Островський А.Л., Мороз О.І., Тарнавський В.Л. Геодезія, частина II

Подождите немного. Документ загружается.

Ь, = І. Відомі частини рівнянь похибок, взяті в круглі дужки, позначені /

(

Наприклад, (А'^ - [ЛЛ'}) = /,, Р

- ваги ходів.

Підставимо в перше нормальне рівняння системи (ІІ.9.5) значення я.

та /, і запишемо це рівняння

розгорнутому вигляді. Отримаємо:

Р^М -(Х

-И)• Р, + Р

-(х

+ [дх]

У Р

+ Р

-Сг„-[д4)-Р

=0. (ІІ.9.6)

Розв'яжемо (ІІ.9.6) відносно невідомого Х

. Матимемо:

_ [Х

(X,

[АХР-Р

+ (X, ~[АХ\) Р

" Р^+Рг+Рг

Аналізуючи (ІІ.9.7) зауважимо, що Х

знаходиться як середнє вагове

з трьох ходів, які збігаються в одну вузлову точку. Аналогічне рівняння ми

вже отримали раніше під час зрівноваження мережі з однією вузловою

точкою (рівняння ІІ.9.3). Тому для знаходження ймовірної абсциси точки

N -Х

запишемо аналогічно:

(

с-[ЬХР-РАХОЛЬХР-Р, + (х

+ [АХ\У Р

" Р->+Р<+Рь

Розглядаючи (ІІ.9.7) та (ІІ.9.8), бачимо, що в цих рівняннях невідомі

(тобто Х

та Х

) є в лівій та у правій частинах. Тому їх безпосереднє

розв'язання неможливе. Але ці рівняння можна розв'язати методом

наближень (ітерації). Щоб знайти значення абсциси цієї точки з першого

наближення Х

, підставимо у (ІІ.9.7) замість невідомого Х

наближену

абсцису цієї точки, знайдену з ходу 4 (можна з ходу 5):

Х^Х

-[ЬХ\. (ІІ.9.9)

Тоді, розв'язавши (ІІ.9.7), знайдемо Х

М]

- значення абсциси точки

М з першого наближення.

Далі, у рівняння (II.9.8) підставимо Х

, знайдемо Х

, тобто

знайдемо Х

з першого наближення. Маємо Х

М]

та Х

з першого

наближення. Переходимо до другого наближення. Для обчислення Х

ИГ

(11.9.7) підставляємо значення , а для обчислення Х

М2

підставляємо в

(11.9.8) Х

М2

. Досить зробити 3-4 наближення. Коли Х

М/

=Х

М(

П)

, а

Н)

= Х

Н(Н)

, тобто, коли значення абсцис в останньому і -тому наближенні

такі самі, як і в попередньому (і -1) наближенні, процес ітерації зупиняють.

Аналогічно знаходять кінцеві ординати цих точок

та У

. Після

цього мережа розпадається на п'ять незалежних ходів, кожний з яких

врівноважується, як звичайно.

282

11.9.3. Зрівноваження полігонометричної мережі

методом

еквівалентної заміни

Розглянемо, як врівноважуються цим методом горизонтальні кути.

Прирости координат врівноважуються аналогічно.

Нехай маємо мережу з п'яти ходів із двома вузловими точками,

показану на рис. II.9.3. Дужками

на

рисунку показані горизонтальні кути.

Рис. ІІ.9.3. До зрівноваження кутів мережі з п'яти полігонометричних ходів,

що сходяться у дві вузлові точки.

На вузлових точках М та N вибрані напрямки (М-М') та (М-АГ),

шукані дирекційні кути яких позначені а'"' та а'*'.

