Островський А.Л., Мороз О.І., Тарнавський В.Л. Геодезія, частина II

Подождите немного. Документ загружается.

іс

=Х-Ь.

(II.

1.22)

Фактично під час вимірювання одночасно діють випадкові та

систематичні похибки, і ми можемо записати, приймаючи до уваги, що

поздовжній зсув витягнутого полігонометричного ходу і = т,:

Є =т

+ (II. 1.23)

Для підвісних мірних приладів відомі коефіцієнти // та А. Тому на

основі формули

(II.

1.23) ще до вимірювання, наперед (апріорно), можна

розрахувати очікуваний поздовжній зсув 1.

Далі виведемо формули очікуваних поздовжніх похибок віддалемір-

ної полігонометрії, У геодезичній практиці найбільш поширена світловідда-

лемірна полігонометрія, менше - радіовіддалемірна.

Вимірювання ліній світло- та радіовіддалемірами має одну важливу

відмінність від вимірювання ліній підвісними приладами в траверсній

полігонометрії. У траверсній полігонометрії мірний прилад, який має по-

стійну довжину (температурними впливами на зміну довжини приладу

будемо тут нехтувати), вкладається в лінії п разів і похибки кожного відкла-

дання можна вважати однаковими.

У випадку світло- і радіополігонометрії вимірюють не частини, а цілі

лінії, що мають різні довжини. Зміняться і похибки, що діють під час

вимірювання. Тому для апріорних розрахунків точності таких вимірів

потрібно знати не тільки характер впливів (випадковий чи систематичний),

але й залежність, або незалежність джерел похибок від довжини лінії 5.

Таким чином, усі похибки у світлорадіовіддалемірних вимірах слід розді-

лити на 4 групи:

Проте, усі ці похибки залежні від довжини ходу І (від кількості сто-

рін ходу п). Випадкові дві пропорційні (пропорційні а систе-

матичні пропорційні Ь (пропорційні п). Тому загальну формулу для окремих

ліній т

та ходу т

можна записати так:

= + +

(II.

1.24)

+ + (II.1.25)

111

Надалі, у підрозділі "Світловідцалемірна полігонометрія" буде пока-

зано, що існує 7 основних джерел похибок які діють на вимірювання

електронними (світло та радіо) віддалемірами:

1) Похибка приведення ліній до горизонту (т

5н

). Похибка випадко-

ва, залежить в основному від характеру рельєфу (більша - у

горбистій місцевості, менша - у рівнинній). Значно менше зале-

жить від довжини лінії.

2) Похибка вимірювання різниці фаз (ш^). Похибка випадкова,

незалежна від 5.

3) Похибка визначення постійної віддалеміра (т

3к

). Похибка діє під

час вимірювання, як систематична, безпосередньо не залежить від

довжини лінії, накопичується прямопропорційно до числа ліній

ходу, а отже, посередньо залежить від довжини ходу.

4) Похибка визначення циклічної поправки фазометра (т

5ф

). Вели-

чина цієї поправки залежить від тієї частини різниці фаз, що

компенсується фазообертачем, тобто, від значення відліку фазо-

метра. Таким чином, поправка - змінна величина. Похибка визна-

чення цієї поправки - т

5ф

. Ця похибка випадкова, не залежить

від 5,

5) Похибка відхилення основної частоти віддалеміра від заданої, но-

мінальної частоти (). Похибка систематична, залежить від 5.

6) Похибки центрування приймача та редукції відбивача для світло-

віддалемірної полігонометрії {т

цр

)• Ці похибки діють сумісно і

тому об'єднані в одну. Ця сумісна похибка випадкова і не зале-

жить від 5.

7) Похибка робочої швидкості ЕМХ (світлова хвиля - для світловід-

далемірів, радіохвиля для радіовіддапемірів) (т

5с

). Похибка зале-

жить від 5 і має переважно систематичний характер. Це тому, що

хвиля, зазвичай, проходить над поверхнею землі вище, ніж серед-

нє значення висоти, на якій виконують вимірювання метеопа-

раметрів: біля випромінювача та приймача ЕМХ, а густина по-

вітря (показник заломлення повітря) змінюється з висотою.

Таким чином, розділивши усі 7 похибок за їх характером на 4 групи,

можемо записати:

^ = +т

3ф

+т

цр

; (II. 1.26)

= т

+ т

; Л

= т

Враховуючи формули

(II.

1.26), можемо формули (II. 1.24) та (II. 1.25)

записати в розгорнутому вигляді:

112

т,

= т

•

5 + т^

5 + щ

(П1 2?)

'"і

= т

•

І-+

•

+ •

І +

•

І +

+ ж

•

1} + т

5с

•

+ т^

(II.

