Обработка материалов давлением: сборник научных трудов. Вып. №20
Подождите немного. Документ загружается.
Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009
УДК 621.777.1
Спусканюк В. З.
Гангало А. Н.
Давиденко А. А.
Коваленко И. М.
АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ РАВНОКАНАЛЬНОГО УГЛОВОГО ПРЕССОВАНИЯ
И УГЛОВОЙ ГИДРОЭКСТРУЗИИ МЕТОДОМ ВЕРХНЕЙ ОЦЕНКИ
Интенсивная пластическая деформация применяется для производства объемных заго-
товок материалов с субмикро и наноразмерными зернами, высоким уровнем механических
и физических свойств. Одним из наиболее перспективных методов ИПД является равнока-
нальное угловое прессование (РКУП) [1, 2]. Метод широко используется при исследовании
изменений структуры и свойств металлов и сплавов в относительно больших образцах, приго-
ден для промышленного применения [3, 4]. При РКУП силы трения заготовки о стенки рабо-
чего канала являются причиной значительного повышения давления прессования с увеличе-
нием длины заготовок. Этот недостаток преодолевается при использовании разрабатываемого
нами метода угловой гидроэкструзии (УГЭ), согласно которому заготовка выдавливается из
рабочего канала через угловую матрицу жидкостью, сжатой до высокого давления [5–6].
Для повышения эффективности преобразования структуры деформируемых заготовок
необходимо обеспечить наиболее рациональные условия и режимы деформирования. В связи
с этим до настоящего времени остается актуальным исследование механики процесса РКУП,
всесторонняя оценка влияния параметров на механику процесса. В большинстве случаев
в известных публикациях анализ процессов бокового выдавливания, РКУП методом верхней
оценки производился с учетом влияния одного либо двух параметров процесса, таких как
трение, угол матрицы, наружный и внутренний углы скругления канала и т. д. [7–11]. Влия-
ние комплекса основных параметров процесса на достигаемую деформацию и давление
РКУП рассмотрено в [12]. При этом, однако, не лучшим образом учитывалось трение и уп-
рочнение материала: приняты одинаковый уровень напряжения сдвига материала и одинако-
вый коэффициент трения в очаге деформации, входном и выходном участках канала, не уч-
тено влияние относительной длины заготовки и выходного участка канала.
Целью работы является анализ процессов РКУП и УГЭ методом верхней оценки
с учетом комплексного влияния геометрических характеристик матрицы, различных условий
трения во входном и выходном сегментах канала, упрочнения материала по мере его прохо-
ждения через канал. Процесс РКУП рассмотрен для случая деформации в матрицах со скруг-
ленным внешним углом, которые в основном используются на практике.
Анализ процесса РКУП в матрице с наружным скругленным углом выполнен с ис-
пользованием простой деформационной модели, введенной [8] и в последующем использо-
ванной [9, 12].
В данной деформационной модели матрица разделена на три участка, как показано
на рис. 1. В участке 1 материал в жестком состоянии движется вниз со скоростью V
0
. Во вто-
ром участке, названном деформационной зоной, материал подвергается непрерывной пла-
стической деформации. Предполагается, что в этом участке материал движется по концен-
трическим линиям с постоянным радиусом с центром в точке O. Принимается, что в этой
части матрицы сохраняется величина площади поперечного сечения канала, откуда следует,
что
π
ψ
φ
≤+
, где
φ
– угол матрицы;
ψ
– угол деформационной зоны. В третьем участке ма-
териал, вышедший из деформационной зоны, движется без какой либо дополнительной де-
формации. Участок II отделен от участка I входной поверхностью деформационной зоны
0
Г ,
а от участка III выходной поверхностью деформационной зоны
f
Г . Началом системы пря-
моугольных координат является точка O (рис. 1). Ось Х направлена влево, а ось Y вниз. Ис-
пользуется также цилиндрическая система координат (r, θ) с началом в точке О.