В усіх ходах мережі виміряні ліві кути, якщо рухатися від вихідних

тріангуляційних пунктів, (показаних на рисунку трикутниками) у напрямку

до вузлових точок М або N. Ваги ходів обчислені як величини, обернені

до кількості кутів у ходах:

Р^-Ал- (П.9.10)

(и + 1),

Суми виміряних кутів \р\ також показані на рисунку. Замінимо

та

2 ходи еквівалентним ходом. За визначенням, вага еквівалентного ходу

дорівнює сумі ваг ходів, які замінені еквівалентним ходом:

Кг-Р^Рг- (И-9.И)

Далі, під час зрівноваження будемо дотримуватися такої послідов-

ності:

283

1) Визначимо дирекційний кут лінії (М

—

М') з еквівалентного

ходу 1,2:

- +

1,2

(П.9.12)

У формулі (ІІ.9.12) оскільки виміряні ліві кути (див. рисунок), то:

а<

М)

= а,+[/?1-180°(п +1),; а<

М)

= а

+[р\-180'(« +1)

2) Знайдемо кількість кутів в еквівалентному ході 1,2. У відповідності з

(II. 9.10) маємо:

(ІІ.9.13)

\л

3) Знайдемо значення дирекційного кута лінії (УУ-ІУ') з трьох ходів,

тобто, з першого, другого (точніше, з еквівалентного) та третього

ходу:

=^2

)

+ [Дз]-180°(« + І)

. (ІІ.9.14)

4) Визначимо кінцеве значення дирекційного кута лінії {И - /V') з усіх

ходів (з еквівалентного, третього, четвертого та п'ятого):

(") _ °',2,3 ".2,3

+ а

4 ^ (ІІ.9.15)

де

3=/>

|2+

. (ІІ.9.16)

5) Маючи кінцеве (найбільш точне) значення дирекційного кута аг'"'

лінії (./V-ТУ'), можемо в подальшому знайти кутові нев'язки та

ходах 4 та 5:

=аГ>-«

(л)

, (ІІ.9.17)

=а

(Л,)

-а

(ЛГ)

. (11.9.18)

6) Підрахуємо сумарну кутову нев'язку, що припадає на еквівалентний

та третій ходи:

(ІІ.9.19)

7) Розділимо цю нев'язку і підрахуємо окремо нев'язки, що припадають

на еквівалентний та третій ходи. Нев'язка

г з

припадає на число

кутів (и+і)

І 2

+(и+і)

. Звідки, не важко здогадатися, що:

284

Формула (II.9.21) визначає нев'язку в третьому ході. Знаючи

кути третього ходу? можна зрівноважувати, вводячи поправки в

виміряні кути, як в окремому, незалежному ході. Формула (11.9.20)

визначає нев'язку еквівалентного ходу 1,2.

8) Оскільки завжди кутову нев'язку можна знайти, як різницю між

попереднім (наближеним) значенням дирекційного кута й остаточним

(кінцевим) значенням дирекційного кута, то для еквівалентного ходу

1,2 запишемо:

д-1

(11.9.22)

9) Розв'язуючи рівняння (ІІ.9.22) відносно невідомого г/

\ отримаємо

формулу для обчислення кінцевого значення дирекційного кута лінії

іМ-М')-а

[м)

= а

(м)_Д

г (П 923)

Значення Д

знаходяться за формулою (ІІ.9.20), а значення

- за формулою (ІІ.9.12). Праві члени формули (11.9.23) відомі.

Таким чином, за формулою (ІІ.9.23) знайдемо а^ - кінцеве

значення дирекційного кута лінії М-М'.

10) Знайдемо, на кінець, нев'язки в початкових ходах

та 2:

=а

-а

(м)

. (ІІ.9.24)

=сс[

м)

-а

{м)

. (11.9.25)

У результаті виконання дій задана мережа розділена на п'ять неза-

лежних ходів з відомими кутовими нев'язками, кожний з ходів врівно-

важується, як незалежний.