1.28)

Формули (II. 1.27) та (II. 1.28) є строгими, але не прийнятними для

попередніх розрахунків, оскільки в них усі сім похибок невідомі. Проте, як

бачимо, три похибки , т

$ф

є випадковими та не залежать від 5, а

8к

також випадкова і значно залежить від рельєфу і мало залежить від 5.

Отже, практично усі чотири випадкові похибки не залежать від 5. Усі три

систематичні похибки залежні від довжини лінії, або довжини ходу. Тому з

незначними неточностями можемо усі похибки об'єднати в дві групи:

випадкові, суму яких позначимо та систематичні, суму яких позна-

чимо Я.

Тоді:

=т

+ т

5ф

+т

цр

; X

=т

!І/

+т

Таким чином, для деякої лінії 5 знайдемо очікувану похибку за

формулою:

= + (Н129)

Відповідно для ходу будемо мати:

т* - ц

+ £ 1}. (II. 1.30)

Порівнюючи формулу

(II.

1.23) для ходу довжиною і траверсної

полігонометрії з формулою

(II.

1.30) для світловіддалемірної полігонометрії

такої ж довжини Ь, зауважимо, що вони ідентичні.

Проте фірми, що виготовляють прилади, та інструкція [5], рекомен-

дують визначати очікувані похибки вимірювання ліній електронними

віддалемірами, використовуючи рівняння прямої регресії.

=ц + Х-8„,Л$*. (1П.31)

У формулі (II. 1.31) (і та X в міліметрах, 5

кілометрах.

Для ходу діюча інструкція пропонує формулу:

=т

-4п .

(II.

1.32)

Як бачимо, формула

(II.

1.31) не враховує, що деякі джерела випад-

кових і систематичних похибок можуть мати протилежні знаки і компен-

суватися. Формула додає похибки незалежно від їх знаків. Тому формула

буде прогнозувати більші похибки в лінії, ніж це є насправді. Навпаки,

формула (II. 1.32) для ходу допускає, що усі похибки накопичуються, як

випадкові. Тому ця формула буде прогнозувати змінні похибки для ходів

однакової довжини з різним числом сторін. Покажемо це на конкретному

прикладі. Для сучасних віддалемірів ц змінюється в межах 5-30 мм, а Я - в

113

межах 2-10 мм на

км. Нехай довжина лінії 5 = 1 км, а // =20 мм, Я ~ 5 мм

Тоді за формулою (II. 1.29):

т/ = 20

+ 5' = 20,6 мм.

За формулою регресії (II. 1.31) маємо:

= 20 + 5 = 25 мм.

Як бачимо, різниця незначна, а оскільки застосування формули регре-

сії дещо збільшує, а не зменшує очікувану похибку, то для попередніх

розрахунків такий спрощений метод можна використовувати. Дослідимо, як

зміниться суть справи у випадку конкретного ходу. Нехай полігономет-

ричний хід складається з п = 14 ліній,

= 1 км, Ь =14 км - максимальна

допустима довжина ходу.

Тоді, за більш точною формулою (II. 1.30) маємо:

т'= 20

-14 + 5

-14

; т

= 102,5мм.

За формулою

(II.

1.32) матимемо:

= 25мм

•

-УЇ4 = 93,5мм.

Результат дійсно дещо менший, хоча й незначно. Проте, під час зміни

довжини ліній цей результат буде змінною величиною. Дійсно, нехай

5"=250 м, тоді для І = 14 км, п =56. Тому відповідно матимемо для лінії: за

точною формулою (II. 1.29) т

- 20,04 мм; за формулою регресії (II. 1.31)

= 21,25 мм. Для ходу за точною формулою (11.1.30) результат не

зміниться, т

= 102,5 м.

За формулою

(II.

1.32) матимемо:

= 21,25мм -^56 = 159,02мм.

Як бачимо, похибка на 1/3 більша від очікуваної.

Таким чином, для розрахунків похибок ходів краще користуватися

формулою (Н.1.30). Проте, для оптимальної довжини сторін 5 = 500 м,

матимемо

ті —

28, а т

= 22,5мм

• %/28

= 119,06мм. Тепер результат завище-

ний тільки на 16%.

Слід зробити ще два зауваження. По-перше, подані вище розрахунки

очікуваних похибок враховують тільки похибки вимірювання довжин, але

не враховують похибки вихідних даних (похибки відомих координат почат-

кової та кінцевої точок ходу). Ці похибки можуть змінити апріорно розрахо-

вані нев'язки. По-друге, отримані похибки т

та т

є середніми квадра-

тичними. Допустимі похибки приймаються, як подвійні середні квадратичні.

II.