50
Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009
Одинаковыми приняты углы между входной поверхностью
0
Г и скоростью
0
V в первом уча-
стке, выходной поверхностью
f
Г и скоростью
0
V в третьем участке, причем они задаются с
использованием угла φ (рис. 1)
Рис. 1. Деформационная модель
Материал в деформационной зоне движется с постоянной скоростью, равной
ϕ
cos
0
V .
Поле скоростей в системе цилиндрических координат представлено как:
0=
r
v ,
ϕ
θ
cos
0
Vv
=
, 0
=
z
v , (1)
где
i
v ),,( zri
θ
= – компоненты поля скоростей в деформационной зоне; z – ось цилиндриче-
ской системы координат. На поверхностях входа и выхода скорость претерпевает разрывы,
равные:
ϕ
sin||||
00
Vvv
f
=
=
, (2)
где ||
0
v – разрыв скорости на входной поверхности, а ||
f
v – на выходной поверхности
деформационной зоны.
Компонента скорости деформации:
r
V
r
ϕ
ε
θ
cos
2
1
0
−=
•
, (3)
а другие компоненты равны нулю.
Напряжение трения материала заготовки по поверхности инструмента выражается
в виде
τ
τ
m
f
=
, где m – фактор трения,
τ
– напряжение сдвига.
Интенсивности деформаций на входной и выходной поверхностях определяются
по зависимостям [12]:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
==
−−
2
cot
3
1
)()0(
ψφ
εε
fss
, (4)
а в деформационной зоне как:
51
Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009
3
ψ
ε
=
−
d
. (5)
Суммарная деформация равна:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
ψ
ψφ
ε
2
cot2
3
1
tot
. (6)
Мощность деформации выражена как:
0
2
0
VPaFVJ == , (7)
где
F и
P
соответственно сила и давление прессования, a – ширина канала.
Мощность, рассеиваемая в процессе РКУП, выражена аналогично [12]:
)()0()()(0 fllBDWACWmfdtot
WWWWWWWWW
•••••••••
+++++++= , (8)
где,
d
W
•
,
0
•
W ,
f
W
•
,
m
W
•
,
)( ACW
W
•
,
)(BDW
W
•
,
)0(l
W
•
,
)(il
W
•
представляют мощности, рассеи-
ваемые в деформационной зоне, на входной поверхности, на выходной поверхности, на по-
верхности контакта материала с матрицей в деформационной зоне, на поверхностях
АС и BD, во входном и выходном каналах соответственно (рис. 1). Выражения каждой
из составляющих уравнения (8) использованы аналогично [12]. Однако, в отличие от [12]
в данной модели учитывается постепенное
упрочнение материала по мере его прохождения
через входную границу, пластическую зону и выходную границу этой зоны. Кроме того при-
няты различные значения факторов трения, а именно
1
m для границ участков I, II и части
участка III на протяжении DB и
2
m - для оставшейся части границы участка III.
В связи с этим в первом приближении мощность диссипации на входной поверхности
Г
0
равна:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
•
2
cot
00
2
0
ψφ
τ
VaW , (9)
где
0
τ
– напряжение сдвига исходного материала.
Мощность диссипации на выходной поверхности
Г
f
принята в виде:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
•
2
cot
0
2
ψφ
τ
d
f
VaW , (10)
где
d
τ
– напряжение сдвига материала после выхода из деформационной зоны.
Мощность, рассеиваемая в деформационной зоне, принята в виде:
ψτ
sm
d
VaW
0
2
=
•
, (11)
где
sm
τ
– среднее в зоне деформации напряжение сдвига с учетом упрочнения материала.
В данной работе оно определяется как
)(5,0
22
0 dsm
τττ
+=
, хотя может использоваться
и интегральная оценка среднего напряжения сдвига по кривой упрочнения в интервале
деформаций от
)0(s
−
ε
до
−−
+
d
s
εε
)0(
.