11.9.4. Зрівноваження кутів полігонометричної мережі методом

професора В.В.Попова

Як вже відзначалося, професор В.В.Попов вдосконалив наближений

метод зрівноваження порівнянням нев'язок суміжних полігонів. Зрозуміло,

що такий метод (метод порівняння нев'язок) придатний як для зрівно-

важення висотних, нівелірних мереж, так

для зрівноваження теодолітних та

полігонометричних мереж. Вдосконалення В.В.Попова привели до створен-

ня ним строгих методів зрівноваження геодезичних мереж. Метод В.В.По-

пова дозволяє, перш за все, підрахувати кількість кутів у ходах межуючих

полігонів. На рис. ІІ.9.4 показана мережа з трьох полігонів. Хід А-0 є

суміжним з першим та третім полігонами. Виникає питання: скільки в цьому

ході кутів? В.В.Попов міркував приблизно так: кут створюється двома

напрямками; але кожна лінія ходу також має два напрямки: прямий та

зворотний. Кут при точці А в першому полігоні двома напрямками входить в

полігон І і, одночасно, одним напрямком (напрямок ЛЛО в полігон 111.

Напрямок А04 - другий напрямок цієї лінії. Таким чином, напрямки ЛУ

та ИА

також можна розглядати як кут. Тому в суміжних ходах стільки кутів,

скільки ліній.

Дійсно, два напрямки

АіV та ИА створюють один

кут, а інші два напрямки N0

та йИ, створюють другий

кут. Отже, в ході Ай два

суміжних кути, в ході ВО

(або ОВ) один - суміжний

кут. В ході СО (або йС) два

суміжних кути. Це, зда-

валося б просте міркування,

дозволяє складати нормальні

рівняння корелат безпосе-

редньо на основі схеми

мережі і виконати строге

зрівноваження кутів.

Позначимо корелати

- поправки в один кут пер-

шого полігону К

в один

кут другого полігону К

третього полігону К

. Тоді

можемо записати:

Рис. ІІ.9.4. Зрівноваження кутів мережі

полігонів полігонометрії методом професора

В.В.Попова.

+ 7К

-К

-2К

-30" = 0

-К

}

+6К

-2К

-12" = 0 [. (ІІ.9.26)

- 2К

+ 6К

24"

Розв'язавши цю систему знайдемо корелати АГ, = +4", К

= +2",

= -2". Зовнішні ходи отримають поправки, відповідно, в першому полі-

гоні +4", в другому - +2", в третьому - -2". Кут А в полігоні І (два напрямки

кута входять в полігон І, одночасно один з цих напрямків входить в полігон

III) отримає поправку

=+4'+1' =+5'.

Кут А

в полігоні

III:

з~^

і = ~

" ~2" = -4".

Аналогічно, в точці В. Полігон І: К

-—К

- Г = +3"

Полігон II:

-~К^+ 2"-2" = 0".

286

Так само в точці С, полігон II: К

--К

+2" + Г

+3"

Полігон III:

Знайдемо поправки в кути

точці N.

На ланку Ай

\ АГ,

- =

+4" + 2"

= +6".

На ланку Ш

АГ,

= -2' -

= -6".

Знайдемо поправки

кути при точці М.

На ланку СО:

На ланку ОС:

}

-К

= ~2"-Т = -А".

К, К

=+2"

+ 2"

= +4".

Залишається знайти поправки

на три

кути

при

точці £).

Кут в точці О в полігоні І: " * *

Кут в точці О в полігоні II:

Кут в точці Б в полігоні III:

К. —К

--К, =

+4' -1" + Г

= +4'.

К, --К. --К, = -2"-2"

-1"

= -5".

Контроль правильності обчислення поправок:

11.9.5. Зрівноваження приростів координат полігонометричних

мереж методом професора В.В.Попова

Нехай маємо ту ж ме-

режу з трьох полігонів. У

прямокутних рамках подані

нев'язки полігонів /

та /

метрах. У кружках подані

довжини ходів в кілометрах.

Позначимо

(

*\ К[

х)

- поправки в

прирости абсцис АХ на 1

км ходу відповідно для

першого, другого та тре-

тього полігону. Аналогічно

К^ - поправки

у прирости ординат АУ

також на 1 км ходу. £

Складемо нормальні рів-

Рис П95 3рівноваження прирост

{

координат

няння корелат для зрівно-

мереж

полігон

полігонометрії способом

важення приростів Д*. професора В.В.Попова.