1.11. Виведення розрахункової формули поперечної похибки

висячого полігонометричного ходу

Для спрощення виведення знову будемо розглядати витягнутий, рів-

носторонній хід.

Нехай, під час вимірювання кута /?, зроблена похибка т^, а усі інші

кути Д. - безпомилкові. Тоді хід повернеться на кут т^ і кінцева точка ходу

зсунеться на и,. Насправді, похибки можливі і в усіх інших кутах і,

відповідно, матимемо зсуви и

, и

, ... и„. На рисунку

II. 1.11

зображено

випадок, коли усі виміряні кути більші від безпомилкових на тобто,

коли діють однакові систематичні кутові похибки; насправді, похибки т^

випадкові, змінюють знаки. Зсуви и, також будуть з різними знаками. Тому

для визначення загального поперечного зсуву слід додавати квадрати

окремих зсувів.

Рис.

II.

1.11. До розрахунку поперечного зсуву кінцевої точки

висячого полігонометричного ходу.

=и

+и

+...+и„

. (И.1.33)

Будемо розглядати щ як дугу описану радіусом 1-8-п.

ж"

т "і

Р .

Тому —— =

——

8 п р"

щЛ-8-п. (II. 1.34)

тя

За аналогією: и

=—~-8-(п-1) ... и„=--3.

Р Р

У відповідності з (II. 1.33) матимемо:

+іп

ї)

+ +]

(П135)

р"

2 1

У формулі (II. 1.35) в квадратних дужках сума квадратів натурального

. ,

и(и +

1)(2л +

ряду чисел від 1 до п, яка дорівнює: — .

Враховуючи це, перетворимо рівняння

(II.

1.36); помноживши і розді-

ливши праву частину цього рівняння на п. Матимемо:

115

2 »>"/ „:2 и(и + 1)(2я + 1).н

„ = — —-

. (Ц.

13б)

Далі запишемо

(II.

1.36) так:

Перетворимо частину чисельника (II. 1.37), нехтуючи одиницею:

(п + 1)(2и +1) = 2п

п + 2л +1» 2п

+ Зи = и(2л + 3).

Тоді формула

(II.

1.36) набуде вигляду:

тщ

р"- 6 п '

Розділивши чисельник та знаменник правої частини формули СП-1.38)

на 2, отримаємо;

і Мп і

+1 5

" Ік'* і •

(1ІЛ39)

Таким чином:

тя

/и +1,5

Перейдемо до загальної похибки М

положенні кінцевої точки ходу:

= 1

+и

. (II. 1.41)

Але поздовжній зсув у відповідності з формулою (II. 1.30) складається

із випадкових та систематичних похибок:

(

=т

=м

-1 + Л

-Ь

(II. 1.42)

Технологія вимірювання ліній забезпечує зменшення систематичних

похибок до мінімуму. Тоді, нехтуючи систематичними похибками, загальну

похибку М можна описати формулою:

р'

Перейдемо до відносної похибки

_р

гп'/п +1,5

' ' . (II. 1.44)

\Ь) І р"

Виразимо коефіцієнт випадкового впливу р через похибки лінійних

вимірів. На основі формули (II. 1.17) запишемо:

. (11.1.45)

Звідси:

(ІІ.1.46)

116

Підставимо значення ц

з (П.1.46)

формулу (11.1.44) і отримаємо.

(11.1.47)

або

(11.1.48)

Формулу (II. 1.48) широко використовують під час апріорних розрахун-

ків очікуваних похибок, оскільки для розрахунків, необхідно знати тільки

відносну похибку вимірювання ліній — та похибку вимірювання

кутів

т^

11.1.12. Виведення формули поперечної похибки полігонометричного

ходу з попередньо ув'язаними кутами

Якщо полігонометричний хід прокладено між пунктами з відомими

координатами та дирекційними кутами, то максимальний поперечний зсув

ходу буде в середині ходу. Для парного числа сторін п, для точки Р„ в се-

редині ходу, що має помилкове положення, будемо мати, відповідно, зсуви

щ та и

, якщо рухатися від початку ходу до середини та навпаки, від кінця

ходу до середини, як показано нарис. 11.1.12.

Рис. ІІ.1.12. Поперечний зсув середньої точки ходу.

На рисунку:

Р„ - безпомилкове положення середньої точки;

Р' - положення точки, якщо її координати обчислювались від початкової

точки ходу Г„;

Р" - положення точки, якщо її координати обчислювались від кінцевої

точки ходу Т

117

Виведення відповідної формули спроститься, якщо даний хід

розглядати,

як

два незалежних, висячих ходи, оскільки формулу для висячих

ходів ми вже маємо. Для парного числа сторін будемо мати п

= п

= ^, де

я, та п

- число сторін першого та другого висячих ходів. Логічно записати,

що и, = и

. Загальний зсув буде:

=«,

+м

= 2и* = 2и

. (Н.1.49)

На основі

(II.