Мощность, рассеиваемая на контактной поверхности матрицы в деформационной
зоне, принята в виде:
ψτ
sm
m
VamW
0
2
1
=
•
. (12)
Мощность, рассеиваемая на поверхности АС, принята в виде:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
•
ψ
φ
τ
cot
00
2
1
)(
VamW
ACW
. (13)
Мощность, рассеиваемая на поверхности BD, принята в виде:
52
Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
•
2
cot
0
2
1
)(
ψφ
τ
d
BDW
VamW . (14)
Мощности, рассеиваемые на поверхностях входного и выходного каналов (участки I
и III) приняты в виде:
0
001
)0(
4 lVamW
l
τ
=
•
; (15)
fd
fl
lVamW
02
)(
4
τ
=
•
, (16)
где
0
l
и
f
l – текущие расчетные значения длин контактных поверхностей деформируемого
материала с инструментом во входном и выходном каналах.
Общая мощность, рассеиваемая в процессе РКУП, равна:
tot
W
•
=
ψτ
sm
Va
0
2
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
2
cot
00
2
ψφ
τ
Va
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
2
cot
0
2
ψφ
τ
d
Va
+
ψτ
sm
Vam
0
2
1
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ψ
φ
τ
cot
00
2
1
Vam +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
2
cot
0
2
1
ψφ
τ
d
Vam +
0001
4 lVam
τ
+
fd
lVam
02
4
τ
. (17)
С учетом (7) давление прессования равно:
()( )()
)(
4
2
cot11
2
0
01101 fddsm
lmlm
a
mmP
ττ
ψφ
ττψτ
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
++++= . (18)
Если соотношение
0
τ
и
d
τ
, выразить в виде
0
τ
τ
d
n = , а
a
l
l
0
0
=
−
и
a
l
l
f
f
=
−
, тогда:
()
)(4
2
cot)1(
2
1
1
201
2
1
0
−−
++
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
++
+
+=
f
lnmlmn
n
m
P
ψφ
ψ
τ
. (19)
Более точным является подход к оценке мощностей, которые рассеиваются на вход-
ной
0
Г и выходной
f
Г поверхностях пластической зоны, основанной на учете усредненного
значения сопротивлении материала сдвигу. Тогда осредненное значение напряжения сдвига
материала на входной границе
0s
τ
и выходной границе
sf
τ
соответственно равны:
)(5,0
22
00 sms
τττ
+=
; (20)
)(5,0
22
dsmsf
τττ
+= . (21)
С учетом этого:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
•
2
cot
00
2
0
ψφ
τ
s
VaW
; (22)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
•
2
cot
0
2
ψφ
τ
sf
f
VaW . (23)
После подстановки (20–23) в (8) и преобразований с учетом (7):
()
()
)(4
2
cot1
200110101
−−
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+++++=
fddsfssm
lmlmmmmP
ττ
ψφ
ττττψτ
. (24)
Расчеты показывают, что выражения (19) и (24) дают близкие значения, но принципи-
ально более правильно использовать выражения (20–24).
Соотношение (19) удобно использовать для интерпретации зависимости относитель-
ного давления РКУП от комплексного влияния основных факторов процесса,
а именно угла
φ
, угла деформационной зоны
ψ
, факторов трения во входном и выходном
каналах
1
m и
2
m соответственно, текущих относительных длин участков контакта деформи-
руемого материала с инструментом во входном
−
0
l
и выходном
−
f
l каналах, коэффициента n ,
характеризующего интенсивность упрочнения деформируемого материала.
53
Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009
На рис. 2, а приведены зависимости относительного давления РКУП от угла деформа-
ционной зоны и относительной длины заготовки во входном канале. Характер зависимостей
соответствует известным представлениям о значительном повышении давления РКУП с уве-
личением относительной длины заготовки [1].
