

8 = па-

с(£<р

+ к, (ІІ.7.16)

Оскільки кут ер незмінний, то й

с\%(р

- постійна величина.

Позначимо = С'. Тоді (ІІ.7.16) набуде вигляду:

8 = С'-па + к. (ІІ.7.17)

Введемо нове позначення:

С'-а = С, (ІІ.7.18)

отримаємо:

8 = С-п + к. (II.7.19)

Формула (11.7.19) така ж, як і формула ниткового віддалеміра. Однак,

завдяки подвійному зображенню відрізок на рейці п-а може бути вимі-

ряний значно точніше, ніж нитковим віддалеміром. У цьому перевага відда-

леміра подвійного зображення порівняно з нитковим віддалеміром. Завдяки

саме цій перевазі віддалеміри подвійного зображення значно точніші

віддалемірів одноразового зображення.

249

Розглянутий тільки що віддалемір подвійного зображення з постій-

ним кутом

<р

та змінним базисом Ь-ап. Гнколи замість оптичного клина

перед об'єктивом труби розташовують лінзові компенсатори, які дозволяють

не тільки змінювати, але й вимірювати змінний кут

<р

між двома пучками

променів. Тоді ми маємо віддалемір з постійним базисом Ь (горизонтальним,

або вертикальним) та змінним кутом <р.

Оптичні віддалеміри, як правило, є віддалемірами подвійного зобра-

ження.

У відповідності з ДЕСТом в колишньому СРСР випускалися оптичні

віддалеміри 3-х типів. Всі вони подвійного зображення.

ДН8 (віддалемірна насадка, 8 см - похибка на 100 м довжини). За

допомогою ДН8 вимірюються нахилені (не редуковані на горизонтальну

площину) віддалі. Це віддалемір з постійним базисом Ь та змінним кутом

<р. Рейка встановлюється на штативі горизонтально. Можна вимірювати

довжини від 50 до 700 м з відносною похибкою 1:1000. Використовується

для вимірювання ліній в теодолітних ходах. Може бути використана в

полігонометрії, якщо виконувати вимірювання ліній створним методом

короткими відрізками.

ДНР5 (віддалемірна насадка, редукційна, 5 см - похибка на 100 м

довжини). Дозволяє (для кутів нахилу до 12°) автоматично редукувати і

одержувати горизонтальні прокладення ліній з відносною похибкою 1:1000-

1:2000 довжиною 20-120 м. Рейка двостороння, вертикальна. Це віддалемір з

постійним кутом

<р

та змінним базисом Ь. Використовується так само, як і

ДН8.

Д-2 (віддалемір, 2 см-похибка на 100 м довжини). Це вдосконалений

віддалемір ДН8; також з постійним базисом Ь та змінним кутом ер. Рейку

можна встановлювати на штативі горизонтально або вертикально. Дозволяє

вимірювати похилі (не редуковані) віддалі 40-400 м з відносною похибкою

1:5000. Можна вимірювати віддалі до 700 м, тільки тоді точність 1:1000.

Використовується для вимірювання ліній в полігонометрії 2 розряду та в

теодолітних ходах.

11.7.4.

Суть паралактичної полігонометрії

Траверсна полігонометрія з вимірюванням ліній підвісними мірними

приладами вимагає значних затрат праці. Тому, коли ще не було світловід-

далемірів, пошуки нових, посередніх методів вимірювання ліній були дуже

актуальною науковою проблемою.

Як відомо, оптимальна довжина ліній полігонометрії 4 класу 500 м, а

максимальна - 3 км. Враховуючи, що допустима довжина ходу 14 км, то для

довжини ліній 1000 метрів в ході буде 14 сторін. Розрахуємо необхідну

точність вимірювання ліній ходу з такими сторонами. Скористаємося відо-

мою розрахунковою формулою для висячого ходу:

250

т'} п

+ 1,5

8) V

(1ІЛ

20)

У правій частині формули (ІІ.7.20) перший та другий члени є скла-

довими відносної похибки — висячого ходу, викликані відповідно похиб-

І/

ками вимірювання ліній та кутів. За умови рівності цих двох членів, можна

записати:

2-—І

Г т.

або

Розв'яжемо (II.7.21) відносно

Ь ~ -Уйі 5

(ІІ.7.21)

т М_ л/Й

і 4г'

(ІІ.7.22)

Оскільки для 4 класу полігонометрії — =

то для п

т,

отримаємо: —-

5 10000

Жодний оптичний від-

далемір не дає такої точності

для 5= 1000 м. У 1836 р.

проблема швидкого визначен-

ня була успішно розв'язана

В.Я.Струве, який запропонував

паралактичну ланку полігоно-

метрії. Головна відмінність ві-

домої вже полігонометричної

ланки з коротким базисом (з

горизонтальною рейкою, довжиною 2-3 м) і паралактичною ланкою в тому,

що в цій ланці застосовують значно довший базис, виміряний мірними

дротами. Така ланка показана на рис. ІІ.7.6.

Розрахуємо спочатку необхідну величину паралактичного кута. Ос-

кільки

Рис. ІІ.7.6. Ланка паралактичної

полігонометрії.

8 ~

<р"

(11.7.23)

якщо т" = 2", можна записати:

251