287

(11.9.27)

4К,

(Х}

-К

(

Х)

- 0,8КІ

Х)

-0,80 =

- К<

х)

+ 3,5 к\

х)

- 0,9 К\

х)

+ 0,66 = 0

- 0М,

(Х>

- 0МЇ

х)

+ з ,0К\

х)

- 0,29 = 0

Нормальні рівняння корелат для зрівноваження приростів Д У будуть

відрізнятися тільки вільними членами та позначеннями корелат.

4 к}

г)

- К

{

р - 0$К

{

Р + 0,22 = 0

- К\

г]

+ 3,5 4

Г)

0,9КІ

Ї]

0,53

= 0

- 0 М,

(у)

- 0,9КІ

Г)

+ 3,0КР + 0,32 = 0

Розв'язавши системи рівнянь (ІІ.9.27) та (ІІ.9.28) знайдемо поправки

к\

\ к[

\ к\

х)

та к[

ї]

, К

[

р, К

{

р в прирости абсцис і ординат на 1 км

зовнішніх ходів мережі, Поправки в прирости координат на окремі ходи

обчислюють в наступній відомості. У цій відомості подані буквені вирази

для визначення поправок на окремі ланки (ходи), з яких складаються

полігони.

(ІІ.9.28)

Відомість обчислення поправок в прирости координат

Назва

ланок

Поправки на Буквені вирази поправок

Назва

ланок

на

на £Д У

АВ

ВС

ПгК[

Х)

КР

СА

пА

х)

АИ

п^-К^)

"иК

'^)

ВИ

-*<*>)

2Л

(КР-КГ)

СИ

У відомості позначені відповідно я,, п

, п

- довжини зовнішніх

ходів (ланок) АВ, ВС та СА в кілометрах; л

| 3

, п

,, п

- довжини суміжних

ланок ЛД ВО, СО в кілометрах. У стовпчиках 2 і 3 виписуються числові

значення поправок

метрах.

Контроль правильності введення поправок в прирости координат

виконується за сумами поправок в окремі ходи, що створюють полігони:

суми цих поправок мають дорівнювати відповідним нев'язкам /

та

даних полігонів, взятих з оберненими знаками.

288

11.9.6. Оцінка точності полігонометричних

ходів

та мереж за

результатами зрівноваження

Раніше, під час попереднього опрацювання результатів польових

вимірювань, ми виконували оцінку точності лінійних та кутових вимірювань

полігонометрії за нев'язками, тобто, за результатами польових робіт. Проте,

більш достовірною є оцінка точності кутових та лінійних вимірювань за

результатами зрівноваження на основі поправок в кути У^ та лінії У^.

Для оцінки точності зрівноважених кутів та ліній скористаємося

узагальненою формулою Бесселя. Для кутів:

кількість надлишкових вимірювань в мережі. При цьому, як відомо, кути

вважаються рівноточними, а лінії - нерівноточними. Ваги ліній можна

визначити за формулою:

Якщо похибки т

відомі. В іншому випадку для визначення ваг оці-

нюваних величин необхідно кожну з них представляти у вигляді функції

результатів вимірювання

Оцінку точності результатів вимірювань за результатами зрівно-

важення вважають більш надійною тому, що на таку оцінку впливають як

випадкові, так і систематичні похибки вимірювань, тоді як на нев'язки,

отримані за результатами польових вимірювань, часто не впливають, або

менше впливають деякі систематичні похибки, характерні для всього масиву

кутових та лінійних вимірювань.

де п - кількість всіх ходів, к - кількість вузлових точок. Різниця (п-к) дає

(ІІ.9.31)

289

РОЗДІЛ III. ПРОСТОРОВІ СУПУТНИКОВІ МЕРЕЖІ (ОСНОВИ

СУПУТНИКОВОЇ ГЕОДЕЗІЇ)

111.1. Будова та принцип роботи геодезичних супутникових

систем

III.

1.1.

Принцип роботи систем визначення просторового положення

точок

Більшість високоточних приладів наземної геодезії (теодоліти,

нівеліри, світловіддалеміри, тахеометри та ін.) удосконалені завдяки вдалим

технічним рішенням та продуманим технологіям їх використання. Проте,

майже всі вони використовують оптичний діапазон електромагнітних хвиль.