Одним из преимуществ метода угловой гидроэкструзии является возможность со-
кращения до минимума площади поверхности контакта заготовки с матрицей [5–6].
При УГЭ относительная длина контакта заготовки может быть уменьшена до 32
0
−=
−
l .
На рис. 2, б приведены зависимости относительного давления УГЭ от угла пластиче-
ской зоны
ψ
и угла матрицы
φ
при 2
0
=
−
l . Характер зависимостей соответствует известным
представлениям о снижении относительного давления деформирования с увеличением угла
матрицы и угла деформационной зоны [12].
Полученные зависимости (19) и (24) позволяют оценить влияние различных парамет-
ров процесса, интенсивности упрочнения материала с учетом комплексного влияния ряда
других факторов.
0 102030405060708090
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
10,0
10,5
l
0
=6a
l
0
=4a
P/τ
0
l
0
=2a
0 102030405060708090
3,3
3,6
3,9
4,2
4,5
4,8
5,1
5,4
5,7
6,0
6,3
6,6
6,9
7,2
P/τ
0
φ=π/2
φ=7π/12
φ=2π/3
φ=3π/4
а б
Рис. 2. Зависимости относительного давления от угла
ψ
и относительной длины
заготовки
−
0
l (а); угла матрицы
φ
(б) (
al
f
2=
−
, 2/
π
φ
=
,
2,0
1
=
m
,
12
5.0 mm =
,
ε
2=n ).
В ряде известных работ с той или иной степенью точности учитываются различные
факторы, которые мало влияют на уровень давления прессования. На рис. 3 приведены зави-
симости, характеризующие относительный вклад мощностей, рассеиваемых вследствие кон-
тактного трения материала по инструменту в общую мощность, рассеиваемую в процессе
РКУП. Оценки сделаны для случая
12
5,0 mm
=
и интенсивности упрочнения материала, ха-
рактеризуемой показателем
3=n . Видно, что уже при 2,0
1
>m более 50 % уровня давления
может быть обусловлено влиянием сил трения. Недостаточно адекватный учет влияния уп-
рочнения и условий контактного трения снижает ценность точного учета влияния других
факторов процесса.
В экспериментах использован алюминиевый сплав АД33. Исходный материал отжи-
гался при температуре 420 °С в течении часа и охлаждался с печью. Кривая упрочнения
определялась
по результатам испытания на сжатие образцов диаметром 30 мм, высотой
45 мм с торцовыми выточками, заполненными парафином. На торцы бойков наносилось
смазочное вещество – масло индустриальное И30. При этих условиях осадки до
1
=
ε
обес-
печивалась равномерная деформация образцов без образования бочки. Полученная кривая
упрочнения материала описывается зависимостью
25.0
21832
εσ
+= . В эксперименте по
осадке кольцевых образцов со смазкой бойков индустриальным маслом И30 фактор трения
определен равным 2,0=m .
ψ
ψ
54
Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009
345678910
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
m
1
=1
m
1
=0,6
m
1
=0,2
W
friction
/ W
tot
L=l
0
+a+l
f
Рис. 3. Зависимость относительной мощности, рассеиваемой в результате контактного
трения, от относительной длины контакта заготовки с инструментом (
1=a ,
al
f
2=
−
,
2/
π
φ
=
,
0
30=
ψ
).
Угловая гидроэкструзия образцов осуществлялась в устройстве с углом пересечения
каналов
0
90=
φ
, ранее описанном нами [5]. Внешний угол скругления
0
37=
ψ
. Осуществля-
ли УГЭ прутков d=13 mm, длиной 130 мм. Прутки предварительно обмыливались,
в качестве рабочей жидкости использовано масло И30, УГЭ осуществлялась при комнатной
температуре. Для получения экспериментальной зависимости давления от перемещения
плунжера осуществлялась однократная УГЭ без прессостатка. Эксперименты выполнены на
гидравлическом прессе П474 усилием 1 MН, скорость деформирования 2 мм/с. При этом ско-
рость
перемещения заготовки через угловую матрицу составляла 5,2 мм/с
На рис. 4 приведена экспериментально полученная зависимость давления УГЭ загото-
вок в зависимости от перемещения плунжера высокого давления. Участок практически по-
стоянного давления соответствует установившейся стадии процесса после выхода переднего
конца заготовки из выходного канала.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
0
50
100
150
200
250
300
350
Рис. 4. Зависимость давления УГЭ от перемещения плунжера.