1.35) можемо записати:

(П150

р"

Оскільки я, =—,то:

и =2-~-8

о" ,

2—+ 1

(II. 1.51)

Спростимо (ІІ.1.51), помноживши та розділивши праву частину на 2:

г \2 Т ' 2

р 6 2

;

Якщо помножимо та розділимо праву частину на п, то отримаємо:

р"

12 п '

або

СІІ.1.54)

р"

\2п '

Перетворимо праву частину чисельника рівняння (II. 1.54), нехтуючи

двійкою (це майже не спотворить результат. Дійсно, для п = 10 точний ре-

зультат 132, наближений 130).

(л + 1)(л + 2) = л

+ 2л +

+ 2« л

+3и = и(и + 3).

Підставивши отриманий результат, будемо мати:

р"

Отже

(И.1Л)

118

Порівняємо поперечні зсуви висячого ходу та ходу такої ж довжини,

прокладеного між точками з відомими координатами. Для цього достатньо

порівняти формули (11.1.40) та (11.1.56), вони відрізняються тільки підко-

рінним дробом. Не будемо звертати увагу на різницю в чисельниках.

Знаменник 12 формули (II. 1.56) розкладемо на 4 і 3, і запишемо:

2 р" \

п+3

(II. 1.57)

Таким чином, поперечний зсув такого ходу практично зменшується в

два рази.

II.

1.13. Полігонометричні знаки

Кінцевий проект геодезичної мережі пунктів затверджують після

рекогностування. Головними завданнями рекогностування є:

• уточнення проекту мережі;

• остаточний вибір трас полігонометричних ходів;

• остаточний вибір місць закладання пунктів;

• остаточний вибір типів знаків, якими закріплюють геодезичні

пункти мереж тріангуляції, трилатерації, полігонометрії.

Під час рекогностування вибрані місця для закладання пунктів за-

кріплюють тимчасовими знаками (кілками, металевими штирями, обко-

пуванням, тощо) і на них, складають абриси з прив'язуванням до постійних

місцевих предметів не менш ніж трьома промірами. Під час закладання

знаків проміри уточнюють. Оскільки уся територія України знаходиться в

зоні сезонного промерзання грунтів, тоді широке застосування мають знаки,

призначені саме для таких умов. Знаки для сезонного промерзання грунтів

мають нижній та верхній центри, верхній центр закладають на рівні з ас-

фальтом або землею, з якої знято дерен. Такий знак показано нарис. 11.1.13.

асфальт

земля-- чи\см

/у/

ве

хній

/ центрир

" ///^

" бетон

20 сц

-нижши

центрир

Рис.

II.

1.13. Полігонометричний знак для сезонного промерзання грунтів

3 ве

Рхнім та нижнім центрами.

Часто застосовують видозмінений знак, що має тільки один центр.

Такий центр закладають нижче рівня землі, а зверху закривають чавунним

ковпаком із кришкою. Кришка розташована на рівні з асфальтом або землі

зі

знятим дерном. Такий знак показано на рис. II. 1.14.

-38

І Бетон

Рівень покриття ' І '

Бето»

Ковпак

Бетонне кільце

або цаша

кладка

Рис. II. 1.14. Центр пункту полі-

гонометрії, тріангуляції, три-

латерації 4 класу

і 2 розрядів

для міст Києва, Севастополя і

обласних центрів (тип У15к).

Ці знаки закладають у ве-

ликих містах та обласних цен-

трах. Для забудованих територій,

райцентрів, міст, селищ, сільсь-

ких населених пунктів засто-

совують дещо інший тип знаку,

показаний на рисунку И.1.15.

У місцях суцільних забу-

дов широко застосовують настін-

ні знаки полігонометрії. Такий

знак показано на рис. ІІ.1.16.

Настінні знаки полігоно-

метрії закладають по одному

(одинарні), а також по два (по-

двійні) та по три (потрійні). Стін-

ні знаки (за статистичними да-

ними) зберігаються на порядок

більше років, ніж грунтові.

На пунктах мереж тріангу-

ляції, трилатерації, інколи полі-

Тверде покриття

Рис.

II.

1.15. Центр пункту поліго-

нометрії, тріангуляції, трилатерації

класу

і 2 розрядів для забудованих

територій, райцентрів, міст, селищ,

сільських населених пунктів (тип У15).

Розріз по Б-Е

Рис.

II.

1.1 б. Стінний знак пункту поліго-

нометрії 4 класу, 1 і 2 розрядів (тип 143).

120