Це, по-перше, створило цілий ряд недоліків, наприклад: необхідність

під час вимірювання не тільки прямої (геометричної), але й оптичної

видимості між пунктами; певні складності цілодобових спостережень;

неможливість безперервних моніторингових спостережень та багато інших.

Другою особливістю традиційного геодезичного вимірювання є

широке розповсюдження вимірювання кутів, хоча сучасні світловіддалеміри

забезпечують більш високий рівень точності. Крім того, наземне

вимірювання виконується в прошарках високодинамічної атмосфери, що

суттєво ускладнює процедуру вимірювання і знижує потенціальний рівень

точності.

Альтернативний підхід до геодезичного вимірювання на принципово

інший основі виявився в застосуванні просторових методів вимірювань із

використанням миттєвого положення штучних супутників Землі як точок із

відомими координатами. Засновані на такому принципі вимірювальні

комплекси отримали назву глобальних систем позиціонування, початкове

призначення яких було розв'язання навігаційних задач.

Проте, подальші дослідження показали, що за рахунок приладного та

програмного забезпечення такі системи можуть бути використані для

розв'язання широкого кола геодезичних задач та різко підвищити

продуктивність та точність вимірів.

Під час вибору найбільш ефективного діапазону електромагнітних

хвиль враховувалось те, що ці системи повинні забезпечити виконання

вимірювання під час будь-яких погодних умов. Дослідженнями встановлено,

що саме таким є ультракороткий діапазон радіохвиль.

Ще одна особливість супутникових віддалемірних систем у тому, що

вони повинні дати можливість одночасного забезпечення вимірювання

віддалі між незначною кількістю супутників та необмеженою кількістю

станцій, що знаходяться на земній поверхні. Під час створення масової

портативної апаратури доцільно виключити двосторонній обмін інфор-

мацією, як це прийнято під час наземного вимірювання, тобто виключити

290

радіопередавальні пристрої, що мали б входити до складу апаратури корис-

тувача. Ця вимога визначила необхідність застосування одностороннього

методу вимірювання довжин і значно спростила будову наземних та су-

путникових приладів. Головна особливість одностороннього методу вимі-

рювання у тому, що передавальний пристрій знаходиться на супутнику, а

приймальний - на наземному пункті. Інформаційний сигнал проходить

тільки в одному напрямку, а саме, від супутника до приймача [2]. В основу

цього методу покладена проста функціональна блок-схема (рис.

III, 1.1).

З рисунка видно, що інформаційний сигнал дійсно проходить віддаль

5 тільки в одному напрямку. Якщо миті випромінювання та приймання да-

ного сигналу зафіксовані точно синхронізованими годинниками, які зна-

ходяться на супутнику та наземному пункті і які реалізуються на основі

відповідних високостабільних опорних генераторів, то віддаль 5 може бути

визначена за формулою:

5 = сг, (ІІШ)

де с - швидкість ЕМХ, г - визначений час проходження віддалі сигналом.

Рис. III. 1.1. Спрощена функціональна схема віддалеміра, що працює на

односторонньому принципі.

Формула (III. 1.1) аналогічна відомій нам формулі імпульсних на-

земних світловіддалемірів:

5 = -ст.

(111.1.2)

Множник ~ в формулі

(III. 1.1)

відсутній, оскільки сигнал проходить

віддаль 8 один раз. Оскільки ЕМХ за одну наносекунду (1нс =

10"'с) про-

ходять віддаль біля ЗО см, то для забезпечення сантиметрового рівня

точності необхідно синхронізувати годинники на супутнику та на приймачу

до сотих долей наносекунди. Але існуючий рівень техніки поки-що не

дозволяє цього зробити. Тому необхідно враховувати асинхронність цих

годинників, що ускладнює розв'язок задачі і вимагає одночасного вимі-

рювання віддалей від точки на поверхні Землі (координати якої визнача-

ються) до чотирьох супутників, як мінімум. Зауважимо, що віддалі, виміряні

без урахування синхронізації годинників

називають

псевдовіддалями.

291