В табл. 1 приведены данные, отражающие условия и параметры процесса УГЭ образ-
цов. Фактор трения
2
m
, соответствующий упругой зоне, принят равным
1,05,0
12
== mm
[13].
Приведены рассчитанные значения давления прессования
)19(
P , рассчитанное по (19)
и
)24(
P – рассчитанное по (24). Приведенное значение экспериментально установленного
давления
exp
P отражает среднее из пяти экспериментов.
Д
авление
,
МПа
Перемещение плунжера, мм
55
Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009
Таблица 1
Условия и расчетные параметры эксперимента
φ
,
0
ψ
,
0
a ,
мм
m
1
m
2
−
0
l
−
f
l
tot
ε
0
τ
,
МПа
d
τ
,
МПа
)19(
P
, МПа
)24(
P
, МПа
exp
P ,
МПа
)19(
δ
, %
)24(
δ
, %
90
37
13 0,2 0,1 2,5 1,5 0,949 45 143 370 380 339 9 12
Сопоставление показало, что в зависимости от используемых формул (19 или 24) рас-
четное значение давления УГЭ превышает экспериментально установленное
на
%129 −=
δ
. Такое расхождение связано, возможно, с погрешностями в определении коэф-
фициентов трения (
)24(exp
PP
=
при 16,0
1
≈
m ).
ВЫВОДЫ
Выполнен анализ процесса РКУП методом верхней оценки с учетом влияния комплекса
основных параметров на силовой режим процесса, отличающийся тем, что учитываются раз-
личные условия трения во входном и выходном сегментах канала, различная степень упрочне-
ния материала при прохождении его через входную границу пластической зоны, саму пласти-
ческую зону и
выходную ее границу.
При
2,0
1
>m более 50 % уровня давления может быть обусловлено влиянием сил тре-
ния. Недостаточно адекватный учет влияния упрочнения и условий контактного трения сни-
жает ценность точного учета влияния других факторов процесса.
ЛИТЕРАТУРА
1. Процессы пластического структурообразования / [Сегал В. М. , Резников В. И. , Копылов В. И. и др.]. –
Минск: Навука і тэхніка, 1994.
2. Валиев Р. З. Объемные наноструктурные металлические материалы: получение, структура
и свойства / Р. З. Валиев, И. В. Александров.– М.: ИКЦ «Академкнига», 2007. – 398 с.
3. Horita Z. The potential for scaling ECAP: effect of sample size on grain refinement and mechanical properties /
Horita Z., Fujinami T., Langdon T. G. // Mater. Sci. Eng. A. – 2001.– V. 318. – P. 34–41.
4. Segal V. M. Engineering and commercialization of equal channel angular extrusion (ECAE) // Mater. Sci.
Eng. A. – 2004. – V. 386. – P. 269–276.
5. Равноканальная угловая гидроэкструзия – эффективный
метод формирования субмикроструктурного со-
стояния материалов // Удосконалення процесів і обладнання обробки тиском в металургії і машинобудуванні /
В. З.
Спусканюк, Т. Е. Константинова, А. А. Давиденко и др. – Краматорск, 2007. – С. 37–42.
6. Spuskanyuk V., Spuckanyuk A., Varyukhin V. Development of the equal-channel angular hydroextrusion //
J. Mater. Proc. Tech. – 2008. – V. 203. – P. 305–309.
7. Чудаков П. Д. Усилие горячего выдавливания в боковые каналы / П. Д. Чудаков, А. В. Кузнецов // КШП. –
1971.– № 3. – С. 3–6.
8. Alkorta J. A comparison of FEM and upper bound type analysis of equal-channel angular pressing (ECAP) /
J. Alkorta, J. G. Sevillano // J.
Mater. Proc. Tech. – 2003, V. 141. – P. 313–318.
9. Altan B. S. An upper-bound analysis for equal-channel angular extrusion / B. S. Altan, G. Purcek, I. Miskioglu //
J. Mater. Proc. Tech. – 2005. – V. 168. – P. 137–146.
10. Лаптев А. М. Анализ равноканального углового прессования методом жестких блоков / А. М. Лаптев,
Е. Ю. Вяль, А. В. Периг // Удосконалення процесів і обладнання обробки тиском в металургії і машинобудуванні .–
Краматорск: ДДМА, 2006. – С. 316–322.
11. Reihanian M. Upper-bound analysis of equal channel angular extrusion using linear and rotational velocity
fields / Reihanian M., Ebrahimi R., Moshksar M. M. // Mater. and Design. – 2009. – V. 30. –P. 28–34.
12. Eivani A. R., Karimi Taheri A. An upper bound solution of ECAE process with outer curved corner //
J. Mater. Proc. Tech. – 2007. – V. 182. – P. 555–563.
13. Перлин И. Л. Теория прессования металлов/ И. Л. Перлин,
Л. Х. Райтбарг. – [ 2-е изд.]. – М.: «Метал-
лургия», 1976 г. – 448 с.
Спусканюк В. З. – д-р техн. наук, старш. науч. сотруд. ДонФТИ НАНУ;
Гангало А. Н. – аспирант ДонФТИ НАНУ;
Давиденко А. А. – канд. техн. наук, науч. сотруд. ДонФТИ НАНУ;
Коваленко И. М. – ведущ. инженер ДонФТИ НАНУ.
ДонФТИ НАНУ – Донецкий физико-технический университет им. А. А. Галкина
национальной академии наук Украины, г. Донецк.
E-mail: vspusk@ukr.net
56
Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009
УДК 621.777.01: 53.072.22
Периг А. В.
Лаптев А. М.
Голоденко Н. Н.
Лошманов А. Ю.
Литвинов М. Г.
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ ПРИ
РАВНОКАНАЛЬНОМ УГЛОВОМ ПРЕССОВАНИИ: АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ
СРЕДЫ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ВЕРИФИКАЦИЯ МЕТОДОМ МАРКЕРОВ
Равноканальное угловое прессование (РКУП) является перспективной технологией
обработки материалов давлением, обеспечивающей формирование ультрамелкозернистой
структуры с сохранением
целостности обрабатываемой заготовки, которое реализуется по-
средством многоразового прессования смазанной заготовки в штампе с двумя пересекающи-
мися каналами одинакового поперечного сечения [1]. Полученные РКУП материалы с суб-
микронными зернами характеризуются повышенным уровнем удельной прочности и техно-
логической пластичности в области эксплуатационных температур для деталей авиационной
техники, оборудования химической промышленности, медицинских имплантантов, несущих
конструкций травматологических аппаратов и т.
д. [2, 3].
В то же время основные особенности пластического течения материалов при таких
технологических операциях обработки давлением как ковка, штамповка, прессование и др.
можно проанализировать с использованием геометрических методов исследования напря-
женно-деформированного состояния при физическом (натурном) моделировании [4]. Напри-
мер, при анализе РКУП использование физического моделирования для слоистых моделей
позволяет оценить конечное измельчение микроструктуры моделируемого металлического
сплава по характеру перемешивания слоев двухцветных пластилиновых композиций [5]. При
этом в известных ранее публикациях не рассматривались применения физического модели-
рования к анализу характера пластического течения, образования и развития застойных зон в
обрабатываемых материалах, а также для оценки накопленной деформации сдвига при
РКУП, что и определяет актуальность настоящего исследования.
Целью работы является теоретическое и экспериментальное исследование локального
пластического течения материалов при физическом моделировании РКУП (рис. 1, а).
На основании геометрического подобия характера течения модельного и натурного
материалов [6], в качестве первого приближения к анализу течения материала при РКУП ис-
пользуем уравнения Навье-Стокса (уравнения импульса) для движения вязкой среды [7]:
22
22
1uuu P uu
uv
txy x
x
y
η
ρρ
⎛⎞
∂∂∂ ∂ ∂∂
++=−⋅+ +
⎜⎟
⎜⎟
∂∂∂ ∂
∂∂
⎝⎠
; (1)
22
22
1vvv P vv
uv
txy y
x
y
η
ρρ
⎛⎞
∂∂∂ ∂ ∂∂
++=−⋅+ +
⎜⎟
⎜⎟
∂∂∂ ∂
∂∂
⎝⎠
; (2)
и уравнение неразрывности:
0
uv
xy
∂∂
+
=
∂∂
, (3)
где чертой сверху обозначены размерные величины:
x
,
y
– координаты; t – время;
u и
v
– размерные составляющие скорости вдоль осей
x
и y соответственно (рис. 1, а);
ρ
и
η
– плотность и вязкость обрабатываемого материала; P – давление прессования.
Для создания математической модели задачи, удобной для теоретического анализа,
а также с целью получения общности решений, введем следующие безразмерные величины:
57
Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009
/
x
xa= , /
y
ya= – безразмерные координаты, где характерный размер a – ширина канала;
0
/uuU= ,
0
/vvU= – безразмерные составляющие скорости вдоль осей
x
и y , где
0
U –
скорость материала во входном канале штампа;
(
)
2
0
PP U
ρ
= – безразмерное давление, где
ρ
– плотность обрабатываемого материала;
0
Re Ua
ρ
η
= – число Рейнольдса, где
η
– вяз-
кость материала модели;
()
2
tt a
ηρ
= – безразмерное время; utx ⋅
=
Re , Reyvt=⋅ – без-
размерные координаты.
а б
Рис. 1. Штамп для РКУП с прямым углом между входным и выходным каналами
и сетка для конечно-разностной аппроксимации течения материала в очаге деформации (а);
расчетные линии тока в очаге пластической деформации для течения пластилина (б)
Для случая, когда
Re 1<< после несложных преобразований уравнений (1), (2) полу-
чаем следующие уравнения импульса в консервативной форме:
222
22
() ()
Re
u u uv P u u
txyx
x
y
⎡⎤
∂∂∂∂∂∂
+++=+
⎢⎥
∂∂∂∂
∂
∂
⎢⎥
⎣⎦
; (4)
222
22
() ()
Re
v v uv P v v
tyxy
x
y
⎡⎤
∂∂∂∂∂∂
+++=+
⎢⎥
∂∂∂∂
∂
∂
⎢⎥
⎣⎦
. (5)
Для решения уравнений (4), (5) воспользуемся одним из численных методов, нашед-
шим широкое применение при решении задач механики сплошных сред и легко реализуе-
мым на компьютере – методом конечных разностей. Метод, используемый для конечно-
разностной аппроксимации, основывается на покрытии области очага пластической дефор-
мации
AEBF равномерной сеткой квадратных элементов (рис. 1, а) с последующей заменой
искомых функций
(
)
,uuxy=
,
()
,vvxy=
и
(
)
,PPxy=
на функции узловых аргументов. Для
расчета полей давлений и скоростей полученная система алгебраических уравнений решает-
ся итерационным методом Ричардсона в системе программирования Delphi. Для нахождения
F
A
A
F
B
B
E
x
y
E
a
a
P
x
0
1
1
0,3 c
0, 4 c
0,5 c
y
58
Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009
параметров установившегося режима начальные условия берутся в виде грубого приближе-
ния к стационарному решению:
0
,
1
ij
u
=
,
0
,
0
ij
v
=
,
0
,
0
ij
P
=
. (6)
Граничные условия для скоростей формулируются из тех соображений, что материал
при РКУП течет без прилипания к стенкам
A
F
(
0j
=
) и
FB
(in
=
) штампа, т. е. скорость
частицы материала вдоль стенок равна касательной составляющей скорости материальной
частицы во внутреннем, прилегающем к стенкам, слое обрабатываемого материала. При этом
нормальные составляющие скоростей в слоях, прилегающих к границе изнутри и «извне»,
равны и противоположно направлены, а на самой стенке штампа нормальная составляющая
скорости равна нулю.
Такими
образом, для стенки AF имеем:
,0 ,1ii
uu=
;
,0
0
i
v
=
;
,1 ,1ii
vv
−
=
−
. (7)
Для стенки
FB :
1, 1,nj nj
uu
+−
=− ;
,
0
nj
u
=
;
,1,nj n j
vv
−
=
. (8)
Что же касается угловых точек штампа
E
и F , то в них из физических соображений
берутся нулевые компоненты скорости:
,0
0
n
u = ,
,0
0
n
v
=
;
0,
0
n
u
=
,
0,
0
n
v
=
. (9)
Граничное условие для давления у стенок со скольжением формулируется из требо-
вания равенства давлений в близлежащих узлах сетки по обе стороны границы штампа. При
этом давление материала на выходной поверхности очага пластической деформации
B
E
предполагается равным пределу текучести:
,1 ,0ii
PP
−
=
;
1, ,nj nj
PP
+
=
;
,1in S
P
σ
+
=
. (10)
Из формулы Пуазейля получаем следующие соотношения для перепада размерного
и безразмерного давления на шаге координаты:
(
)
0
8
p
Una
η
Δ= ,
(
)
0
8
p
an U
ηρ
Δ=
, (11)
где
n – число ячеек сетки вдоль стороны квадрата (рис. 1, а).
Граничные условия для давления на входе
A
E имеют вид:
(
)
1, 0, 0
8
jj
PP anU
ηρ
−
=+ . (12)
Система уравнений (4), (5) решалась с начальными (6) и граничными (7)-(10), (12) ус-
ловиями для течения пластилина при РКУП для следующих числовых значений: плотность
материала 1850
ρ
= кг/м
3
, предел текучести 217
S
σ
=
кПа [8], ширина каждого канала
20a =
мм, скорость прессования
0
5U
=
мм/с, вязкость текущего материала 12
η
= МПа•с,
число Рейнольдса
8
Re 1,54 10
−
=⋅, шаг времени
96dt
=
фс, число шагов координаты
400n
=
,
число шагов времени 144649
t
n = , время установления стационарного режима 14t
=
нс.
Пять изохрон, помеченные кружками на рис. 1, б, соответствуют моментам времени
1
100t = мс,
2
200t = мс,
3
300t = мс,
4
400t
=
мс,
5
500t
=
мс. Относительная погрешность
итераций составляет
6
10
ε
−
= .
Результаты численного решения уравнений Навье-Стокса для течения пластилина при
физическом моделировании РКУП представлены на рис. 1, б. Показаны положения частиц-
маркеров через равные промежутки времени. В начальный момент времени
0t =
частицы
находились во входном сечении
A
E
. Если соединить точки, соответствующие положениям
маркеров в последовательные моменты времени, получим линии тока. Положения маркеров
в моменты времени
1
t ,
2
t ,
3
t ,
4
t и
5
t изображены кружками. Если соединить маркеры, соот-
ветствующие моменту времени
1
t , получим изохрону
1
t и т. д. На рисунке отчетливо про-
сматривается свободная от маркеров застойная зона, прилегающая к углу
A
FB
пресс-формы.
59